江西省多校联考2025-2026学年高二（上）学情检测数学试卷（12月）（含答案）

绝密★启用前7.已知三棱锥P-ABC的体积为5,△BCP是边长为4的正三角形，点D为PB的中点，点Q满足

江西省2025—2026学年度上学期12月学情检测AQ=2xAD+yAC+(z-x)AP,且x+y+z=1,则|AQ|的最小值为

高二数学试卷B

试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。8.已知双曲线C,C的右支上存在两点A,B,使得线段AB的中点是M(3√a,-√a).

注意事项：

若过的右焦点且垂直于轴的直线与的右支分别交于点则的取值范围是

1.考查范围：选择性必修第一册第一章至第三章。CFxCP,Q,PQ|

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目9.已知曲线E:mx²+ny²=1,则

要求的.A.E可能是椭圆B.E不可能是双曲线

1.抛物线的焦点到准线的距离为C.E不可能是圆D.E可能是两条直线

10.下列结论正确的是

BDA.若{a,b,c|为空间的一组基底，则a-b,b-c,c-a也能构成空间的一组基底

若{为空间的一组基底，则不存在λ,μ∈使得

2.在空间直角坐标系0-xyz中，已知A(1,1,0),B(2,-1,1),则线段AB的中点到点0的距离为B.a,b,c}R,c=λa+μb

BDC.若a为直线l的一个方向向量，n为平面α的法向量，则a//n⇔l⊥α

D.若a=(2,0,3),b=(1,3,m),则对任意实数m,a,b不共线

11.已知点P(xo,y%),圆0:x²+y²=r²(r>0),定义直线l:x₀x+yoy=r²为点P的“伴随线”,则下列结论

3.过点(-1,0)的直线l的倾斜角为,则l在y轴上的截距为

正确的有

A.若点P在圆0上，则点P的“伴随线”I与圆0相切

A.√3

B.若点P在圆0外，过点P作两直线与圆0分别相切于点A,B,则直线AB为点P的“伴随线”L

4.若椭圆仅经过P₁(2,√3),P₂(2,-√3),P₃(-√2,√3)中的一个点，则C的短轴长为C.若点P在圆O内，则点P的“伴随线”l与圆O相交

D.若点P₁,P₂在圆0上，它们的“伴随线”分别为l₁,l₂,且l₁,l₂垂直，则|P₁P₂|=√2r

A.2B.4C.√6D.2√6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

5.若点A(1,2,-1)在平面α内，且α的一个法向量n=(1,1,2),则点P(0,0,1)到平面α的距离为

12.在空间直角坐标系0-xyz中，若直线l与平面xOy平行，则l的一个方向向量的坐标可能为

BD

13.已知A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是抛物线C:y²=4x上不同两点.若直线AB过点M(2,0),则的

6.若直线与圆及圆共有2个公共点，则的取值范

y=ax(a>0)C₁:(x-2)²+y²=2C₂:(x-5)²+y²=5a最小值为

围是

BD.(1,4)14.已知0≤m≤4,贝的取值范围是

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(17分)如图，在三棱柱ABC-PQR中，点D为AB的中点，记AB=a,AC=b,AP=c.

15.(13分)已知直线l₁:ax-y-1=0与x轴交于点,原点为0.(1)用a,b,c表示DR;

(2)若三棱锥P-ABC是棱长为2的正四面体，求|D|;

(1)若直线l₂过点0,且与l₁平行，求l₂的一般方程；Ř

(2)若圆C过点0,B(-2,0)两点且与l₁相切，求圆C的标准方程.

(3)若三棱锥P-ABC是正三棱锥，且异面直线DR与AC所成角的余弦值大于,求cos<a,c>的

取值范围.

16.(15分)已知F₁(-3,0),F₂(3,0),动点P满足||PF₁|-|PF₂||=4,点P的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)若点M在C上，且MF₁⊥MF₂,求△MF₁F₂的面积.

19.(17分)已知椭圆经过点M(2,0),且C与椭圆的离心率平方之

和

(1)求C的方程；

17.(15分)如图，在四棱锥中，底面是梯形，⊥点

P-ABCDABCDAD//BC,PAAB,PA=AD=1,PB=BD=√5,(2)已知N(-2,0),过点C的右焦点且斜率不为0的直线与C交于点A,B.

E为PC的中点(i)若A,B分别在第一、四象限，求四边形AMBN面积S的取值范围；

(ii)若直线AN,BM的倾斜角分别为α,β,且sin(α+β)=4cosαcosβ,求直线AN与直线BM

(1)证明：平面PAB1平面PBC;

的交点Q到直线AB的距离.

(2)若BC=3,求直线BE与平面PCD所成角的正弦值.

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江西省2025—2026学年上学期12月学情检测

高二数学参考答案及评分细则

1.【答案】D

【解析】抛物线中,该抛物线焦点到准线的距离为故选D.

2.【答案】A

【解析】线段AB的中点坐标,到点0的距离故选A.

3.【答案】B

【解析】由题知l的斜率为所以l的方程为y=-√3(x+1),令x=0,得y=-√3.故选B.

4.【答案】B

【解析】因为P₁,P₂关于x轴对称，C也关于x轴对称，所以P₁,P₂要么都在C上，要么都不在C上，所以C经过

P₃,代入得,b=2,,所以C的短轴长为2b=4.故选B.

5.【答案】A

【解析】因为AP=(0,0,1)-(1,2,-1)=(-1,-2,2),所以点P(0,0,1)到平面α的距离为.故

选A.

6.【答案】C

【解析】直线y=ax(a>0)与C₁,C₂共有2个公共点，则该直线与C₁相交，与C₂相离，所以解

a<1.故选C.

7.【答案】C

【解析】如图，由点D为PB的中点，可得AB+AP=2AD,所以AQ=2xAD+yAC+(z-x)AP=xAB+yAC+zAP.因为

x+y+z=1,所以点Q在平面BCP内，|AQ|的最小值就是三棱锥A-BCP的高h,由V三枝锥4-Bcp=V三枝维P-ABC,得

得.故选C.

8.【答案】D

【解析】设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),由线段AB的中点为M(3√a,-√a),则x²≠x²且x₁+x₂=6√a,y₁+y₂=-2√a.因为

,两式相减整理,所以直

高二数学第1页(共6页)

线AB的斜率因为直线AB与C的右支有2个交点，所.把x=3√a代

,得y=±√8a-8,所以-√a>-√8a-8,解得.综上得，随a的

增大而增大，又当故选D.

9.【答案】AD(每选对1个得3分)

【解析】当时，E为椭圆，故A正确；当m=1,n=-1时，E为双曲线，故B错误；当m=n=1时，E为圆，

故C错误；当m=1,n=0时，E为两条直线x=±1,故D正确.故选AD.

10.【答案】BCD(每选对1个得2分)

【解析】因为a-b+b-c+c-a=0,所以a-b,b-c,c-a共面，不能构成空间的基底，故A错误；若存在λ,μ∈R,使得

c=λa+μb,则a,b,c共面，不满足题意，故B正确；易得C正确；因,所以对任意实数m,a,b不共线，故

D正确.故选BCD.

11.【答案】ABD(每选对1个得2分)

【解析】当点P在圆0上时，x²+y²=r²,圆心0到l的距离故A正确；设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则圆

0在点A,B处的切线方程分别为x₁x+y₁y=r²,x₂x+y₂y=r².因为点P在这两条切线上，所以x₁x₀+y₁yo=r²,x₂x₀+

Y₂yo=r²,所以点A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)都在直线x₀x+yoy=r²上，所以直线AB的方程为x₀x+y。y=r²,故B正确；当

点P在圆0内时，x²+y²<r²,圆心0到l的距离“伴随线”l与圆0不相交，故C错误；设

P₁(x₃,y₃),P₂(x₄,y₄),易知1₁:x₃x+y₃y=r²,l₂:x₄x+y₄y=r²,因为l₁,l₂垂直，所以x₃x₄+y₃y₄=0,所以OP·OP₂=

x₃x₄+y₃y₄=0,0P₁⊥OP₂,所以|P₁P₂|=√2r,故D正确.故选ABD.

12.【答案】(1,1,0)(答案不唯一，满足x,y不全为0,z=0的(x,y,z)都可以)

【解析】I的一个方向向量的坐标可能为(1,1,0).

13.【答案】√2

【解析】设直线AB的方程为x=my+2,与y²=4x联立得y²-4my-8=0,所以

当且仅当|y₂|=4√2时取等号.

14.【答案】

【解析】设x=√4-m,y=√m,则表示圆弧x²+y²=4(x≥0,y≥0)上的点与点

(4,-2)连线的斜率，连线过(2,0),(0,2)时斜率最大为-1,连线与圆弧相切时斜率最小的

取值范围是

【评分细则】

14题答案用集合或不等式表示也正确.

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15.解：(1)把代入ax-y-1=0,得a=2,(2分)

所以直线l₁的斜率k₁=2,直线l₁:2x-y-1=0.(3分)

因为l₂//L,所以l₂的斜率k₂=2,(5分)

所以l₂的方程为y=2x,即2x-y=0.(7分)

(2)解法一：设圆C的标准方程为(x-m)²+(y-n)²=r²(r>0),

(9分)

解得

所以圆C的方程(13分)

解法二：因为圆C过原点0,B(-2,0),

所以点C在线段OB的垂直平分线x=-1上，(8分)

设圆C的方程为(x+1)²+(y-b)²=r²(r>0),

由圆C过点0,得r²=b²+1,(10分)

由圆C与l₁相切，得,即b²+6b+9=5b²+5,

整理得2b²-3b-2=0,解得b=2或,(12分)

当b=2时，r²=5,当时，

所以圆C的方程为(x+1)²+(y-2)²=51.(13分)

【评分细则】

1.第(1)小题l₂的方程不写成一般式扣1分，第(2)小题圆的方程不写成标准方程扣1分；

2.第(2)小题解法一中，解方程组，解对一组给1分，解对两组给3分；

3.如用其他解法，若正确，也给满分.

16.解：(1)由双曲线的定义及||PF₁I-|PF₂I|=4<6=|F₁F₂I,可得点P的轨迹C是焦点在x轴上的双曲线，(2分)

设其标准方程

则2a=4,a=2,a²+b²=3²,b=√5,(6分)

所以C的方程

(2)设|MF₁|=m,|MF₂|=n,

由双曲线的定义得|m-n|=4,(9分)

因为MF₁⊥MF₂,所以m²+n²=|F₁F₂I²=36,(11分)

高二数学第3页(共6页)

所以△MF₁F₂的面积

【评分细则】

如用其他解法，若正确，也给满分.

17.(1)证明：由PA=AD,PB=BD,AB=AB,

可得△ABD≌△ABP,∠PAB=∠DAB,(2分)

因为PA⊥AB,所以AD⊥AB,(3分)

又AD//BC,所以AB⊥BC.(4分)

因为点E为PC的中点，

所以PB⊥BC.(6分)

因为AB∩PB=B,AB,PBC平面PAB,所以BC1平面PAB,

又BCC平面PBC,

所以平面PAB1平面PBC.(8分)

(2)解：由(1)知，BC⊥平面PAB,AD//BC,所以AD⊥平面PAB,

因为PAC平面PAB,所以AD⊥PA,

所以AB,AD,AP两两垂直.(9分)

以点A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),C(2,3,0),

所以,DP=(0,-1,1),DC=(2,2,0),(10分)

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),则即

取z=1,得n=(-1,1,1),(12分)

设直线BE与平面PCD所成角为θ,则

所以直线BE与平面PCD所成角的正弦值为

【评分