空间向量及其运算课件高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

1.1.1

空间向量及其线性运算知识回顾1平面向量的概念定义既有大小又有方向的量叫做向量长度/模向量的大小叫做向量的长度（或模）表示法几何表示法字母表示法用有向线段表示ABCD

知识回顾2几类特殊的平面向量零向量单位向量相等向量相反向量模长为1的的向量叫单位向量长度相等且方向相同的向量共线向量

方向相同或相反的非零向量规定：零向量与任意向量平行知识回顾3平面向量的线性运算加法减法

三角形法则

平行四边形法则

三角形法则数乘

知识回顾3平面向量的线性运算

加法交换律：加法结合律：数乘分配律：知识回顾3平面向量的线性运算情境：生活中的空间向量

F1F2F3图1

线缆同时受到来自不同方向的支持力图2跳伞运动员同时受到重力、风力、绳索牵拉力图3水平抬起钢板，钢板受到来自不同方向上的作用力思考：每个场景中的力都能用平面向量表示吗？知识点一

空间向量的有关概念定义与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量.长度/模

有向线段

AB

表示法几何表示法字母表示法知识点一

空间向量的有关概念平面向量空间向量零向量单位向量相反向量相等向量共线向量要点辨析①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线；②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1；③两个向量模相等，不一定是相等向量；

反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，而且方向也相同.辨析：判断正误.(1)空间两个向量方向相反时，它们互为相反向量

（

）(2)若空间两个向量相等，则它们方向相同，且起点相同

（）(3)若空间两个向量起点相同且长度相等，则这两个向量相等（）空间向量可平行移动，相等向量起点可以不同．缺少另一条件：方向相同．缺少另一条件：长度相等．×××1、下列说法正确的是

()A．向量与的长度相等B．将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构

成一个圆C．空间向量就是空间中的一条有向线段D．不相等的两个空间向量的模必不相等AD2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(

)A.a＝b B.a＋b为实数0C.a与b方向相同 D.|a|＝3√√√××××1.如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中，例题讲解(1)试写出与向量相等的向量；(2)试写出向量的相反向量；(3)若AB=AD=2，AA1=1，求向量

的模.

（要求写出所有适合条件的向量）练一练对于空间中的任意两个非零向量，我们可以通过平移使它们的起点重合。也就是说，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量..Oα知识点二

空间向量的线性运算和运算律转化平面向量的线性运算空间向量的线性运算三角形法则首尾相连平行四边形法则共起点减法法则共起点，连终点，指被减知识点二

空间向量的加减运算

与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，其长度和方向规定如下：①|λa|＝______.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；

当λ<0时，λa与向量a方向

；

当λ＝0时，λa＝0.相反|λ||a|知识点二

空间向量的数乘运算平面向量的线性运算空间向量的线性运算

①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.知识点二

空间向量线性运算的运算律平面向量的线性运算空间向量的线性运算

①交换律：a+b＝b+a；②结合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.知识点二

空间向量线性运算的运算律一致43.例3：如图，已知平行六面体ABCD-A‘B’C‘D’，化简下列表达式.例题讲解例题讲解ABCDEF

（1）（2）（3）（4）ABCDA1B1C1D1练一练1.如图，已知四面体ABCD，E、F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量.ABECFD如图,在平行六面体

中,分别标出

表示的向量.三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系?ABCD平行六面体法则：共起点，连对角

例题讲解ABCD图1.1-6练一练知识点三

空间向量的共线向量定理

知识点四

共面向量

平行于同一平面的向量，叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面.知识点五

空间向量的共面向量定理

A、B、P三点共线A、B、C、P四点共面

共面向量定理推论：OACBP①空间一点P位于平面ABC内的充要条件

是存在有序实数对(x，y)，使②P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，

证明空间向量共面或四点共面的方法(1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若p=xa＋yb(a，b不共线)，则向量p，a，b共面.(3)利用平面：寻找一个平面，设法证明这些向量与该平面平行.(2)若存在有序实数组(x，y，x)使得对于空间任一点O，有

且x+y+z=1成立，则P、A、B、C四点共面.方法归纳1．对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(

)A．共面向量 B．共线向量C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量

AC3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有

，则x的值为()A．1B．0C．3D.(