空间向量运算的坐标表示课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何1.3.2

向量运算的坐标表示【知识点一】

空间向量加减、数乘、数量积的坐标运算运算加法减法数乘数量积＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)＝(λa1，λa2，λa3)每个坐标乘λ对应坐标相减对应坐标相加对应坐标乘积的和例1已知

，求解：练一练

已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，则向量2a－3b的坐标为(

)A.(0，4，-11) B.(12，16，7)C.(0，16，-7) D.(12，16，-7)分析：∵a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，

∴2a－3b=(6，10，-2)－(6，6，9)=(0，4，-11).

故选A.A

已知

，

，求：(1)；(2)

；

(3)

；

(4).解：练一练2．已知向量a＝(1，2，1)，b＝(1，－1，m)，且a·b＝－2，则m＝(

)A．－1

B．1

C．－2

D．2由题意，可得a·b＝1×1＋2×(－1)＋1×m＝－2，解得m＝－1．A

一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB=(x2-x1，y2-y1，z2-z1).

两点间的距离公式【知识点二】

由起点和终点表示向量

(1，2，1)练一练

已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O为坐标原点，若

，

则点B的坐标应为(

)A．(-1，3，-3) B．(9，1，1)C．(1，-3，3) D．(-9，-1，-1)B

例3

在空间直角坐标系中，A(-1，2，3)，B(2，1，m)，若|AB|＝

，

则m的值为________．所以(3－m)2＝100，3－m＝±10.所以m＝-7或13.-7或13解：练一练

A

【知识点三】

空间向量的平行、垂直运算平行垂直∥(a1，a2，a3)＝λ(b1，b2，b3)＝λa1b1＋a2b2＋a3b3＝0

例4已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()D已知

，

，且

，求

的值.解：

练一练练一练练一练【知识点四】

空间向量长度、夹角的坐标表示运算求模求夹角

C

练一练A练一练

(-∞，1)练一练

已知向量a＝(1，2，3)，b＝(-2，-4，-6)，|c|＝

，

若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为(

)A．30° B．60°C．120° D．150°C

则所以又

所以所以因此，即

例6如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，点E，F分别是

BB1,

D1B1的中点；

求证：EF⊥DA1.

证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示

的空间直角坐标系

ACBDOxyz点A的坐标为(1，0，0)，点M的坐标为于是

例7如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，M为BC1的中点，E1、F1分别在棱A1B1、C1D1上,（1）求AM的长；（2）求BE1与DF1所成角的余弦值.

OxyzCABDM•••解：（1）建立如图的空间直角坐标系

，

（2）由已知得所以.

所以.

与所成角的余弦值.

所以所以CABDOxyz••（2）求BE1与DF1所成角的余弦值.

1.空间向量运算的坐标表示

2.空间向量中垂直向量坐标之间的关系.

3.空间中两点间的距离公式和空间两向量夹角余弦值的计算公式.4.利用空间向量的坐标运算解决简单