【北京卷中考数学压轴题模拟预测】专题2几何综合压轴大题模拟预测题强化训练(尖子生难题突破)原卷版+解析

【北京卷中考数学压轴题模拟预测】

专题2几何综合压轴大题模拟预测题强化训练

（尖子生难题突破）

一、解答题

1.（2Q22•北京西城•一模）已知正方形A4C。，将线段朋绕点6旋转。

（00<a<90°）,得到线段BE,连接E4,EC.

⑴如图1,当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分NABC,AB=4,则

/AEC=°,四边形48CE的面积为；

（2）当点£在正方形A8CZ）的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

②作NE3c的平分线/3F交EC于点G,交切的延长线于点片连接CR用等式表示

线段AE,FB,之间的数量关系，并证明.

2.（2022•北京市第七中学一模）对于平面直角坐标系X。），中的图形M和点给出如

下定义：将图形“绕点P顺时针旋转90。得到图形N,图形N称为图形M关于点P的

“垂直图形”.例如，图1中点。为点C关于点尸的“垂直图形”.

⑴点A关于原点。的“垂直图形''为点B.

①若点A的坐标为（0,3）,则点8的坐标为；

②若点8的坐标为（3,1）,则点A的坐标为；

⑵E（—3,3）,F（-2,3）,G（a0）.线段b关于点G的“垂直图形”记为£9,点七的

对应点为£,点尸的对应点为尸.

①求点£的坐标（用含，的式子表示）；

②若。。的半径为2,EU上任意一点都在。。内部或圆上，直接写出满足条件的

的长度的最大值.

3.（2022•北京•二模）如图，在等边AABC中，点。是边BC的中点，点E是直线BC

上一动点，将线段4E绕点E逆时针旋转60。，得到线段EG,连接AG,BG.

BB

D（E）°DEC

图1图2

⑴如图1,当点E与点D重合时.

①依题意补全图形；

②判断A8与反;的位置关系；

（2）如图2,取EG的中点尸，写出直线与人B夹角的度数以及尸。与瓦•的数量关

系，并证明.

4.（2022•北京市第一六一中学分校一模）已知点P为线段A8上一点，将线段AP绕

点A逆时针旋转60。，得到线段AC；再将线段8P绕点8逆时针旋转120。，得到线段

BD；连接A。，取4。中点连接BM,CM.

图1图2

⑴如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；

⑵如图2,当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并

证明.

5.（2022•北京海淀•二模）在平面直角坐标系X。），中，对于线段直线/和图形W

给出如下定义：线段MN关于直线/的对称线段为M7V，（M，，M分别是M,N的对应

点）.若历N与MN均在图形W内部（包括边界），则称图形W为线段MN关于直线/

的“对称封闭图形

V1

6

5

4

3

2

1

-6-5-4-3-2-1。i23456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

（1）如图，点尸（-1,0）.

①已知图形W”半径为1的。O,%：以线段PO为边的等边三角形，卬3：以。为

中心且边长为2的正方形，在W/,W2,M中，线段P。关于），轴的“对称封闭图形”

是________

②以。为中心的正方形A/3c。的边长为4,各边与坐标轴平行.若正方形44co是线

段P0关于直线y=x+/?的“对称封闭图形”，求〃的取值范围；

⑵线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及），粕负半轴组成的区域内，且MN的

长度为2.若存在点。（〃-2近，a+20）,使得对于任意过点。的直线/,有线段

MN,满足半径为「的G0是该线段关于/的“对称封闭图形”，直接写出「的取值范

围.

6.（2022•北京市十一学校模拟预测）已知，点8是射线4尸上一动点，以A3为边作

△ABC,Z^C4=90°,N4=60。，将射线AC绕点"顺时针旋转120。，得到射线

（1）如图I,若BE=BC,求CE的长（用含小的式子表示）：

（2）如图2,点尸在线段48上，连接EF.添加一个条件：AF.BC、BE满足

的等量关系为，使得痔=。产成立，补全图形并证明.

7.（2022•北京西城•二模）在平面直角坐标系中，对于线段A8与直线

l：y=l＜x+b,给出如下定义：若线段人8关于直线/的对称线段为40（4,8'分别

为点A,8的对应点），则称线段八b为线段48的“伏、句关联线段”.

已知点4（1,1）,80,-1）.

⑴线段A0为线段A8的邛,可关联线段”，点4的坐标为（2,0）,则的长为

，b的值为;

⑵线段A0为线段48的“伏⑼关联线段“，直线《经过点。（0,2）,若点A，，？都在直

线4上，连接OA,求/COA的度数；

⑶点P（-3,0）,Q（-3,3）,线段A?为线段AB的“伏㈤关联线段”，且当人取某个值

时，一定存在k使得线段4"与线段PQ有公共点，直接写出〃的取值范围.

8.（2022•北京大兴•二模）已知：如图，AC=AB,NCAB=NCDB=a,线段。。与A8

相交干点O.以点A为中心,将射线绕点A逆时针旋转。（0＜。＜180。）交线段C。

⑴若a=60。，求证：CD=AD+BD-

⑵请你直接用等式表示出线段CD,AD,8。之间的数量关系（用含。的式子表示）.

9.（2022•北京市三帆中学模拟预测）在平面直角坐标系xO.v中，对于图形Q和NP,

给出如下定义：若图形。上的所有的点都在NP的内部或NP的边上，则/。的最小值

称为点P对图形Q的广度.如下图，NAOB的度数为点O对线段的广度.

⑴已知点N（2,0）,在点根（。［百），%（2,3）中，对线段ON的广度为

60。的点是______；

（2）已知：点A（-2,2）,5（-2,-2）,C（2,-2）,。（2,2）,£（0,4）.

①直接写出点E对四边形ABCD的广度为。；

②已知直线y=x上存在点F,使得点尸对四边形ABC。的广度为45。，求匕的取值

范围.

10.（2022•北京市三帆中学模拟预测）己知：如图所示△48C绕点A逆时针旋转。得

到△4）石（其中点〃与点。对应）.

⑴如图1,点3关于直线AC的对称点为方,求线段8E与C。的数量关系;

（2）当。=32。时，射线C3与射线£7）交于点尸，补全图2并求

11.（2022•北京市第五亡学分校模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=

40°,作射线CM,NACM=80。.。在射线CM上，连接A。，石是A。的中点，。关于

点E的对称点为F，连接DF.

（1）依题意补全图形；

⑵判断人8与。〃的数量关系并证明；

⑶平面内一点G,使得。G=OC,FG=FB,求NCQG的值.

12.（2022•北京朝阳•模拟预测）如图①，心△ABC和即△BOE重叠放置在一起，

NABC=NO8E=90。，且A8=28C,BD=2BE.

（1）观察猜想：图①中线段A。与CE的数量关系是一，位置关系是_；

（2）探究证明：把石绕点8顺时针旋转到图②的位置，连接AO,CE,判断线段

与CE的数量关系和位置关系如I何，并说明理由；

⑶拓展延伸：若BC=后,BE=\,当旋转角。=/4。8时，请直接写出线段4。的长

度.

13.（2022•北京•北理工附中模拟预测）如图，在菱形A6c。中，E、尸、G分别为边

AB.AD.8c的中点，连接EF、FG、EG

⑴求证：△欧才为直角三角形

(2)连接ED,当AQ=?,tanN£^G=g时，求EO的长.

14.（2022•北京昌平•模拟预测）两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置

(I)如图①，求证：四边形ABCD是菱形.

(2)如图②，点尸在BC上，PFA.ADTF,若S侬?修48co=16后，PB=2,

①求/孙。的度数；

②求。月的长.

15.(2022•北京H-一学校一分校一模)在AABC中，Z4BC=90°,BA=BC,点。为

线段AC上一点，将线段8。绕点B逆时针旋转90。，得到线段8E,连接。£.

⑴①请补全图形；

②写出CO,AD,后。之间的数量关系，并证明；

(2)取八。中点F,连接B/、CE,猜想CE与8户的位置关系与数量关系，并证明.

16.(2022•北京朝阳•二模)在正方形A8C。中，E为BC上一点，点M在AB上，点N

在。C匕且MNJL0E,垂足为点F.

⑴如图1,当点N与点C重合时，求证：MN=DE；

(2)将图1中的MN向上平移，使得?为。E的中点，此时MN与AC相交于点”，

①依题意补全图2；

②川等式表示线段M方、HF,硒之间的数量关系，并证明.

17.(2022•北京北京•二模)在△A8C中，ZACB=90°,C4=CB,。是/1B的中点，E为

边AC上一动点(不与点A,。重合)，连接。石，将线段绕点8逆时针旋转90。得

到线段过点尸作FH_LOE于点从交射线8c于点G.

（1）如图I,当A£<£C时，比较NAZ陀与NBR7的大小；用等式表示线段8G与AE的

数量关系，并证明；

⑵如图2,当反7时，依题意补全图2,用等式表示线段OE,CG,AC之间的数量

关系.

18.（2022•北京顺义•二模）如图，在△4BC中，NAC8=90。，AC=BC,P,。为射

线A8上两点（点。在点P的左侧），且PD=BC,连接CP.以P为中心，将线段

P。逆时针旋转相（0<〃<180）得线段PE.

⑴如图I,当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出〃的值；

⑵当〃=135。时，M为线段4E的中点，连接

①在图2中依题意补全图形；

②用等式表示线段CP与PM之间的数最关系，并证明.

19.（2022•北京昌平•二模）如图，已知N例ON=a（0。〈二〈90。），OP是NMQV的平

分线，点A是射线OM上一点，点A关于OP对称点3在射线QN上，连接AB交OP于

点C,过点4作ON的垂线，分别交OP,ON于点D,E,作NO4E的平分线AQ,

射线AQ与OP,QN分别交于点/，G.

⑴①依题意补全图形；

②求NE4£度数：（用含。的式子表示）

（2）写出一个。的值，使得对于射线OM上任意的点A总有及A/（点A不与点。

重合），并证明.

20.（2022•北京海淀•二模）已知=ZABC=90°,直线/是过点B的一条动直

线（不与直线A3,8c重合），分别过点A,C作直线/的垂线，垂足为Q,E.

⑴如图1,当45。〈乙钻力<90。时，

①求证：CE+DE=AD；

②连接A£,过点。作。H_LAE于”，过点A作A尸〃BC交。”的延长线于点尸.依题

意补全图形，用等式表示线段。入BE,DE的数量关系，并证明；

（2）在直线/运动的过程中，若。石的最大值为3,直接写出的长.

21.（2022•北京•中国人民大学附属中学分校一模）如图，正方形ABC。中，P为BD

上一动点，过点P作交。。边于点Q.

⑴求证：PA=PQ；

⑵用等式表示尸8、PD、A。之间的数量关系，并证明；

（3）点P从点3出发，沿8。方向移动，若移动的路径长为4,则AQ的中点M移动的

路径长为—（直接写出答案）.

22.（2022•北京•东宜门中学模拟预测）在中，Z4BC=90°,NB4C=30°.D

为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=C£>.点Z）关于点B的对称点为点F,连接

AD,尸为AD的中点，连接尸E,PF,EF.

图1图2

⑴如图1,当点。与点8重合时，写出线段PE与户尸之间的位置关系与数量关系;

⑵如图2,当点D与点&C不重合时，判断（1）中所得的关系是否仍然成立？若成

立，请给出证明，若不成立，请举出反例.

23.（2022•北京•二模）在心中，ZAC5=90°,C。是AB边的中线，DELBC于

E,连接CD,点P在射线CB上（与8,C不重合）

⑴如果4=30。

①如图I,OE与8E之间的数量关系是

②如图2,点P在线段CB上，连接OP,将线段。尸绕点。逆时针旋转60。，得到线

段连接〃八补全图2猜想CP、，〃之间的数量关系，并证明你的结论.

（2）如图3,若点P在线段C4的延长线上，且NA=a（0°<a<90。），连接。P,将线段

。尸绕点逆时针旋转"得到线段。F,连接8F,请直接写出。£、BF、8P三者的数量

关系（不需证明）.

24.（2022•北京门头沟•二模）我们规定：如图,点，在直线MN上，点产和点产均在

直线MN的上方，如果HP=HP,=N产，N,点P，就是点尸关于直线MN的

“反射点”，其中点〃为“丫点”，射线狼与射线”产组成的图形为'，形

在平面直角坐标系立力中，

⑴如果点PQ3）,，（150）,那么点尸关于x轴的反射点P，的坐标为；

⑵已知点40，"）,过点A作平行于x轴的直线/.

①如果点8（5,3）关于直线/的反射点？和“V点”都在直线N=T+4上，求点）的坐标和

”的值；

②0W是以（3,2）为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线/的反射点和“V点”都在直

线），=T+4上，且形成的“V形”恰好与。卬有且只有两个交点，求〃的取值范围.

25.（2022•北京房山•二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形”和图形%.给出如下

定义：在图形叫上存在两点A,B（点A,8可以重合），在图形I匕上存在两点“，

M（点M、N可以重合）使得AM=28N,则称图形叱和图形区满足限距关系

（1）如图1,点。（6,0）,。（0,-1）,石（0,1），点/＞在线段磔上运动（点/?可以与点。，E

重合），连接O2OP.

①线段OP的最小值为,最大值为;线段。尸的取值范围是

__________**

②在点。，点。中，点与线段EC满足限距关系；

⑵在（1）的条件下，如图2,的半径为1,线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于

点匕G,且/G〃EC,若线段AG与。。满足限距关系，求点尸横坐标的取值范围；

⑶。。的半径为「（「＞（））,点”，K是上的两个点：分别以从K为圆心，2为半

径作圆得到。〃和。K,若对于任意点“，K,和OK都满足限距关系，直接写出

，•的取值范围.

26.（2022•北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系直为中的线段PQ,给出如

下定义：若存在AQQA使得S"QR=PQ，，则称APQR为线段PQ的“等粒三角形”，点R

称为线段42的“等塞点”.

⑴已知A(2,0).

①在点6(2,4),£(1,2),1(Tl)七(1,-4)中，线段OA的“等哥点”是____________；

②若存在等腰△048是线段Q4的“等塞三角形”，求点B的坐标；

(2)已知点。的坐标为C(2,T),点。在直线)，=人」3上，记图形M为以点7(1,0)为圆

心，2为半径的e7位于x轴上方的部分.若图形M上存在点E使得线段CD的“等基

三角形"ACDE为锐角三角形，直接写出点。的横坐标与的取值范围.

27.(2022•北京朝阳•一模)在平面直角坐标系中，对于直线/：)，三人+〃，给出如

下定义：若直线/与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线/关于该圆的“圆截

距

(1)如图1,。。的半径为1,当左=1力=1时,直接写巴直线/关于。。的“圆截距”；

⑵点用的坐标为(1.0),

4L

①如图2,若0M的半径为1,当。=1时，直线/关于0M的“圆截距”小于g逐，求2

的取值范围;

②如图3,若OM的半径为2,当A的取值在实数范度内变化时，直线/关于OM的“圆

截距”的最小值为2,直接写出b的值.

28.(2022•北京市第一六一中学分校一模)在平面直角坐标系xQy中，对于点P和图

形W,如果线段。尸与图形W无公共点，则称点P为关于图形w的“阳光点如果线

段。尸与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”.

①在P/(I,4),P2(1,2),P3(2,3),P4(2,1)这四个点中，关于线段AB的“阳

光点”是;

②线段A/B/〃AB,A/B/上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A/次向上

或向下平移时，都会有A/8/上的点成为关于线段A8的“阳光点”，若，48/的长为4,

且点4在8/的上方，则点4的坐标为.

3

⑵如图2,已知点C(l,G),0c与y轴相切于点D,若(DE的半径为彳，圆心E

在直线/：)，=-瓜+4右上，且。E的所有点都是关于。C的“阴影点”，求点E的横

坐标的取值范围；

⑶如图3,(DM的半径为3,点M到原点的距离为5,点N是。M上到原点距离最近

的点，点。和7是坐标平面的两个动点，且。M上的所有点都是关于△NQT的“阴影

点”直接写出AVOr的周长的最小值.

29.(2022♦北京房山•一模)如图1,。/与直线〃相离，过圆心"乍直线。的垂线，逗

足为H,且交。/于P,。两点(Q在P,"之间).我们把点P称为。/关于直线〃的

“远点”，把的值称为。/关于直线。的“特征数”.

（1）如图2,在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0,4）,半径为1的。。与两坐

标轴交于点A，3,C,D.

①过点石作垂直于y轴的直线机，则。。关于直线机的“远点”是点

（填“A”—"C域“D”），。0关于直线〃?的“特征数”为

②若直线〃的函数表达式为＞'=V3A+4,求。。关于直线〃的“特征数”；

⑵在平面直角坐标系工。六中，直线/经过点M（1,4）,点尸是坐标平面内一点，以

尸为圆心，百为半径作。足若。尸与直线/相离，点N（-1,0）是关于直线/的

“远点”，且。尸关于直线/的“特征数''是6«，直接写出直线/的函数解析式.

30.（2022•北京顺义•一模）在平面直角坐标系X。），中，的半径为2.对于直线

/：），=X+1和线段4C,给出如下定义：若将线段3C沿直线/翻折可以得到。。的弦

BC（夕，C分别是从C的对应点），则称线段8C是以直线/为轴的。。的“关联线

段”.例如：在图1中，线段4c的是以直线/为轴的。。的“关联线段”.

⑴如图2,点用，C,,B2,G，B\,G的横、纵坐标都是整数.在线段8C，

BC，&G中，以直线/为轴的0。的“关联线段”是；

（2）aA4C是边长为。的等边三角形，点40,1）,若BC是以直线/为轴的0。的“关联

线段”，求。的值；

（3）如果经过点尸（7,5）的直线上存在以直线/为轴的0O的“关联线段”，直接写出这条

直线与），轴交点的纵坐标m的取值范围.

【北京卷中考数学压轴题模拟预测】

专题2几何综合压轴大题模拟预测题强化训练

(尖子生难题突破)

一、解答题

1.(2022♦北京西城•一模)已知正方形将线段用绕点8旋转。(0°<«<90°),

得到线段BE,连接E4,EC.

(I)如图1,当点石在正方形的内部时，若BE平分乙ABC,AB=4,则

/AEC=°,四边形ABCE的面积为；

(2)当点E在正方形A3。的外部时，

①在图2中依题意补全图形，并求NAEC的度数；

②作NE8C的平分线8尸交EC于点G,交胡的延长线于点片连接C四用等式表示线段

A£,FB,广。之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)135,8近

⑵①作图见解析，45°；②BF=OCF-包AE

2

【解析】

【分析】

(1)过点E作EKJ.BC于点K,由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得

么BE=/CBE=45°,AB=BE=BC=4,再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出

NBAE=NBEA=67.5。,EK=20继而可证明A46E三△CBE(SAS),便可求解；

(2)①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得8E=8A=8C,再根据三

角形内角和定理及等腰三角形的性质求出NAEB,NBEC=45。，即可求解；

②过点4作8H_LAE垂足为〃，由等腰三角形的性质得到=,再证明

MBE"FBC(SAS)即可得到比=b,再推出为等腰直角三角形，即可得到三

者之间的关系.

(1)

过点£作EK_L“C于点太

:"BKE=90°

••・四边形ABC。是正方形

:.NABC=900,AB=BC

="平分NA4C,AB=4,将线段ZM绕点8旋转a(0°<«<90°),得到线段/过

二.ZABE=NCBE=45°,AB=BE=BC=4

AZB4E=ZBE4=67.5°,iZEBK=—=—=—

snBE24

:.EK=2&

Sg=gBC.EK=*2近=

BE=BE

ZL43E=△CBE(SAS)

NAE8=Z.CEB.S^EB=SACEB

/.ZAEC=ZAEB+ZCEB=135°,四边形48。七的面积为=5,刃+5“9=8>/5

故答案为：135,872

⑵

•••四边形ABC。是正方形

:./ABC=9()o,AB=BC

由旋转可得，BE=BA=BC

•.•AABE+N8AE+4BEA=180°,ZABE=a

:./BEA=ZBAE=⑼—=90°--

22

•.•Z.CBE+NBCE+/BEC=180°,NCBE=/ABE+NABC=90°+a

NBEC=NBCE=18。°-(90°+a)=45o_2

22

/.ZAEC=ZAEB-NBEC=45。

@BF=y/2CF-—AE,理由如下：

2

如图，过点8作垂足为〃

Z/?HF=90°

BA=BE

：.AH=EH=-AE

2

-：BE=BC,/E8C的平分线8尸交EC于点G

BG1CE,ZFBE=/FBC

Z£GF=90°

•;BF=BF

MBE"FBC(SAS)

:.EF=CF

QZ4EC=45°

/.Z4EC=ZEFG=45°

/.NEFG=45。=/HBF

.3BF为等腰直角三角形

BF=0HF=向EF-EH)=yf2(EF--AE)=向CF、AE)

22

UPBF=y[2CF-—AE

2

【点睛】

本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定

义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角

和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键.

2.(2022•北京市第七中学一模)对于平面直角坐标系x。〉，中的图形M和点P,给出如下

定义：将图形M绕点尸顺时针旋转90。得到图形N,图形N称为图形/关于点尸的“垂直

图形”.例如，图1中点。为点。关于点夕的“垂直图形。

(1)点A关于原点。的“垂直图形”为点B.

①若点A的坐标为（0,3）,则点"的坐标为；

②若点8的坐标为（3』），则点A的坐标为；

（2）E（-3,3）,F（-2,3）,G（«0）.线段所关于点G的唾直图形”记为EF,点E的对应

点为石'，点尸的对应点为广.

①求点£的坐标（用含。的式子表示）；

②若。。的半径为2,上任意一点都在。。内部或圆上，直接写出满足条件的EE的

长度的最大值.

【答案】（1）①（3,0）；②（-1,3）

（2）®（3+fl,3+〃）；②后

【解析】

【分析】

（1）①②根据“垂直图形”的定义解决问题即可.

（2）①构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解即可.

②如图3中，观察图象可知，满足条件的点E在第一象限的。。上.求出点E的坐标即可

解决问题.

（1）

解：①观察图像可知：点8的坐标为（3,0）：

②观察图像可知：点A的坐标为（-1,3）；

AV

（2）

解：①如图2中，过点石作E匕Lx轴于尸，过点E作EW_Lx轴于，.

・•・Z£+ZPGE=90°,ZPGE+ZE,GH=90°,

，NE=/EGH,

;EG=GE,

・•・△£尸G丝ZXGHE(AAS),

:,EP;GH=3,PG=EH=a+3,

：,OH=3+at

(3+a,3+a).

•・•£(3+〃?，3+/n),O£=2,

/.3+m=>/2，

:・m=叵-3，

：•£(◎，夜)，

***EE=J(a+31+(&-3]=>/22.

【点睛】

本题考查几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知

识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考

压轴题.

3.（2022•北京•二模）如图，在等边A48C中，点。是选8C的中点，点E是直线8C上一

动点，将线段4E绕点E逆时针旋转60。，得到线段EG,连接AG,BG.

①依题意补全图形；

②判断与EG的位置关系：

（2）如图2,取EG的中点/，写山直线£＞厂9A6夹角的度数以及尸。ijKC的数量关系，并

证明.

【答案】（1）①补全图形见解析；②A3_LEG

⑵直线。”与/W夹角的度数为90。，二这,证明见解析

EC2

【解析】

【分析】

（1）①依照题意画出图形即可；②由旋传的性质可得AE=EG,NAEG=6O。，可证△

AGBgAAEC,可得RG=EC=BE,即可得结论；

（2）通过证明△D4尸s^CAE,可得/。=幺力/=60。，变=处=叵，即可求解.

ECAC2

（I）

②AB工EG,理由如下：

.・.将线段AE绕点E逆时针旋转6（尸,

AAE=EG,ZAEG=60°,

•••△AGE是等边三角形，

AAG=AE,ZG4E=60°,

〈ABC是等边三角形，点。是AC的中点，

AB=AC,Z^C=60°,BD=DC=BE=EC,

ZE4C=ZG4E,

J/BAG=/CAE,

•••△AGB❷△人EC,

/.BG=EC=BE,

又：AG=AE,

JA4垂直平分GE,

JABA.EG；

(2)

直线。尸与A8夹角的度数为9()。，警=坐，埋由如卜：

如图2,当点E在线段8c上时，连接A。，AF,延长D产交4B于〃,

图2

;将线段绕点E逆时针旋转60。,

/.AE=EG,ZAEG=60°,

•'△AGE是等边三角形，

又「点尸是GE的中点，

AAFLGE,NE4F=3(T,

・AF6

••cosZ.EAr==——,

AE2

:△ABC是等边三角形，点。是8c的中点,

AADLCD,ZZMC=30°,

AZ2MC=ZME,cosZDXC=—=—,

AC2

AZDAF=ZG4E,—=—,

AEAC

•••△ZM尸s/XCAE,

DFADs/3

/.ZC=Z4DF=60°,

~EC~^C~~2

•••/BDF=30。,

ZAHD=ZABC+ZBDF=90°,

・♦・直线。尸与AB夹角的度数为90。，工建,

EC2

当点石在CB的延长线上时，如图3,连接人F，AD,

DF

问理可求直线。尸勺A6夹角的度数为90。,75

当点石在BC的延长线I：时，如图4,连接人/）,AF,廷长。尸交于”,

同理可求直线。b与A/3夹角的度数为90。，竺=立.

EC2

综上所述：直线。尸与夹角的度数为90。，黑=《

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，

相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明三角形相似.

4.（2022•北京市第一六一中学分校一模）已知点尸为线段人B上一点，将线段人P绕点A

逆时针旋转60。,得到线段AC；再将线段8尸绕点8逆时针旋转120。,得到线段5D；连

接AO,取AO中点M,连接8M,CM.

cc

(1)如图1,当点P在线段CM上时，求证：PMIiBD；

⑵如图2,当点。不在线段CM上，写出线段3M与CM的数量关系与位置关系，并证

明.

【答案】(1)见解析

(2)CMIBM,CM=NB,理由见解析

【解析】

【分析】

(1)由旋转可得，AAPC是等边三角形，NP8O=120。，则4/W+NP%>=180°,所以

PM//BD.

(2)延长8M至点G,使得MG=M“，连接AG,BC,GC,PC,可证AC8G是等近三

角形且点M是8G的中点，则有CW_L8W,CM=®B.

(1)

解：由题意可得，ZC4P=60°,且AP=AC,

二.A4PC是等边三角形，

/.ZAPC=60°,

/.NBPM=60。,

又丁ZPBD=120°,

NBPM+NPBD=180°,

(2)

解：猜想，CM1MB,CM=GMR、理由如下：

如图2,延长至点G,使得MG=M8,连接AG,BC,GO,PC,GD,

AM=MD，GM=BM，

••・四边形AGDB是平行四边形，

/.AG=BDfAG//4O,

，ZBAG=18()°-ZABD=6()°,

ZCAG=\2(r,

•••AAPC是等边三角形，

：.AC=CP,zcra=i20°,

•;PB=DB=AG,

：.ACAG^^CPB(SAS),

:.CG=CB,ZACG=dCB,

:.NGCB=&)。,

•，.ACfiG是等边三角形，

♦.・GM=BM,

:.CMA.BM,CM=.

【点睛】

本题主要考查旋转的性质，全等三角形，等边三角形的性质与判定，平行四边形，解题的

关键是构造合适辅助线.

5.(2022•北京海淀•二模)在平面直角坐标系xOy中，对于线段MM直线/和图形W给出

如下定义：线段MN关于直线/的对称线段为MRYAT,M分别是M,N的对应点).若

MN与均在图形W内部(包括边界)，则称图形W为线段MN关于宜线/的“对称封闭

图形

y

6

5

4

3

2

1

P

-6-5-4-3-2-1O123456x

-1

-2

-3

-4

-5

-6

(1)如图，点尸(-1,0).

①已知图形IV/：半径为1的。O,M：以线段。。为边的等边三角形，卬3：以。为中心

且边长为2的正方形，在卬人卬2,卬3中，线段PO关于)，轴的“对称封闭图形”

是：

②以O为中心的正方形ABC。的边长为4,各边与坐标轴平行.若正方形A8CO是线段

PO关于直线)，=%+/，的“对称封闭图形“，求人的取值范围；

(2)线段MN在由第四象限、原点、x轴正半轴以及)，轴负半轴组成的区域内，且MN的长

度为2.若存在点Q(〃-2&,〃+2应)，使得对于任意过点Q的直线/，有线段MN,满

足半径为〃的GC是该线段关于/的“对称封闭图形”,直接写出〃的取值范围.

【答案】(1)①叱，%；②b的取值范围是-1W0W2

(2)r>^2

【解析】

【分析】

(1)①根据”对称封闭图形”的定义判断即可；

②记点R。关于直线y=的对称点分别为"，。’.先求出直线PP、直线的的

解析式，再根据图象找到当直线y=随着力的变化上卜平移时的临界情况，解答即

可；

(2)根据题意，确定出当三角形MON为等腰直角三角形且NMO290。时r最小，作MN

关于直线尸“+4上的对称图形用勾股定理求出ON'的长度即可.

(1)

解:①线段尸。关于)，轴对称图形为线段OP',即线段PP在图形w内(包括边界),

其中，P(-1,0),产(0,1),

故图形的及W3,符合题意,

故答案为：修，吗.

②记点P,。关于直线产X+〃的对■称点分别为P\则宜线y=垂直平分线馒

PP'和OO',因此直线尸P'的解析式为丁=直线仅7的解析式为)H-X,由于线段

户。在x轴上，故关「直线y=x+力的对称后，釉.

如图，当直线y=x+b随着。的变化上.下平移时，临界情况是：

当点。对称后得到P在y=-2上，即P(L-2)时，PP中共为(-1,0),此时

Z?=—1；

当点O对称后恰好为(2,2)时，0。中点为(1,1),此时。=2.

依题意，〃的取值范围是-14842.

(2)

解：由题意知，当三角形MON为等腰直角三角形且NMON=90。时尸最小，

由Q点坐标知，。点在直线y=x+4>/2上运动，

作线段MN关于直线y=x+4夜的对称图形ATM,则r>ON\

取MN中点E,MW'中点为G,连接EG交直线产x+4夜于凡连接ONL如图所示,

：.OE=\,

设直线y=x+4夜交坐标轴于尸、5,则＞5=8,

，。2=4,

由对称知，EF=GF=5,GN'=1,

由勾股定理得：ON'Za+f=痴，

故答案为：r^\^2.

【点睛】

本题考查了新定义的问题，需要借助轴对称图形的性质、一次函数性质、勾股定理等知识

点解题.解题关键是正确理解题意，作出符合题意的图形.

6.（2022•北京市十一学校模拟预测）己知，点8是射线AP上一动点，以A8为边作

△Aa?,N4C4=90。，Z4=60°,将射线灰?绕点“顺时针旋转120。，得到射线80,点

E在射线上，BE+BC=tn.

（1）如图1,若BE=BC,求CE的长（用含机的式子表示）；

⑵如图2,点/在线段AB上，连接CT7、EF.添加一个条件："'、BC、踮满足的等

量关系为______，使得所=。/成立，补全图形并证明.

【答案】⑴亭〃；

⑵上AF=BC+BE，补全图形及证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图，连接CE,过点、B作BH_LCE于点H,由等腰三角形的三线合•的性质可得到

CH=EH=-CE,/CBH=NEBH=工NCBE=60。,再根据条件可得到BE=8C='，然

222

后在阳△2C”中，利用三角函数可求得C〃=立帆，最后可得到CE的长；

4

（2）添加条件为6A尸=8C+8E.如图，延长CB到点G,使BG=BE,连接AG,过点

户分别作「点M、FN工AC丁点、N、可证明四边形CWFN是矩形，由矩形的性

质得到CM=FN,然后在在肋AAEN中，利用三角函数求得CM=FN=@A〃，接着利

2

用SAS证明△mgAMK可得到G"二石产，从而推导出G"二W,再根据等腰三角形三

线合一性质得到CM=g(BC+8E),从而得到结论.

(1)

解：如图，连接CE,过点R作BHJ.CE于点H,

VBE=BC,NCBE=12O。,

：.CH=EH=-CE,ZCBH=ZEBH=-ZCBE=60°,

22

•/BE±BC-m,

・•・BE=BC=—,

2

，在RjBCH中,

CH=BC・sinZ.CBH=-mx—=—tn，

224

­\CE=2CH=—m.

2

点尸在线段A区上，连接。尸、EF.

添加一个条件：AF.BC、晒满足的等量关系为=使得M=成立，

补全图形如下，证明如下：

延长C8到点G,使BG=BE,连接AG,过点尸分别作BW_L8C于点M、FN工AC于点、

N,

•••ZFMC=ZFNC=ZFNA=90°,

•・•在AABC中，ZBC4=90°,ZA=60°,

・•・ZABC=90°-60°=30°,

/.NfBG=1800-ZABC=150。，ZFBE=ZCBE+ZABC=120°+30°=150°,

，四边形CMFN是矩形，4FBG=/FBE,

:.CM=FN,

在HhAnV中，ZA=60°.

/.FN=AF^s\nA=—AF,

2

=FN=—AF,

2

在△ABG和△月龙中，

BG=BE

AIBG=ZFBE,

BF=BF

AFBG怂△FBE(SAS),

：・GF=EF,

VEF=CF,

:,GF=CF,

*/FM±BC

：.CM=GM=-CG=-(BC+BG)=-(BC+BE)

222t

，当AF=g(BC+BE),

，gAF=BC+BE.

故答案为：&F=BC+BE.

【点睛】

本题考查旋转变换，涉及旋转的性质、解直角三角形、全等三角形性质与判定、矩形的判

定与性质、等腰三角形三线合一的性质等知识.解题的关键是作辅助线，构造全等三角形

和矩形.

7.(2022•北京西城•二模)在平面直角坐标系xOy中，布于线段A8与直线/：＞=近+/%给

出如下定义：若线段A8关于直线/的对称线段为44(4,Q分别为点A,3的对应

点)，则称线段A'B'为线段AB的“化句关联线段”.

已知点4(1,1),B(l-l).

⑴线段A0为线段48的小，可关联线段”，点A的坐标为(2,0),则的长为,b

的值为;

(2)线段49为线段A3的“[")]关联线段”，直线《经过点。(0,2),若点A',8'都在直线4

上，连接OA',求NCO4的度数；

(3)点P(-3,0),2(-3,3),线段为线段A8的“卜回关联线段”,且当。取某个值时，

定存在&使得线段49与线段P。有公共点，直接写出力的取值范围.

【答案】⑴2；-1

(2)15°

7

(3)--</?<2

【解析】

【分析】

(1)由对称性质AB、AE关于直线/对称，所以48=48=2,由题意，得

y=x+b,把4V的中点I］，：)代入尸x+b,求出〃即可；

(2)作C关于/的对称点C,连接OC,OA,0C,因为A8的对称点在//上，所以点C

的对称点。在直线A8上，则可求出点C的坐标为(1,G),继而可求得NC0K=6()c,再

求出NAOK=45。，所以NC'OA=ZCOK-NAOK=60°-45°=15。，然后利用对称的性质得出

NCOV=NCOA,即可求解；

7

(3)当夕与点。重合时，求出〃=2,再当4与点〃重合时，求出4-,，再由线段4b

与线段PQ有公共点，即可得出力的取值范围.

(1)

解：VA(I,1),B(1,-1),

."8:2,

•・・AB、AE关于直