【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）专题04 特殊平行四边形 梯形 压轴题（六大题型）（解析版）

专题04特殊平行四边形梯形压轴题(六大题型)

目录：

题型1：解答证明题

题型2：最值问题

题型3：四边形与平面直角坐标系

题型4：四边形与列函数关系式问题

题型5：动态问题(动点、旋转、折叠)

题型6；定值问题

题型1:解答证明题

1.在平行四边形A8CO中，/胡。的平分线交边8c于点E,交。C的延长线于点E

(2)如图2,FG//BC,FG=EC,连接QG、EG,当NABC=120。时，求证：ZBDG=60°；

(3)如图3,在(2)的条件下，当4E=2CE,AE=46时，求线段80的长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)BD=2"

【分析】(1)根据角平分线的性质可得N1=N2,然后再运用平行四边形的性质说明/2=/3,/1=//，进

一步说明/3=//，最后运用等边对等角即可证明结论；

(2)延长4B、FG交于点H，连接DH,可证得四边形人〃FO是平行四边形，四边形A/7FO是菱形，推出

和加。”都是等边三角形，再证明田。以近0。〃4(SAS),得出卧'DG=I3”Q8,进而证得结论；

(3)如图3,连接DE,根据平行四边形性质和角平分线性质可得NAAE=44科=幽二^竺^70。，过点

2

8作8WL4E于点M,可得氏2石，利用勾股定理求得AB=CD=8氏4,过点。作。M的C于点M

结合勾股定理即可解答.

【解析】(1)明：如图1：©4尸是/BAD平分线.

0Z1=Z2

团ABCQ是平行四边形.

^AD//BC.AB//CD

0Z2=Z3,Z1=ZF,

0Z3=ZF,

^CE=CF.

(2)证明：如图2;延长AB、FG交于点H,连接。”,

0FG〃CE、CE//AD,

^FH//BC//AD,

^AH//DF,

团四边形AHFD是平:行四边形，

^DFA=^FAB=^DAF,

^DA=DF,

团四边形A”尸。是菱形，

中FD=FH,AD=AH,

回财8C=120°,

00DFH=0DAH=6O0,

00TOH和斯。”都是等边三角形，

^WFG=^DHB=^FDH=6Q°,FD=HD,

团四边形BC"/是平行四边形，

国BH=CF,

©FG=CE,CE=CF,

中FG=BH,

在（2。/7G和中,

FG=BH

NGFD=NBHD

FD=HD

00DFG00Z)™(SAS)z

00FDG=H//DB,

^BDG=^HDB+^HDG=^'DG+WDG=^DH=60°.

(3)解：如图3,连接。区

团四边形A5C。是平行四边形，

^AB//CD,AD〃BC,

o

^DAE=^AEBf0DCB=18O°-[MfiC=6O,

a4E平分团BA。，

WAE=QDAE.

团/BAE=ZAEB=蜴吐/.吗=3QO

2

过点B作aWME于点”

⑦EM=；AE=26

在R眼BME中

圆汕£M=30°

©BM=3BE

⑦BE—BM'EM?

国8厘一(；8石)2=(2G)2,解得：BE=4

色BE=2CE

0CE=2

过点D作OM2BC于点N,则团NOC=90。-团DCB=30。

⑦CN=3CD=2=CE

团点N与点七重合

00DEC=9O°

^DE2=CD2-CE2=42-22=12

⑦BD=dDE、BE2=J12+16=2".

图3

【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三

角形的判定与性质、含30。的直角三角形性质、勾股定理等知识点，正确地作出辅助线是解答本题的关键.

2.如图，已知在正方形A8C。中，A3=4,点P是边CD上一点(不与点C、。重合)，连接AP交8。于

点E,延长加＞交N8C。的外角角平分线于点尸，连接。尸.

(1)当C/=2a时，求△A。/7的面积；

(2)求证：AE=EF；

(3)连接C£,当CE〃。/时，求C厂的长.

【答案】⑴4

(2)见解析

⑶虫或逑

33

【分析】(1)如图1,作/G_L8C于点G,延长A。，G尸延长线交于点，，得四边形£>CG”是矩形，然

后证明AFCG是等腰直角三角形，得HF=GH-FG=2,进而可以解决问题；

(2)如图2,延长CF,AD交于点R,证明△OCR是等腰直角三角形，BD〃CR,作FM〃AD交BD于

M,则四边形。MFK是平行四边形，证明△4。万且△外龙，进而可得结论；

(3)如图3,证明四边形。£€才是平行四边形，可得EP=FP,DP=CP=2,EC=DF,根据正方形的性

质，结优(2)利用勾股定理可得AE=CE=DF=+6,设CG=FG=X,则b—得DH=CG=x,

3

FH=GH-FG=4-x,再利用勾股定理列出方程求出》的值，进而可以解决问题.

【解析】(1)解：•••四边形ABCO是正方形，

.\AB=CD=AD=4,ZADC=ZDCB=9G。，

如图1,作FGtBC于点、G,延长A。，G/延长线交于点〃,

/.ZCGH=ZDCG=ZHDC=90°.

••・四边形OCG〃是矩形，

，GH=CD=4,

•••C”是N4CO的外角NOCG的平分线，

ZGCF=-ZDCG=45°,

2

.•.△”G是等腰直角三角形，

•••CF-272，

・.CO=r(j=---CF=2，

2

:.HF=GH-FG=2,

：.^ADF的面积=JAO-/•7/=gx4x2=4；

(2)证明：如图2,延长。尸，入。交于点R,

CF是NBCD的外角ZDCG的平分线，

/.ZDCT=-ZDCG=45°,

2

」.△DCR是等腰直角三角形,

,.DC=DR=AD,

ZADB=/DCR=/R=45°,

:.CR//BDt

作BW〃A。交于M,

则四边形DMFR是平行四边形，^DAF=NMFE,ZADE=NFME,

:・FM=DR=AD,

:.4ADEW4FME,

(3)解：如图3,由(2)知：CF〃BD,

\CF//DF,

••・四边形OEW是平行四边形，

:.EP=FP,DP=CP=2,EC=DF,

：.AP=yJAD2+PD2=V42+22=2石，

•;AE=EF,EP=FP,

AP=3EP=20

”_26

3

4Js

AE=EF=2EP=—^-

3

•,­AB=BC,ZABE=/CBE,BE=BE,

AE=CE,

4x/5

AE=CE=DF=

3

设CG=FG=x,则CF=&x,

：.DH=CG=X,FH=GH-FG=4-x,

在RtZ\。"/中,根据勾股定理得：DH?+FH2=DF2，

A2+(4-x)2=

整理得9/一36工+32=0,

84

,6=缶=辿或逑

33

.•.cr的长为辿或逑.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行四边形

的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确添加辅助线、熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解

决问题的关键.

3.如图1,四边形A8C。中，ZBAD=ZABC=90°,M是边CO的中点.已知AO=2,CD=4.

D

图2

(1)连接AM,求证NZMW=NM5C；

(2)如图2,当NC=50。时，求N8W。的度数;

⑶当△4QM为直角三角形时，求边8c的长.

【答案】（1）见解析

（2）75°

⑶4或1+如

【分析】（1）连接AM并延长交BC的延长线于E,判断出△WM（3Z\ECM（A4S）,得出=进而

判断出NM«C=NE,即可得出结论；

（2）先判断出A£>=ZW,得出ND4M=NAM£>=25。，再判断出NABM=N8AA7,即可求出答案；

（3）分两种情况①当N8ZW=90。时，判断出心△A3。回心△MB。，得出NA80=NM80,进而判断出

NCBM=30。,即可得出答案；②当N8DM=90。时，过点。作。定BC于点八，设BC=x,根据勾股定

理即可列出关于x的方程，即可求出答案.

【解析】（1）证明：如图1,

图i

连接AM并延长交BC的延长线J--E,

ZBAD=ZABC=^f,

.-.Z5AD+ZABC=180o,

.\AD//BC,

:.ZDAM=ZE,Q=/ECM,

•••点M是C。的中点，

:.DM=CM,

;JDM04ECM(A4S),

：.AM=EM，

=EM=-AE,

2

...ZMBC=NE,

:.ZDAM=ZMBC；

(2)解：-.-AD//BC,/BCD=50。,

.•.ZD=180°-ZBCD=130°,

•.•点M是CD的中点，CD=4,

:.DM=-CD=2,

2

人。=2,

/.AD=DM,

/.NOAM=ZAMD=：(180。-NO)=25°,

/.NBAM=90°-ADAM=65°,

由(1)知，AM=EM,

：.AM=BM，

:.ZABM=NBAM,

ZAMB=180°-24BAM=50°,

£BMD=ZAMB+ZAMD=75°；

(3)(3)•・•△加)”是直角三角形，

二•①当NZM〃)=90。时，如图2,

*：DM=CM,

:.BD=BC,

;.NCBM=NDBM,

在kAABD和RjMBD中,

(AD=DM

\BD=BD'

...即△AAQI3RsMBD(HL),

.•.ZABD=NMBD,

ZABD=ZMBD=NCBM,

ZABC=90°,

ZCBM=30°,

/.BC=2CM=4；

②当/印加=90。时，如图3,这点。作。nBC于点F,

图3

设BC=x,

由题意，四边形ABFO是矩形，

BAR=DF,Br=AD=2,

0FC=x-2,

在R/0DFC中，。/2=。。2一/。2=16一（X一2）2；

4序=16-（工-21，

在RrtaBD。中，BD2=BC2-DC2=x2-i6,

在RtmABD中，AB1=BD2-AD2=x2-16-4=x2-20,

0x:-2O=16-（x-2）2,

/.A2-16=2x»

：.x=\+y/\l（舍去负值），

③回。4M=90。时，不符合题意；

综上所述3c的长为4或1+折.

题型2：最值问题

4.在正方形A8CO中，点E为射线8C上的一个动点，点/在射线CO上，且NE4〃=45。.

⑴如图1,当点£往边4c上时，请直接写出加、D卜、£/，二:条线段之间的数量关系；

⑵如图2,当点E在边8c的延长线上时，请你判断的、DF、所三条线段之间的数量关系，并说明理由；

(3)如图3,若AB=6,点G在边八8上，且AG=2,点尸为AF的中点，在点E从点8沿射线BC运动的过

程中，△PAG的周长的最小值为(直接写出结果).

【答案】(1)所=85+。尸

(2)f3E=EF+DF,理由见详解

(3)2+2710

【分析】(1)延长£3到户,使BF，=DF，连接A9,由正方形的性质得出A3=A。，

ZB4Z>=ZD=ZA0C=ZABr=9O°,由SAS证明尸9AA£>F,得出N84F=ND4F,AFf=AF,证出

ZEAF=ZEAF,由SAS证明△如产名△旦/,得出对应边相等即可得出结论；

(2)在8c上截取BH=DF,连接4月,.同(1)法可证△^AZADF(SAS)，所以AH=A/，/BAH=ZDAF,

再证明/以〃=/£4尸=45。，然后证明△E4”四△EAE(SAS),得EH=EF,即可得出结论；

(3)过点尸作直线PN〃A8交人。于N,当G与点尸关于PN对称时，PG=PF,PA+尸G最小，最小值

为AF，即可获得答案.

【解析】(1)解：EF=BE+DF,理由如下：

延长E8到广，使BF'=DF，连接49，如下图，

团四边形A8C。是正方形,

^AB=AD,ZBAD=ZD=ZABC=ZABF,=9(r,

在和△AOF中，

AB=AD

,ZABr=ZD=90°,

BF'=DF

^AADF(SAS),

^ZBAF=ZDAF,AFf=AF,

0Z£4F=45°,

团ZBAE+NDAF=90°-AEAF=45°,

回4AE+N8A"'=45。，即NE4尸=45。=NEA/7,

在4£49和△外£中，

AF^AF

NEAF=NEAF,

AE=AE

(3AE4尸'^AEAF(SAS),

也EF，=EF,

EF=EF=BE+RR=BE+DF

(2)BE=EF+DF,理由如下：

在BC上截取凡连接AH,如下图，

团四边形A8CQ是正方形，

(343=4),ZB=ZADF=ZJW5=90°,

在AABH和△AZ)”中，

AB=AD

<NABH=NADF,

BH=DF

HAABHg△人。尸(SAS),

^AH=AF,/BAH=NDAF，

^ZBAH+ZDAH=ZHAD=9(rf

13mlF+NOW="4〃=90。，

0ZEA尸+ZEAH=ZFAH=90°，

[3NE4尸=45。，

0ZE47/=ZE4F=45°,

在AEAH和产中，

AH=AF

NEAH=Z.EAF,

AE=AE

^AE4F(SAS),

团EH=EF,

^BE=BH+EH=DF+EF；

(3)解：过点P作直线尸N〃A8交AO于N,如下图,

dIND

当点E在射线BC上运动时，点〜在PN运动，点尸在射线C。上运动，

团四边形A8co为正方形，

^AB//CD,CD=AB=AD=6,ZD=ZA=90°,

因「N〃A8,

0P.VAAD,

当G与点尸关于尸N对称时，PG=PF,A4+PG最小，最小值为A尸，

0£)F=AG=2,由勾股定理得AF=JAD2+DF2=162+2?=2而，

0APAG的周长=AG+AP+PG=AG+AP+尸产=AG+A尸，

团当R4+PG最小，此时，△PAG的周长的最小，

团APAG的周长的最小值=47+4/=2+2面.

故答案为：2+2>/ii.

【点睛】本题主要考杳了正方形的性质、全等三角形的判定、最短距离问题、勾股定理等知识，熟练掌握

相关性质的综合运用是解题的关键.

5.在矩形A8C。中，A4=6,4C=8.

图③

⑴将矩形纸片沿30折叠，使点A落在点尸处（如图①），设OF与8C相交于点G,求证：BG=DG；

⑵将矩形沿直线石尸折叠，使点8的对•应点8’落在CQ边上（如图②），点A的对应点为4,连接交EF

于点0.当。9=2时，求EF、OF的长;

⑶点M在线段AB上，点N在线段8c上,（如图③）若按MN折叠后，点B落在矩形A8CD的47）边.上〃点,

请求AH的最大值和最小值.

【答案】（1）证明见解答

⑵斯的长是3石，0P的长是&

（3）AH的最大值为6,最小值为8-2万

[分析J（1）由矩形的性质得BC//AD,则NCBD=ZADB，由折叠得Z.FDB=ZADB,所以NCBD=NFDB,

则BG=OG；

（2）连接8E、8E，由CD=A5=6,AO=3C=&O8'=2,得DE=8-AE,CB，=4,则

8+5=45因为四垂直平分BB'，所以B'E=BE,B'F=BF=8-CF,由勾股定理得

22+（8-AE）2=AE2+62,CF2+42=（8-CF）2,求得4E=2,CF=3,贝I]£>E=6,8尸=5,由g

x4石所=6x8—gx6x2—Jx6x2—gx4x3=S四边形8即,F，求得EF=3不，而N4O尸=90。,04==2石,

则OF一也产-OB?-B

（3）当点N与点C重合时，4〃的值最小，由MC垂直平分3H,得HC=BC=8,则。〃=

年2-5=25，所以44=8-2"；当点M与点A重合时，A〃的值最大，MAH=AB=6,所以A"

的最大值为6,最小值为8-2彼.

【解析】（1）证明：回四边形A8CO是矩形，

BC〃AD,

/CBD=/ADB,

由折叠得Z.FDB=ZADB,

/.NCBD=/FDB,

：.BG=DG.

（2）解：如图②，连接跖、BE，

QA3=6,BC=8,DB'=2,

：.CD=AB=6,AD=BC=^

：.DE=S-AE,CB,=CD-DB1=6-2=4,

BB'=yjBC2+CB,2=A/82+42=475,

由折叠得点3'与点B关于直线E尸对称，

.•.)垂直平分用工

B'E=BE.B'F=BF=8-CF.

/.ZA=ZD=ZC=90°,

...DB,2+DE2=B'E2=BE2=AE2+AB2,CF2+CB,2=B，F2,

：.22+(8-AE)2=AE2+62,CF2+42=(8-CF\

解得4E=2,C尸=3,

.♦.OE=8-2=6,M=8-3=5,

；BB‘•EF=AB•BC-gAB•AE-；DE•CF=Sa如F，

/.-x4x/5EF=6x8--x6x2--x6x2--x4x3,

2222

解得E尸=3后，

:.NBOF=90。,OB=0^=-BB'=2氐

...OF=dBF2-OB'=对-(2府=6

团日：的长是3石，村的长是石.

(3)解：如图③，当点N与点C重合时，AH的值最小,

4_臬------\D

//、、

、、、

/、、、

/

BC(N)

图③

回点〃与点6关于直线MC对•称，

团MC垂直平分8”,

:.HC=BC=8、

DH=dHC2s=V82-62=2币,

：.AH=AD-DH=S-2xfli

如图④，当点M与点A重合时，A”的值最大,

图④

QMH=MB,且MH=AH,MB=AB.

：.AH=AB=6,

(3AH的最大值为6,最小值为8-2".

【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、根据面积等式

求线段的长度等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题.

6.如图，在长方形A4CO中，AB//CD,BC//AD,?B90?,AB=6,AO=8,点P在边上，且不

与点8、。重合，直线AP与。。的延长线交于点足

⑴当点尸是BC的中点时，求证：A48上△ECQ；

（2）将ZW右沿直线AP折叠得到△AP8'，点落在长方形A8C。的内部，延长29交直线人。于点F.

①证明E4=Q,并求出在（1）条件下人F的值；

②连接8'C,直接写出周长的最小值.

【答案】（1）证明见解析

⑵①证明见解析，AF=y；②△PC厅周长的最小值为12

【分析】（1）根据长方形A8C。的性质得AB〃C。，可得N3AP=NENB=NBCE,利用AAS即可得出结

论；

（2）①根据平行线的性质和折叠的性质得出NE4尸=NW,等角对等边即可得£4=b,设£4=x,则

13|3

FP=x,FBf=x-4,在ROA?"中，由勾股定理得x=不即"=耳；

②可得的周长=cp+Hr+or=C3+c*=8+or,当点"恰好位于对角线AC上时，最

小，在RtZSABC中，由勾股定理得AC=10,则C9的最小值=47-人9=4,即可得△月09周长的最小值.

【解析】（1）证明：,••在长方形ABC。中，AB//CD

：.ZBAP=ZE,/B=NBCE,

•・•点。是8c的中点，

:.BP=CP,

.•.△ABP^AECP（AAS）:

（2）解：①•.•在长方形A8CO中，AD〃BC,

:.ZAPB=NFAP,

由折叠得NAM=NA比，

,-.ZMP=ZAPF,

：.FA=FP,

在长方形ABC。中，AB=6,AO=8,

BC=AD=8,

•••点P是BC的中点，

;.BP=CP=4,

由折叠得AB'=A8=6,PB'=PB=4,ZB=ZAB,P=ZAB,F=90°,

设E4=x,则尸产=x,

..FB,=x-4,

在RIZXA8T中，4/2=夕尸2+8为2,

/.x2=(x-4)2+62,

1313

解得工=彳，即AF=W；

22

②由折叠得A*=AA=6，PB=PB=4,

.•.△PC8'的周长=CP+尸&+8=C3+C8'=8+，

连接EC,AC,

•.•AB,+B,C>AC,

「•当点B’恰好位于对角线AC上时，CB'+AB1最小,

在RtzMBC1中，A8=6,8c=8,

/.AC=762+82=10»

・•.。”的最小值=47-何=4.

(3「.APC8周长的最d、值=8+3=8+4=12.

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角

形的判定和性质以及勾股定理等知识，掌握折叠是一种轴对称，折叠前后的图形对应角相等、对应边相等，

灵活运用相关的性质是解题的关键.

题型3:四边形与平面直角坐标系

7.如图，边长为5的菱形A38如图所示放置在平面直角坐标系xOyW，点A在x轴正半轴上，点。在x

轴负半轴上，点8(0,4).

(2)如果直线/经过点C且与直线)=工平行，点P(Oj)是y轴上的一个动点.

①当点。在线段。8上(点P不与。、B重合)，过点P作平行于x轴的直线分别交线段AB于M、交直线

/于N.设线段MN的长度为d,求d关于，的函数解析式，并写出它的定义域；

②当点尸在)，轴正半轴上，如是等腰三角形，求，的值.

4

【答案】⑴产一了用：

737

(2)①d=12-『(0<7<4)；②/的值为1或4或历.

【分析】(1)利用菱形的性质及B点坐标，在阳回408中由勾股定理可求得OA的长，则可求得A点坐标,

利用待定系数法可求得直线AB解析式；

(2)①由菱形的性质可求得。点坐标，则可求得直线/的解析式，从而可用，分别表示出M、N的坐标，

则可得到d关于/的函数解析式，结合P在线段0B上可求得，的取值范围；

②用，可分别表示出PC、尸。的长，结合C、。坐标可求得C。的长，分PD=PC、尸/XC。和PC=C。三种

情况可分别得到关于，的方程，可求得，的值.

【解析】(1)解：瞅0,4),

(3OB=4,

回四边形A6c。为菱形，且边长为5,

BAB=AD=BC=CD=5,

在R/0AOB中，由勾股定理可得0A=3,

血(3,0),

设AB所在直线解析式为广质+仇

Z?=4k一

团3八)=。’解得3

b=4

4

财8所在直线的解析式为产-耳户4；

(2)解：①由题意可知C(-5,4),

团直线/经过点C且与直线y=x平行，

13可设直线/解析式为产x+机，

04=-5+w,解得机=9,

团直线/解析式为产x+9,

团过点P作平行于工轴的直线分别交A8于M、交直线，于N,且P(0,f),

团M、N点的纵坐标为，，

43

在？=-不]+4中，令产Z,可解得x=3-:],

34

在产x+9中,令y=t可得x=t-9,

37

团d=3--—(f-9)=12--I,

44

团点户在线段08上(点P不与。、8重合)，

团0</<4；

@514(3,0),AD=5,

(210(-2,0),且C(-5,4),P(0,小

□PC2=52+(r-4)2=/2-8r+41,PD2=22+/2=/2+4,CD2=(-5+2)2+42=25,

酿PCQ为等腰三角形，

团有POP。、PC=CD和PD=CD三种情况，

37

当PC=PD时,则有/-8/+41=/2+4,解得仁二；

8

当POCQ时，则有12-8什4寸=25,解得/=4；

当PQ=CO时，则"+4=25,解得/=&TV或/=-历(舍去)；

综上可知当团PC/)是等腰三角形时，，的值为、■或4或后.

O

【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及菱形的性质、勾股定理、待定系数法、函数图象的交点、等腰

三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中求得A点坐标是解题的关键，在(2)①中用

，表示出M、N的横坐标是解题的关键，在(2)②中利用，分别表示出PQ、PC和C。的长是解题的关键,

注意分情况讨论.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

8.如图，已知点A。,。)，点氏4,0),点C在>轴负半轴上，S：=6,点。为直线8c上一点.

⑴求直线BC的解析•式:

⑵点。为平面内任一点，若以点A、8、尸、Q为顶点的四边形是正方形，求点。的坐标;

⑶当直线AP与直线8C的夹角等于/AC8的2倍时，直接写出点P的坐标.

【答案】⑴y=x-4

⑶、曲17一布23）1或/3［帝333-7)

10io>

【分析】（1）根据»ABC=6,求出点。的坐标，利用待定系数法，求出直线C8的解析式即可.

（2）分AB是正方形的边、4B是正方形的对角线两种情况，利用正方形性质即可求解.

（3）当AP=CP时，ZAPB=2ZACB,利用两点间距高可求夕点坐标；当人「二科时，NAP8=ZA产C,

此时NAPC=2NACB,过点A作交于过点“作MN_Lx轴交于N,由△A4/W是等腰直角三

（53、

角形，求出M-,再由“是尸尸的中点，求出/，的另一个点坐标即可.

IN乙）

【解析】（1）解：•・・A（LO）,点矶4,0）,

AB=3,

8c=6，

.•-54OC=-XABXOC=-X3XOC=6.

.-.0C=4,

•.•点c在y轴负半轴上，

/.C(0,-4),

设直线3c的解析式是，=丘+。，

4&+b=0

"Z?=-4，

解味\k=一\

.••直线8c的解析式为)，=x-4；

(2)解：①当人5是正方形的边时，对应的正方形为A产。8,

V,AB=3,8(4,0),

・•・。(4,-3)；

②当AB是正方形的对角线时，对应的矩形为APBQ,

•••9、是正方形对角线，

二•线段AB和线段PQ互相垂直平分，

1+45

•••点。、。的横坐标为芋=1,

综上所述：。点的坐标为(4,-3)或母|

(3)解:设尸值"4),

「.(IT)?+(-4尸=2产，

17

■z=io'

(1010J

②当时，ZAPB=^APC,

此时ZAP,C=2^ACB,

.•.△AP尸是等腰三角形，

过点A作AM_LBC交于例，过点“作MN_Lx轴交于N,

,/0A=OB=4,

/.ZABC=45°,

.•.△ABM是等腰直角三角形，

・・.W是AB的中点，

3

:.AN=MN=士,

2

是PP的中点,

“史，上；

（1010j,

综上所述：.点坐标为（|历17一23、同（『33历7］A

【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角的判定与性质，等

腰三角形的性质，数形结合解题是关犍.

9.如图，在平面直角坐标系中，已知点4（0,4）,点〜是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等

⑴求点△的坐标；

⑵当点尸在x轴上运动（P不与0重合）时，求证：480=90%

⑶是否存在点P，使得以A、。、Q、“为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存

在，请说明理由.

【答案】（1）8（26,2）

⑵见解析

（3）存在,（-2后,0）或（4月,0）

【分析】（1）根据题意作辅助线过点/H乍轴于点C,根据等边三角形的性质和勾股定理即可求出点“

的坐标，

（2）根据/幺Q=NOlB=60°,可知N尸八O=/QAA,得出桎运△AQB总成立，得出当点P在x轴上运

动伊不与。重合）时，NABQ为90。；

（3）根据点/,在尤的正半轴还是负半轴两种情况讨论，再根据全等三角形的性质即可得出结果.

【解析】（1）解：过点8作8C_Ly轴于点C,

.-.AB=O/3=4tZBOA=60°,

回/08。=30。，

0OC=AC=2»

.•./?C=V42-22=2x/3»

即B(2x/3.2)：

(2)证明：当点P在x轴上运动(P不与。重合)时,

NPAQ=NQAB=60。，

/.NPAO=NQAB,

在和中，

AP=AQ

•々PAO-Z.QAB

AO=AB

△APO丝44QB(SAS),

（3）由（2）可知，点。总在过点8且与A8垂直的直线上，可见AO与8Q不平行.

①当点尸在x轴负半轴上时，点。在点8的下方，

此时，若A8〃OQ,四边形AOQ3即是梯形，

当A4/7OQ时，/BQO=90。,/BOQ=NABO=&）。.

又OB=OA=4,可求得8Q=与x百=2有，

由（2）可知，^APO^Z\AQB,

;.0P=BQ=2也,

.•.此时尸的坐标为（-2A/3,0）.

②当点尸在x轴正半轴上时，点。在方的上方，

此时，若4Q〃O8,四边形AO8Q即是梯形，

当AQ〃O8时，Z48Q=90。，ZQAB=ZABO=ar.

又A3=4,可求得8Q=GA8=4K,

由（2）可知，△APO^AQB,

OP=BQ=46，

.•.此时尸的坐标为（46,0）.

综上，尸的坐标为（-26,0）或（4百,0）.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定及性质，难度适中.

题型4：四边形与列函数关系式问题

10.如图1,在菱形A8CO中，AB=4,AC=4G，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB=MN,

联结。N,设AM=x.

BB

⑴当点M、N（N在边8C上）运动时，团MN。的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由.

(2)WM;V=30°,求AM的值.

⑶当N在线段8C上时，设DN=y,求y关于x的函数关系式及其定义域.

【答案】⑴不变，IWNZ）=30°；

(2)AM的长为2G-2或4G-4；

(3)y=加-12氐+48件“岑）

［分析】（1）联结。仞，设国M80=a,可表示出团。MM团CDW,国CM8,©CMN,进而计算求得习。MN=120。,

从而求得结果；

（2）分点N在边BC上和点N在CB延长线上时两种情况讨论，进而求得结果：

（3）作MfiQAB于E,MFJ3DN,在zVlBM中表示出MB,进而表示出MM进•步表示出DM从而求得结

果.

【解析】（1）解：如图1，

联结DM，

回四边形48C。是菱形,

财680,OA=OC=-AC=143BD=2OD=2OB,AD=AB,

配0D=0B=]AD?_0#=2,

叫D=4,

^AD=AB=I3Df

团团8c0=(3540=60°,0CBD=6O0,

(3(?L4CD=-05CD=30o,

2

设RMB。％

团MN=MB,

[3(3MBN=[3MN8=(3DBC+[3MBO=6(r+a,

在AC8M中，

□GV/Z?=18O0-EACT-0CT/W=18O<>-3OO-(G0°+a)=90°-a,

00GWD=0CA//?=9O°-«,

在AMNO中，

团B/4N=180°-aA/8N-EA/N8=1800・2(60°+a)=60°-2a,

^CMN=^CMB-^BMN=90°-a-(60°-2a)=30°+(z,

00DM/V=0CM/V+0CMD=(30°+«)+(90°-a)=120°,

电BM=DM=MN,

^MND=^MDN=180°一々MN=§0c

2

(2)解：当点N在边8c上时，

在aW5N和△C8M中，

^BMN=^ACB=30°,

团C8M=0A〃W,

回回CMB=(W8N,

国MB=MN,

酿MBNWMNB,

[313CBM=[3M8N,

(3CM=CB=4,

tM/^MC-CA/-475-4；

当点N在CB延长线上时，

过点M作MQ3BN于点G,

团MB=MN,

团圆-x300=15o,

2

00GMC=18OO-9O°-3O0=6O<>,

(3团8Mo=45°,

(3ZkO/3M是等腰直角三角形，

⑦0B=0M=2,

MM=A0-0M=2百-2；

综上，AM的长为26-2或46-4：

(3)解：如图2,

作于E,M/W)M

00CAB=3O°,

^E14--AM--

22

(M£=y/AM2-EM2=—x,

2

团B£=AB-AE=4•立x,

2

在RfABEM中,

BM=弋BE?+EM)=J(4一乎x)2+(1x)2=4Gx+16，

在RsMNF中,

同理可得：NF二曰MN=乎V-'2-4\/3x+16,

国DN=2NF,

0y=V3-\]x2-4\/3x+16=\)3x2-12Gx+48^x<.

【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，等腰三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是设角,

通过计算才找知的数量关系.

11.在梯形ABCO中，AD^BC,05=90°,0C=45°,AB=8,BC=14,点、E、/分别在边A8、CDk,EF^AD,

点P与AQ在直线石产的两侧，BEPF=90°,PE=PF,射线EP、尸。与边4C分别相交于点M、N,设AE=

x,MN=y.

⑴求边人。的长;

⑵如图，当点。在梯形人8C。内部时，求），关于x的函数解析式，并写出定义域;

⑶如果MN的长为2,求梯形AEFQ的面积.

【答案】（1）AO=6

（2）y关于式的函数解析式为产-3A+10.定义域为1<A-<y.

⑶梯形AEFD的面积为空或32

【分析】（1）过。作。M38C,DH与EF、BC分别相交于点G、H,判定四边形4B，。是矩形，ffiRt^DHC

中求出CH的长，利用AO=B〃=BC-C”求出A。的长;

（2）首先确定PM=PN,过点。作QM3E凡QR与EF、MN分别相交于Q、R,根据团/=90。，

Q舱MN,可表示出尸Q、PR,从而得出），关于x的函数解析式，也能得出定义域；

Q

（3）①当点P在梯形48CO内部时，由MN=2及（2）的结论得2=-3K+10,AE=x=-t可求得梯形的

面积；②当点P在梯形A8CO外部时，由MN=2及与（2）相同的方法得：；（x+6）-Jx2=8-x,AE=x

=4,可求得梯形的面积.

【解析】（1）解：过。作。碓8C,DH与EF、分别相交于点G、H,如图所示

团梯形4BCO中，08=90°,

回。/疯钻，

乂(L4Q0BC,

回四边形48”。是矩形，

团团C=45°,

酶CQ，=45°,

^CH=DH=AB=S,

[AAD=BH=BC-CH=6.

(2)解：^DMEF,⑦DFE=©C=EFDG=45°,

^FG=DG=AE=x,

(3EG=AQ=6,

0EF=.r+6,

^PFE=^PEF=^PMN=^PNM,

©PM=PN,

过点P作QR3EF,QR与EF、MN分别相交于Q、R,如图所示

AD

^MPN=^EPF=90\Q/^MN,

^PQ=EF=-（x+6）,PR=；MN=；y,

22

团QR=BE=8-x,

（3—（x+6）+—y=8-x,

助关于x的函数解析式为y=-3.X+10.定义域为1众＜y.

Q

（3）解：当点户在梯形A8CO内部时，由MN=2及（2）的结论得2=-3x+10,AE=x=~,

01、I。/8、8176

团S相形人口=5（AD+EF）•A£=-|6+6+-Jx-=—,

当点P在梯形ABC。外部时，由WN=2及与（2）相同的方法得：g（x+6）—；x2=8—x,AE=x=4,

团S阳形（AZXEF）・AE=：〔6+6+4）X4=32.

【点睛】本题考查梯形及有实际问题列一次函数关系式的知识，综合性较强，对于此类题目，要学会由小

及大，将所求的问题缩小，一步一步求解.

12.如图1,在正方形A8Q9中，A8=8,点E在C8的延长线上，点尸在边上（点尸与C、。不重合），

且联结石厂.

ADADAD

0J]

EBCEBCEBC

图1图2备用图

（1）求/A庄的度数；

（2）联结8。交石厂于点M,

①如图2,如果尸C=3。尸，求F”的长：

②设%：=x,BM-y,直接写出），关于的函数解析式及定义域•

【答案】⑴45。；（2）①后；②0<xv8

【分析】（1）证明A4BEWAAD/可得/坨=■,从而AAE户是等腰直角三角形，即可得NA庄=45。；

（2）①过“作PG//BC交8力于G,证明=AMPG,可得FM=A/E=J七/，在RtaEC尸中，可得

EF=>IEC2+FC2=2VS»即可求出产M=（£尸=后；

②过尸作/G//BC交8。于G,过M作于N,先证明MN是ACEF的中位线，得MN=：C/，

再由已知得b=C。-。/=8-x,MN=」厂，而ABMN是等腰直角三角形，BM=CMN，即可得

丫=争87）=-冬+4五，由。<0F<8可得0<x<8.

【解析】解：（1）•.・四边形A8C。是正方形，

:.AD=AB,ZD=ZABC=Z5AD=90°,

.,•Z4B£=ZD=9O0,

\-FAlAE,

£EAB=90°-/BAF=ZDAF,

在AA8E和A4O9中，

/ABE=ND

AB=AD,

NEAB=ZDAF

:./SABE^^ADF{ASA),

.,.AE=AF,

.•.AA样是等腰直角三角形，

.,.Z4?E=45。；

(2)①过“作尸G//8C交8。于G,如图:

,.,FGUBC,ZC=90°,

/.ZGFD=90°,/GFM=/MEB,

•.•四边形48co是正方形，

.\ZG£>F=45°,

.•.△GO厂是等腰直角三角形，

:.DF=GF,

由(1)知：二AADF,

：.BE=DF,

;.GF=BE,

在和AMFG中，

NGMF=NBME

•GF=BE,

NGFM=NMEB

^MEB三AMFG(AAS),

:.FM=ME=-EF,

而A3=8,FC=3DF,

3311

:.FC=-CD=-AB=6BE=DF=-CD=-AB=2,

44t44

EC=BC+BE=AB+BE=10,

RtDECF中，EF=y/EC2+FC2=2x/S，

:.FM='EF=5；

②过尸作尸6//8。交8。于G,过M作MN工8c于N,如图:

由①知：M4EB三M4FG,FM=ME,

.•.M为瓦'的中点，

MN±BC,

：.MN//CF,

AW是ACE尸的中位线，

:.MN=-CF

2t

\'DF=BE=x,CD=AB=St

.\CF=CD-DF=S-x,

....8-x

MN-----,

2

•.•四边形ABCD是正方形，

.•.NM8N=45。，

.•.ABMN是等腰直角三角形，

:.BM=6MN，

y=(8—r)=—x+4A/2,

♦.・BE=DF,0<DF<8,

/.0<x<8.

【点睛】本题考查正方形性质的综合应用，涉及三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定与性质

等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形、中位线.

13.如图，己知直角梯形ABC。，AD//BC,/拉。8=90。，过点A作A"_L8C,垂足为点“，8=4,BH=2,

点尸是CD边上的一动点，过尸作线段48的垂直平分线，交AB于点E,并交射线于点G.

(1)如图1，当点尸与点。重合时，求8c的长；

(2)设AD=x,DF=y,求V与x的函数关系式，并写出定义域；

【分析】(1)根据垂百平分线性质可知8C=AC,i^AD=HC=x,AC=BC=2+x,在•△APC中用勾

股定理求出工=3,即可解答；

(2)联结A产，BF,在放产中，AF2=x2+y2,在