【新高考数学39专练专题】专题03 圆锥曲线中的中点弦问题【带答案解析】

专题03同锥曲线中的中点弦问题

一、单选题

22

1.已知椭圆工+工=1的弦被点（1,1）平分，那么这条弦所在的直线方程为（）

34

A.4x+3y-7=0B.4.r-3y-7=0

C.3x+4y-l=0D.3x-4y-l=0

【答案】A

【分析】

设出这条弦与椭圆的交点，将点代入椭圆方程，两式作差求出直线的斜率，再利用点斜式即可求解.

【详解】

22

设这条弦与椭圆三+力=1交十P（%，x），Q（W，%），

由（1,1）在椭圆内,

由中点坐标公式知％+工2=2,X+%=2,

把p（x，x）,代入5+3=1，

江+£=1,①

可得1%,

旨+下，②

①-②可得8（%-9）+6（乂一为）=0，

玉—x23

4

这条弦所在的直线方程为），-1=一§（1一1）,

即为4x+3y-7=0.

则所求直线方程为4x+3y—7=0.

故选:A

22

2.已知椭圆。：三+工=1,过点的直线/与椭圆。交于A3两点，若点尸恰为弦A8中点，则直

43

线/斜率是（)

A.-3

【答案】c

【分析】

设出A8的坐标代入椭圆方程后，作差变形，根据斜率公式和中点坐标公式可得解.

【详解】

设4（M，,）,B（w，%），则内+9=2,凹+%=2,

x2y'-

衅+》,--------+1---------1}9

43

222

两式相减得五二三=-上

43

y.一力3%+323

所以上」^二一了'」--=--x-

王一/4y+)，2424

3

即直线/斜率是.

4

故选：C

【点睛】

方法点睛：一般涉及到弦的中点和弦所在直线的斜率时，使用点差法解决.

3.直线丁二"+1与椭圆上+y2=i相交于A］两点，若中点的横坐标为1,则女二（）

4

A.-2B.-1C.--2D.1

【答案】C

【分析】

代人消元得关于X一元二次方程，再用韦达定理即可.

【详解】

设,4（西,））8（/,%）

把），=依+1代入?+），2=］得（1+4公卜2+8"=0,

^-f-x=---T，因为A8中点的横坐标为1,

21I

ALI

所以-------7=1,解得攵二一一.

1+4H2

故选:C

【点睛】

用韦达定理解决直线与圆锥曲线交点问题是常用的方法，需要注意直线与圆锥曲线是否有交点，可用/判

断.

4.已知抛物线C：V=4x,以（1,1）为中点作C的弦，则这条弦所在直线的方程为（）

A.2x-y-\=0B.x-2y+l=0

C.2xiy3=0D.2xIjI3=0

【答案】A

【分析】

设过点（1』）的直线交抛物线。于A（X，X）、8（M，K）两点，可得出<-利用点差法可求得直

l>?i+%=2

线A8的斜率，利用点斜式可得出直线48的方程.

【详解】

设过点（1,1）的直线交抛物线。于A（X，yJ、8（%,%）两点•

若直线AB垂直于入轴，则线段AA的中点在刀轴上，不合乎题意.

/、x+=2

所以，直线A8的斜率存在，由于点（1,1）为线段AB的中点，则=？

由于点A（X］,yJ、8（毛,当）在抛物线C上，可得｛；；［：：，

两式作差得才一£=（y+%）•（y—%）=4（X一起），

y—y4

所以，直线AB的斜率为的8=」^=------=2,

%一々）”为

因此，直线A8的方程为）-1二2（戈-1）,即2x-），—l=0.

故选：A.

【点睛】

本题考查抛物线的中点弦问题，考查点差法的应用，同时也可以利用直线与抛物线方程联立，结合韦达定

理求解，考查计算能力，属于中等题.

5.已知椭圆G：二十与=1（。>〃>0）的右焦点为尸（3,0）,过点b的直线交椭圆于A，B两点、.若AB

a~b~

的中点坐标为（1,一1）,则G的方程为（）

A丁+9一|BWc-1D犬+丁2T

453636272718189

【答案】D

【分析】

先设A（/yJ,网苍,%），代入椭圆方程，两式作差整理，得至-4二上±&•）匚&，根据弦中点坐

CIX,+x2X|—X,

标，将式子化简整理，得到.2=2〃，根据浮="+/且c=3,即可求出结果.

【详解】

生+里=1

22

设A（%,yJ,8（&,），2），则，ab

J区=1

a2b2

h2

两式相减并化简得

玉+x2X—x2

又过点尸的直线交椭圆于A，B两点,A8的中点坐标为（1,-1），

所以『丁二2皿』二串），

1）1+%=-2x,-x23-1

即一现凡

a213-12a22

由于/=从+/且c=3,由此可解得/=i8，/=9，

故椭圆七的方程为三+工=1.

189

故选：D.

【点睛】

本题主要考查求椭圆的方程，考查中点弦问题，属于常考题型.

6.在平面直角坐标系屹），中，尸是抛物线），=6x的焦点，4、8是抛物线上两个不同的点.若q+忸日

=5,则线段人8的中点到），轴的距离为（）

A.—B.IC.-D.2

22

【答案】B

【分析】

本题先设A（%,y）,两点，并判断线段A8的中点到y轴的距离为土产，再求为一々，最后求

解.

【详解】

解：设A（R,y）,8（与必），贝!线段A8的中点到），轴的距离为：也产，

根据抛物线的定义：|AF|+忸尸|=%+%+〃,

整理得：

XI+X2=|AF|+|BF|-/7=5-3=2,

故线段A8的中点到），轴的距离为：七三二1,

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的定义，是基础题.

22

7.过椭圆C:二+[=1（。〉人＞（））的右焦点尸（2,0）的直线与。交于A,3两点,若线段A8的中点M

a~b~

f95）

的坐标为I，,一,〉则C的方程为（）

A.《+B.—4-v2=lD.

955

【答案】A

【分^5】

设A,3以及A3中点M坐标，利用“点差法”得到砥8，h/o之间的关系，从而得到。2,后之间的关系，结合

月（2,0）即可求解出椭圆的方程.

【详解】

设,4（%,），1）,8（占,%），则不工工2

（95）。［

的中点M,所以"8=攵加=—=

177；2,

7

又呼；*咂=匕,所以/（H（y-父），

bx；+ayl=a"b-''

2

，一%y+8二b

即-7

x}-x2X,+x2a-

2x（-2]

y十必二（7人5

而—=1,

—=k.BX+七2x-5

7

所以《=lx=

又c=2,

a~99

S4

所以（72=〃2一82=〃2=§々2=4,所以c『=9,b]=5

V22

椭圆方程为：—+^V-=1.

95

故选:A.

【点睛】

本题考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.

8.已知椭圆G：二十与=1（。＞b〉0）的右焦点为厂（3,0）,过点尸的直线交椭圆于A.B两点.若AB的中点

a~b~

坐标为（1,-1）,则G的方程为（）

22222，

x

A人.---F-y——=1B心.-厂--F-）-=1C.---F-y-=x1nD.-工-~-F-y-=i1

453636272718189

【答案】D

【分^5】

设出A3两点的坐标，利用点差法求得的关系式，结合"uU+cZ求得进而求得椭圆石的方

程.

【详解】

设,4（4）］）,3（生），2），则

92

冬+冬=1

“2b\，两式相减并化简得b2

工+五=1X)+x2Xy-X2

口2从

即与型上)—=…2,

a2I3-12a22

由于储=〃+，且c=3,由此可解得/=18,加=9,

22

故椭圆E的方程为三十汇=1.

189

故选：D.

【点睛】

本小题主要考查点差法解决椭圆中的中点弦问题，属于基础题.

9.直线/过点P。/）与抛物线），2=4x交于A3两点，若尸恰为线段A3的中点，则直线/的斜率为（）

A.2B.—2C.—D.

22

【答案】A

【分析】

利用点差法，=两式相减，利用中点坐标求直线的斜率.

值=4/

【详解】

设，4（%,M）,3（9,必），

，’1一：石，两式相减得）；一必2=4（工］_£）,

［丫2=4%

即(％+，2)(%—%)=4(——刊)，

当时，+

X\~X2

因为点〃（1,1）是A8的中点，所以y+%=2,2k=4,

解得：k=2

故选:A

【点睛】

本题考查中点弦问题，重点考查点差法，属于基础题型.

10.已知椭圆［+二=1（。＞。＞0）的右焦点为尸，离心率土，过点”的直线/交椭圆于43两点，若

a~b~2

4B中点为（1」），则直线/的斜率为（）

A.2B.—2C.---D.一

22

【答案】C

【分析】

先根据已知得到/=202，再利月点差法求出直线的斜率.

【详解】

由题得£=①,.・.4/

=2",/.4{a2-h2)=2a2,:,a2=2b2.

a2

设,4（王，凹）,8。2，%），由题得%+氏2=2,y\+y2=2t

+a1=a2b2

所以

,292222t

bX]+a必=ah

两式相减得+“2）（玉-X2）+a2（x+），2）（M-%）=。，

所以2〃(X|-工2)+2@2()\-%)=°，

2（凶一必）

所以26+4b=0,

Cv,-x2）

所以1+2攵=0,.•.2=一■!■.

2

故选；C

【点睛】

本题主要考查椭圆离心率的计算，考杳直线和椭圆的位置关系和点差法，意在考查学生对这些知以的理解

学握水平，属于中档题.

11.已知椭圆+与=1过M的右焦点尸（3,0）作直线交椭圆于A,B两点，若AB中点

a1b2

坐标为（2,1）,则椭圆M的方程为（）

2222

A.JJB.*C.—x+^v-=1D.—X+^v-=1

96123189

【答案】D

【分析】

设43以及A8中点P坐标，利用“点差法”得到心5,即。之间的关系，从而得到下,〃之间的关系，结合

厂（3,0）即可求解出椭圆的方程.

【详解】

设,4（不）［）,3（X2，%），AB的中点P（2,l）,所以女械=&少=—

3—2

又C］。所以"（H⑹到即,得=4

而4廿b="=3,所以纥=〈，又C=3,

X1-x2%+%2x22a~2

a2=\S0、

,2，即椭圆方程为:二

b~=9189

故选:D.

【点睛】

本寇考查了已知焦点、弦中点求椭圆方程，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.

22

12.已知椭圆二+三=1的一条弦的斜率为3,它与直线工=’的交点恰为这条弦的中点M,则M的坐标

75252

为（）

11

A.B.C.1_1D.

U2)J，-2;

【答案】C

【分析】

由题意知：斜率为3的弦中点%），设弦所在直线方程y=3x+"结合椭圆方程可得％+4=-2即

22

可求匕，进而求M的坐标.

【详解】

由题意，设椭圆与弦的交点为4芯，区）,仅电，%），A8:），=3K+A,

则将y=3x+〃代入椭圆方程，整理得：12.P+6版+/—75=0，

^A=36/r-48（Z?2-75）>0

<h，而x+为=1,故b=，l,

凸+々二-3

<乙

・・・A3:y=3x-2,又Ml；,%）在A8上，则为=-；，

故选：C

【点睛】

本题考查了求椭圆的弦中点坐标，应用了韦达定理、中点坐标公式，属于基础题.

22

13.已知椭圆E：与+==1（。>〃>0）,过点（4,0）的直线交椭圆E于4，4两点.若A3中点坐标为

（2,-1）,则椭圆七的离心率为（

C.1，竽

3

【答案】B

【分析】

设,4（不）力,8（9,），2），代入椭1员1方程，利用点差法得到叶支+岂B匚=0,然后根据A4中点坐

标为（2,-1）,求出斜率代入上式，得到小。的关系求解.

【详解】

工+里=1

a2b2

设A（x，yJ,B（/,%），则，

至+H=1

(Jb2

,0

两式相减得:汇一工2-仁。,

因为中点坐标为（2,-1）,

所以

3+x2=4,yl+y2=-2,

2

所G(X+x2)b_2b2

/Xf0+11

又

所以竺二L,

a22

即〃=277,

所以

故选：B

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

14.已知椭圆。：£+£=1（。＞6〉0）的离心率为孝，直线I与椭圆C交于A3两点，且线段A3的中

点为"（一2,1）,则直线/的斜率为（)

1

A.-BD.1

3-I0I

【答案】C

【分析】

由椭圆的离心率可得。，〃的关系，得到椭圆方程为f+4）,2=4〃，设出A,“的坐标并代入椭圆方程,

利用点差法求得直线/的斜率.

【详解】

解：由若=9哈

.“2=4从,则椭圆方程为X2+”2=4从,

设A（七,y）,B（X2,），2），

则石+/=Y,y+%=2,

x：+4yj=4/?2@

把A，3的坐标代入椭圆方程得:

k+4%2=4/②

①一②得：（不一修）（司+占）=-4（、一%）（弘+必），

.,TJ

..菁一/4（y+%）4x22,

，直线/的斜率为

故选：C.

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质，训练了利用"点差法''求中点弦的斜率，属于中档题.

二、多选题

15.已知椭圆C：工+二=1内一点M（l,2）,直线/与椭圆。交于A,8两点，且M为线段人B的中点,

48

则下列结论正确的是（）

A.椭圆的焦点坐标为（2,0）、（-2,0）B.椭圆C的长轴长为2五

C,直线/的方程为％+丁-3=0D.\AB\=^-

【答案】CD

【分析】

由椭圆方程工+£=1可得焦点在）'轴上，且。=2夜,〃=2,c=2,即可判断AB；利用点差法可求出直

48

线斜率，即可得出方程，判断C；联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求出弦长即可判断D.

【详解】

由椭圆方程9+!=】可得焦点在y轴上‘且"2夜,〃=2,c=2'

.••椭圆的焦点坐标为（0,-2）,（0,-2）,故A错误；

椭圆C的长轴长为2a=4应，故B错误；

可知直线/的斜率存在，设斜率为上，4（与,）［）,8（/2，），2），

H+士1

则；48,两式相减得（*—♦）（%+W）+（X+）'2）=（）,

江+五=148

=°"令…

则百线/的方程为＞一2=—（十-1）,即x+y-3=0,故C正确:

x+y-3=0

联立直线与椭圆,2_，整理得3/—6x+l=0，

【点睛】

易错点睛：已知椭圆方程，在求解当中，一定要注意焦点的位置，本题的焦点在）'轴上，在做题时容易忽

略焦点位置，判断错误.

三、填空题

16.4ABC的三个顶点都在抛物线£：V=2x上，其中4（2,2）,△48C的重心G是抛物线E的焦点，则

8c边所在直线的方程为.

【答案】4x+4），+5=0

【分析】

设8（即，户），C（x2,”），边的中点为Mg闻，先求出点M的坐标，再求出直线BC的斜率，即得解.

【详解】

设B(.myi),Cg”)，边8C的中点为M(xo,>'o),易知G(g,O),

西+X,+21

32

则＜

,+为+2

=0

3

X]+々_I

x（）=--

24即用（一’,一1），

从而，

4

2i±A=_|

2

又y「=2M，%2=2x2,

两式相减得任1+/2）（》一＞2）=2（X1—X2）,

221

则真线BC的斜率^BC=-——------=,=--

*一々M+%2%%

故直线8C的方程为y—（—l）=Tx+；）,即4x+4y+5=0.

故答案为：4x+4y+5=0

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线里与弦有关的问题常用点差法：先设出弦的端点坐标，再代入圆锥曲线的方程，再作

差化简即得弦的中点坐标和弦的斜率的关系.

17.设48是椭圆犷+炉=36上的两点，点Ml,3）是线段48的中点，直线A8的的方程为.

【答案】x+y-4=0

【分析】

设出A，8点坐标，根据两点在椭圆上，代入椭圆方程，作差，利用中点坐标公式，即可化简，求出宜线48

的斜率，再根据斜率和直线上的定点坐标，写出点斜式方程.

【详解】

设A（七,y）,8（电，y2）,

则\:R+y\~：'，••・3(王一豆)(玉+9)+(>\-%)(,+%)=。

13石+>'；=36

依题意，苦工与,.3（、+£）

X+，2

VML3）是AB的中点,

g十9=2,y+%=6,

从而心8=一1・

所以直线A3的方程为y-3=-（x-l）,即x+y-4=0.

故答案为：x+y-4=0

【点睛】

方法点睛：圆锥曲线里与中心弦有关的问题，常用点差法：首先设弦的端点坐标以内，y）,，为），

再把点的坐标代入圆锥曲线的方程，再作差化简即得弦的中点和直线的斜率的关系式.

22

18.已知椭圆E：=+'=1（。＞人＞0）,过点（4,0）的直线交椭圆£于A8两点.若AB中点坐标为（2,

a2b2

-1）,则椭圆E的离心率为

【答案】立

2

【分析】

设,4（不）。3（/,%），代入椭I员I方程，两式作差，利用离心率公式即可求解.

【详解】

设孙义），

22

则1+"二1,①

a2b2

与+咯=1,②

a~h-

①一②可得（…）（…）+（…心-必）=°,

a2b1

因为A3中点坐标为（2,-1）,则%+々=4,y\4-y2=-2,

所以9=%=3二L

X-x?4—22

所以02=4从,因为力2=/一c，2

所以3/=4，，所以e=£=X3.

a2

故答案为：立

2

2

19.己知双曲线方程是一一三二|,过定点P（2,l）作直线交双曲线于几鸟两点，并使尸为《6的中点，则

此直线方程是___________________.

【答案】y=4x-7

【分析】

[2v-y,2=2

设彳区,），）鸟32，），2）,得《二'，两式相减化简得直线的斜率，即得直线的方程.

[2X2--必=2

【详解】

由题得2/-y2=2,设6（0），[）,鸟“2，为），

[2x；-y-=2

所以〈\,

两式相减得2（%+%）（%一/）一（y+%）（,一为）=。，

由题得z十々一4,），[十），2—2,

所以8（七一/）一2（），1一％）=°，

因为不关看，所以江&=攵=4,

不一々

所以直线的方程为y-l=4（x-2）,即y=4x-7.

故答案为：y=4x-7

【点睛】

方法点睛：点差法：圆锥曲线里遇到与弦的中点有关的问题，常用点差法.先设弦的端点6（z，y），鸟（%，%），再

代点的坐标到圆锥曲线的方程，再两式相减得到直线的斜率和弦的中点的关系式.再化简解题.

22

20.已知椭圆及器+5=1过椭圆内部点。（1,一1）的直线交椭圆于M,N两点，且MC=CN则直线MN

的方程为.

【答案】x-2y-3=0

【分析】

由已知条件得到。为MN的中点，利用中点坐标公式得到玉+毛=2,设出直线的方程与椭圆的方程联立,

4"2+4〃

利用韦达定理得到％+9=：；；即可得出结果.

【详解】

由MC=CN，

可知C为仞V的中点，又。（1,一1）,

不妨设直线MN的方程为：y+l=k（x-l）,

设点、（3,乂）,%（%,%），

则占+&=2,①

将直线MN的方程代入椭圆的方程消y得：

f+2凶%-1）一1丁—18=0,

化简整理得：（l+2X）f-（4f+4々）N+2尸+4%-16二0,

44’4-Ak

由韦达定理得：x+x=,②

1■91+2K

由①②得：k=L

2

所以直线MN的方程为：y+l=1（x-l）,

即直线MN的方程为：x-2），-3=0.

故答案为：x-2y-3=0.

【点睛】

关键点睛：确定C为MN的中点以及直线与椭圆的方程联立利用韦达定理求解是解决本题的关键.

2

21.己知双曲线?-），2=1和点P（3,-l）,直线/经过点P且与双曲线相交于A、B两点,当户恰好为线

段AB的中点时，/的方程为.

【答案】3x+1y-5=0

【分^5】

设点A(X，»)、8(%,%)，利用点差法可求得直线/的方程，进而可得出直线/的方程.

【详解】

设点A(X，yJ、8(%,%)，若直线/LY轴，则A、8两点关于x轴对称，则点夕在工轴上，不合乎题意.

%+x2

%+x2=6

由于P(3「l)为线段的中点，则,y可得《

，1+%=-2

2

L=i

将点4、4的坐标代入双曲线的方程可得《

82

上述两式相减得宁富一小可得自斗即合

所以，入二息•［一：］二，，所以，直线/的斜率为江&二一；，

x}-x2\3J4XI-x24

3

因此，直线/的方程为y+l=——(x-3),即版+4y-5=0.

4

故答案为：3x+4y-5=0.

【点睛】

利用弦的中点求直线的方程，一般利用以下两种方法求解：

(1)点差法：设弦的两个端点坐标分别为(玉,凹)、代点作差求得直线的斜率，进而利用点斜式

可求得直线的方程；

(2)设直线的点斜式方程，将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理求得直线的斜率，进而可求得

直线的方程.

22.已知抛物线C:/=4y,A3为过焦点尸的弦，过分别作抛物线的切线，两切线交于点尸，设

4再，y),B(x2,y2\P(xo,>o)，则下列结论正确的有

①若直线AB的斜率为/，则弦|4目=8；

②若直线人A的斜率为-I,则与=2：

③点尸恒在平行于X轴的直线y=-l±；

④若点,yM）是弦AB的中点，则/=%.

【答案】①③④

【分析】

设阴的方程），-今=4（工-%）与抛物线方程工2=4），联立，利用判别式求出攵=+，可得以的方程，同

理可得P8的方程，联立以与。8的方程求出点P的坐标，可知④正确；设直线A8的方程为了=a+1,与

抛物线方程联立，当/=-1时，利用韦达定理求出/与比可知②错误，③正确；当/二一1时，利

用抛物线的定义和韦达定理可得弦长IA8|=8,可知①正确.

【详解】

2

设%方程丁一a二&（X一%）与抛物线方程X2=4），联立得x2-4kx+43-X；=0,

由八=16/一16左土+4d=0得上=5,

.•.P4方程为），一,二5（x—菁），同理得P8方程），一苧二5（1一々），

X：内（、

2

联立《解得《

＞一彳=才（12）

所以交点户，竽_,即汽0=%,所以④正确;

根据题意直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为），=次+1,

）'―工丫―1—0

联立〈2、八，消去）'并整理得/一4次一4二°，

x--4y=0

由韦达定理得・..），0=中二一1，所以③正确；

X）-^2=-44

当尸/B寸，/=与二=一2,所以②错误，

当尸-I时，根据抛物线的定义可得

IAB|=y,-(-y)+%1)=>1+%+p

=-x]+1—占+1+2=—(玉+xJ+4=4+4=8,所以①正确.

故答案为：①③@

【点睛】

关键点点睛：设出切线方程，利用判别式等于0,求出切线方程，联立切线方程求出交点P的坐标是解题关

键.

r22

23.已知椭圆£：r+==1(。>8>0)的半焦距为C,且C=、务，若椭圆E经过A8两点，且包？是圆

a-b-

M:(x+2月+(y—1尸=r2的一条直径，则直线AB的方程为.

【答案】x-2y+4=0

【分析】

设4(办,)1),8(占,为)，代入椭圆方程做差，根据直线的斜率公式及AB的中点M,求出直线斜率，即可得

到直线方程.

【详解】

设8(%,必)，

代入椭圆方程可得：工+工=1①，父+母=1②,

a~b'a~b~

②一①得：9二一丝』1

〃-(%+>)

由c=6。可得a2—b2=c2=3b2，即J=1,

4

又AB的中点M(—2,1),

2

所”以,,勉=Uy9-=Vi一Z?(X7^+XT)W«12,)c=、51

所以直线的方程为j-l=l(.t4-2),

2

即x-4-4=0.

故答案为：x-2y+4=0

【点睛】

方法点睛：点差法是解决涉及弦的中点与斜率问题的方法，首先设弦端点的坐标，代入曲线方程后做差,

可得出关于弦斜率与弦中点的方程，代入已知斜率，可研究中点问题，代入已知中点可求斜率.

24.椭圆工1=1的弦A8中点为M（1,D，则直线A3的方程______________

164

【答案】x+4.y-5=0

【分析】

设出A8的坐标，利用点差法求解出直线A3的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线A8的方程,

最后转化为一般式方程.

【详解】

x；+4y：=161%+%_y-乃

设A（X],y）,8（所以'所以一7

京+4y：=16约玉一看

*J一y+

X+9=1x2=212y,-v,1

又因为《所以一屋2:七:二2砥”所以心尸一"

y+以=1x2=2

所以/八8：）'_[=_；（xT），即工+4y_5=0,

故答案为：x+4y-5=0.

【点睛】

思路点睛：己知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的思路:

（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差;

（2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.

22

25.已知点P（l,2）是直线/被椭圆工+工=1所截得的线段的中点，则直线/的方程是

48

【答案】x+y-3=0

【分析】

设出直线与椭圆的交点，采用点差法进行分析，由此可求得直线的斜率，再根据直线的点斜式方程则直线/

的方程可求.

【详解】

设直线/与椭圆交于两点，4（%方）1（占,），2），

48,所以]

三+匹=14188J

48

所以2穿=X'且"%=2*2,y+%=2)，”4,

2

所以勺="&二_2戛=T,所以/：)-2=_(x-l)即x+y—3=0,

Xl-X24

故答案为：x+y-3=0.

【点睛】

关键点点睛：本题考杳椭圆中点花所在直线方程的求法，难度•般.已知椭圆中•条弦的中点坐标，求解该

弦所在直线方程时，可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程

作差，由此可得中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线

方程.

四、解答题

26.已知椭圆C：工+工=1的左、右顶点分别为A、B,直线/与椭圆。交于M、N两点.

43

1_._,

（1）点。的坐标为若MP=PN，求直线/的方程；

（2）若直线/过椭圆。的右焦点尸，且点M在第一象限，求弘器一心8（益以、心8分别为直线也、NB

的斜率）的取值范围.

9313

【答案】（1）y=—XH—；（2）[——,0）.

4124

【分析】

（1）利用点差法，求直线的斜率，再求直线方程；（2）直线的斜率不存在时，求点M,N的坐标，得至IJ答

的信，以及当斜率存在时，直线与曲线方程联立，利用根与系数的关系求答的值，并将3代如即表示

为3A的二次函数，并求取值范围.

【详解】

解：（1）设”（芭,y）,N（x?,%），

由题意可得尸为线段MN的中点，

’2,

工+里=1

43

由＜22两式相减可得

J江=1

I43

。一式2）（内+工2）।（了一）‘2）（乂+乂）=0

-4T

I?

而即有％+w=2,)[+%=§，

2(%-%2)।2(y—必)=0,可得上二&=_1

49xt-x24

19

故直线/的方程为)，一一二一—U-1),

34

931

即y=——X+—；

412

(2)由题意可得A(-2,0),8(2,0),F(l,0),

3313

当直线/的斜率不存在时，kMA=-,kN,=-=