2024年高考数学易错题（新高考专用）专题09 立体几何（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（新高考专用）含答案

备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题09立体几何

（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）（新高考

专用）含答案专题09立体几何

题型一：斜二测求算面积及周长易错点：对斜二测法规则掌握不牢

即型二：点、线、面之间的关系闩易错点：空间点、线、面位置关系不清

题型三：异面直线成角问题%易错点：忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同

题型四：求线面角易错点：线面角与向呈夹角转化不清等问题

题型五：求二面角又易错点：忽略二面角福有重新的规定

易错点一：对斜二测法规则掌握不牢（斜二测求算面积及周长）

水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是N轴.

⑵画底面：平面voy表示水平平面,平面型和上空表示竖直平面，按照平面图形的画法,

画底面的直观图.

(3)画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形

中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.

例.如图矩形O'4'BC是水平放置的一个平面四边形0A8C的直观图，其中O7V=3,OC=1,

(1)判断平面四边形0A8C的形状并求周长；

(2)若该四边形OASC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

变形1.如图，梯形是一水平放置的平面图形A8CO在斜二测画法下的直观图.若AR平行于>轴,

2

A4//CR,AB】=3CR=2,AR=1,求梯形A8C。的面积.

变形2.如图所示，正方形O'A9C是一个水平放置的平面图形OABC的直观图，其中0V=2.

(1)求原图形的面积；

(2)珞原图形以0A所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.(注：图形OABC

与正方形的各点分别•对应，如0B对应直观图中的(79)

变形3.(1)如图，△AEC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形；

B'

/O'D1A'x'

(2)在(1)中若|ACl=2,轴且忸回=1.5,求原平面图形“BC的面积.

1.如图，△4片仁是水平放置的立面图形的斜二测直观图,

⑵若A,C2Ag的面积是亭求原图形中AC边上的高和原图形的面机

2.画出图中水平放置的四边形ABC。的直观图A9CQ',并求出直观图中三角形8"。?的面积.

3.用斜二测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示，已知A8'=3,BC=\,A7)'=3,且

(1)求原平面图形4BCQ的面积；

(2)珞原平面图形4BCD绕8c旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

4.如图所示，正方形OA'8'C是一个水平放置的平面图形048C的直观图，其中OW=1.

⑵洛原图形以0A所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.(注：图形O/VBC

与正方形aA,zrc的各点分别对应，如OB对应直观图中的。‘夕)

9

5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的宜观图为如图所示，已知A8'=5,zrC=2,AD'=：且

(1)求原平面图形ABCD的面积；

⑵将原平面图形A8CO绕旋转一周，求所形成的几何体的体积.

6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知AE=4,*C=I,A7)'=2,且A7)

//BC.

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形A8CD并求面积；

(2)洛原平面图形A/3c。绕4C旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

7.如图，梯形O'A9。是水平放置的四边形。WC的斜二测画法的直观图，已知0A=2,

(1)在卜面给定的表格中画出四边形Q4BC(不需写作图过程);

(2)若四边形以QA所在直线为轴，其余三边旋转•周形成的面围成个几何体，说出该几何体的结构

特征，并求该几何体的体积.

8.如图，一个水平放置的平面图形的直观图A'8'C。'是边长为2的菱形，且O'Q'=2,求原平面图形的周

9.如图所示，OW夕。为四边形0ABe的斜二测直观图，其中0A=3,OV=1,B,C=\.

(1)画出四边形046。的平面图并标出边长，并求平面四边形048。的面积:

(2)若该四边形0A4C以04为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

10.如图，矩形O'AEC是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形0ABe的直观图，其中OW=3,

O'C=\.

(1)画出平面四边形0A3C的平面图，并计算其面积；

(2)若该四边形O/WC以0A为轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积和表面积.

11.在aABC中，角4，B,C所对边分别为a,〃,c,若/+/+(?=2疯山sinC.

(I)证明：为等边三角形;

⑵若（1）中的等边4ABC边长为2,试用斜二测法画出其直观图，并求直观图面积.

注：只需画出直观图并求面积，不用写出详细的作图步骤.

易错点二：空间点、线、面位置关系不清（点、线、面之间的关系）

［痛J①要证线〃面，条件为3个，其中必有《线（Z面》

②要证线，面，条件为2个，其中必有《线〃线或面〃面》

③要证线〃线（面〃面），条件为2或3个，其中必芍《两个线，面》

④要证线_1_线（面J_面），条件为2个，其中必有《J_、〃（u）》

_L、_L、_L

⑤要证线_1_线（面_L面），条件为3个，其中必有《《心।说，/〃》

［线面、〃〃

易错提醒：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程

度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明

作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断。

例.已知。6为两条不同的直线，d夕为两个不同的平面，且…，则下列命题中的假命题是

A.若a//b,则夕B.若a_L/,则“_L6

C.若4,“相交，则夕相交D.若夕相交，则。力相交

变式L在空间中，已知/,小，〃为不同的直线，。，。,/为不同的平面，则下列判断,硬的是（）

A.若川ua,〃?//〃，则〃〃。B.若〃z夕且〃?〃/，则a_L/7

C.若/_L"z,IIn,机ua,“ua,则D.若a工。,a_Ly,则夕〃7

变式2.已知〃力为两条不同的直线，原月为两个不同的平面，则（）

①若a_La,b【R,且a〃夕，则”〃匕；

②若a_La,〃〃夕，且。〃夕，则a_!_%；

③若。〃a,b上0,且a_L〃，则a〃〃：

④若aA.a,b1fl,且a_L/?,则;/_L力.

其中真命题的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

变式3.若为两条不同的直线，a为平面，且〃/a,则“切_La”是_L/”（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

I.己知不同直线a,b,不同平面a,}y,下列说法正确的是（）

A.若aua、bua、a〃。、则a〃夕

B.若。〃力,。〃,则人Pa

C.若a_L/，4J_y,ac/7=a,则

D.若ac0=a,a1b,bu0,则a_L£

2.已知a,尸为两个不同的平面，皿〃，/为三条不同的直线，则下列结论中不一定成立的是（）

A.若a_L/U〃a,则/〃£

B.若/14,/1防则

C.若/_L〃?,/_L〃，且/ua,mynu/，则a_L尸

D.若///〃?,///〃，且〃?ua,〃u/7,则a///

3.设〃?，〃是两条不同的直线，。,夕是两个不同的平面，且〃?ua,〃u/?,则下列命题正确的为（）

A.若加〃尸,〃〃口，则。〃£：B.若m10,则。_1_6：

C.若。〃△，则〃D.若a_L尸，则加_L〃,〃_La.

4.己知,,加，〃为三条不同的直线，a,°,夕为三个不同的平面，则下列说法中正确的有（）

A.若/_La,in±I,则m//a

B.若aJ_y,pA,y,。口力=/,则

C.若。〃夕，/,机分别与。，夕所成的角相等，则〃/〃？

D.若“□〃=/，Ply=///,y\a-n,且尸，贝U'，用，〃交于点P

5.设/是直线，。，夕是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A.若///□,W,则a〃尸B.若a_L〃，//以，则/，夕

C.若/_La,II3则。〃尸D.若a//,/la,贝口，尸

6.已知。为直线/的方向向量，I晨4示分别为平面"的法向量（/夕不重合），那么下列说法中正确的有（）

A.守_L〃1o///aB.〃[_L小o。_L/?

C.n、11n10aHpD.eA.n}<=>I

7.已知平面afl平面尸=〃?，则下列结论一定正确的是（）

A.存在直线。<=平面。，使得直线〃_L平面夕

B.存在直线〃u平面。，使得直线a〃平面夕

C.存在直线〃<=平面a,直线8u平面夕，使得直线a_L直线〃

D.存在直线au平面a,直线。匚平面/?,使得直线a〃直线。

8.设〃?，〃是两条不同的直线，。，夕是两个不同的平面，则二列说法中正确的有（）

A.若a_L〃，a[\P=m,n1m,则〃_L/?

B.若m3a,mlIn,nu0,则a%

C.若m"n,nLp,mua,则

D.若"?_La,〃u0,allp,则m±n

9.若〃?，〃为空间中两条不同的直线，a,。，/为空间三个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若a_L，，/?!/,则a〃£B.若〃?_La,mlIp,则aJ■尸

C.若〃?//a,〃_La,则"?_L〃D.若a/〃7,m//a,〃u/7,则就/〃

1（）.加、〃是两条不同的直线，。、夕是两个不重合的平面，下列说法正确的是（）

A.〃是异面直线，若/〃//a,〃?//,nila,nlip,则a〃尸

B.若a/〃？，ml/a,则〃〃/夕

C.若〃?_L〃，〃?ua,«<=/?,则a_L4

D.若〃?_La,ni//n,nllp,则a_L，

11.已知〃?，〃为两条不同的直线，/£为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（）

A.若〃?〃a,〃ua,则B.若〃?_La,“〃a,则〃?_L〃

C.若m工，则加/〃D.若m工n、n工Q,a工0,则〃?_La

易错点三：忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同（异面直线成角问

题）

第一步：将所求直线中的一条用刻度尺进行平移然后与另一条电线衔接出现三角形

第二步：将三角形画到草稿纸上并利用空间图求出各边的长

第三步：利用余弦定理求出待求角

第四步：检查若求出的角为锐角或直角则即为所求，若求出的角为钝角则补角即为所求

秒杀：

四面体的任何一组对棱都是异面直线，因此以四面体为载体，把异面直线放在四面体对棱所在的位置,

利用四面体对棱夹角公式处理异面直线角度问题

结论（碰正体4一8C力中，若AC与所成的角为6

|(AB2+CZ^2)-(BC2+ZM2)

四面体对棱夹角公式:cos0=-------------------------------------

2ACDB

2ACDB

证明如下:cos（正函=誉鹄

,/网忡二4羽.陶

因为2元丽=尼丽+不•丽=k•廊+祠+3（前+而）

=ACDA+ACAB+CABC+CACD=ACAB-ACBC+CACD-CADA

=正体_砌+演®_明=向+砌.（砺_砌+®+明位一词

=病一言+回一加上网+可_（网+网）

所人福西眄+在归+网上由+叫-3+时

'/2卜q.阿2ACDB

7T

易错提醒：两异面直线所成角的范围是（0,二］°两向最的夹角的范围是［0,乃］,需要注意两者的区别与联系.

例.已知正四面体48CQ,例为人4中点，则直线CM与直线8。所成角的余弦值为（）

A；B.立C.巨D.再

362121

变式L如图，正方形A6CRA8EF的边长均为2,动点N在线段48上移动，M,O分别为线段AC中

点，且MO_L平面人8C。，则当/MNO取最大值时，异面直线MN与“1所成角的余弦值为（）

A.巨B.受C.3D.3

4223

变式2.已知三楂锥P—48c中，/%_!_平面48C,A8=2,AC=2,BC=2叵，%=3,。为心的中点,

则异面直线4。与PC所成角的余弦值为（）

变式3.在四棱锥P—A8CD中，PO_L平面A8c。，四边形48C。为菱形，PD=AB,NDAB=60。，点E为

P。的中点，则异面直•线CE与P8所成角的余弦值为（）

2石B.乎

A.—

1.在正方体A8CO-A4G。中，若点N是棱8片上的动点，点M是线段AG（不含线段的端点）上的动

点，则下列说法正确的是（）

A.存在直线MN,使MN〃BgB.异面直线CM与A8所成的角可能为£

C.直线CM与平面0VQ所成的角为1D.平面8MC〃平面CNA

2.棱长为1的正方体中，若点P为线段A3上的动点（不含端点），则下列结论错误的是

A.平面平面AAPB.四面体。厂的体积是定值

C.△AP。可能是钝角三角形D.直线。式与A3所成的角可能为夕

0

3.如图在长方体48CD-A4CA中，A4=A4,=2,AD=4,"是下底面矩形的中心，设异面直

线A”与。G所成的角为夕，则。=（）

4.在正四面体P-A8C中，棱长为2,且E是棱AB中点，则异面直线正与4C夹角的余弦值为（）

A.一立B.正C.且D.一且

6633

5.已知正方体人的棱长为1,尸是空间中任意一点，则下列说法中错误的是（）

A.该正方体外接球的体积为无兀

2

B.若M是棱中点，则异面直线AM与CG夹角的余弦值为1

C.若点P在线段AA上运动，则始终有CP_LCg

D.若点P在线段A2上运动，则三棱锥。体积为定值'

6.在直三棱柱ABC-中，/83=90。,外6分别是A4AG的中点，BC=CA=CC1,贝!8R与M所

成角的余弦值是（）

A而1730V15

A.-----nR.—Cr.-------nIJ.---

1021510

7.把边长为后的正方形ABC。对角线OD折起，使得平面八班＞与平面C3D所成二面角的大小为120。，则

异面直线力。与BC所成角的余弦值为（)

8.如图，在棱长为1的正方体中，下列结论•不•正•确的是（）

A.异面直线AC与8C；所成的角为60。

B.直线人用与平面ABGR所成角为45。

C.二面角A-8C-区的正切值为加

D.四面体。-AB©的外接球的体积为立兀

2

9.如图，在四棱锥P-A8CO中，孙底面A8C。，24=2,底面ABC。为边长为2的正方形，E为PD的

中点，则异面直线8。与AE所成的角的余弦值为（）

A-3C.孝D-T

10.如图，在正三棱柱A3C・A8G中，若AB=2,A81=&,则AG与qC所成角的大小为（）

A.135°B.105°C.90D.60

11.校长为2的正方体ABC。-A4CQ中，2是8G中点，则异面直线?。与AB所成角的余弦值是（）

A.更B.巫C.立D.巫

6633

易错点四：线面角与向量夹角转化不清等问题（求线面角）

线与面的夹角

①定义：平面上的条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

②范围：[0,1]

③求法：

常规法：过平面外一点8做89_1_平面。，交平面。于点夕；连接A8'，则/班8即为直线钻与平

面a的夹角.接下来在心仍'中解三角形.lipsinZBABr=^=—（其中〃即点8到面a的距离,

AD科线片

可以采用等体积法求〃，斜线长艮J为线段<4的长度）；

向量法：线面角cosa二=

AB]n\VV2〃

提示：。是线A〃与平面法向量的夹角，。是线A3与平面的夹角

易错提醒：若直线与平面所成的角为夕，直线的方向向量为2,平面的法向量为K则sine=|cos<[,G>|。

容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平

面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦.而忘了加绝对值.

例.如图，在四棱锥尸-ABC。中，底面ABC。是正方形，侧棱PZU底面A3C。，£尸分别是尸。，4）的

中点.

⑴求证：DE〃平面PFB；

（2）若依与平面PCO所成角为30，PB=2,求二面角“一依一。的正弦值.

变式L如图，在四棱锥产一A8CD中，底面A8C0为直角梯形，AD//BC,ADLDC,PA=PD=PB,

BC=DC=^AD=2,E为4。的中点，且PE=4.记庄的中点为N,若M在线段8C上(异于8、C两

点).

⑴若点M是BC中点，证明：MN〃平面PCO；

(2)若直线MN与平面PA8所成角的正弦值为且,求线段BM的长.

9

变式2.如图，三棱柱中，AA=4,AC_L底面ABC,N4C4=90,AC=A.C.

⑴求点A到平面3。。心的距离;

(2)若直线A4与8瓦距离为4,求AB与平面BCCE所成角的正弦值.

变式3.如图，在四棱锥"-A4CD中，底面ABC/)为矩形，AO_L平面A8P,AD=2AB=2BP=4,E为

8c的中点.

(1)i正明：平面PED_1_平面PAD.

(2)若点A到平面PED的距离为出,求直线PA与平面PCO所成角的正弦值.

I.已知三棱锥P—ABC中，A81ACPAJ•平面"C,R4=4B=3"C=4,M为8c中点，过点用分别作平行于

平面Q48的直线交AC、PC于点E、F.

⑴求直线分/与平面ABC所成的角的正切值；

(2)证明：平面M£///平面RU?,并求直线ME到平面的距离.

2.如图，在体积为2G的四棱柱48CQ-A4GA中，底面ABC。是正方形，AAAC是边长为2的正三角

形.

(1)求证：平面ACGA，平面

(2)求4c与平面所成角的正弦值.

3.如图，已知四棱锥P-ABCO中，尸AJL平面ABC。，AHA.ADfAD//BC,PA=AB=AD=2BC=2,E

为PD中点.

⑴求证：CE〃平面PAB；

⑵求直线CE与平面PAC所成角的正弦值.

4.如图，在四棱锥P-A8CQ中，底面A8CD为正方形，PELAB，PAA.PD,PA=PD,E为人。的中点.

(2)求直线PE和平面P8C所成角的正弦值.

5.如图，在四棱柱A8CQ—A4cA中，AB=BC=CA=6AD=CD=\,平面A4,GC，平面ABC。,

AA.1AB,

(1)求证：明，平面ABC。；

(2)若E为线段BC的中点，直线\E与平面ABC。所成角为45。，求平面AA.E与平面A.EC.的夹角的余弦值.

6.如图，已知勿垂直于梯形八8CO所在的平面，矩形SAOE的对角线交于点EG为加的中点,

ZABC=ZBAD=-,SA=AB=BC=-AD=\.

22

⑴求证：8。〃平面AEG；

(2)在线段EG上是否存在一点H,使得与平面SC。所成角的大小为J?若存在，求出GH的长；若不

6

存在，说明理由.

7.如图，/»是矩形ABCD所在平面外一点，且B4_L平面4BCQ.已知P4=4/?=2,BC=1.

p

(1)求二面角2一8。一。的大小；

⑵求直线槽与平面P4C所成角的大小.

8.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CD为平行四边形，^ADC=45\AD=AC=\,。为AC中点，P01

平面ABC。，PO=2,M为尸。中点.

(1)证明：尸3〃平面ACM；

(2)证明：AO_L平面PAC；

(3)求直线AM与平曲A8CO所成角的余弦值.

9.如图，在四棱锥P—ABC。中，PA_L平面ABC。，ADLCDtAB//CD,PA=AD=CD=UAB=2,点M

是心的中点.

(1)证明：PB=2CM；

(2)求直线DM与平面ACM所成的角的正弦值.

10.如图，在正三棱柱ABC-A4G中，M=3,此三棱柱的体积为66,。为侧棱AM上点，且AP=I,

H、G分别为AB、AG的中点.

(1)求此三棱柱的表面积；

(2)求异面直线GH与PC.所成角的大小;

⑶求P4与平面乃所成角的大小.

(了解一下)II.如图，在长方体中，己知"=3C=2,AA=3.

⑴若点P是棱OR上的中点，求证：AC与祝垂直;

(2)求直线AM与平面ACGA的夹甬大小.

易错点五：忽略二面角范围有重新的规定(求二面角)

三

二面角的求法

法一；定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条套线所成的角的大小就是二面角的平面角,

如图在二面角。-/一力的棱上任取一点O,以O为垂足，分别在半平面a和夕内作垂直于棱的射线04和

OB,则射线04和。3所成的角称为二面角的平面角(当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就

相当于求两条异面直线的夹角即可).

法二：三垂线法

在面。或面〃内找一合适的点A,作AOJ•△于O,过A作于3,则30为斜线A8在面夕内的

射影，480为二面角。一/的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点4,作•尸于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过4作A〃_Lc于8,连接BO；

③计算：NA8O为二面角a-c一夕的平面角，在即AABO中解三角形.

图1图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

式（8$。=削=2^,如图2）求出二面角的大小;

3科八纥

法四：向量法二面角的平面角c°se=gn"（夕£（°，乃））

㈣,口2

提示：。是二面角的夹角，具体COS。取正取负完全用眼神法观察，二面角不存在钝角之说.

易错提醒：若两个平面的法向量分别为z,b,若两个平面所成的锐二面角为。，MCOS<9=|COS<5,^>

规定两个平面所成二面角范围[o,90°],则cose=-cos<a>>。

例.如图（1）,六边形A/38EF是由等腰梯形AO"和直角梯形48C。拼接而成，且N8AO=NAQC=90°,

AB=AF=EF=ED=2,AD=CD=4f沿AO进行翻折，得到的图形如图⑵所示，且乙4EC=90°.

图⑴图⑵

(1)求证：CD上平面ADE厂.

(2)求二面角C-AE-O的余弦值;

变式1.如图，在三棱锥产一A3。中，E4_L平面ABC,PA=BC=2,AB=PC=B

⑴求点9到平面PAC的距离；

(2)设点E为线段总的中点，求二面角A-CE-B的正弦值.

变式2.在正方体ABCO—AgCQ中，设M,N分别为棱G〃，A2的中点.

(1)证明：CM〃平面BND；

(2)求二面角A-M-N的余弦值.

变式3.如图1,AABC为等边三用形,边长为4,区”分别为ZJCAC的中点，以。£为折痕，将△£>(?£折

起，使点C到C1的位置，且4G=2X/5,如图2.

⑴设平面AOC；与平面A&C；的交线为/,证明：/工平面A8C；；

(2)求二面角G-OE-八的余弦值.

1.如图所示，在三棱柱ABC-ASG中，侧棱4Al底面ABC.ABLBC.D为AC的中点.

AA=AB=4,BC=6.

(1)证明:A5”平面BCQ；

(2)求二面角G-BD-C的余弦值.

2.如图，在四棱锥P-48co中，底面48CO是矩形.已知4?=3,AD=2,PA=2,PD=2丘，ZE4B=60°.

(1)证明八。_1_平面以4；

(2)求异面直线PC与AO所成的角的正切值:

(3)求二面角P-BD-A的正切值.

3.如图，三棱柱ABC-A用G的底面是等边三角形，AB=AAi=6t4阴=60。，D,E,尸分别为8国，

cc,,AC的中点.

(1)在线段AA上找一点G,使厂G〃平面4。七，并说明理由;

(2)若平面叫与〃，平面ABC,求平面AOE与平面A8C所成二面角的正弦值.

4.如图，在四棱锥P-ABCO中，％_L平面A5CO,四边形A8C。为菱形，ZADC=60°,PA=AD=4,E

为人。的中点.

(1)求证：平面PCEJ■平面PAO；

(2)求二面角A-PO-C的平面角的正弦值.

5.如图，在圆锥PO中，AB是底面的直径，且PO=3,AB=4,N8AC=30,M是的中点.

(1)求证：平面P8C1平面POW；

⑵求二面角。"PB-C的余弦值.

6.如图所示，在四棱锥户一人BCD中，四边形/WCO为梯形，CD"AB.ABLBC、PALPD,

BC=CD=PA=PD=LAB=2,平面夕八。_L平面P8C.

p

CM7平面PAD；

(2)求二面角的正弦值.

7.如图，在梯形A8CO中，AD//BC,/48。=三，AB=BC=a,ZADC=arccos—,PAJ_平面ABC。

25

⑴求直线AD到平面PBC的距离；

(2)求二面角P-CD-A的大小;

(3)在线段A。上是否存在一点F,使点人到平面PC尸的距离为近〃？

3

8.如图，已知A8是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异于的动点，CD,跳:是圆柱的两条

(1)求证；ACZ)J_平面6。£＞七；

(2)若AB=6,BC=3,圆柱的母线长为26，求平面AOE与平面A8C所成的锐二面角的余弦值.

9.如图，正方体ABCD-AMG。中.

G

AB

⑴求证：8。和A。为异面直线；

⑵求二面角A。-4的大小.

10.如图，正方形A8CO所在平面与平面四边形43EF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,

FA=FE,ZAEF=45°.

⑴求证：EF上平面BCE；

(2)求二面角尸一—A的止切值.

11.如图，在三棱柱ABC-4BG中，Bgl平面A8CA48C为正三角形，侧面AB8M是边长为2的正方

形，。为8c的中点.

(1)求证：平面ADC|_L平面8CC出；

(2)取A8的中点E,连接CE,£E,求二面角C-A3-G的余弦值.

专题09立体几何

题型一：斜二测求算面积及周长㊀、易错点：对斜二测法规则掌握不牢

题型二：点、线、面之间的关系闩易错点：空间点、线、面位置关系不清

题型三：异面直线成角问题%易错点：忽略异面直线的夹角与向量的夹角范围不同

题型四：求线面角易错点：线面角与向星夹角转化不清等问题

题型五：求二面角又易错点：忽略二面角福有重新的规定

易错点一：对斜二测法规则掌握不牢(斜二测求算面积及周长)

水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

空间几何体直观图的画法

立体图形直观图的画法步骤

⑴画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个2轴，直观图中与之对应的是N轴.

(2)画底面：平面£0工表示水平平面，平面工。之和EOZ表示竖直平面，按照平面图形的画法,

画底面的直观图.

⑶画侧棱：已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.

(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.

易错提醒：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形

中平行于X轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半.

例.如图矩形。’A5C是水平放置的一个平面四边形0A8C的直观图，其中0勾=3,O,C=1,

⑴判断平面四边形OABC的形状并求周长；

（2）芥该四边形04BC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体枳及表面积.

【解析】（1）将直观图还原得O0A8C,如下图，

所以C4=3,CC=jF+（2&）2=3,

所以平面四边形为菱形.其周长为3*4=2

（2）四边形OABC以0A为旋转轴，旋转一周，得到一个圆柱和两个一样的圆锥，V=7rr2h=冗（2垃）2・3=244

1=正+(2何=3

S现姓恻=乃〃=71•2J5•3=60兀,%柱恻=Ijtrh=2乃-2>/2-3=12。2兀,

所以S衣=与柱傀+2%锥1M=245/2^.

变形I.如图，梯形A8CQ是一水平放置的平面图形A8CD在斜二测画法下的直观图.若AA平行于＞轴,

2

A4〃GA，A4=§CQ=2，AR=1,求梯形A8CO的面枳.

4

A5G七

【解析】如图，根据直观图画法的规则,

直观图中AR平行于y轴，AA=I，=原图中人。〃Qy,

从而得出4D_LOC,且A。=24〃=2,

22

直观图中A4=（GR=2,=原图中AB//CD,ZB=|CD=2,

即四边形ABC。上底和下底边长分别为2,3,高为2,如图.

故其面积S=；x（2+3）x2=5.

变形2.如图所示，正力形O'A'8'0是一个水平放置的平面图形OA8C1的直观图，其中。A'=2.

（1）求原图形的面积；

（2）将原图形以04所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形OABC

与正方形OAB'C的各点分别一对应，如08对应直观图中的6/9）

【解析】（1）原图形04BC是个平行四边形，如下图所示

底为0A=2,高为O8=2OB=2x2拒=4&，

S0ABe=OA-OB=8\/5：

(2)得到的几何体是一个组合体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，另一侧有多出一个相同的圆锥,

二.几何体体积V=x2=64^-

工几何体表面积S=2;rx4拒*2+2'开乂4夜乂向反再F=64及万

变形3.(1)如图，AAEC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形;

(2)在⑴中若|AC|=2,B7〃/y轴且附。|=1.5,求原平面图形ZUBC的面积.

【解析】(1)画法：①画直角坐标系工Oy,在x轴上取OA=(7A,即CA=CAr.

②在题图中，过用作用。俗'轴，交W轴于ZX，在x轴上取8=。〃，过D作DB〃y轴，并使£>B=2D9.

③连接A8,4C,贝必/WC即为原来的图形，如图.

(2)，：FDHy，，：,BDYAC.

又怛⑼二1.5且|4。|=2,

.・.怛4=3,|八。=2..•・S”c=Y\BD\-\AC\=3.

1.如图，△A7TC是水平放置的立面图形的斜二测直观图,

(1)画出它的原图形，

⑵若AC=24A8C的面积是立，求原图形中AC边上的高和原图形的面积.

2

【解析】(1)画出平面直角坐标系xQv,在x轴上取。A=。，4，即CA=C'A'，

在图①中，过£作*/)//)，‘轴，交V轴于/%,在4轴上取0£>=0'£>',

过点D作£>8〃y轴,并使=2B'，

连接A8,4C,则即为△A&C原来的图形，如图②所示:

(2)由(1)知，原图形中，"。_1八。于点。.则80为原图形中4。边上的高，且3。=290,

在直观图中作8E_LAC于点£,

A，C&BE=BE=B,

2

在宜角三角形3'£77中，*。'=&*£=逅，所以BO=2B'£>'=«,

2

所以S'8c=gACx4O=#.

故原图形中AC边上的高为卡，原图形的面积为指.

2.画出图中水平放置的四边形ABC。的直观图A'8'C。'，并求出直观图中三角形的面积.

【解析】根据题意，结合斜二测画法的规则，可得水平放置的四边形A8C7）的直观图A'BC'D,

如图所示，则,段的面积为小+6《咚=喉

3.用斜一测画法画一个水平放管的平面图，其直观图如图所示：已知A'6'=3,13C=1»A'O'=3,且

（1）求原平面图形ABCD的面积；

（2）瘠原平面图形ABCD绕BC旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

【解析】（1）还原平面图形A8CD,如图，

因为49=3,BC=1,4。=3,且为。〃&C,

所,以AH=3,BC=2,AD=6.且AD//BC»AB±AD,

原平面图形4BC7）为直角梯形，故另8m=2啜9=12；

（2）将原平面图形八8C。绕8C旋转一周，所得几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，如图,

其中圆柱的底面半径为3,高为6,圆锥的底面半径为3,高为4,母线长为5,

所以几何体的表面积为S=7tx3x5+27tx3x6+7rx32=60兀＞

几何体的体积为V=HX32X6-^7CX32X4=42兀

4.如图所示，正方形。A'8'C是一个水平放置的平面图形O48C的直观图，其中O'4'=l.

⑴求原图形的面积；

（2）将原图形以OA所在的直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积与体积.（注：图形。ABC

与正方形OAB'C的各点分别对应，如08对应直观图中的O'B）

【解析】（1）原图形048。是个平行四边形，如下图所示，底为3=1,高为O8=2OB'=20.

/.SOABC=3.08=1x2及=2及.

（2）得到的几何体是一个组令体，其形状是圆柱一侧挖去一个圆锥，

另一侧有多出一个相同的圆锥.

二•几何体我面积S=2兀x2后xl+2兀x2J5xJ（2右了+1=16虚兀.

几何体体积V=7TX（2叵），x1=8兀.

9

5.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示，已知A9=5,*U=2,AD'=!且

A:Dr//BC.

(1)求原平面图形A8CO的面积；

⑵将原平面图形A8C。绕八。旋转倜，求所形成的几何体的体积.

【解析】(1)将直观图复原为原图，如佟I,作£C_LA。,

则/DAB=NA8C=90°,AB=5AD=9,BC=4t

贝|JDE=EC=5,AE=4,

即原图形48C。为直角梯形，

故原平面图形A8CD的面积为$=一4+乂95=6一5.

22

(2)将原平面图形ABC。绕AO旋转一周，

所形成的几何体是一个以8为底面半径的圆锥和一个以AB为底面半径的圆柱组成的组合体,

其体积为v=%傕+%柱=^xnx5:x5+7rx52x4=^y^

6.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示.已知A9=4,9C=l,A7/=,且AD

//BC.

(1)在平面直角坐标系中作出原平面图形A3CQ并求面积；

(2)洛原平面图形A/3CO绕4c旋转一周，求所形成的几何体的表面积和体积.

【解析