高中四省联考试卷及答案

高中四省联考试卷及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)2.已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<5,x\inN\}\)，则满足条件\(A\subseteqC\subseteqB\)的集合\(C\)的个数为（）A.1B.2C.3D.43.若向量\(\overrightarrow{a}=(1,-2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）A.2B.-2C.8D.-84.双曲线\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)的渐近线方程是（）A.\(y=\pm\frac{3}{4}x\)B.\(y=\pm\frac{4}{3}x\)C.\(y=\pm\frac{2}{3}x\)D.\(y=\pm\frac{3}{2}x\)5.已知\(\cos\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})\)，则\(\sin(\alpha+\frac{\pi}{4})\)的值为（）A.\(\frac{7\sqrt{2}}{10}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{10}\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{5}\)D.\(\frac{3\sqrt{2}}{10}\)6.函数\(f(x)=\frac{1}{x-1}+\sqrt{x}\)的定义域为（）A.\([0,+\infty)\)B.\((1,+\infty)\)C.\([0,1)\cup(1,+\infty)\)D.\((0,1)\cup(1,+\infty)\)7.等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，则\(a_4\)的值为（）A.5B.6C.8D.108.若\(a=\log_23\)，\(b=\log_32\)，\(c=\log_{\frac{1}{3}}2\)，则（）A.\(a>b>c\)B.\(b>a>c\)C.\(a>c>b\)D.\(c>a>b\)9.已知直线\(l\)过点\((1,0)\)且垂直于\(x\)轴，若\(l\)被抛物线\(y^2=4ax\)截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为（）A.\((1,0)\)B.\((2,0)\)C.\((0,1)\)D.\((0,2)\)10.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2，则球的表面积是（）A.\(8\pi\)B.\(12\pi\)C.\(16\pi\)D.\(20\pi\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\sqrt{x}\)C.\(y=2^x\)D.\(y=\log_2x\)2.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m\)的值可能为（）A.-8B.-6C.6D.83.关于函数\(y=\cos2x\)，下列说法正确的是（）A.最小正周期为\(\pi\)B.图象关于\(y\)轴对称C.图象关于点\((\frac{\pi}{4},0)\)对称D.在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上单调递减4.下列选项中，与\(\sin\frac{5\pi}{6}\)的值相等的是（）A.\(\sin(\pi-\frac{\pi}{6})\)B.\(\sin(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})\)C.\(\cos(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6})\)D.\(\cos(\pi-\frac{2\pi}{3})\)5.设等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，其前\(n\)项和为\(S_n\)，前\(n\)项积为\(T_n\)，并且满足条件\(a_1>1\)，\(a_{99}a_{100}-1>0\)，\(\frac{a_{99}-1}{a_{100}-1}<0\)，则下列结论正确的是（）A.\(0<q<1\)B.\(a_{99}a_{101}-1<0\)C.\(T_{100}\)是\(T_n\)中的最大值D.\(S_{100}>S_{99}\)6.已知\(a\)，\(b\)为实数，则下列不等式一定成立的是（）A.\(a^2+b^2\geqslant2ab\)B.\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)C.\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geqslant2\)D.\((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})\geqslant4\)7.直线\(l\)：\(y=kx+1\)与圆\(C\)：\(x^2+y^2=1\)的位置关系可能是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定8.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x>0\)时，\(f(x)=x^2-2x\)，则下列说法正确的是（）A.\(f(0)=0\)B.当\(x<0\)时，\(f(x)=-x^2-2x\)C.\(f(x)\)的图象关于原点对称D.方程\(f(x)=x\)有3个解9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)满足\(a>b>c\)，且\(ac<0\)，则下列不等式中一定成立的是（）A.\(ab>ac\)B.\(c(b-a)>0\)C.\(cb^2<ab^2\)D.\(ac(a-c)<0\)10.已知椭圆\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点分别为\(F_1,F_2\)，点\(P\)在椭圆上，若\(\angleF_1PF_2=60^{\circ}\)，且\(\trianglePF_1F_2\)的面积为\(\sqrt{3}\)，则下列说法正确的是（）A.\(b=1\)B.\(a=2\)C.椭圆的离心率为\(\frac{1}{2}\)D.\(\trianglePF_1F_2\)的周长为\(4+2\sqrt{3}\)三、判断题（每题2分，共10题）1.若\(a>b\)，则\(a^2>b^2\)。（）2.函数\(y=\tanx\)的定义域是\(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)。（）3.直线\(Ax+By+C=0\)（\(A\)，\(B\)不同时为\(0\)）的斜率为\(-\frac{A}{B}\)。（）4.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，则\(\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}\)或\(\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\)。（）5.等比数列\(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(q=2\)，则\(a_4=8\)。（）6.函数\(y=\sinx\)的图象向左平移\(\frac{\pi}{2}\)个单位长度得到\(y=\cosx\)的图象。（）7.若\(x>0\)，\(y>0\)且\(x+y=1\)，则\(xy\)的最大值为\(\frac{1}{4}\)。（）8.抛物线\(y^2=4x\)的准线方程是\(x=-1\)。（）9.空间中，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。（）10.函数\(f(x)=\frac{1}{x}\)在定义域内是减函数。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.求函数\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)，\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)的值域。答案：当\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)时，\(2x-\frac{\pi}{3}\in[-\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}]\)。\(\sin(2x-\frac{\pi}{3})\in[-\frac{\sqrt{3}}{2},1]\)，所以\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{3})\)的值域是\([-\sqrt{3},2]\)。2.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，\(a_3=5\)，\(S_5=25\)，求\(a_n\)的通项公式。答案：设等差数列公差为\(d\)，由\(a_3=5\)得\(a_1+2d=5\)；\(S_5=5a_1+10d=25\)，即\(a_1+2d=5\)，解得\(a_1=1\)，\(d=2\)，所以\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知圆\(C\)的方程为\(x^2+y^2-4x+2y-4=0\)，求圆心坐标和半径。答案：将圆\(C\)方程化为标准方程\((x-2)^2+(y+1)^2=9\)，所以圆心坐标为\((2,-1)\)，半径\(r=3\)。4.已知\(a\)，\(b\)为正数，且\(a+b=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a+b)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=4\)，当且仅当\(a=b=\frac{1}{2}\)时取等号，最小值为\(4\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数\(y=x^3-3x\)的单调性与极值情况。答案：对函数求导得\(y^\prime=3x^2-3=3(x+1)(x-1)\)。令\(y^\prime>0\)，得\(x<-1\)或\(x>1\)，函数在\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)上递增；令\(y^\prime<0\)，得\(-1<x<1\)，函数在\((-1,1)\)上递减。极大值为\(y(-1)=2\)，极小值为\(y(1)=-2\)。2.探讨椭圆和双曲线的性质有哪些异同点。答案：相同点：都是圆锥曲线，都有焦点、离心率等概念。不同点：椭圆\(e\in(0,1)\)，封闭曲线，标准方程中\(x^2\)与\(y^2\)系数同号；双曲线\(e>1\)，有两支，标准方程中\(x^2\)与\(y^2\)系数异号，渐近线是双曲线特有的性质。3.已知直线与圆的位置关系有相交、相切、相离，讨论如何判断直线与圆的位置关系。答案：方法一：利用圆心到直线的距离\(d\)与半径\(r\)的大小关系，\(d<r\)相交，\(d=r\)相切，\(d>r\)相离。方法二：联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程，根据判别式\(\Delta\)判断，\(\Delta>0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta<0\)相离。4.讨论在等比数列中，当公比\(q\)变化时，数列的单调性如何变化。答案：当\(a_1>0\)，\(0<q<1\)时，数列为递减数列；\(q=1\)时，数列为常数列；\(q>1\)时，数列为递增数列。当\(a_1<0\)，\(0