2025-2026学年1.1探索勾股定理教案北师大版八年级数学上册【附答案】

/1探索勾股定理第1课时探索勾股定理课题第1课时探索勾股定理授课人教学目标1.用数格子的方法探索直角三角形的三边关系,掌握勾股定理的内容.2.让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思维过程,体会数形结合和从特殊到一般的思想方法.3.探索勾股定理并灵活运用.4.在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐;通过介绍勾股定理在中国古代的研究,激发学生对祖国悠久文化历史的热爱,激励学生努力学习.教学重点了解勾股定理的由来,并能用它来解决一些简单的问题.教学难点在方格纸上通过计算图形面积的方法探索勾股定理.授课类型新授课课时教具三角尺(多媒体)教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.什么叫直角三角形?2.直角三角形三个内角之间有什么关系?学生回忆并回答,为本节课的学习提供迁移或类比方法.活动一:创设情境导入新课【课堂引入】如图1-1-8,从电线杆离地面8m处向地面拉一条钢索,如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6m,那么需要多长的钢索?图1-1-8教师说明:在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三条边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起探索吧!利用生活中的实际情境,点燃学生的求知欲,充分调动学生的学习积极性,以景激情,以情激思,引领学生进入学习情境,从而为下面的继续学习做好铺垫.活动二:探究与应用【探究】勾股定理【思考·交流】1.在纸上画若干个直角三角形,分别测量它们的三条边,看看三条边长度的平方之间有怎样的关系.与同伴进行交流.师生互动:教师让学生在练习本上利用三角尺画直角三角形,然后再进行测量,比较直角三角形三边长的平方之间的关系.教师注意指导学生规范画图.说明:对于有的学生在测量的过程中存在的误差,教师要适当地进行说明和指导.可让学生画两直角边为整数的直角三角形,如两直角边分别为3cm,4cm或6cm,8cm,然后再进行探究.学情预设:经过探究,可初步得到直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.2.如图1-1-9,方格纸中每个小方格的边长均为1,直角三角形三条边长度的平方分别是多少,它们满足上面所猜想的数量关系吗?如果直角三角形如图1-1-10所示,结果又如何?你是怎样计算的?与同伴进行交流.图1-1-9图1-1-10处理方式:让学生分别观察等腰直角三角形和两直角边不相等的直角三角形两类图形,并在小组内讨论、交流,要注意留给学生充足的时间,让学生体验正方形C的面积求法的多样性.学情预设:学生在计算正方形C的面积时,会有困难,教师要注意利用“割补法”进行指导.归纳:四个直角三角形中,不论是等腰直角三角形,还是一般的直角三角形,都存在SA+SB=SC,即直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.3.如果直角三角形的两条直角边的长度分别是1.6和2.4,那么上面所猜想的数量关系还成立吗?说说你的理由.学情预设:同样成立,因为任意的直角三角形中两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.4.想一想:通过前面的探究,你能得到怎样的结论?师生互动:让学生在小组内互相说一说自己得到的结论,并逐步加以完善.教师说明:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦.因此,人们把上面的结论称为勾股定理.【概括新知】直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度,那么a2+b2=c2.说明:勾股定理只在直角三角形中成立,公式中的c是斜边的长度.1.此次探究,能使学生初步感受直角三角形三边之间的关系,这为进一步验证勾股定理做好了铺垫.2.理解分类讨论思想在数学中的应用,同时让学生掌握“割补法”求图形面积的思路,从而充分调动全体同学的积极性,让学生经历知识的形成过程,获得掌握知识的快感,培养学生良好的思维品质.3.归纳直角三角形的三边长度的关系,提高学生归纳总结的能力.活动二:探究与应用【尝试·思考】在【课堂引入】中,需要多长的钢索?处理方式:让学生独立完成解题过程,并在小组内进行交流,然后指名发言,进行讲评.答案:由勾股定理,得需要钢索的长度为10m.教师说明:利用勾股定理时,要分清直角边和斜边.已知两条直角边的长度时,斜边的长度的平方等于两条直角边长度的平方和;已知斜边和一条直角边的长度时,另一条直角边的长度的平方等于斜边和这条直角边长度的平方差.【应用】例在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.(1)若a=3,b=4,求c的值;(2)若a=5,c=13,求b的值;(3)若a∶b=3∶4,c=10,求a,b的值.处理方式:先让学生明确三角形的直角边和斜边,然后独立完成解题过程,再进行讲评,注意格式的指导与规范.变式1.如图1-1-11所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是cm2.

图1-1-112.在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,a=8,c=b+4,求b,c的值.处理方式:让学生在小组内讨论、交流各自的解题思路.问题1要通过图形确定各正方形的面积之间的关系;问题2可让学生先画出图形,然后再利用方程的思想和勾股定理进行解答.4.使学生能应用新知解答【课堂引入】中的问题,培养学生解决问题的能力,体现了教学中从提出问题到解决问题的呈现过程,从而获得成功的体验.5.对例题的学习,其目的是巩固新知,通过老师的板演,强调格式规范.6.模仿改造试题可以体现知识的延伸,使学生养成提出“新数学问题”的习惯,培养学生解决问题的能力,拓宽学生的解题思路.【拓展提升】图1-1-12是“赵爽弦图”,它是由4个全等的直角三角形拼成的图形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1.设直角三角形较长直角边的长度为a,较短直角边的长度为b,则a+b的值是.

图1-1-12知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.活动三:课堂总结反思【达标测评】1.下列说法中,正确的是 ()A.已知a,b,c是三角形的三边长,则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边长度的和的平方等于第三边长度的平方C.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中,∠B=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,所以a2+b2=c22.如图1-1-13,有两棵树,一棵高10m,另一棵高4m,两树相距8m.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行 ()图1-1-13A.8m B.10m C.12m D.14m(续表)活动三:课堂总结反思3.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度(口答).图1-1-144.已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=3,BC=4.求CD的长.通过练习,进一步加深了学生对勾股定理的理解和应用,也让学生知道了如何将所学知识服务于解题中来.在这里通过具体的实际问题,使学生学数学、用数学的意识得到强化,使学生创造性地将数学知识应用于实践,并在实践中获得创造的成功感.更重要的是学生的创造性思维在实践中得到了锻炼.【板书设计】第1课时探索勾股定理文字语言:直角三角形两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.符号语言:如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度,那么a2+b2=c2.提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在探索勾股定理的过程中,分两步进行.第一步先研究图1-1-9和图1-1-10中正方形A,B,C之间的面积关系,第二步完成【思考·交流】中的问题.指导学生总结出直角三角形的三边长度的关系,层层深入.每一步都引导学生合作探究,培养了学生的合作精神和动手能力.在正方形C的面积的求法中,学生有很多的办法.有的学生用拼凑法拼出完整的小正方形后,直接数出小正方形的个数;有的学生将其划分为四个边长都为整数的直角三角形,再利用三角形面积公式得到C的面积;还有的将C拼为边长都为整数的长方形,再求面积.讨论时要求学生在小组内进行交流,再请学生做小老师到讲台上讲解,以培养学生的语言表达能力,教师对学生的讲解进行点评,并给以鼓励,增强了学生学好数学的信心,体验成功的快乐.②[讲授效果反思]这节课从探究定理、总结定理到练习的处理都是引导学生完成的,多数学生在小组活动中表现积极,找出了许多解决问题的办法,乐于与小组其他成员合作,愿意与同伴交流自己的想法,有解决问题的自信心,不回避困难,教师参与到学生的活动中,使每个同学得到了不同程度的发展.③[师生互动反思]

④[习题反思]好题题号

错题题号

反思,更进一步提升.第2课时勾股定理的验证及其简单计算课题第2课时勾股定理的验证及其简单计算授课人教学目标1.掌握勾股定理及其验证,并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上,经历勾股定理的验证过程,体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.通过应用勾股定理解决实际问题,培养应用数学的意识.4.在勾股定理的验证活动中,培养探究能力和合作精神;通过对勾股定理历史的了解,感受数学文化,增强爱国情感.教学重点用面积法验证勾股定理,应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点通过拼图验证勾股定理,并体会其中数形结合的思想.授课类型新授课课时教具多媒体课件、四个全等的直角三角形图片教学活动教学步骤师生活动设计意图活动一:创设情境导入新课【课堂引入】伽菲尔德是美国的第二十任总统,同时他也是一名卓越的数学家,1876年4月1日,他在《新英格兰教育日志》上发表了对勾股定理的证明,他的方法直观、简捷、易懂、明了,人们为了纪念他就把这一证法称为“总统”证法.问题:伽菲尔德是利用图1-1-21验证勾股定理的,你能利用它验证勾股定理吗?图1-1-21上节课仅仅是通过测量和数格子的方法,对具体的直角三角形进行了探索,发现了勾股定理,对一般的直角三角形仍需进行验证.巧妙引用“总统”证法引出如何验证勾股定理,引领学生不断探索,不断深入.活动二:探究与应用【探究1】勾股定理的验证想一想:上一节课,我们通过测量和数格子的方法发现了勾股定理.在图1-1-22中分别以直角三角形的三条边(a<b)为边向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何说明的?与同伴进行交流.图1-1-22学情预设:教师展示问题,学生思考后回答解题思路,学生解答会比较困难,教师可紧接着出示下面的【尝试·思考】,帮助学生进行分析解答.【尝试·思考】为了计算图1-1-22中大正方形的面积,小明对这个大正方形适当割补后,分别得到图1-1-23、图1-1-24.(1)将所有三角形的面积和正方形的面积用含a,b,c的式子表示出来;(2)图1-1-23、图1-1-24中正方形ABCD的面积分别是多少?你有哪些表示方式?(3)你能分别利用图1-1-23、图1-1-24验证勾股定理吗?图1-1-23图1-1-24处理方式:让学生观察图1-1-23中所拼接的大正方形,分别用两种方法表示出两个大正方形的面积,并列出等式,然后化简看能否得到勾股定理.在教师讲解完图1-1-23后,让学生独立完成图1-1-24的解题过程,最后进行讲评.学情预设:学生在小组讨论、交流中得出图1-1-23中大正方形的面积可以表示为(a+b)2或c2+12ab×4,从而得到等式:(a+b)2=c2+12ab×4,化简得a2+b2=c2;图1-1-24中大正方形的面积可以表示为c2或(b-a)2+12ab×4,从而得到等式:c2=(b-a)2+12ab×4,化简得a2+b2说明:勾股定理在我国有着悠久的历史.汉末三国初数学家、天文学家赵爽在给《周髀》作注时,给出了相对完整的表述:“勾、股各自乘,并之为弦实.开方除之,即弦.”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理.后人通常把图1-1-25称为“赵爽弦图”,2002年国际数学家大会会标的主要图案(如图1-1-26)就取材于此图.图1-1-25图1-1-261.让学生体会数形结合的思想,通过探究图形的构成,亲自验证勾股定理的正确性,学生的动手、动脑能力得到了加强.图1-1-23、图1-1-24都能够证明勾股定理,并且这两个图形的证明方法类似,因此师生共同来完成一个即可,剩下的一个由学生独立证明,目的是让学生学以致用,以实践操作强化对知识的理解.2.介绍中、外古代数学家对勾股定理证明的研究,让学生感受勾股定理的证明思路,激发学生的学习兴趣,加深学生对勾股定理的理解.活动二:探究与应用【应用】师生互动:展示【课堂引入】中的图形,让学生利用面积的两种方法验证勾股定理,并在小组内进行交流.学情预设:利用梯形的面积公式可得图形的面积为12(a+b)2;利用三个直角三角形的面积和可得图形的面积为12c2+ab,所以12(a+b)2=12c2+ab,整理得a2+b2【概括新知】验证勾股定理的思路方法:将“零散”的图形整体化,利用“部分图形”的面积之和等于“整体图形”的面积来验证勾股定理.【运用】你能利用前美国总统伽菲尔德所拼的图形(如图1-1-27)验证勾股定理吗?图1-1-27【探究2】勾股定理的简单计算例在一次军事演习中,红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察,发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶.他用红外测距仪测得汽车与他相距400m;过了10s,测得汽车与他相距500m.你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗?师生活动:展示例题,让学生根据题意画出图形,如图1-1-28,明确题目中的已知和未知,然后再进行解答,并指一名同学板演,最后进行讲评.学生在完成的过程中,教师要注意巡视指导解题的步骤,并加以规范,对于共性问题全班进行讲评.图1-1-28图1-1-29变式如图1-1-29,小巷左右两侧是竖直的墙,已知小巷的宽度是2.2m,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7m,顶端距离地面2.4m,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,那么梯子顶端距离地面m.

【探究3】只有直角三角形才满足a2+b2=c2【思考·交流】如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形,那么它的三边长仍然满足“较长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗?以图1-1-30为例(方格纸中每个小方格的边长均为1),说说你的判断和理由,并与同伴进行交流.图1-1-303.通过应用,提高学生应用新知解决问题的能力,体会知识的形成与验证的过程,感受验证方法的多样性.4.巩固所学的勾股定理知识,引导学生初步运用勾股定理解决实际问题,强化应用的意识,在应用中体会勾股定理的价值.5.在例题的基础上进行变式,培养学生将实际问题转化为数学问题的能力以及运用勾股定理解决实际问题的能力.6.通过探究可以得出“如果一个三角形不是直角三角形,那么它的三边长a,b,c(c为较长边的长度)不满足a2+b2=c2”这个结论,这样可以使学生加深对勾股定理的认识,也为下一节学习直角三角形的判定打下基础.活动二:探究与应用处理方式:教师展示图形,让学生分别计算各正方形的面积,并在小组内交流自己的想法,说明判断的理由,从而得出结论.【概括新知】如果一个三角形不是直角三角形,其三边长不满足较长边长的平方等于另外两边长的平方和.说明:勾股定理是直角三角形特有的定理,钝角三角形或锐角三角形不满足勾股定理.活动三:课堂总结反思【达标测评】1.放学以后,小红和小颖从学校分别沿着东南方向和西南方向回家,若小红和小颖行走的速度都是40m/min,小红用15min到家,小颖用20