2025-2026学年第1章直角三角形的边角关系-三角函数的应用题型分类解答题北师大版九年级数学下册【附答案】

/2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系—三角函数的应用》题型分类解答题专题提升训练一、坡度、坡比问题1．阳光明媚的春日，外出游玩的小颖发现了种在草地斜坡下方的樱花树，这些樱花树的影子一部分落在斜坡下方的地面上，一部分落在斜坡上，为了测量最高那棵樱花树的高度，小颖测量了有关数据，绘制了如图所示的示意图，其中AB表示最高的樱花树，BO表示地面，OQ表示斜坡，阳光的光线AP与斜坡OQ垂直．若BO=2米，OP=8.48米，斜坡的坡角为32°，求最高的那棵樱花树的高度（其中sin32°≈0.530,2．某校数学社团开展"探索生活中的数学"研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度，如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是30米，坡角为37°，斜坡DE底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°．试求大楼BC的高度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈3．为积极响应健康中国行动，落实“体重管理年”三年行动，小王买回一台跑步机．图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知点C到地面DE的距离为0.8m，踏板CD与地面DE的坡比i=1:3，支架AC的长为0.8m，跑步机手柄为AB，且AB∥ED，点A到地面的高度为h．支架与踏板的夹角（(1)求踏板CD的长；(2)小王身高为1．8m，通过尝试发现，当h是身高的0.8倍时运动起来更加舒服．求此时支架与踏板之间夹角∠ACD的度数．（参考数据：cos50°≈0.64，cos37°≈0.84．2025年3月20日，山西省公布2024年省级幸福河湖名单，太原市娄烦县涧河等62条（段、个）河湖（库）被评选为我省首批幸福河湖．某校“综合与实践”小组的同学把“某河流堤坝的调查与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，下面是调查得到的相关信息：①堤坝截面图如图1所示，迎水坡由黏土构筑，背水坡由石料水泥构筑；②将图1所示截面图抽象为图2所示的几何图形，相关数据如下：坡角∠ABC=26.5°，∠DCB=30°，∠DEC=45°，坝顶AD=5米，坝底黏土宽度BE=17.5米，且请根据上述数据，计算背水坡CD的长．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，5．项目主题：阳光综合实践小组为学校图书馆设计无障碍通道．研究步骤：①查阅资料得知，无障碍通道有三种类型：直线形、直角形、折返形；②实地测量图书馆门口场地的大小；③为了方便师生出入图书馆，并尽量减少通道对师生其他通行的影响，研讨认为设计折返形无障碍通道比较合适．设计方案：小组为该校图书馆设计的无障碍通道如图所示，其中MN为地面所在水平线，CD和DF是无障碍通道，并且∠CDF=2∠DFE，立柱CG，DE解决问题：若原台阶坡道（线段AB）的长度为5米，坡角α的度数为23°，BC∥MN，求无障碍通道CD和DF的总长．（参考数据：二、仰角、俯角问题6．双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，如图，在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BDG=37°；沿着CA方向走到E处，用皮尺测得CE=24m；在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角∠BFG=45°．已知测角仪的高度为1.2m，点C，E，A在同一水平直线上，求塔AB7．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为α，该无人机沿水平线AF方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．若tanα=2，MC=503米，求河流的宽度8．如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°(1)填空：∠DAF=______度，(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．9．如图，信号塔CD坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着坡度为i=1：3的斜坡向上走了100米到达点B处，此时测得塔尖D(1)求点B到地面的距离；(2)求信号塔CD的高度(结果保留根号)；(3)若维护人员从点A处沿水平方向前行一段距离到点F处，测得塔尖D的仰角为30°，求AF的长度．10．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30∘，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45∘，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:3(即tan∠DEM=1:3),且D、M、E、C、N(1)求D点距水平面EN的高度？(保留根号)(2)求条幅AB的长度？(结果精确到1米)(参考数据：3三、方位角问题11．如图，某景区内两条互相垂直的道路a，b交于点M，景点A，B在道路a上，景点C在道路b上．为了进一步提升景区品质，景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D．经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上，位于景点A的北偏东30°方向上，景点B位于景点D的南偏西45°方向上．已知AB=800(1)求∠ACB(2)求景点C与景点D之间的距离．（结果保留根号）12．为增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织了一次越野拉练活动．如图是行进过程中某时刻A，B，C三个小组所在的位置，B在A的北偏东30°方向上，B与A相距3km，C在A的北偏东60°方向上，且在B的南偏东75°(1)求∠C(2)求此时A，C两个小组之间的距离．（结果精确到1km．参考数据：313．如图，小红和小明相约去动物园游玩，A表示公园大门，B表示金鱼馆，C为熊猫馆，D为恐龙馆．小红的游览路线是A→B→C，小明的游览路线为A→D→C，两人最终在C处汇合．B在A的南偏西75°方向，C在A的西南方向1200米处，B与C的距离为1000米，(1)求AB的长度（结果保留根号）；(2)若小明的平均游览速度是小红平均游览速度的两倍（停留在B、D的玩耍时间相同），谁先到达C处熊猫馆？请通过计算说明（结果保留整数）．14．如图，甲、乙两名外卖小哥同时从A餐厅出发，分别向B、C两个小区和F、E两个小区送餐，最后到达位于A餐厅正东方向的D餐厅再次取餐．甲外卖小哥沿A餐厅北偏东30°方向行驶一定距离到达B小区，再沿正东方向行驶4千米到达C小区，最后沿东南方向行驶一定距离到达D餐厅．乙外卖小哥沿A餐厅的正南方向行驶4千米后到达F小区，再沿南偏东30°方向行驶4千米后到达E小区，最后沿东北方向行驶一定距离到达D餐厅．（参考数据：2(1)求A、D两餐厅之间的距离；（结果保留根号）(2)甲，乙外卖小哥均到达D餐厅后，求乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了多少千米？（结果保留小数点后一位）15．小明和他的宇树UnitreeGo2机器狗“汪汪”周末准备在湖心公园散步，湖心公园步道如图所示，公园书吧D在湖心公园大门A的西北方向上，儿童游乐场E在公园书吧D的北偏东60°方向上，湖心公园后门C在儿童游乐场E的正东方向1003米处，休闲美食区B在公园大门A的东北方向200(1)求公园大门A和公园书吧D的距离；（精确到个位）(2)周日上午小明和他的宇树UnitreeGo2机器狗到达湖心公园大门A，小明为了测试机器狗的性能，设定机器狗沿着A−D−E−C四、其它问题16．图①是一种手机平板支架放在桌面上，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB=150mm，支撑板长CD=80mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB=60mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，若∠CDE=60°，∠DCB17．如图，监控摄像头D固定在AB与BC构成的支架上，AB=3 m,BD=1 m，∠ABC=120°．若该摄像头的可视角∠GDF=50°,DE为∠GDF的平分线，当18．某科学实验小组用如图1所示的装置做小球摆动实验，进行如下操作：①用一条不可伸长的细线固定一个金属小球，将细线的上端固定于点O；②测出悬点O到水平地面l的距离为123cm③打开光源，测出小球静止时在竖直墙面上的投影中心到地面的高度为25cm④将小球拉开一个角度，然后由静止释放．实验说明：如图2所示，OA⊥l于点A，点B在OA上，OA=123cm，AB=25cm，将小球拉开一个角度，然后由静止释放后，小球可摆动到点C处，CD⊥l于点D（点O，问题解决：当∠BOC=37°时，求点C到水平地面l的距离．（结果精确到0.1cm．参考数据：sin19．在物理课关于光的反射规律探究实验中，某课外兴趣小组在实验环境模拟日常室内场景．如图，一束光从天花板点P射入，经过光滑的地板MN反射到天花板上形成光斑．第一小组和第二小组的入射光线与地板的夹角分别为α，β．已知天花板与地面是平行的，且它们的高度为2m，当α=4520．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管AB=30cm，BE=13AB，试管倾斜角∠ABG为12°(1)求试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度；(2)实验时，导气管紧靠水槽壁MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：DE=28cm，参考答案1．解：如图所示，延长AP，BO交于由题意得，∠APO∴∠EPO在Rt△EOP中，∴BE=∵∠E∴∠AEB在Rt△ABE中，答：最高的那棵樱花树的高度为19.2米．2．解：如图，延长AE交CD于点M，过点A作AN⊥BC于点由题意，得∠AMC∴四边形AMCN为矩形，∴NC=AM，在Rt△EMD中，∴sin∠即sin37°=∴EM≈30×又tan42.6°=∴BN=98×∴BC=故大楼BC的高度约为109.2米．3．解：（1）如图，过点C作CG⊥DE于点∵踏板CD与地面DE的坡比i=1:3∴tan∴∠CDG∴CD即踏板CD的长为1.6m（2）如图，延长GC交AB于点F，则CF⊥∵小王身高为1.8m，通过尝试发现，当h是身高的0.8倍时运动起来更加舒服，∴h=FG∵CG∴CF即此时点C到手柄AB的距离为0.64m在Rt△ACF中，∴∴∠ACF由（1）得∠DCG∴∠ACD4．解：如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G，过点D作DH⊥则四边形AGHD为矩形．∴GH=AD设AG=在Rt△ABG中，∠AGB∵tan∴BG在Rt△∵∠DHE=90°，∴∠HDE∴EH∵BE∴17.5+x解，得x=12.5在Rt△∵∠DHC=90°，∴CD答：背水坡CD的长为25米．5．解：如图，延长MN，CD，两线交于点H，过点B作BT⊥MN于点∵BC∥∴∠TBC∵CG∴∠CGT∴∠BTG∴四边形BCGT为矩形．∴BT∵AB=5米，∴BT∴CG∵∠CDF∴∠DFE∴DF∵DE∴EH∴GH在Rt△CGH中，CH∴CD∴无障碍通道CD和DF的总长为2266．解∶根据题意，得DF=∵在Rt△BDG中，

∴DG∵在Rt△BFG中，∴FG=∴DG∴BG=72∴AB=即塔AB的高度为73.2m7．解：过点B作BN⊥MD，垂足为由题意可知AF∥MD,∴∠ACM=∠BAC=α∴四边形ABNM为矩形，∴AB在Rt△ACM中，∴tan∴BN=在Rt△BND中，∴tan∴DN∴DM∴CD∴河流的宽度约为263米．8．（1）解：由题意，得AD⊥∴∠ADF∴∠DAF由题意，得DF∥∴∠CDF∴∠BDC（2）如图，过点F作FG⊥EC于由题意得，FG∥DE,∴四边形DEGF是矩形，∴FG在Rt△CDE中，DE=∴FG=23答：F距离地面CE的高度为23（3）解：∵斜坡CF的坡度为i=1:2.5在Rt△CFG中，CG=2.5∴FD=EG∴在Rt△AFD中，∴AD在Rt△BCE中，BE=∴AB=AD答：宣传牌AB的高度约为(6+39．（1）解：如图，过点B作BE⊥AC，垂足为∵坡度i=1：3∴tan∴∠BAE∴在Rt△ABE中．∴BE（2）由（1）可得，AE=如图，过点B作BH⊥CD，垂足为设CD=∵∠CAD∴AC∴DH=(x在Rt△DBH中，∴DH∴∴∴CD（3）在Rt△DCF中，∴DCCF=∴CF由（2）可得AC=∴AF10．解：（1）如图，过点D作DG⊥MN于在Rt△DEG中，坡面DE=20∴tan∴∠DEM∴EG=103∴D点距水平面EN的高度为10（2）如图，过点D作DH⊥AN于由（1）知，DG=10米，则EG∵DH=EG∴AH∴AN∵∠BCN∴CN∴AB答：条幅AB的长度是17米．11．（1）解：如图，由题意可得∠CBE=60°,∠CAF∴∠BCM∴∠ACB（2）解：∵∠CBE∴∠CBM由（1）得∠ACB∴∠ABC又∵AB∴AB在Rt△ACM中，sin∠∴AMCM=∴BM∵∠BDM∴DM∴DC∴景点C与景点D之间的距离为1200−400312．（1）解：根据题意得：∠CAB=60°−30°=30°，∵∠CAB∴∠（2）解：过点B作BD⊥AC于点∴∠DBC∴BD=∵∠ABC∴∠ABD又∠BAC∴BD=∴CD=在Rt△ABD中，∴AD=∴AC=所以，此时A，C两个小组之间的距离为4km13．（1）解：如图所示，过点C作CH⊥AB交AB延长线于由题意得，∠CAB在Rt△AHC中，AH=在Rt△HBC中，由勾股定理得∴AB=答：AB的长度为6003（2）解：如图所示，过点A作AT⊥CD于在Rt△ATC中，∴AT=CT=∴DT=在Rt△ATD中，由勾股定理得∴AD+∵AB+∵1238×2>2024，∴小明先到达C处熊猫馆．14．（1）解：如图所示，过点E作EM⊥AD于M，过点E作EK⊥AF交在Rt△FKE中，∴FK=EF⋅∴AK=∵AK⊥∴四边形AKEM是矩形，∴EM=AK=在Rt△EDM中，∴DM=∴AD=答：A、D两餐厅之间的距离为6+23（2）解：如图所示，过点B作BN⊥AD于N，过点C作CH⊥在Rt△ABN中，∴BN=AB⋅设AB=2x千米，则BN=∵BN⊥AD，CH⊥∴BC⊥∴四边形BNHC是矩形，∴NH=BC=4在Rt△CDH中，DH=∵AD=∴x+4+解得x=2∴AB=4千米，CD∴AB+在Rt△MED中，∴AF+8+42答：乙外卖小哥比甲外卖小哥多行驶了5.7千米．15．（1）解：过点D作l1∥CB，过点A作l2∥CE，l2分别交CB的延长线于一点M，交l1于一点∵l1∥CB∴四边形CMQN是平行四边形，∵∠C∴四边形CMQN是矩形，∴CM=由题意可得，∠NDE如图所示：∠EBC在Rt△BEC中，即tan60°=解得BC=100在Rt△ABM即sin45°=解得BM=200∴AM=∴MC=∴QN=在Rt△AQD中，∴∠ADQ设AQ=则AD∴MQ∴ND=NQ−在Rt△DEN中，即tan解得x=300经检验：x=3