2026年九年级【中考数学】第一轮复习专练题：数与式-新定义问题【附答案】

/一轮复习专练题：数与式——新定义问题一．选择题1．在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算82×34，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（）A．b的值为6 B．a的值小于3 C．a为奇数 D．乘积结果6452．史料证明：我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家．古籍中记载了利用算筹实施“正负术”的方法，若图1表示的是计算3+（﹣4）的过程，则图2表示的过程是（）A．5+（﹣2） B．5+2 C．（﹣5）+2 D．（﹣5）+（﹣2）3．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知2025应标在（）A．第506个正方形的左下角 B．第506个正方形的右下角 C．第507个正方形的左下角 D．第507个正方形的右下角4．让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12+1得第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得以此类推，则a2025的值为（）A．26 B．65 C．122 D．1235．定义一种新运算：m⊕n＝m2﹣mn，则（﹣3）⊕2的结果为（）A．﹣3 B．3 C．15 D．﹣156．已知关于x的整式Mn=nanxn+n−1an−1xn−1+⋯+2a2x2+1a①若n＝2，t＝3，则多项式M2可以为整系数多项式；②若n＝3，t＝5，且a0≤n，则满足条件的整式M3共有6种；③若a1＝a2＝⋯＝an，a0＝1，t＝6，则当x＝1，k＞0时，满足使M6+6kM3其中正确的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．定义一种新运算：a※b＝b2﹣ab，则2※（﹣1）的结果是（）A．6 B．4 C．3 D．18．定义一种新运算：f(x)=x2+1x①f（2）﹣g（2）＝2；②当f(m)=22时，则③当f（m1）+f（m2）+…+f（mn）＝1024，g（m1）+g（m2）+…+g（mn）＝1026时，则(mA．0个 B．1个 C．2个 D．39．我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是（）A．2 B．3 C．4 D．510．对于若干个数，先将每两个数作差（大数减小数，相等的数差为0），再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如，对于0，1，3进行“非负差值运算”，（1﹣0）+（3﹣1）+（3﹣0）＝6．①对﹣3，5，9进行“非负差值运算”的结果是24；②x，﹣1，6的“非负差值运算”的最小值是15；③x，y，z的“非负差值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有5种；以上说法中正确的个数为（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二．填空题11．现定义某种运算“*”，对给定的两个有理数a，b（a≠0），有a*b＝a2﹣b，则（﹣2）*2的值为．12．观察一列数：−12，24，−38，413．对于任意有理数a、b，定义新运算：a⊗b＝a2+2b，则（﹣1）⊗2＝．14．若对于m、n定义一种新运算：m※n＝m2﹣mn，例：3※4＝32﹣3×4＝3，则x※（x﹣4）＝．15．如果一个四位自然数abcd的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab﹣bc＝bc﹣cd，那么称这个四位数为“等差递减数”例如：四位数9753，∴97﹣75＝75﹣53，∴9753是“等差递减数”；又如四位数5681，∵56﹣68≠68﹣81，∴5681不是“等差递减数”，则最小的“等差递减数”为；对一个“等差递减数”M=abcd，记M'=adbc，M″=bcad，F（M）=M′−M″99，若c+三．解答题16．定义：若m+n＝2，则称m与n是关于2的平衡数．（1）3与是关于2的平衡数；5﹣x与（用含x的整式表示）是关于2的平衡数．（2）若A＝2x2﹣3（x2+x）+4，B＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断A与B是否是关于2的平衡数，并说明理由．17．定义一种新运算⊕：A⊕B＝A﹣4B．（1）计算1⊕2的值；（2）若A＝4a2+2ab﹣5，B＝a2﹣ab，且a，b互为倒数，求A⊕B的值．18．在平面直角坐标系xOy中，对于点A（x1，y1）B（x2，y2），将|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的值叫做点A与点B的“横纵距离”，记为dAB，即dAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若点P在线段CD上，将dAP的最大值与最小值之差称为线段CD关于点A的“围差”，记为W（A，CD）．已知点A（1，0），B（0，﹣1）．（1）点A与点B的“横纵距离”dAB的值为；（2）已知点C在y轴上，线段BC关于点A的“围差”为4，则点C的坐标为；（3）若点E与点A的“横纵距离”为4．①W（A，OE）的最小值为；②当W（A，OE）取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形．19．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如43×68＝34×86＝2924，所以43和68与34和86都是“幸福数对”．（1）请判断32与69是否是“幸福数对”，并说明理由；（2）为探究“幸福数对”的本质，可设“幸福数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，请问a，b，c，d应满足怎样的数量关系，并说明理由．20．定义：一个整数能写成两个整数的平方差的形式，称这个整数为“树人数”．如：0＝02﹣02，1＝12﹣02，则0和1都是“树人数”．（1）判断2，3是否为“树人数”？说明理由．（2）下列说法正确的序号有．①任何一个奇数都是“树人数”；②任何一个偶数都是“树人数”；③任何一个被4整除的数是“树人数”；④任何一个被4除余2的数是“树人数”．（3）已知a，b是“树人数”．求证：ab也是“树人数”．21．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果ac＝b，那么（a，b）＝c，例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，计算（5，5）＝；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象，（3n，4n）＝（3，4），小明给出了如下证明：设（3n，4n）＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，∴3x＝4，即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．请你尝试用这种方法证明下面这个等式：（4，3）+（4，5）＝（4，15）．22．数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”．小亮写出如下算式：82﹣62＝7×4；142﹣122＝13×4；1062﹣1042＝105×4．发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”．（1）验证：222﹣202是“佳偶和谐式”；（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题．

参考答案一．选择题题号12345678910答案BADCCDCBCB二．填空题11．2．12．−202513．5．14．4x．15．1234；7531．三．解答题16．解：（1）∵2﹣3＝﹣1，∴3与﹣1是关于2的平衡数；∵2﹣（5﹣x）＝2﹣5+x＝x﹣3，∴5﹣x与x﹣3是关于2的平衡数；故答案为：﹣1；x﹣3；（2）A与B不是关于2的平衡数．理由：∵A＝2x2﹣3（x2+x）+4，B＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，∴A+B＝2x2﹣3（x2+x）+4+2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝2x2﹣3x2﹣3x+4+2x﹣（3x﹣4x﹣x2﹣2）＝2x2﹣3x2﹣3x+4+2x﹣3x+4x+x2+2＝6，∴A与B不是关于2的平衡数．17．解：（1）由题意得：1⊕2＝1﹣4×2＝1﹣8＝﹣7，∴1⊕2的值为﹣7；（2）∵a，b互为倒数，∴ab＝1，∵A＝4a2+2ab﹣5，B＝a2﹣ab，∴A⊕B＝A﹣4B＝4a2+2ab﹣5﹣4（a2﹣ab）＝4a2+2ab﹣5﹣4a2+4ab＝6ab﹣5＝6×1﹣5＝6﹣5＝1，∴A⊕B的值为1．18．解：（1）∵点A（1，0），B（0，﹣1），∴dAB＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝|1﹣9|+|0﹣（﹣1）|＝2，故答案为：2；（2）设点C坐标为C（0，yC），当点C在y轴上，并且在点B的上方时，如图：xC＞0，此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是dAC＝|0﹣（﹣1）|+|yC﹣0|＝1+yc，最小值为dAB＝2，∴1+yc﹣2＝4，解得yC＝5，当点C在y轴上，并且在点B的下方时，如图：∵S（A，BC）＝3，最大值不能为dAB＝2，∴点C在x轴正半轴，xC＞0，此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是dAC＝|0﹣xc|+|1﹣0|＝1+xc，最小值为dAO＝1，∴1+xC﹣1＝3，解得xC＝3，综上所述：点C的坐标为（﹣4，0）或（3，0），故答案为：（﹣4，0）或（3，0）；（3）①点E的轨迹是图中正方形．若点E与点A的“纵横距离”为4，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是dAE＝4，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值最大为dAO＝1，最小为OE过点A，dAA＝0，∴S（A，OE）的最小值为4﹣1＝3，最大值为4﹣0＝4，故答案为：3，4；②当S（A，OE）取最小值时，点E的坐标可能是E1（4，1）、E2（0，﹣3）、E3（﹣4，1）、E4（﹣2.5，﹣2.5）、E5（2.5，2.5），在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形是折线E5E1E2E3E4，如图所示．19．解：（1）32与69是“幸福数对“，理由如下：∵32x69＝2208，23x96＝2208，∴32x69＝23x96，∴32与69是“幸福数对“；（2）ac＝bd，理由如下：由题意得，（10a+b）（10c+d）＝100ac+10ad+10bc+bd，（10b+a）（10d+c）＝100bd+10bc+10ad+ac，∴（100ac+10ad+10bc+bd）﹣（100bd+10bc+10ad+ac）＝0，∴99ac﹣99bd＝0，∴99（ac﹣bd）＝0，∴ac﹣bd＝0，即ac＝bd．20．解：（1）2不是“树人数”，3是“树人数”，理由：假设存在整数a，b，使得a2﹣b2＝2，则：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2，∴因数分解可能为1×2或（﹣1）×（﹣2），∴a−b=1a+b=2∴2不是“树人数”，∵3＝22﹣12，∴3是“树人数”；（2）①设奇数n＝2k+1，令a＝k+1，b＝k，则：a2﹣b2＝（k+1）2﹣k2＝2k+1＝n，故①正确，②由（1）中2不是“树人数”得出②错误，③设被4整除的数是4k，令a＝k+1，b＝k﹣1，则：则：a2﹣b2＝（k+1）2﹣（k﹣1）2＝4k，故③正确，④设被4除余2的数是4k+2，若存在a，b使得a2﹣b2＝4k+2，则：若a，b同奇偶，则a2﹣b2为偶数但被4整除，矛盾；若a，b一奇一偶，则a2﹣b2为奇数，矛盾，故④错误，故答案为：①③；（3）证明：∵a，b是“树人数”．∴设a＝m2﹣n2，b＝p2﹣q2（m，n，p，q是整数）．∴ab＝（m2﹣n2）（p2﹣q2）＝m2p2﹣m2q2﹣n2p2+n2q2＝（m2p2+n2q2）﹣（m2q2+n2p2）＝（m2p2+2mnpq+n2q2）﹣（m2q2+2mnpq+n2p2）＝（mp+nq）2﹣（mq+np）2或＝（m2p2﹣2mnpq+n2q2）﹣（m2q2﹣2mnpq+n2p2）＝（mp﹣nq）2﹣（mq﹣np）2∵m，n，p，q是整数．∴mp+nq，mq+np，mp﹣nq，mq﹣np都是整数．∴ab能写成两个整数的平方差的形式．∴ab是“树人数”．21．解：（1）∵51＝5，∴（5，5）＝1，故答案为：1；（2）设（4，3）＝x，（4，5）＝y，（4，15）＝z，∴4x＝3，4y＝5，4z＝15，∵4x•4y＝3×5＝15，∴4x•4y＝4z，4x+y＝4