广东省惠州市实验中学2026届高三（上）12月阶段性检测数学答案

第1页/共1页惠州市实验中学2026届高三（上）12月阶段性检测命题人：肖志向审题人:朱银考试时间:2025年12月3日下午3：00——5：00注意事项：1.本次考试时长120分钟，满分150分；2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义求出即可.【详解】因为，所以对应复平面内点的坐标，所以位于第二象限，故选：B2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.3.已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=A.-3 B.-2C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.【详解】由，，得，则，．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．4.若，则函数的两个零点分别位于区间A.和内 B.和内C.和内 D.和内【答案】A【解析】【详解】试题分析：，所以有零点，排除B，D选项.当时，恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外，也可知内有零点.考点：零点与二分法.【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间内有零点，即存在使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间上有零点的充分不必要条件.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将化为，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可得答案.【详解】因为，所以,故选：A.6.数列中，，对任意，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】取，可得出数列是等比数列，求得数列的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于的等式，由可求得的值.【详解】在等式中，令，可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，，，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.当时，函数取得最大值，则（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出．【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.8.已知函数，对于任意的，，都恒成立，且函数在上单调递增.则的值为（）A.3 B.9 C.3或9 D.【答案】A【解析】【分析】求出后结合题意可得，，结合周期性与题意所给单调性可得或，再分别验证即可得.【详解】，由，则有，即，，由，则，故，，则，，，化简得，，，令，则，，由函数在上单调递增，则，即，又，则或，当时，，则，，又，则，当时，，由在上单调递增，故在上单调递增，故时符合题意；当时，，则，，又，则，当时，，由在上单调递减，在上单调递增，故在上不单调，故不合题意；综上所述：.

故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知，，是的三个内角，下列结论一定成立的有（）A. B.C.若，则 D.若，则是等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】由结合诱导公式可判断选项A，B，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选项C，在三角形中若,则若或可判断选项D.【详解】由，则,故A正确.故B不正确.由三角形中大角对大边，，则，根据正弦定理有,故C正确.在三角形中若,则若或.所以或,则是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.故选：AC【点睛】本题考查三角形中的三角变换，考查诱导公式，正弦定理，属于中档题.10.已知数列的前项和为，，，则（）A.数列是等比数列B.C.D.数列的前项和为【答案】ACD【解析】公众号：高中试卷君【分析】A选项，变形得到，故是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用求出通项公式；D选项，先得到为公比为的等比数列，利用求和公式得到答案.详解】A选项，，其中，所以是公比为2的等比数列，A正确；C选项，由A知，，所以，C正确；B选项，当时，，当时，，显然满足，故，B错误；D选项，，故，即为公比为的等比数列，且，所以的前项和为，D正确.故选：ACD11.设，函数，则下列结论正确的是（）A.若，则为偶函数B.若，则的最小值为C.若为增函数，则D.若曲线关于直线对称，则【答案】ABD【解析】【分析】A利用偶函数的定义；B通过导函数研究其单调性即可；C根据在上恒成立即可；D先根据求出，再根据检验.【详解】若，则，则，则为偶函数，故A正确；若，则，令，则，故在上单调递增，因时；时，故函数在上存在唯一的零点，即，即，则得；得，故在上单调递减，在上单调递增，故最小值为，故B正确；若为增函数，则在上恒成立，则在上恒成立，故，故C错误；若曲线关于直线对称，则，则，得，当时，则，故关于直线对称，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.记为等差数列的前n项和，若，，则________.【答案】95【解析】【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案.【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，则.故答案为：.13.在平面直角坐标系中，点绕着原点顺时针旋转得到点，点的横坐标为___________.【答案】【解析】【分析】根据三角函数定义求得，确定与x轴正半轴的夹角为,结合三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.【详解】由题意得,设与x轴正半轴的夹角为，则，则与x轴正半轴的夹角为，故点的横坐标为，故答案为：14.若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.【答案】16；【解析】【详解】依题意，为偶函数，展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16.【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.（1）求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【详解】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－或x>.由f′(x)<0，解得－<x<，∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调减区间为(－，)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．16.在中，角所对的边分别为，已知.（1）若的面积为，求的周长；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理边角转化后，利用二倍角的正弦公式化简求出，再由面积公式及余弦定理求出即可得解；（2）由，利用三角恒等变换后，根据角的范围求正弦型函数的值域即可得解.【小问1详解】，由正弦定理得，即，，，，，故；的面积为，，且，，即，解得，由余弦定理得，，，故的周长为；【小问2详解】由及三角形内角和定理，得，则，，为锐角三角形，，，故，，故，，即的取值范围是.17.古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式；（2）在中，，，求面积的最大值.【答案】（1）证明见详解（2）【解析】【分析】（1）根据题意结合余弦定理分析证明；（2）利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得，再运用题中公式结合基本不等式运算求解【小问1详解】因为，即，可得，且，则，所以.【小问2详解】因为，由题意可得，即，整理得，由正弦定理可得，即，的面积，因，当且仅当时，等号成立，则，所以面积的最大值为.18.已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比.（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，其中.（i）求数列的前2024项和；（ii）求.【答案】（1），（2）（i），（ii）【解析】【分析】（1）利用的关系作差结合等比数列的定义计算可求和的通项公式；（2）（i）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii）根据题意先得出，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.【小问1详解】当时，，当时，，所以，显然符合上式，所以，由题意，所以.【小问2详解】公众号：高中试卷君（i）易知，即数列的前2024项中有项分别为，其余项均为1，故数列的前2024项和；（ii）由（1）知，而，所以，易知，，所以19.已知函数.（1）若，求在区间上的最大值；（2）若，且图象上任意两点连线的斜率都小于，求的取值范围；（3）若，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求导可得，分类讨论当、、时的正负，进而判断其单调性，即可求解；（2）由函数单调性的定义可知在区间上单调递减，进而转化为不等式恒成立问题；（3）分离参数可得，利用三阶导数讨论的单