2023年概率论与数理统计知识点总结 (一)

第1章随机事件及其概率

P：；=加从m个人中挑出n个人进行排列的也许数。

(1)排歹U(m-〃)！

组合公式

C；；f=---从m个人中挑出n个人进行组合的也许数。

加法原理(两种方法均能完毕此事)：m+n

某件事由两种方法来完毕，第一种方法可由m种方法完毕，第二种方法可由

(2)加法

n种方法来完毕，则这件事可由m+n种方法来完毕。

和乘法原

乘法原理(两个环节分别不能完毕这件事)：mXn

理

某件事由两个环节来完毕，第一个环节可由m种方法完毕，第二个环节可由

n种方法来完毕，则这件事可由mXn种方法来完毕。

反复排列和非反复排列(有序)

(3)一些

对立事件(至少有一个)

常见排列

顺序问题

假如一个实验在相同条件下可以反复进行，而每次实验的也许结果不止一

(4)随机

个，但在进行一次实验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种实验为随

实验和随

机实验。

机事件

实验的也许结果称为随机事件c

在一个实验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具

有如下性质：

①每进行一次实验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

(5)基本

这样一组事件中的每一个事件称为基本领件，用①来表达。

领件、样

基本领件的全体，称为实验的样本空间，用。表达。

本空间和

一个事件就是由Q中的部分点(基本领件①)组成的集合。通常用大写字母

事件

力，B,C,…表达事件，它们是。的子集。

。为必然事件，0为不也许事件。

不也许事件(0)的概率为零，而概率为零的事件不一定是不也许事件：同

理，必然事件(。)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

①关系：

假如事件A的组成部分也是事件B的组成部分，3发生必有事件B发

生)：AuB

假如同时有4u3,则称事件4与事件8等价，或称为等于A

A二Be

A.5中至少有一个发生的事件：A\jBf或者出•瓦

属于力而不属于方色部分所构成的事件，称为4与8的差，记为A-B,也可

表达为4-制或者A5，它表达4发生而力不发生的事件。

(6)事件

45同时发生：A^B或者"。则表达A与B不也许同时发生，

的关系与fAHB=0,

运算称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本领件是互不相容的。

C-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为可。它表达A不发

生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分派率：(AB)UC=(AUC)A(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)

800

QA=[JAi______________

德摩根率：I-i=Afi8=AU3

设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数p(A),若

满足下列三个条件：

1。OSP(A)W1,

2°P(Q)=1

(7)概率

的公理化3°对于两两互不相容的事件A,Az,…有

定义仙J这P(4)

3=17M

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件4的概率c

1°C=｛外,g,

2。2(外)=尸(0)=…p(%)=L。

n

(8)古典设任一事件A,它是由外，。2…9”组成的，则有

概型

尸〃六｛屹)U(。2)U…U3.)｝=P⑷)+p3)+•••+p®)

_6_A所包含的基本事件数

■〃■基本事件总数

若随机实验的结果为无限不可数并且每个结果出现的也许性均匀，同时样本

空间中的每一个基本领件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机实验为

(9)几何几何概型。对任一事件A,

概型

24)二丛"。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。

L(Q)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

(10)力口

当AB不相容P(AB)=0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

法公式

当AB独立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

P(A-B)=P(A)-P(AB)

(11)减当BuA时，P(A-B)=P(A)-P(B)

法公式

当A=Q时，P(B)=1P(B)

定义设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称名4"为事件A发生条件下，

P(A)

(12)条事件B发生的条件概率，记为尸(8/4)=生也。

件概率P(A)

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Q/B)=1=>P(豆/A)=1-P(B/A)

乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)

(13)乘更一般地，对事件Al,A2,…An,若P(AA…AQ>0,则有

法公式P(AIA2...A”)=P(A})P(A214)尸(A314A2)....P(An\A\Az...

An-1)o

①两个事件的独立性

设事件A、8满足P(A8)=P(4)P(8),则称事件A、8是互相独立

的。

(14)独若事件A、8互相独立，且P(A)>0,则有

立性

P⑻川=3=3^=尸⑶

P(A)P⑷

若事件A、3互相独立，则可得到1与3、A与豆、入与否也都互相

独立。

必然事件。和不也许事件0与任何事件都互相独立。

0与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，假如满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C互相独立。

对于n个事件类似。

设事件友，…,以满足

10…,两两互不相容，尸(B)>°(i=1,2，

(15)全2°»=>,

概公式则有

P(A)=P(B)P(A|Bi)+P(Bi)P(A|&)+…+P(B”)P(A|B”)

0

全概率公式解决的是多个因素导致的结果问题，全概率公式的题型：将实

验可当作分为两步做，假如规定第二步某事件的概率，就用全概率公式；

设事件员，…，&及A满足

1°Bi,Bit…，&两两互不相容，P®)〉。，i=i,2,…，，?，

n

2。V,P(A)>0,

则

P(BJA)=a)P(A/B1日,…

(16)贝

叶斯公式之P(Bj)P(A/Bj)

7=1

此公式即为贝叶斯公式。

Pg),(i=l,2,…，〃),通常叫先验概率。P(B,/A),(i=l,

2,…，〃)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规

律，并作出了“由果朔因”的推断。将实验可当作分为两步做，假如求在第

二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。

我们作了几次实验，且满足

♦每次实验只有两种也许结果，A发生或A不发生：

♦〃次实验是反复进行的，即A发生的概率每次均同样；

♦每次实验是独立的，即每次实验A发生与否与其他次实验A发生与

(17)伯否是互不影响的。

努利概型这种实验称为伯努利概型，或称为〃重但努利实验。

用〃表达每次实验A发生的概率，则可发生的概率为1-〃=。，用户〃(口

表达〃重伯努利实验中A出现n)次的概率，

，，k=0,1,2,•••,/?

第二章随机变量及其分布

(1)离地离散型随机变量X的也许取值为Xh(k=l,2,…)且取各个值的概率，即事

散型随机件(X=XJ的概率为

变量的分P(X=Xk)=p4,k=l,2,•••,

布律则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形

式给出：

X|X1,X2,…,乂,…

P(X=Xi)pi,pz,…，pk,…°

显然分布律应满足下列条件：

8

Zpk~1

(1)PA-0,4=1,2，…，(2)A=I。

(2)连设尸“)是随机变量X的分布函数，若存在非负函数/(幻，对任意实数”，

续型随机

有

变量的分

布密度F(x)=[j(x)dx

则称X为连续型随机变量。/(X)称为X的概率密度函数或密度函数，简称概

率密度O

密度函数具有下面4个性质：

1、小)5

rf(x)dx=\

2、Jr0

3、P(x<X4£)=F(X2)-/(再)=pf(x)dx

4、P(x=a)=O,a为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0

(3)离P(X=x)aP(x<X<x+dx)工f(x)dx

散与连续积分元f{x}dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X=X。=Pk在离散

蛰随机变

量的关系型随机变量理论中所起的作用相类似。

(4)分设X为随机变量，x是任意实数，则函数

布函数F(x)=P(X<x)

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P(a<X<b)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(。,句的概率。分布

函数/(A：)表达随机变量落入区间(-8,X]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0<F(x)<1,—oo<x<+oo；

2°尸(工)是单调不减的函数，即MCX2时，有F(x.)<F(X2);

3°F(-co)=liinF(x)=0,F(+x>)=limF(x)=1；

4°F(X4-0)=FU),即歹(x)是右连续的；

5°P(X=x)=F(x)-F(x-0)。

对于离散型随机变量，尸(x)=Z&；

xk<x

X

对于连续型随机变量，F(x)=jf{x}dxo

一8

(5)A0-1分布P(X=l)=p,P(X=O)=q

大分布二项分布在〃重贝努里实验中，设事件A发生的概率为事件A发生的

次数是随机变量，设为X,则X也许取值为

P(X=k)=P〃(k)=cMqi,其中

(7=1-〃,0<p<\,k=0,1,2,•••,«,

则称随机变量X服从参数为〃，〃的二项分布。记为

X~p)o

当〃=1时，P(X=k)=p£qi,k=OA,这就是(0-1)分

布，所以(0T)分布是二项分布的特例。

泊松分布设随机变量X的分布律为

升

P(x=k)=-e",2>0,&=0,1,2…，

k\

则称随机变量X服从参数为；1的泊松分布，记为X〜乃(㈤或者

P(2)o

泊松分布为二项分布的极限分布(np=X,n-8)。

几何分布P(X=k)=qk1p,k=1,2,3,»其中p20,q=l-po

随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。

均匀分布设随机变量X的值只落在［小b］内，其密度函数"X)在1,b］±

1

为常数-即

ba

1,aWxWb

/(x)=«b-a'.u...

0,具他,

则称随机变量X在［a,b］上服从均匀分布，记为X~U(a,b)0

分布函数为

0,x<a»

x-a

b-a'aWxWb

1<

尸(x)=If{x)dx=

J-00

X.1,x>bc

当a<x<X3<b时,X落在区间(山，工2)内的概率为

X,一再

P区<X<X2)-b-a0

指数分布

rUx>0

/(X)=Y

x<0

J0,

其中X>0,则称随机变量X服从参数为4的指数分布。

X的分布函数为

尸

1-「，X>0

F(x)，

°，x<o„

记住积分公式：

+X

"-5二〃！

D

正态分布

设随机变量X的密度函数为

f(x)=,__e2°2,-8VXV+8,

而G

其中〃、为常数，则称随机变量X服从参数为“、。

的正态分布或高斯(Gauss)分布，记为X'NQ/.b1)。

/(幻具有如下性质：

1°”冷的图形是关丁'=〃对称的；

2°当'一〃时，/(〃)=]——为最大值;

,J27rb

若X〜N(〃,b),则x的分布函数为

1

F(x)=/Ce2/dt

722J-oo

参数4=°、。=1时的正态分布称为标准正态分布，记为

X~N(0,l)p其蚓变函数记为

(p(x)=-r=e2

727r,—covxv+co,

分布函数为

G(x)=—==fe2dto

小/、而-oo

①(九)是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

①(-x)=1-①(x)且①(0)=—。

Y2

假如X“N(",b2),则一^〜N(0,l)。

p(2<x气)=三｝

(6)分

下分位表：

位数P[X<jua)=a；

上分位表：P(X>〃a)=a。

(7)函离散型

数的分布已知X的分布列为

函数X片，北,…,X”,…

P(X=Xi)pi,〃2,…,p»,•••

y=g(x)的分布列(%=g(x)互不相等)如下:

Yg(H)，g(X2),…,g(x“)，…

P(Y=y.)

若有某些13端等,“的应寤机缢1p；•相加作为g(r)的概率，

连续型，；G)=〃{>=}=，心(*)4f}■!八(¥出

利用>'■x(V加分的由数叼密度谒陵之间的

x系求v密度函数

先运用X的概率密度fx(x)写出Y的分布函数FY(y)=P(g(X)W

y),再运用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。

(2)定理法：

当Y=g(X)严格单调并且可导时：

,1、，3a3V

(1)川外一］<>,四它.

其中h，(y)是g(x)的反函数

第三章二维随机变量及其分布

(1)联合离散型假如二维随机向量J(X,Y)的所有也许取值为至多可列

分布个有序对(X,y),则称4为离散型随机量。

设看二(X,Y)的所有也许取值为

(天，刀)a./=12…)，且事件{g=(七，刀)}的概率为p：,,称

p{(x,y)=(知力)}=p,(i,j=i,2,…)

为小二(X,Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分

布有时也用下面的概率分布表来表达：

•♦••••

Xyiyiyj

••••••

XipnPnPu

••••••

X2P?IP22P2J

**

••*

•**•

••••••

XiPn%

*•*••

*

这里处/具有下面两个性质：

(1)加却(i,j=l,2，…)；

(2)ZZPq=L

ij

连续型对于二维随机向量4=(x,y),假如存在非负函数

/(X，y)(-8VXV+8,-8<y<+8),使对任意一个其邻边

分别平行于坐标轴的矩形区域D,即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}

有

P{(X,y)^D)=jj/(r,jWy,

则称J为连续型随机向量；并称f(x,y)为4=(X,Y)的分布

密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f(x,y)具有下面两个性质：

(1)f(x,y)20;

(2)J：/(x,y)dxdy=1.

(2)二维g(x=x,y=y)=4(x=xny=y)

随机变量

的本质

(3)联合设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

分布函数F(x9y)=P{X<x,Y<y]

称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布

函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{(幼)1YOvX(G])w<y(32)<y]的概率为函数值的一个实值函

数。分加函数F(x,y)具有以下的基本性质：

(1)0<F(x,y)<l；

(2)F(x,y)分别对x和y是非减的，即

当X2*时，有F(x2,y)》F(x”y);当y2>yi时，有F(x,y?)3F(x,yj;

(3)F(x,y)分别对x和y是右连续的，即

F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x9y+0);

(4)F(-oo,-oo)=F(-oo,y)=F(x,-oo)=0,产(+co,+oo)=1.

(5)对于斗<x2,y<y2,

P(xi<x^x2,yi<j<y2)=F(X2,y2)-F(x2,川)一尸(如y2)+F(x,,)>0

(4)离散P(X=x,Y=y)^P(x<X<x+dx,y<Y<y+dy)«/(%,y)clxdy

型与连续

型的关系

(5)边沿离散型X的边沿分布为

分布P"P(X=Xj)=£p/i,/=l,2,…)；

Y的边沿分布为

%=p(y=x)=ZPW=I,2,…)。

i

连续型X的边沿分布密度为

工(1)=匚/(占)')")'；

Y的边沿分布密度为

fY(y)=y)d*

(6)条件离散型在已知的条件下，丫取值的条件分布为

分布P(y=y/X=Xj)="

亿.

在已知修0的条件下，X取值的条件分布为

p(X3|y=x)=互，

P・j

连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

〃九1》)=今兴；

fy(y)

在已知X=x的条件下，丫的条件分布密度为

fxM

(7)独立一般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)

性离散型Ptj=Pi.P.j

有零不独立

连续型

f(x,y)=fx(x)fr(y)

直接判断，充要条件：

①可分离变量

②正概率密度区间为矩形

二维正态分

।(*-〃1丫2。(*-*)()'-必)/y-ft2?

布、12(1-02)[5)W21%}

/(x,y)一1-----彳€

2的。2Ji一0〜

p=0

随机变审的若X1,X2，…汽…Xn互相独立,h,g为连续函数,则：

函数h(XuX2,-XJ和g(XM,…Xn)互相独立。

特例：若X与Y独立，则：h(X)和g(Y)独立。

例如:若X与Y独立,则：3X+1和5丫-2独立。

(8)二维设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

均匀分布1

f(x,y)=，

o,其他

其中5D为区域D的面积，则称(X,Y)服从D上的均匀分布，记为(X,

Y)〜U(D)o

,y

d

A

77J7

图3.3

(9)二维设随机向量(X,Y)的分布密度函数为

正态分布

/(］，)')=i------TL」，

2TZCFICT2Jl—/7一

其中〃”2,6>0,。2>0，1P1<1是5个参数,则称(X,Y)服从二维正态

分布，

记为(X,Y)〜N(2).

由边沿密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边沿分布仍为正态分

布，

即X〜N(〜Ng0；).

但是若X〜N〜N(42.b；)，(X,Y)未必是二维正态分布。

(10)函Z=X+Y

根据定义计算：Fz(z)=P(Z<z)=P(X+r<z)

数分布+00

对于连续型，fz(z)=j/(x,z-x\Zx

两个独立的正靠分布的和仍为正态分布

(41+42，b：+b；)o

n个且相向立的止云分布的线性组合，仍服从止态分布。

〃=Z。=Z

ii

Z=max,niin(若X1,X2…X”互相独立，其分布函数分别为

XX,-X)

h2n(),则的分布

F人1(x),人F2(%)•••,F1«XZ=max,min(Xi,X2,…Xn)

函数为：

FmaxW=Q(%)*”(力…&,(%)

产min(M=1-U-&(切”1一尸心(切…[1—心(刈

第四章随机变量的数字特性

a

1)离散型连续型

维

一

机盼望设X是离散型随机变量，其设X是连续型随机变量，其概

随

量盼望就是平均值分布律为P(X=X,)=Pk,率密度为f(x),

变+<30

数

的k=l,2,…，n,

特E(X)=\xf{x}dx

字

E(X)=£xm—

性

k=\(规定绝对收敛)

(规定绝对收敛)

函数的盼望Y=g(X)Y=g(X)

凤y)=fg(&m

E(Y)=jg(x)f(x)dx

Jt=l

-00

方差-KO

D(X)=E[X-O(X)=ZK—E(X)]2p«D(X)=j[x-E(X)ff(x)dx

2-00

E(X)],人

标准差

(T(x)=jax)

1

2)(1)E(C)=C

望

盼

性(2)E(CX)=CE(X)

的

质(3)E(X+Y)W(X)+E(Y),E1(汽C,XJ=^C.E(Xf)

i=\i=\

(4)E(XY)=E(X)E(Y),充足条件：X和丫独立；

充要条件：X和丫穴相关。

(3)(1)D(C)=O；E(C)=C

方差(2)D(aX)=a2D(X)；E(aX)=aE(X)

的性(3)D(aX+b)=a?D(X)；E(aX+b)=aE(X)+b

质(4)D(X)=E(X2)-E2(X)

(5)D(X±Y)=D(X)+D(Y),充足条件：X和Y独立;

充要条件：X和丫不相关。

D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))],无条件成立。

而E(X+Y)=E(X)+E(Y),无条件成立。

盼望方差

0-1分布

PI

仅1,P)P(-p)

二项分布

np叩Q-〃)

B(n,p)

>泊松分布

(422

常尸⑷

见

分

布几何分布\_1一〃

的

盼G(p)P2

望P

和

方

茎超几何分布nM

H(n,M,N)N

均匀分布a+b3-4)2

U(a,b)212

指数分布J_1

eW7

正态分布

<72

G

盼望E(X)=fxjPj.-KO

5)维

二