第24章 圆（全章中考常考点分类专题）（教师版）-人教版(2024)九上

专题24.20圆（全章中考常考点专题）（全章专项练习）第一部分【题型目录】【考点1】垂径定理及其推论...............................................................................................................1【考点2】弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系..................................................................................4【考点3】圆周角定理及其推论...........................................................................................................8【考点4】圈内接四边形的性质.........................................................................................................12【考点5】点与圆的位置关系.............................................................................................................15【考点6】直线与圆的位置关系.........................................................................................................19【考点7】切线的性质及判定.............................................................................................................22【考点8】三角形的外接圆和内切图..................................................................................................26【考点9】正多边形与圆的关系.......................................................................................................30【考点10】弧长与扇形面积的有关计算............................................................................................33【考点11】圆锥的有关计算..............................................................................................................37【考点12】阴影部分面积的计算.......................................................................................................39第二部分【题型展示与方法点拨】【考点1】垂径定理及其推论【1-1】（2023·浙江金华·中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．(2)已知的半径为4，，求弦的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据切线的性质及有三个角是直角的四边形是矩形判定即可．（2）根据矩形的性质、垂径定理及圆的性质计算即可．（1）证明：∵与轴相切于点，∴轴．∵，∴，∴四边形是矩形．（2）如图，连接．

四边形是矩形，．在中，，．点为圆心，，．【点拨】本题考查了矩形的判定，垂径定理，圆的性质，熟练掌握矩形的判定和垂径定理是解题的关键．【1-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可；解：如图，连接，∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，，∴，，设拱门所在圆的半径为，∴，而，∴，∴，解得：，∴拱门所在圆的半径为；故选B【1-3】（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为．【答案】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．解：∵，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：．【考点2】弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系【2-1】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为点E．连接交于点G，连接．(1)求证：；(2)若，求的半径及的长．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）先利用已知条件和垂径定理证明，然后根据证明，然后利用全等三角形的性质即可解答；（2）如图：连接，设的半径为r,由，列出关于r方程求解即可．（1）证明：∵点C为的中点，∴，∵是的直径且，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴,∴；（2）解：如图:连接，设的半径为r,在中，，即，在中，，即，∵，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去），∴，∴或（舍去），∴．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定、勾股定理等知识点，正确作出辅助线以及掌握数形结合思想是解题的关键．【2-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（

）A． B． C．4 D．3【答案】D【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的=关系，垂径定理和三角形中位线性质．作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到．解：作于，作直径，连接，如图，，而，，，，，，而，为△的中位线，．故选：D．【2-3】（23-24九年级上·江苏苏州·期中）将半径为5的如图折叠，折痕长为6，C为折叠后的中点，则长为．【答案】3【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦的关系和勾股定理．延长交于D点，交于E点，连接，如图根据圆心角、弧、弦的关系由得到，则可判断垂直平分，则，再利用勾股定理计算出，所以，然后利用C点和D点关于对称得到，最后计算即可．解：延长交于D点，交于E点，连接，如图，∵C为折叠后的中点，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，在中，，∴，∵沿折叠得到，垂直，∴C点和D点关于对称，∴，∴．故答案为：3．【考点3】圆周角定理及其推论【3-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，的直径为10，弦为6，是的中点，弦和交于点，且．(1)求证：；(2)求证：；(3)求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明；（2）根据题意可得，则，再证明，即可证明；（3）过作于点，连接，，利用等弧所对的圆周角相等证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可．（1）证明：，，，，，；（2）证明：是的中点，，，，，即，；（3）解：过作于点，连接，，为的直径，，，由（2）可知：，，由勾股定理得：，，，，在等腰直角三角形中，，在中，，．【点拨】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键．【3-2】（24-25九年级上·全国·期末）如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤；⑥．其中一定成立的是（）A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤【答案】D【分析】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．①由直径所对圆周角是直角，②根据三角形外角的性质和圆周角定理可作判断，③由平行线得到，再由同圆的半径相等得到结论判断出；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到和中对应相等的边，所以不一定全等．解：①是的直径，，，故①正确；②，，当时，，故②不正确；③，，，，，平分，故③正确；④是的直径，，，，，点为圆心，，故④正确；⑤由④有，，点为中点，是的中位线，，故⑤正确；⑥和中，没有相等的边，与不全等，故⑥不正确；综上可知：其中一定成立的有①③④⑤，故选：D．【3-3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是的外接圆，是的高，且，，，E是上一个动点，不与A，C重合，则．【答案】/45度【分析】本题考查了勾股定理、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质，连接，由勾股定理得出，证明是等腰直角三角形，得出，再由圆周角定理即可得解．解：如图：连接，，∵是的高，∴，∵，，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵和所对的弧都为弧，∴，∴故答案为：．【考点4】圈内接四边形的性质【4-1】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，连接，E为延长线上一点，且平分．(1)如图①，若，求证：为等边三角形；(2)如图②，若，求的半径．【答案】(1)证明见解析；(2)的半径为【分析】本题考查了角平分线的定义、圆内接四边形的性质、同弧所对圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂直平分线的性质，解本题的关键在正确作出辅助线和熟练掌握相关的性质定理．（1）利用圆的内接四边形的性质，圆的性质，角的平分线的意义，证明即可．（2）过点作于点，连接，根据（1）中，得出，根据等腰三角形三线合一的性质，得出，再根据勾股定理和垂直平分线的性质，得出的长和垂直平分，进而得出圆心在的垂直平分线上，再设的半径为r，再根据勾股定理，列出方程，解出即可得出的半径．（1）证明：∵平分，∴．∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等边三角形．（2）解：如图，过点作于点，连接，由（1）知：∴，∵，∴，∴，垂直平分，∵，∴圆心在的垂直平分线上，∴，设的半径为r，在中，∵，∴，解得：，∴的半径为．【4-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为，点M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（

）

A．4 B．5 C．6 D．2【答案】A【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键．解：∵、、、都在圆上，，∴，∵，∴是的直径，，∵，∴，∴，∴的半径为4，故选：A．【4-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线l与相交于点是的直径，于点D．若，则y关于x的函数解析式为．【答案】【分析】本题主要考查圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得，由三角形外角的性质，可求得的度数，又由圆的内接四边形的性质，继而证得结论．解：连接．是的直径，．∵四边形是的内接四边形，．．，．故答案为：．【考点5】点与圆的位置关系【5-1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，是的外接圆．(1)求的半径；(2)若在同一平面内的也经过B、C两点，且，请直接写出的半径的长．【答案】(1)；(2)或【分析】（1）过点作，垂足为，连接、，根据勾股定理即可求解；（2）分点在点的上方和下方，两种情况，进行求解即可．解：（1）过点作，垂足为，连接、，，，垂直平分，，点在的垂直平分线上，即在上，，，在中，，，，设，则．在中，，，即．解得，即的半径为；（2）当也经过、两点，且，如图：设，∵，则或，∵，或．∴的半径的长为或．【点拨】本题考查了三角形外接圆、等腰三角形的性质、勾股定理、垂径定理，解决本题的关键是准确确定点的两个位置．【5-2】（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在中，，，，P为边上的一点，以P为圆心，长为半径作圆，则当点C在圆内，点A在圆外时，线段的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．当点C在圆内，则，当经过点A时，则，，要使得点A在圆外，则，即可求解．解：当点C在圆内，∴，当经过点A时，则，∵，∴此时，∴要使得点A在圆外，则，∴满足题意时，，故选：A．【5-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的外接圆面积为．【答案】【分析】设这个直角三角形的斜边为，根据勾股定理，得到，将其代入，解得，即得到这个直角三角形的外接圆直径，进而求得这个直角三角形的外接圆面积．解：设这个直角三角形的斜边为，由题意得，，∵，∴，令，则有，，整理得，，解得，，∴，，∵，∴，∴，即，∵为直角三角形的斜边，∴，∵，，∴，∴这个直角三角形的外接圆直径为，半径为，∴这个直角三角形的外接圆面积为，故答案为：．【点拨】本题考查了勾股定理，换元法解一元二次方程以及三角形的外接圆的相关性质及面积，灵活运用以上知识点是解题的关键．【考点6】直线与圆的位置关系【6-1】（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，是的角平分线，点是上一点，与相切于点，与交于点、．(1)求证：是的切线；(2)连接，若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】此题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质和判定，等腰三角形的性质，灵活运用三角形的内角和定理进行运算是解决问题的关键．（1）连接，过点作于，先根据切线的性质得，再由角平分线的性质得，进而根据切线的判定可得出结论；（2）设，根据角平分线的定义得，，再由得，由得，由此得，然后根据求出，进而可得的度数．（1）证明：连接，过点作于，如图所示：点为的圆心，为的切线，切点为，为的半径，且，为平分线，点为上的点，且，，，即为的半径，是的切线；（2）解：设，为平分线，，，，，，，，，，即，，．【6-2】（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以CD为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么AD长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线AB和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案．解：根据题意，得圆必须和直线AB相交，设直线AB和圆相切于点E，连接，则，，又∵，∴此时．根据梯形的中位线定理，得，∴，∴，∴直线要和圆相交，则．故选D．【6-3】（10-11九年级下·全国·阶段练习）如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么秒种后与直线相切．【答案】4或8【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质．分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间．解：当点在射线时与相切，如图，过作于，，，，的圆心在直线上向右移动了后与相切，移动所用的时间（秒；当点在射线时与相切，如图，过作与，，，，的圆心在直线上向右移动了后与相切，移动所用的时间（秒．故答案为4或8．【考点7】切线的性质及判定【7-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，为的一条弦，切于点，直线交于点E，交于点C．(1)求证：是的切线；(2)若交直线于点D，交于另一点F．①求证：；②若，求的半径．【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②5【分析】（1）连接，．证明，推出即可解决问题．（2）①连接，想办法证明即可解决问题．②利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．（1）证明：连接，．是的切线，，，，，，，，，是的切线；（2）①证明：连接．，，，，，，，，，，，，，，即，．②解：，，，，，，，，设，在中，，，，的半径为5．【点拨】本题属于圆综合题，考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．【7-2】（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键．根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果．解：如图，连接，∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，即，∴，∵，是的切线，根据切线长定理得，∴，∴，∴．故选：C．【7-3】（2024·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，，则的长为．

【答案】【分析】连接、，根据切线的判定可证是的切线，再根据切线长定理可得，，由切线的性质可得，再由平行线的性质与等腰三角形的判定可得，可得，再利用勾股定理求解即可．解：连接、，∵，是的半径，∴是的切线，∵是的切线，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，∴，故答案为：．

【点拨】本题考查切线的判定与性质、切线长定理、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质和切线长定理是解题的关键．【考点8】三角形的外接圆和内切图【8-1】（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；（2）连接，证出即可得证；（3）连接，，，证出即可得证．（1）证明：点I是的内心，平分，，，，．（2）证明：如图，连接，点I是的内心，平分，平分，，又，，，，，．（3）证明：如图，连接，，，，．，∴点D是的外心．【点拨】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.【8-2】（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案．解：如图，连接，∵点是的内心，∴平分，∵，∴，∵点是外接圆的圆心，∴，∵，∴，故选：C．【8-3】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，周长为18，，圆O是的内切圆，圆O的切线与、相交于点M、N，则的周长为．

【答案】【分析】考查了三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识，根据切线长定理得到，然后利用三角形的周长和的长求得和的长，从而求得的周长，解题的关键是利用切线长定理求得和的长．解：∵圆是的内切圆，圆的切线与相交于点∴，，，，，∵周长为，，∴，∴的周长为：，故答案为：．【考点9】正多边形与圆的关系【9-1】（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，AD交，于，，求证：(1)；(2)．【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解；（2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解．（1）证明：如图所示，连接，则，∵是内接正十边形的边长，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∵内接正十边形，∴，∴，∴，∴；（2）证明：由（1）可知，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键．【9-2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（

）

A．12 B． C． D．【答案】C【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．解：如图，连接，，交于，

六边形是的内接正六边形，，，，∴为等边三角形，，，∵，∴，，，∴，∴，∴，，，故选：C．【9-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，正方形、等边三角形内接于同一个圆，则的度数为．【答案】30°/30度【分析】由，，已知图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，求得，则所对的圆心角为，所以的度数为．解：∵四边形是正方形，是等边三角形，∴，，∵连接，图形是以正方形的对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，∴，∵是所对的圆周角，∴所对的圆心角等于，∴的度数为，故答案为：30°．【点拨】本题考查了正多边形与圆，正方形及等边三角形的性质、圆周角定理和弧的度数，根据圆周角定理求出所对的圆心角的度数是解决本题的关键．【考点10】弧长与扇形面积的有关计算【10-1】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的弦，是外一点，，交于点，交于点，且．(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；(2)若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)与相切，理由见解析(2)【分析】（1）根据等边对等角得，根据垂直的定义得，即，则与相切；（2）根据三角形的内角和定理得到，推出是等边三角形，得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．解：（1）与相切，理由：连接，，，，，，，在中，，，即：，，又是半径，与相切；（2）解：，，，，，是等边三角形，，，，，，图中阴影部分的面积．【点拨】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．【10-2】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、BD相交于点E．若，则阴影部分面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理和弧之间的关系，扇形的面积等．连接，根据，得出，进而得到，利用即可求解．解：连接，∵是直径，∴，∵，∴，∴，∴，故选：B．【10-3】（2024·福建莆田·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为．【答案】【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求出的长．解：连接，∵四边形内接于为的直径，，平分，，，，，∴是等腰直角三角形，在中，，，∴，则的长，故答案为：．【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．【考点11】圆锥的有关计算【11-1】（23-24九年级上·广东云浮·期末）如图，是的直径，C、D为上的点，点E在的延长线上，直线经过点C，已知，．(1)求证：为的切线．(2)若，的半径等于，求绕旋转一周得到的几何体的表面积（结果保留）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接．根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论；（2）连接，可证是等腰直角三角形，进而得出，绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，利用圆锥的侧面积公式求解即可．（1）证明：如图，连接．，，，，，是的直径，点在上，，即．，，即．是半径，为的切线．（2）解：如图，连接，的半径等于，，．，，．是的直径，点为在上，，是等腰直角三角形，．由勾股定理，得，解得，绕旋转一周得到的几何体为两个相同的底面相对的圆锥，半径为，母线长为，表面积．【点拨】本题考查了圆的切线的判定，等腰三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，圆锥的侧面积公式等知识，掌握圆的相关性质，利用空想想象力判断出旋转后的几何体是解题关键．【11-2】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图已知扇形的半径为，圆心角的度数