第22章 二次函数能力提升测试卷（教师版）-人教版(2024)九上

第22章二次函数能力提升测试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．下列函数中，当x<0时，y随x的增大而减小的是（

A．y=2x+2 B．y=-x2【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数的性质以及二次函数的性质，正比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．根据一次函数以及二次函数的增减性即可进行解答．【详解】A：y=2x+2为一次函数，斜率k=2>0，故当B：y=-x2是开口向下的抛物线，顶点在原点．当xC：y=-x2+2开口向下，顶点为0,2．当D：y=2x2+2是开口向上的抛物线，顶点为0,2．当故选：D．2．将函数y=2x2的图象向左平移1A．y=2(x-1)2 B．y【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据二次函数图象平移的规律，左加右减，确定平移后的函数表达式．【详解】解：将函数y=2x2的图象向左平移1个单位后，根据“左加右减”故选C．3．关于抛物线y=-A．开口向上 B．对称轴是直线xC．与x轴无交点 D．函数的最大值是3【答案】D【分析】本题主要考查二次函数系数与图像的关系，理解并掌握二次函数中系数与图像开口，对称轴，与x，y轴交点的特点，顶点坐标的计算方法是解题的关键．根据二次函数的性质直接逐个判断即可得到答案．【详解】A．在抛物线y=-x+2B．在抛物线y=-x+22+3C．令y=0，即-(x+2)2D．因为抛物线y=-(x+2)2+3中故选：D．4．二次函数y=-13A．y=-13C．y=-13【答案】B【分析】本题考查了将二次函数化成顶点式，熟练掌握配方法是解题关键．利用配方法将二次函数化成顶点式即可得．【详解】解：-=-=-=-1则二次函数y=-13故选：B．5．飞机着陆后滑行的距离sm关于滑行的时间ts的函数关系式是s=-1.5A．10 B．15 C．20 D．30【答案】C【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握配方法是解题的关键．把二次函数解析式转化为顶点式，求出t为何值时s取最大值即可求解．【详解】解：∵s=-1.5又∵a=-1.5<0∴当t=20时，s即飞机着陆后滑行20秒才能停下来．故选：C．6．已知二次函数y=x-a-3x+a，点AA．-4≤x2≤-1 B．-1≤x【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先求出该二次函数的图象与x轴的交点分别a+3,0，-a,0，从而得出该二次函数图象的对称轴为直线x=32，根据对称性得出【详解】解：当y=0时，x解得：x=a+3∴该二次函数的图象与x轴的交点分别为a+3,0，-∴该二次函数图象的对称轴为直线x=∵该二次函数的图象开口向上，∴当x≤32时，y∵A-1,y1∴y1≥故选：B．7．若关于x的一元二次方程mx2-6mxA．m<13 B．0<m≤13 C【答案】D【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ=b2-4ac≥0【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx∴Δ解得：m≤0或m又∵m∴m<0或故选：D．8．已知点Pm,n在二次函数y=x2+2x-3的图象上，且点A．-3<n<5 B．-3≤n<5【答案】D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据点Pm,n在二次函数y=x2+2x-3的图象上，可得：n=m+1【详解】解：∵点Pm,n∴n∵点P到y轴的距离小于2，∴-2<m∴-1<m∴0≤m∴-4≤m∴-4≤n故选：D．9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a，b为常数，且a≠0A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数的性质是解题的关键．根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数y=ax+b中a、b的正负情况与二次函数y=【详解】解：A、由二次函数图象可知：a>0，b>0，由一次函数图象可知：B、由二次函数图象可知：a>0，b>0，由一次函数图象可知：C、由二次函数图象可知：a>0，b<0，由一次函数图象可知：D、由二次函数图象可知：a>0，b<0，由一次函数图象可知：故选：B．10．已知二次函数y=-x2+4x+5及一次函数y=-x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到A．-9<b<0 B．-294<【答案】B【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程-x2+4x+5=0得A(-1,0)，B(5,0)，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=(x+1)(【详解】解：如图，当y=0时，-x2+4x+5=0，解得x1将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=(即y=当直线y=-x+b经过点A(-1,0)当直线y=-x+b与抛物线y=所以当直线y=-x+b与新图象有4个交点时，故选：B．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）11．抛物线y=12x2-2与x【答案】2,0,-【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，当y=0时，即可求出抛物线y=12x2-2与【详解】解：当y=12x2解得：x1=2，则抛物线y=12x2当x=0时，y则抛物线y=12x2故答案为：2,0,-12．若平行于x轴的直线与抛物线y=a(x-【答案】(5,2)【分析】此题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出对称轴为直线x=2【详解】解：∵抛物线y=a(x-2)2∴另一个交点的坐标为(2×2-(-1),2)，即(5,2)，故答案为：(5,2)．13．若二次函数y=311(x-5)2的图象上有点A4,y1,B6,【答案】=【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的对称性比较函数值的大小即可．【详解】解：抛物线y=311∴点A4,y1∴y故答案为：=．14．当n≤x≤n+1时，若二次函数y=x2【答案】2-3或【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由y=x2-4x+3=x-22-1，可得抛物线开口向上，当x=2时，y取最小值为-1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x=n时或当x=n【详解】解：由题意，∵y=∴抛物线开口向上，当x=2时，y取最小值为-∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大．∴当x=n时或当x=①当x=n时，y取最大值，此时2n又∵此时y最大值为n2∴n=2+3（不合题意，舍去）或②当x=n+1时，y取最大值，此时2又∵此时y最大值为n+1∴n=1+3或综上，n=2-3或故答案为：2-3或1+三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(1)求抛物线的解析式，并求抛物线的顶点坐标；(2)求△ABC【答案】(1)y=-x2(2)6【分析】本题考查了二次函数的性质、待定系数法去抛物线的解析式、求三角形面积，掌握以上知识点是解题的关键．（1）将A、B点的坐标代入解析式求出y=-（2）首先求出OC=3，AB【详解】（1）将A-1,0、--解得：b∴抛物线解析式为y=-∵y=-∴顶点坐标为1,4；（2）如图，连接BC当x=0时，∴C∴OC∵A-1,0、∴AB∴△ABC的面积=16．（8分）某工厂现有40台机器，每台机器平均每天生产192件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．(1)如果增加x台机器，每天的生产总量为y件，请你写出y与x之间的关系式；(2)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？【答案】(1)y(2)增加4台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是7744件【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式，利用配方法求最大值是解答本题的关键．（1）根据题意：生产总量=每台机器平均每天生产的产品数×机器数，列出关系式即可；（2）根据（1）列出的二次函数关系式，求出最大值即可．【详解】（1）解：由增加x台机器，且每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品，则每台机器平均每天生产192-4x根据题意得：y=由192-4x解得：x<48则y=-4（2）解：∵y=-4∵a=-4<0，0<∴当x=4时，y有最大值7744则增加4台机器，可以使每天的生产总量最大，最大生产总量是7744件．17．（8分）如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽12m，桥洞顶部离水面4(1)请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式．(2)若有一艘船的宽度为4m，高度为3【答案】(1)作图见解析，y(2)能通过【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是建立平面直角坐标系，熟练掌握待定系数法．（1）先建立平面直角坐标系，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）把x=2代入抛物线解析式，求出y【详解】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一），设抛物线解析式为：y=把6,0代入，得36a解得：a=-∴y（2）解：当x=2时，y∴能通过．18．（8分）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式；(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．【答案】(1)y(2)能安全通过，见解析【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入12,0即可求解a，继而得到函数解析式；（2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可．【详解】（1）解：由题意得，顶点为122,8，即设抛物线的解析式为：y代入点12,0得a12-6解得：a=-∴抛物线解析式为y=-（2）解：能安全通过，理由如下：如图，由题意得：xA将x=2代入y则y=-∵409∴能安全通过．19．（8分）【问题背景】（1）小明以“种植农作物”为主题在自己家100平方米的土地上进行课外实践活动，现有A、B两种农作物的相关信息如表：A作物B作物每平方米种植株数（株）210单株产量（千克）1.20.5（2）经调研发现：种植A作物，每平方米每增加1株，A作物的单株产量就减少0.1千克；（3）若同时种植A、B两种作物，实行分区域种植．【问题解决】(1)种植A作物，设每平方米增加x株（x为正整数），用含x的代数式表示：①每平方米有________株；②单株产量为________千克．(2)要使A作物每平方产量达到4.8千克，则每平方米A作物应种植多少株？(3)设这100平方米的土地中有a平方米用来种植A作物（a≥10），且要求每平方米种植A作物产量达到最大，其余区域按每平方米种植10株B作物，当这100平方米的总产量不低于496千克时，求a【答案】(1)2+x，(2)每平方米应种植6株或8株(3)10≤【分析】本题考查二次函数，一元二次方程以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．（1）根据题意直接得出结论；（2）根据单株产量×每平米的株数=4.8列出方程，解方程即可；（3）现根据种植A作物每平米的产量=单株产量×每平米的株数列出函数解析式，根据函数的性质求出种植A作物每平米的最高产量，再根据100平米种植A作物和B作物的产量之和≥496列出不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设每平方米增加x株A作物（x为正整数），则每平方米有2+x株，单株产量为1.2-0.1故答案为：2+x，1.2-0.1（2）根据题意得：2+x整理得：x2解得：x1∴x1+2=4+2=6或答：每平方米应种植6株或8株；（3）设种植A作物每平方米的产量为y千克，根据题意得：y=∵-0.1<0∴当x=5时，y有最大值，最大值为4.9∴种植A作物每平方米最大产量为4.9千克，根据题意得：4.9a解得a≤40又∵a则a的取值范围是10≤a故答案为：10≤a20．（8分）综合与实践【问题背景】某课外科学活动小组研究一个小球在一条足够长且平直的轨道上的运动问题．如图，轨道起始段（AC段）绝对光滑，不存在阻力；剩余部分（CB段）粗糙，存在恒定的摩擦力，会使小球速度逐渐减小直至停止．【实验操作】活动小组经过研究，得出小球运动过程中速度v（单位：cms）与时间t（单位：s）的关系（如图1所示），以及路程s（单位：cm）与时间t（单位：s）的关系（如图2所示）．其中，图2中PQ段是抛物线s=-1【建立模型】任务1：根据图1和图2提供的信息，确定轨道初段AC的长度为_____cm；任务2：①求小球在粗糙轨道（射线CB对应部分）上运动时，速度vcms与时间②求小球从开始出发到最终停止，行进的总路程．【拓展延伸】任务3：在任务2的条件下，探究在粗糙轨道段（射线CB上）是否存在一节长为9.75cm的轨道，使得小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1秒．若存在，请求出这节轨道的起点与点A【答案】任务1：40；任务2：①v=-12t+12；②行进的总路程为140cm【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，关键是用待定系数法求出函数解析式．任务1：由图2可以得出轨道初段AC的总长；任务2：①用待定系数法求出v与t的函数解析式；②先求出抛物线的解析式，由①中解析式求出运动停止的时间，即可解答；（3）假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第m+1秒行驶至轨道终点，由小球在通过该段过程中，所用时间恰好为1s，求出m的值，再把m的值代入抛物线解析式求出轨道的起点与点【详解】解：任务1：由题意得：轨道初段AC的总长为10×4=40故答案为：40；任务2：①设v=则4k解得k=-∴v=-②根据题意将4,40,16,124代入s=-解得m=12∴s=-由①知小球在CB段速度vcms与时间ts当v=-12将t=24代入s=-1∴行进的总路程为140cm任务3：解：存在，假设存在这节轨道，且小球第m秒行驶至轨道起点，则第m+1由题意得：-1解得：m=4当m=4时，-14∴轨道起点与点A之间的距离为40cm21．（10分）已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图象与(1)求二次函数的表达式及A点坐标；(2)D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求△ACD面积最大时点D(3)M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的