第21章 一元二次方程能力提升测试卷（教师版）-人教版(2024)九上

第21章一元二次方程能力提升测试卷（考试时间：90分钟试卷满分：100分）单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．用配方法解一元二次方程x2+4xA．x+22=1C．x-22【答案】A【分析】本题考查的是解一元二次方程，先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可．【详解】解：x2x2x2x+2故选：A．2．在宽为20m，长为32m的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小矩形田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m2，设道路的宽为xA．(32-x)(20-xC．1432-x【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，属于简单题，平移道路形成新的矩形是解题关键．将阴影部分推至左上角，计算空白部分面积即可．【详解】如下图，将道路推至左上角，形成新矩形田地，∵道路的宽为x米，∴新矩形田地长为(32-x)m∵每小块试验田的面积为135m2，即新矩形面积为∴(32-x整理得14故选：C．3．若关于x的一元二次方程m-1xA．m<54 B．m<54且m≠1 C【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及判别式的应用，根据题意得出m-1≠0，【详解】解：∵关于x的一元二次方程m-∴m-1≠0，∴m≤54且故选：D．4．若x=2025是关于x的方程ax2+bx+1=0的一个根，则关于A．2023 B．2024 C．2025 D．2027【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根为2025，可得出关于x+2【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+∴关于x+2的一元二次方程ax+22即x+2=2025解得：x=2023故选：A．5．对于任意实数a，b，定义新运算“Δ”：aΔb=a2-2ab-b2，例如：2A．27 B．-3 C．-2【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由(x+3)Δ2=0得：【详解】解：∵(x∴(x整理得：x2∵m，n是方程(x即m，n是方程x2∴m+∴1m故选：A．6．电影《哪吒2》于2025年1月29日上映，第一天票房约5亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约6亿，若把增长率记作x，则方程可以列为（

A．51+x=6C．5+51+x=6【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由第一天的票房及以后每天的增长率，可得出第二、三天的票房，即可得出关于x的一元二次方程．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】解：根据题意得：5(1+故选：B．7．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2-6A．8 B．10 C．8或10 D．8或9或10【答案】B【分析】本题考查等腰三角形的定义，解一元二次方程．求出一元二次方程的解，根据方程的两根为等腰三角形的腰和底的长，分类讨论求解即可．【详解】解：x2x-x-2=0或∴x1当腰为2，底为4时，因为2+2=4，不符合三角形三边的关系，舍去，当腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2=10．故选：B．8．对于实数m、n定义运算“☆”为m☆n=m2-4+mn，例如：A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，先根据新定义运算法则列出方程，再由根的判别式进行判断即可．【详解】解：∵m☆n=∴x2-4+3∴Δ∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．9．若一元二次方程x2+x-3=0A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键；根据m是方程x2+x【详解】解：∵一元二次方程x2+x∴m2∴m2∴2025-m故选：A．10．如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A出发，以2m/s的速度沿AC边向点C匀速运动，同时另一点Q从点C出发，以A．5s B．20s C．5s或20s D．5s或10s【答案】C【分析】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积公式等知识，解题的关键是把问题转化为方程，属于基础题，中考常考题型．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题．【详解】解：设运动时间为t秒，则有AP=2t，∴PC∴12∴12解得t=20或5∴t=20s或5s时，故选：D．填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．）11．关于x的方程x2+3x-m=0的两根为x1，【答案】-【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据x1+x2=-3，可得x1+2x1【详解】解：∵方程x2+3x-m∴x又∵2x∴x解得：x1∴x∴-m∴m故答案为：-312．若关于x的一元二次方程x2-mx+3=0的两个根分别为-1，【答案】-【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握其计算方法是关键．根据题意，把-1代入得到m=4，在根据一元二次方程根与系数的关系“x【详解】解：关于x的一元二次方程x2-mx+3=0的两个根分别为∴-1解得，m=-4∴一元二次方程为x2∴a+故答案为：-413．《新课程标准》将劳动从综合实践活动课中独立出来，劳动教育已纳入人才培养全过程．某校积极实施，建设校园农场．如图，该矩形农场长32m，宽20m，要求在农场内修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分作为试验田，且使试验田的面积为540m2．则道路的宽为【答案】2【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握等量关系是解题的关键．根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程即可．【详解】解：设道路宽为x，根据题意可得：(20-x解得(x解得x1故答案为：2．14．关于x的一元二次方程x2-2k-1x+k【答案】2或-【分析】此题考查主要了根与系数的关系，解一元二次方程，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0【详解】解：2k-1由题意得：m+n=2∵m2∴m+∴2k-1解得：k1=2，故答案为：2或-1三、解答题（本题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（8分）用合适的方法解下列一元二次方程：(1)x2(2)2x【答案】(1)x1=7，(2)方程没有实数根．【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用公式法解一元二次方程即可．【详解】（1）解：x2因式分解得x-即x-7=0，x解得x1=7，（2）解：2xa=2，b=-3，Δ=∴方程没有实数根．16．（8分）靖州杨梅享有“江南第一梅”的美誉，靖州作为杨梅之乡，当地政府为了把杨梅文化，打造成当地旅游名片，当地政府多次举办杨梅节活动．原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，并且每次降价的百分率相同．(1)请问每次降价的百分率为多少？(2)朴实水果店以36元每盒进货了200盒杨梅，计划以每盒标价50元出售．由于恰逢端午佳节，店铺准备开展大促销活动，所有商品一律八折．若要使200盒杨梅全部售出后的利润不少于2000元，则至少需要在促销活动开始前卖出多少盒？【答案】(1)40(2)120盒【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键．（1）设每次降价的百分率为x，根据原来每盒杨梅进货价为100元，经过两次降价后每盒进货价为36元，建立方程求解即可；（2）设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了200-m盒，根据利润不低于2000【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x，由题意得，1001-解得x=0.4=40%或答：每次降价的百分率为40%（2）解：设需要在促销活动开始前卖出m盒，则促销活动中一共卖了200-m由题意得，50-36m解得m≥120∴m的最小值为120，答：至少需要在促销活动开始前卖出120盒．17．（8分）已知关于x的方程：x2+2kx(1)求证：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若m、n是此方程的两个根，当k=1时，求代数式2025-【答案】(1)见解析(2)2015【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解的定义，正确变形、灵活应用整体思想是解题关键；（1）证明方程的判别式大于0即可；（2）当k=1时，原方程为x2+2【详解】（1）证明：∵Δ=4=12>0，∴不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：当k=1时，原方程为x∵m、n是此方程的两个根，∴m2∴m∴2025-=2025-=2025-2+4×=2015．18．（8分）数学兴趣小组利用长方形纸板制作礼品盒，选择长为60cm，宽为40(1)当礼盒底面的长是宽的4倍时，求该长方体礼品盒的体积；(2)当礼盒的侧面ABCD的面积为750cm【答案】(1)4032(2)5【分析】本题考查了一元二次方程和一元一次方程的实际应用，长方体的体积公式，正确理解题意是解题的关键．（1）设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是1260-2x=30-x，宽为x（2）设剪去的小正方形的边长为m，由题意得：30-m【详解】（1）解：设小正方形的边长为x，则礼盒底面的长是1260-2x由题意得：30-x解得：x=6∴长为30-6=24，宽为6，高为40-2×6=28，∴体积为：24×6×28=4032cm（2）解：设剪去的小正方形的边长为m，由题意得：30-m整理得：m2解得：m=5或m∴剪去的小正方形的边长为5cm19．（8分）根据以下素材，探索完成任务．如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？素材1某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为50元/件．素材2该商品的网上销售价定为70元/件，平均每天销售量是200件，在实体店的销售价定为90元/件，平均每天销售量是100件．按公司规定，实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价．素材3据调查，网上销售价每降低1元，网上销售量平均每天多售出40件，同时实体店的销售量受网上影响，平均每天销售量减少5件．问题解决任务1计算所获利润当该商品网上销售价为60元/件时，求公司在网上销售该商品每天的毛利润与实体店销售该商品每天的毛利润各是多少元？任务2拟定价格方案公司要求每天的总毛利润(总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润)达到8640元，求每件商品的网上销售价下降多少元？任务3优化价格方案当每件商品的网上销售价下降多少元时，该公司在网上销售与实体店销售的总毛利润最大？【答案】任务1：网上毛利润为6000元，实体店毛利润为2000元；任务2：网上销售价下降2元或8元；任务3：网上销售价下降5元时总毛利润最大【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键．任务1：依据题意，当网上售价降至60元/件时，下降幅度为：70-60=10(元)，从而网上销量增加40×10=400件，则总销量为200+400=600件，可得网上毛利润为：(60-50)×600=10×600=6000(元)；又实体店销量减少：5×10=50(件)，总销量为100-50=50(件)，则实体店毛利润为：(90-50)×50=40×50=2000(元)，进而得解；任务2：依据题意，设网上售价下降x元，总毛利润为8640元，从而网上毛利润为：(70-x-50)(200+40x)=(20-x)(200+40x)任务3：依据题意，由总利润函数为：-40【详解】解：任务1：由题意，当网上售价降至60元/件时，下降幅度为：70-60=10(元)；网上销量增加40×10=400件，∴总销量为200+400=600件．∴网上毛利润为：(60-50)×600=10×600=6000(元)．又实体店销量减少：5×10=50(件)，总销量为100-50=50(件)．∴实体店毛利润为：(90-50)×50=40×50=2000(元)．任务2：由题意，设网上售价下降x元，总毛利润为8640元，∴网上毛利润为：(70-x∴实体店毛利润为：(90-50)(100-5∴总利润方程为：(20-x∴-40∴-40∴x=8或∴每件商品的网上销售价下降2元或8元．任务3：依据题意，由总利润函数为：-=-40∴当x=5∴网上销售价下降5元时总毛利润最大20．（8分）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．①用配方法分解因式：a解：原式=②利用配方法求最小值：求a2解：a2+6a+5=a2+2a⋅3+32-32【应用】根据上述材料，解答下列问题：（1）填空：x2-12x+________=（x（2）将x2-3x+66【探究】若M=5a2+9a+6，【答案】【应用】（1）36，6；（2）x