全称量词与存在量词课后达标-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

.5.1全称量词与存在量词一．选择题1．下列命题不是存在量词命题的是()A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数D．存在x∈R，2x＋1是奇数2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，都有x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞33．下列存在量词命题是假命题的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的整数是偶数D．有的有理数没有倒数4．(多选)下列命题中，是真命题的是()A．空集是任何一个非空集合的真子集B．∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2C．∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|<2D．∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解5．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>26．(多选)下列命题是真命题的有()A．∃x∈R，x2－3x＋2＝0B．∃x∈Q，(x＋3)(x2－2)＝0C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0D．∀x∈R，2x>2x－17．(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是()A．一切实数均有相反数B．∀a∈N，方程ax＋1＝0都有实数根C．等腰梯形的对角线相等D．π是无理数二．填空题8．若命题“∃x∈R，x2－2x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围为.9．根据下述事实，得到全称量词命题或存在量词命题为_________.13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，……10．已知函数y1＝xeq\o\al(2,1)，y2＝－2x2－m.若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，则实数m的取值范围为.11．“三角形内角和等于360°”是________(填“全称量词”或“存在量词”)命题，且是______(填“真”或“假”)命题．三．解答题12．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题：(1)任意一个实数乘－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)有些四边形不是平行四边形．13．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋x＋2a－1＝0，若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围．14．已知命题“∃－3≤x≤2,3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围．1.5.1全称量词与存在量词一．选择题1．下列命题不是存在量词命题的是()A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数D．存在x∈R，2x＋1是奇数C解析：A，B，D中都有存在量词，是存在量词命题，C中含有量词“任意”，为全称量词命题．2．下列命题是“∀x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是()A．有一个x∈R，使得x2＞3B．对有些x∈R，使得x2＞3C．任选一个x∈R，都有x2＞3D．至少有一个x∈R，使得x2＞3C解析：“∀”和“任选一个”都是全称量词．3．下列存在量词命题是假命题的是()A．存在x∈Q，使2x－x3＝0B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C．有的整数是偶数D．有的有理数没有倒数B解析：当x＝0时，2x－x3＝0，故A是真命题；对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，故B是假命题；2是整数也是偶数，故C是真命题；0是有理数，但0没有倒数，故D是真命题．4．(多选)下列命题中，是真命题的是()A．空集是任何一个非空集合的真子集B．∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2C．∃x∈{－2，－1，0，1，2}，|x－2|<2D．∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解AC解析：由空集和真子集的定义可以判断A为真命题；将4x2>2x－1＋3x2整理得x2－2x＋1＝(x－1)2>0，又x∈R，所以(x－1)2≥0，故B为假命题；当x＝1时，|x－2|＝|1－2|<2，故C为真命题；当a＝0，b＝0时，方程ax＋b＝0有无数个解，故D为假命题．5．下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2B解析：A中，“锐角三角形的内角是锐角或钝角”是全称量词命题；B中，有存在量词“至少有一个”，且当x＝0时，x2＝0，所以选项B既是存在量词命题又是真命题；C中，因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以选项C是假命题；D中，对于任意一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以选项D是假命题．6．(多选)下列命题是真命题的有(ABD)A．∃x∈R，x2－3x＋2＝0B．∃x∈Q，(x＋3)(x2－2)＝0C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0D．∀x∈R，2x>2x－17．(多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是()A．一切实数均有相反数B．∀a∈N，方程ax＋1＝0都有实数根C．等腰梯形的对角线相等D．π是无理数AC解析：A，C选项都是全称量词命题且为真命题；B选项是全称量词命题，但不是真命题，当a＝0时，方程没有实数根；D选项是真命题，但不是全称量词命题．二．填空题8．若命题“∃x∈R，x2－2x＋m＝0”是真命题，则实数m的取值范围为.{m|m≤1}解析：若命题“∃x∈R，x2－2x＋m＝0”是真命题，则方程x2－2x＋m＝0有实数解，所以Δ＝4－4m≥0，解得m≤1.9．根据下述事实，得到全称量词命题或存在量词命题为_________.13＋23＝(1＋2)2，13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2，……∀n∈N*且n≥2，13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2解析：根据已知等式可得，对于任意n∈N*且n≥2，总有13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2，所以得到如下全称量词命题：∀n∈N*且n≥2，13＋23＋…＋n3＝(1＋2＋…＋n)2.10．已知函数y1＝xeq\o\al(2,1)，y2＝－2x2－m.若对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，则实数m的取值范围为.{m|m≥－4}解析：因为x1∈{x|－1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，所以y1∈{y|0≤y≤9}，y2∈{y|－4－m≤y≤－m}．又因为对∀x1∈{x|－1≤x≤3}，∃x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，即y1的最小值大于等于y2的最小值，即－4－m≤0，所以m≥－4，即实数m的取值范围是{m|m≥－4}．11．“三角形内角和等于360°”是________(填“全称量词”或“存在量词”)命题，且是______(填“真”或“假”)命题．全称量词假解析：“三角形内角和等于360°”即“所有的三角形内角和都等于360°”，命题含有全称量词“所有的”，是全称量词命题．因为三角形内角和等于180°，所以该命题为假命题．三．解答题12．用量词符号“∀”“∃”表示下列命题：(1)任意一个实数乘－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)有些四边形不是平行四边形．解：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.(3)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x∈{x|x是四边形}，x不是平行四边形．13．已知命题p：∀x∈R，x2－2x＋a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋x＋2a－1＝0，若p为真命题，q为假命题，求实数a的取值范围．解：因为x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，若p是真命题，则a－1≥0，即a≥1.因为x2＋x＋2a－1＝0，若q为假命题，则Δ＝1－4×(2a－1)＝5－8a<0，即a>eq\f(5,