2026高考总复习优化设计二轮用书数学课后习题专题突破练专题突破练5　等差数列、等比数列含答案

2026高考总复习优化设计二轮用书数学课后习题专题突破练专题突破练5等差数列、等比数列含答案专题突破练5等差数列、等比数列必备知识夯实练1.(2025新高考Ⅱ,7)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若S3=6,S5=-5,则S6=()A.-20 B.-15 C.-10 D.-52.(2025河南安阳模拟)洛阳龙门石窟是世界上规模最大的石刻艺术宝库,被联合国教科文组织评为“中国石刻艺术的最高峰”.现有一石窟的某处共有378个“浮雕像”,分为6层,对每一层来说,上一层的数量是该层的2倍,则从下往上数,第4层“浮雕像”的数量为()A.16 B.32 C.48 D.643.(2025江苏南京一模)已知数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3.若ak+ak+1+ak+2+…+ak+9=214-24,则正整数k的值是()A.4 B.5 C.6 D.74.(2025浙江温州模拟)已知数列{an}满足a1=-15,1an+1-A.a2 B.a3 C.a4 D.a55.(2025北京丰台一模)已知a1,a2,a3是公比不为1的等比数列,将a1,a2,a3调整顺序后可构成一个等差数列,则满足条件的一组a1,a2,a3的值依次为.

6.(2025福建厦门模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3S6=1关键能力提升练7.(多选题)(2025湖南长沙模拟)已知Sn是等比数列{an}的前n项和,满足S3,S9,S6成等差数列,则()A.a2,a5,a8成等比数列B.a2,a8,a5成等差数列C.S2,S5,S8成等比数列D.S2,S8,S5成等差数列8.(2025浙江宁波模拟)已知{an}是等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4,则a5b59.(13分)(2025湖北武汉模拟)已知数列{an}的各项均不为0,其前n项和为Sn,q为不等于0的常数,且Sn=qSn-1+a1(n≥2).(1)证明:{an}是等比数列.(2)若S5,S11,S8成等差数列,则对于任意的正整数t,at+5,at+11,at+8是否成等差数列?若成等差数列,请予以证明;若不成等差数列,请说明理由.10.(15分)已知等差数列{an}满足an+an-1=8n+2(n≥2),数列{bn}是公比为3的等比数列,a2+b2=20.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;(2)将数列{an}和{bn}中的项从小到大排列后组成新的数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S50.核心素养创新练11.(2025湖南岳阳模拟)若正整数m,n的公约数只有1,则称m,n互质.对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数φ(n)以其首名研究者欧拉的名字命名,称为欧拉函数,例如φ(3)=2,则φ(9)=6.若数列{φ(2n)φ(3n)}的前n

答案：1.B解析当n为奇数时,由Sn=nan+12有S3=3a2=6,S5=5a3=-5,解得a2=2,a3=-1,所以公差d=-3.则a6=a2+4d=-10,所以S6=S5+a6=-15,2.C解析由题意,从下往上“浮雕像”的数量成等比数列,设为{an},则S6=378,公比q=2,所以S6=a1(1-26)1-2=63a1=378,所以a1=6,所以第4层“浮雕像”的数量为3.B解析因为数列{an}为等比数列,公比为2,且a1+a2=3,所以a1+2a1=3,解得a1=1,故an=2n-1.因为ak+ak+1+ak+2+…+ak+9=ak(1+2+22+…+29)=2k-1·1-2101-2=2k+9-2k-1=214-4.B解析由1an+1-1an=2可知{1an}为等差数列,且公差为2,首项为1a1=-5,因此1an=2(n-1)-5=2n-7,即an=12n-7,由于a2=-13,a3=-15.1,-2,4(答案不唯一)解析设等比数列a1,a2,a3的公比为q(q≠1),则等比数列为a1,a1q,a1q2,不妨设调整顺序后的等差数列为a1q,a1,a1q2,则2a1=a1q+a1q2.∵a1≠0,∴2=q+q2,解得q=-2或q=1(舍).令a1=1,则a2=-2,a3=4,∴满足条件的一组a1,a2,a3的值依次为1,-2,4.6.8解析因为S3S6=14,所以S6=4S3,则S6-S3=3S3.因为数列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是以S3为首项,3为公比的等比数列,所以S9-S6=32S3=9S3,即S9=9S3+S6=13S3,S12-S9=33S3=27S3,即S12=27S3+S9=40S37.ABD解析因为数列{an}为等比数列,可设首项为a1(a1≠0),公比为q(q≠0),则a5a2=a8a5=q3,所以a2,a5,a8成等比数列,故A正确;若等比数列的公比q=1,则S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,根据S3,S9,S6成等差数列,则2S9=S3+S6,即18a1=3a1+6a1⇒a1=0,这与a1≠0矛盾,故q=1不成立;当q≠1时,由2S9=S3+S6,得2×a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+a1(1-q6)1-q⇒2q9=q3+q6.所以2q6=1+q3,两边同乘a1q得2a1q7=a1q+a1q4,即2a8=a2+a5,所以a2,a5,a8成等差数列,故B正确;若S2,S5,S8成等比数列,则S52=S2·S8,因为q≠1,所以a1(1-q5)1-q2=a1(1-q2)1-q·a1(1-q8)1-q,又a1≠0,所以(1-q5)2=(1-q2)·(1-q8)⇒2q5=q2+q8,所以28.916解析设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由a2-b2=a3-b3,得a1+d-b1q=a1+2d-b1q2,即d=b1q2-b1q=4b1-2b1=2b1;①由a3-b3=b4-a4,得a1+2d-b1q2=b1q3-a1-3d,即2a1+5d=b1q3+b1q2=12b1,②由①②,得a1=b1=d2所以a9.(1)证明因为Sn=qSn-1+a1(n≥2),①所以Sn+1=qSn+a1(n≥1),②②-①,得an+1=qan(n≥2),即an+1an=q(当n=2时,S2=qS1+a1,即a2+a1=qa1+a1,所以a2a1=q,所以对∀n∈N*,an+1an=q,即{(2)解对任意的正整数t,at+5,at+11,at+8成等差数列.证明如下:由S5,S11,S8成等差数列,得q≠1,且2S11=S5+S8,即2×a化简得2q6-q3-1=0,即2q6=q3+1.因为at+5+at+8=atq5+atq8=atq5(1+q3),2at+11=2atq11=atq5×2q6=atq5(1+q3),所以at+5+at+8=2at+11,故对于任意的正整数t,at+5,at+11,at+8成等差数列.10.解(1)设等差数列{an}的公差为d.由an+an-1=8n+2(n≥2),①得an-1+an-2=8n-6(n≥3),②①-②得an-an-2=8(n≥3),∴2d=8,即d=4,又an+an-1=8n+2,即an+an-d=8n+2,∴an=4n+3.∵数列{bn}是公比为3的等比数列,∴b2=3b1,由a2+b2=20,得11+3b1=20,解得b1=3,∴bn=3n.(2)由(1)可知,an=4n+3,bn=3n,则b4=34=81,b5=35=243,a46=4×46+3=187,∴数列{cn}的前50项中有46项来自数列{an},有4项来自数列{bn},则S50=c1+c2+…+c50=(31+32+33+34)+(7+11+…+187)=120+4462=4582.11.32-23n-1解析小于等于2n的正整数有1,2,…,2n,共2n个,与2n不互质的数是2的倍数,即2,4,…,2n,共2n-1个,所以与2n互质的数有2n-2n-1=2n-1个,即φ(2n)=2n-1.小于等于3n的正整数有1,2,…,3n,共3n个.与3n不互质的数是3的倍数,即3,6,…,3n,共3n-1个,所以与3n互质的数有3n-3n-1=2·3n-1个,即φ(3n)=2·3n-1.所以φ(2n)φ(3n)=2n-必备知识夯实练1.(2025江西赣州一模)已知数列{an}的前n项和为Sn,满足3an=2Sn+1,则S5=()A.11 B.31 C.61 D.1212.(2025天津,6)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-n2+8n,则{|an|}的前12项和为()A.112 B.48 C.80 D.643.(2025福建福州模拟)已知数列{an}满足an+1=2an3an-1,且a1=A.512511 B.513C.256257 D.4.(2025山东临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+nan=1,则满足Sn>0.99时,n的最小值为()A.49 B.50 C.99 D.1005.(多选题)(2025山东济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,a2=3,an+1=3an-2an-1(n≥2),则下列说法正确的有()A.数列{an+1-an}为等差数列B.数列{an+1-2an}为等比数列C.an=2n-1D.Sn=2n+1-n-26.(2025河北张家口一模)已知数列{an}满足a1=2,an>0且an+12-an7.(2025广东广州模拟)某农村合作社引进先进技术提升某农产品的深加工技术,以此达到10年内每年此农产品的销售额(单位:万元)等于上一年的1.3倍再减去3.已知第一年(2024年)该公司该产品的销售额为100万元,则按照计划该公司从2024年到2033年该农产品的销售总额约为万元.(参考数据:1.39≈10.6,1.310≈13.8,1.311≈17.9)8.(13分)若数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn(Sn-an)+2an=0(n≥2),a1=2.(1)求证:{1Sn(2)求数列{an}的通项公式.关键能力提升练9.(2025浙江湖州模拟)已知数列{an}满足a1+3a2+9a3+…+3n-1an=n+13,设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn<k恒成立,则实数k的最小值为(A.23 B.1C.76 D.10.(2025江苏南通模拟)如图,在杨辉三角形中,斜线l的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S21=()A.351 B.360 C.361 D.35811.(2025江苏宿迁模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n,则()A.9a7>8a8 B.9a7<8a8C.9S7>7a8 D.9S7<7a812.(多选题)(2025山东德州模拟)对于数列{an},定义An=a1+2a2+…+2n-1ann为数列{an}的“好数”,已知某数列{an}的“好数”An=2n+1,记数列{an-kn}的前n项和为Sn,若SA.2 B.167C.9742 D.13.(2025安徽铜陵模拟)已知数列{an}满足2anan+1+an+1=3an,且a2=911,则使不等式1a1+1a2+…+1核心素养创新练14.已知数列{an}满足a1=1,an+1=an1+an(n∈N*).记数列{an}的前n项和为SA.32<S100<3B.3<S100<4C.4<S100<92D.92<S100<

答案：1.D解析令n=1,得3a1=2S1+1=2a1+1,得a1=1.由3an=2Sn+1,当n≥2时,3an-1=2Sn-1+1,两式相减得3an-3an-1=2(Sn-Sn-1)=2an,即an=3an-1,即anan-1=3(n≥2),所以数列{an}是以a1=1为首项,3为公比的等比数列,所以S52.C解析由题意知a1=S1=7,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-n2+8n+(n-1)2-8(n-1)=-2n+9.又a1=7适合上式,所以an=-2n+9.当an>0时,n≤4,当an<0时,n≥5.∴{|an|}前12项的和T12=S4-(S12-S4)=2S4-S12=2×(-16+32)-(-122+8×12)=80.故选C.3.A解析易知an≠0,从而由题意得1an+1=32-12·1an,即1an+1-1=-12(1an-1),1a1-1=-12≠0,所以数列1an-4.D解析因为Sn+nan=1,所以a1=12,当n≥2时,Sn+nan=Sn-1+(n-1)an-1=1,所以(n+1)an=(n-1)an-1,即anan-1=n-1n+1(n≥2),此时an=anan-1故an=1n(n+1),Sn=1-nan=1-1n+1,若Sn=1-1n+1>0.99,解得n>99,又n5.BCD解析因为an+1=3an-2an-1(n≥2),所以an+1-an=2(an-an-1),又a2-a1=2≠0,则{an+1-an}是首项为2,公比为2的等比数列,故A错误;根据题意得an+1=3an-2an-1⇒an+1-2an=an-2an-1,又a2-2a1=1≠0,所以数列{an+1-2an}是首项为1,公比为1的等比数列,故B正确;由上得an+1-an=2n,所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=1+2+4+…+2n-1=1×(1-2n)1-Sn=(2+22+23+…+2n)-n=2×(1-2n)1-26.4-12n-1解析由题得,当n≥2时,an2=(an2-an-12)+(an-12-an-22)+…+(a22-a12)+a12=12n-1+12n-2+…+12+(n-1)+7.3940解析该公司从2024年起的每年销售额可构成数列{an},n∈N*,n≤10,a1=100,依题意,当n∈N*,n≤9时,an+1=1.3an-3,即an+1-10=1.3(an-10),a1-10=90≠0.因此数列{an-10}是首项为90,公比为1.3的等比数列,所以an-10=90×1.3n-1,即an=90×1.3n-1+10,则a1+a2+…+a10=90×(1-1.310)1-1.3+10×10所以从2024年到2033年该农产品的销售总额约为3940万元.8.(1)证明当n≥2时,an=Sn-Sn-1,且Sn(Sn-an)+2an=0.∴Sn[Sn-(Sn-Sn-1)]+2(Sn-Sn-1)=0,即SnSn-1+2(Sn-Sn-1)=0,即1Sn-故数列{1Sn}是首项为12,公差为(2)解由(1)知1S∴Sn=2n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2当n=1时,a1=2不适合上式.故an=29.D解析因为a1+3a2+9a3+…+3n-1an=n+1所以当n≥2时,a1+3a2+9a3+…+3n-2an-1=n-两式相减得3n-1an=13,所以an=当n=1时,S1=a1=2当n≥2时,Sn=23+19+127+…+1所以Sn=56-12(13)n,n≥2.当n=1时,S1=23也符合上式,所以Sn=5由Sn<k恒成立,可得k≥56,所以k10.C解析当n=2m-1(m∈N*)时,an=a2m-1=1+2+…+m=m(当n=2m(m∈N*)时,an=a2m=m+2.综上,S21=(=12[(12+22+…+112)+(1+2+…+11)]=12×11×12×236+111.B解析因为数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n,当n=1时,则a1=S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2且n∈N*时,由Sn=2an-2n可得Sn-1=2an-1-2n-1,上述两式作差可得an=2an-2an-1-2n-1,整理可得an-2an-1=2n-1,等式an-2an-1=2n-1两边同时除以2n-1可得an2所以数列{an2n-1}是以a120所以an2n-1=2+n-1=n+1,所以an=(n+1)9a7=9×8×26=9×29,8a8=8×9×27=9×210,则9a7<8a8;Sn=2an-2