2026年高考数学复习难题速递之复数（2025年11月）

第20页（共20页）2026年高考数学复习难题速递之复数（2025年11月）一．选择题（共9小题）1．i+2i2+4i3+8i4+16i5+⋯+65536i17＝（）A．52494﹣26214i B．﹣52494+26214i C．﹣26214﹣52429i D．26214+52429i2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|i|2，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．复平面内，满足|z﹣（2+i）|＝3的复数z对应的点的集合为几何图形C1，满足|z|＝1的复数z对应的点的集合为几何图形C2，则C1与C2的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切4．若复数z＝2+i，则z⋅A．5 B．4 C．3 D．25．复数z＝（﹣2﹣3i）•i的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i6．已知复数z=2+iA．12 B．-12 C．1 7．已知复数z满足1+iz＝z﹣2i，则|z|＝（）A．32 B．52 C．102 8．已知z＝1﹣i，则11-A．﹣i B．i C．﹣1 D．19．若复数z＝a+bi（a，b∈R）满足：z+iz=2+2iA．0 B．2 C．3 D．4二．多选题（共3小题）（多选）10．已知复数z=A．z+B．|zC．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．z是方程x2﹣4x+6＝0的一个复数根（多选）11．已知复数z＝1+i，则（）A．|zB．在复平面内，z对应的点位于第四象限 C．z2+D．z（多选）12．已知复数z1＝1﹣2i在复平面内的对应点为A，复数z2在复平面内的对应点为B，且AB→A．z2＝5 B．z1的共轭复数是1+2i C．5z1﹣2z2＝﹣3﹣12i D．复数z1z2在复平面上的对应点位于第二象限三．填空题（共4小题）13．若复数z满足|z﹣2i|+|z+2i|＝8，则|z﹣2i|的最大值为．14．已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣4+3i|的范围是．15．若关于x的方程x2﹣mx+n＝0（m，n∈R）的一个根为2﹣i，则实数m+n的值为．16．设复数z满足z+i与z2+2i均为实数（i为虚数单位），则|z3+3i|的值为．四．解答题（共4小题）17．设a∈R，复数z1＝a+2i，z2＝2a+3+i．（1）若z1•z2为纯虚数，求实数a的值；（2）若复数z1是关于x的方程x2+mx+5＝0（m∈R）的一个根，求m+a的值．18．已知复数z1＝a+2i，z2＝2﹣i，a∈R．（1）当a＝﹣1时，求z1（2）若z1+z2是纯虚数，求a的值；（3）若z1z219．已知复数z＝（m﹣3）（m﹣2）+（m﹣2）i是纯虚数，其中i为虚数单位，m∈R．（1）求m的值；（2）求z+z2+z3+z4+⋯+z2025的值；（3）若复数z2满足|z2﹣z|＝1，求|z2﹣1|的最大值．20．复数z＝a2﹣a﹣6+（a2﹣3a﹣10）i，其中a∈R．（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值．

2026年高考数学复习难题速递之复数（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案DACABBCAB二．多选题（共3小题）题号101112答案ACABDBC一．选择题（共9小题）1．i+2i2+4i3+8i4+16i5+⋯+65536i17＝（）A．52494﹣26214i B．﹣52494+26214i C．﹣26214﹣52429i D．26214+52429i【考点】复数的乘法及乘方运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】D【分析】将原式整理为：12[2i【解答】解：由题意i=1=131070+262145故选：D．【点评】本题考查复数的运算、等比数列的求和公式，考查学生的运算求解能力，属于中档题．2．已知复数z满足z（1﹣i）＝|i|2，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数对应复平面中的点．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】根据复数的运算求出复数z，然后得出z在复平面内的点的坐标，然后得解．【解答】解：根据条件得：z=所以z在复平面内对应的点为(1故选：A．【点评】本题考查了复数的模的定义，复数的乘法和除法运算，是基础题．3．复平面内，满足|z﹣（2+i）|＝3的复数z对应的点的集合为几何图形C1，满足|z|＝1的复数z对应的点的集合为几何图形C2，则C1与C2的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切【考点】复数的模．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】利用复数的几何意义得出几何图形C1，C2，再依据圆心距和半径判断两圆的位置关系即可．【解答】解：由复数的几何意义可知，几何图形C1表示以（2，1）为圆心，3为半径的圆，几何图形C2表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆，因为3-1＜|C1C故选：C．【点评】本题考查圆与圆的位置关系、复数的几何意义等，属于中档题．4．若复数z＝2+i，则z⋅A．5 B．4 C．3 D．2【考点】复数的运算．【专题】对应思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】由复数的概念，结合复数的运算求解即可．【解答】解：复数z＝2+i，则z⋅z=（2+i）（2﹣i）＝4﹣i2故选：A．【点评】本题考查复数的运算与共轭复数的概念，属于基础题．5．复数z＝（﹣2﹣3i）•i的共轭复数是（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】共轭复数．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】结合复数的四则运算法则，以及共轭复数的定义，即可求解．【解答】解：z＝（﹣2﹣3i）•i＝3﹣2i，则z=3+2故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．6．已知复数z=2+iA．12 B．-12 C．1 【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．【解答】解：z=2+i-故选：B．【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题．7．已知复数z满足1+iz＝z﹣2i，则|z|＝（）A．32 B．52 C．102 【考点】复数的模．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】C【分析】根据复数的除法运算化简复数，再根据模长公式求解．【解答】解：由1+iz＝z﹣2i，得z=所以|z故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．8．已知z＝1﹣i，则11-A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【考点】复数的除法运算．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】A【分析】将已知复数代入，根据复数的除法运算计算即可．【解答】解：z＝1﹣i，则11-故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．9．若复数z＝a+bi（a，b∈R）满足：z+iz=2+2iA．0 B．2 C．3 D．4【考点】共轭复数．【专题】方程思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】B【分析】利用共轭复数的定义、复数运算以及复数相等可得出a+b的值．【解答】解：由题意，z＝（a+b）+（a+b）i＝2+2i，故a+b＝2．故选：B．【点评】本题考查复数的运算与共轭复数的定义，属基础题．二．多选题（共3小题）（多选）10．已知复数z=A．z+B．|zC．z在复平面内对应的点位于第一象限 D．z是方程x2﹣4x+6＝0的一个复数根【考点】复数对应复平面中的点；实系数多项式虚根成对定理．【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】AC【分析】根据复数的除法运算求出复数z，结合复数的共轭复数以及复数的模以及几何意义以及韦达定理一一判断各选项，即得答案．【解答】解：z=所以z+z=(2+|z﹣i|＝|2+i﹣i|＝2，故B错误；z在复平面内对应的点为（2，1），位于第一象限，故C正确；若z是方程x2﹣4x+6＝0的一个复数根，则有z+z=4但zz=(2+i故选：AC．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．（多选）11．已知复数z＝1+i，则（）A．|zB．在复平面内，z对应的点位于第四象限 C．z2+D．z【考点】复数对应复平面中的点；复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】ABD【分析】求出复数模判断A；利用共轭复数的意义，结合复数的几何意义判断B；利用复数除法计算判断C；利用复数乘法计算判断D．【解答】解：由z＝1+i，得|z|=1z=1-i，则z在复平面内对应的点为（1，﹣1）位于第四象限，z2+i=复数z＝1+i，则zz=(1-i故选：ABD．【点评】本题主要考查复数的四则运，共轭复数的概念，属于基础题．（多选）12．已知复数z1＝1﹣2i在复平面内的对应点为A，复数z2在复平面内的对应点为B，且AB→A．z2＝5 B．z1的共轭复数是1+2i C．5z1﹣2z2＝﹣3﹣12i D．复数z1z2在复平面上的对应点位于第二象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】BC【分析】对于A，利用复数的几何意义结合复数的加法求出z2后可判断其正误；对于B，求出z1的共轭复数后可判断其正误；对于C，利用复数乘法和减法运算规则求解运算结果后可判断其正误；对于D，利用复数的乘法运算规则求出结果后结合复数的几何意义判断其正误．【解答】解：对于A，由复数z1＝1﹣2i在复平面内的对应点为A，复数z2在复平面内的对应点为B，且AB→可得z2＝3+3i+z1＝3+3i+1﹣2i＝4+i，故A错误；对于B，z1＝1﹣2i，其共轭复数为1+2i，故B正确；对于C，5z1﹣2z2＝5×（1﹣2i）﹣2×（4+i）＝﹣3﹣12i，故C正确；对于D，z1•z2＝（1﹣2i）•（4+i）＝6﹣7i，在复平面上的对应点的坐标为（6，﹣7），该点在第四象限，故D错误，故选：BC．【点评】本题主要考查复数的几何表示及计算，属于基础题．三．填空题（共4小题）13．若复数z满足|z﹣2i|+|z+2i|＝8，则|z﹣2i|的最大值为6．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】6．【分析】由椭圆的定义得到点（x，y）的轨迹方程为：y2【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），复数z满足|z﹣2i|+|z+2i|＝8，则|z由椭圆定义可得点（x，y）的轨迹方程为：y2|z由椭圆的性质可知：x2+(y-所以|z﹣2i|的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查复数的模，以及椭圆的定义，属于基础题．14．已知复数z满足|z|＝1，则|z﹣4+3i|的范围是[4，6]．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】[4，6]．【分析】结合复数模公式，以及复数的几何意义，即可求解．【解答】解：设z＝x+yi，（x，y∈R），复数z满足|z|＝1，则x2+y2＝1，即表示以原点为圆心，1为半径的圆，故|z﹣4+3i|=(x-4)故|z﹣4+3i|的最大值为(0-4)2+(0+3)2+1＝6，|z﹣4+3故|z﹣4+3i|的范围是[4，6]．故答案为：[4，6]．【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题．15．若关于x的方程x2﹣mx+n＝0（m，n∈R）的一个根为2﹣i，则实数m+n的值为9．【考点】虚数单位i、复数．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】9．【分析】根据已知得到关于x的方程x2﹣mx+n＝0（m，n∈R）的另外一根为2+i，再结合复数的基本运算求解即可．【解答】解：由题可得：关于x的方程x2﹣mx+n＝0（m，n∈R）的另外一根为2+i，2-故答案为：9．【点评】本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于基础题．16．设复数z满足z+i与z2+2i均为实数（i为虚数单位），则|z3+3i|的值为5．【考点】复数的运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】5．【分析】设z＝a+bi，（a，b∈R），利用已知求得z，进而计算即可求得|z3+3i|．【解答】解：复数z满足z+i与z2+2i均为实数（i为虚数单位），设z＝a+bi，（a，b∈R），可得z+i＝a+（b+1）i，z2+2i＝a2+2abi﹣b2+2i＝a2﹣b2+（2ab+2）i，故b+1=02ab所以z＝1﹣i，所以z3＝z•z2＝（1﹣i）（1﹣i）2＝（1﹣i）（1﹣2i﹣1）＝﹣2﹣2i，所以z3+3i＝﹣2﹣2i+3i＝﹣2+i，所以|z故答案为：5．【点评】本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．设a∈R，复数z1＝a+2i，z2＝2a+3+i．（1）若z1•z2为纯虚数，求实数a的值；（2）若复数z1是关于x的方程x2+mx+5＝0（m∈R）的一个根，求m+a的值．【考点】纯虚数；复数的乘法及乘方运算．【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据复数的运算，以及纯虚数的定义求解；（2）利用待定系数法求解．【解答】解：（1）由题意，z1•z2＝（a+2i）（2a+3+i）＝2a2+3a﹣2+（5a+6）i，则2a2+3a﹣2＝0，5a+6≠0，解得a＝﹣2或a=1（2）由题意，（a+2i）2+m（a+2i）+5＝0，即a2+ma+1+（4a+2m）i＝0，所以a2+ma+1＝0，4a+2m＝0，解得a＝1，m＝﹣2或a＝﹣1，m＝2，所以m+a＝±1．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．18．已知复数z1＝a+2i，z2＝2﹣i，a∈R．（1）当a＝﹣1时，求z1（2）若z1+z2是纯虚数，求a的值；（3）若z1z2【考点】纯虚数；复数对应复平面中的点．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）﹣4+3i；（2）a＝﹣2；（3）（﹣4，1）．【分析】（1）a＝﹣1，可得z1＝﹣1+2i，再根据复数的乘法运算即可求解；（2）根据复数的分类，即可求a；（3）根据复数的乘法、除法运算法则可得z1z2【解答】解：（1）当a＝﹣1时，可得z1＝﹣1+2i，z=2+i，则（2）因为z1+z2＝a+2+i为纯虚数，所以a+2＝0，即a＝﹣2；（3）z1该复数在复平面内对应的点的坐标为(2则2a-25＜0a故实数a的取值范围是（﹣4，1）．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的几何意义，是基础题．19．已知复数z＝（m﹣3）（m﹣2）+（m﹣2）i是纯虚数，其中i为虚数单位，m∈R．（1）求m的值；（2）求z+z2+z3+z4+⋯+z2025的值；（3）若复数z2满足|z2﹣z|＝1，求|z2﹣1|的最大值．【考点】复数的混合运算；纯虚数；复数的模．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）3；（2）i；（3）2+1【分析】（1）根据条件，得(m（2）利用虚数单位的性质，即可求解；（3）设z2＝a+bi（a，b∈R），根据条件，利用复数的几何意义和圆的性质，即可求解．【解答】解：（1）由题可得：(m-3)(m-所以m的值为3；（2）由（1）知z＝i，又i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，则z4n+1+z4n+2+z4n+3+z4n＝0（n∈N），所以z+z2+z3+z4+⋯+z2025＝z2025＝i2025＝i；（3）设z2＝a+bi（a，b∈R），由（1）知z＝i，又|z2﹣z|＝1，即|a+（b﹣1）i|＝1，所以a2+(b-1)2=1，即a2+（所以z2对应的点Z（a，b）在以P（0，1）为圆心，1为半径的圆上，又|z2-1|=|a-1+bi|=(a-1)又|PM|=1+1=2，所以|z2【点评】本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于中档题．20．复数z＝a2﹣a﹣6+（a2﹣3a﹣10）i，其中a∈R．（1）若复数z为实数，求a的值；（2）若复数z为纯虚数，求a的值．【考点】纯虚数；虚数单位i、复数．【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．【答案】（1）a＝5或a＝﹣2；（2）a＝3．【分析】（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣10＝0，求解即可；（2）复数z为纯虚数，则a2【解答】解：（1）复数z为实数，则a2﹣3a﹣10＝0，即a＝5或a＝﹣2；（2）若复数z为纯虚数，则a2-a-6=0【点评】本题考查了复数的概念，属基础题．

考点卡片1．虚数单位i、复数【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中2．复数的实部与虚部【知识点的认识】i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为a2+b2．形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中【解题方法点拨】﹣分解复数：通过给定的复数表达式，提取实部和虚部．﹣应用：在复数运算中，分开处理实部和虚部，简化计算过程．【命题方向】﹣实部与虚部的提取：考查如何从复数表达式中提取实部和虚部．﹣实部虚部的运算：如何利用实部和虚部进行复数运算和解决问题．若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a＝_____．解：若复数z＝a2﹣3+2ai的实部与虚部互为相反数，则a2﹣3+2a＝0，解得：a＝﹣3或a＝1，故答案为：﹣3或1．3．纯虚数【知识点的认识】形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部，当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．纯虚数也可以理解为非零实数与虚数单位i相乘得到的结果．【解题方法点拨】复数与复平面上的点是一一对饮的，这为形与数之间的相互转化提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，复数z＝a+bi（a，b∈R）为纯虚数的充要条件是a＝0，b≠0．实数集和虚数集的并集是全体复数集．虚数中包含纯虚数，即由纯虚数构成的集合可以看成是虚数集的一个真子集．【命题方向】纯虚数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，是历年高考的热点，考察学生的基本运算能力．常见的命题角度有：（1）复数的概念；（2）复数的模；（3）复数相等的四则运算；（4）复数在复平面内对应的点．4．复数的代数表示法及其几何意义【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．3、复数中的解题策略：（1）证明复数是实数的策略：①z＝a+bi∈R⇔b＝0（a，b∈R）；②z∈R⇔z=z（2）证明复数是纯虚数的策略：①z＝a+bi为纯虚数⇔a＝0，b≠0（a，b∈R）；②b≠0时，z-z=2bi为纯虚数；③z是纯虚数⇔z+z=0且5．复数对应复平面中的点【知识点的认识】1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量OZ→2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．【解题方法点拨】﹣点的表示：将复数a+bi作为复平面上的点（a，b）进行图示．﹣几何运算：利用复平面上的点进行几何运算和分析．【命题方向】﹣复平面的几何表示：考查复数在复平面中的点表示及其几何意义．﹣复数的几何应用：如何在复平面中使用复数解决几何问题．6．共轭复数【知识点的认识】实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做互为共轭复数．如2+3i与2﹣3i互为共轭复数，用数学语言来表示即：复数Z＝a+bi的共轭复数Z=a﹣bi【解题方法点拨】共轭复数的常见公式有：|Z|=|Z|；|Z【命题方向】共轭复数在考察题型上主要以选择、填空题的形式出现．试题难度不大，多为低档题，要求能够掌握共轭复数的性质，并能将复数的共轭加法运算和乘法运算进行推广．运用共轭复数运算解决一些简单的复数问题，提高数学符号变换的能力，培优学生类比推广思想，从特殊到一般的方法和探究方法．7．复数的模【知识点的认识】1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a