2026年高考数学复习难题速递之双曲线（2025年11月）

第35页（共35页）2026年高考数学复习难题速递之双曲线（2025年11月）一．选择题（共8小题）1．过点(4，33A．1条 B．2条 C．3条 D．4条2．已知直线l：y＝k（x﹣1），“k=233或k=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知焦点在y轴上的双曲线x23m-yA．1 B．12 C．﹣4 D．1或﹣4．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．55．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l，交右支于A，A．7313 B．8713 C．12326 6．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，A．102 B．32 C．2 D7．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2A．173 B．375 C．102 8．如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为2的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为5cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（）A．786cm B．783cm C．2783cm 二．多选题（共4小题）（多选）9．已知点P为双曲线C：x23-y2=1右支上一点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次为A，B，过点P作PM∥l2交l1于点M，过点P作PN∥l1交lA．|OP|≥|AB| B．|PA|•|PB|=3C．4S△PAB＝3S△PMN D．|MN|≥1（多选）10．已知双曲线C：x2a2-y24=1(a＞0)的右焦点为F(433，0)A．|AH|＝|FH| B．OG→C．|PF|-|（多选）11．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C交于A，B两点（点A在第一象限），且|AFA．直线l的斜率为27B．双曲线C的离心率为2 C．直线IF2的斜率为-7D．点I的横坐标为a（多选）12．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2A．直线AF2的斜率为35B．C的离心率为2 C．D到C上最近点的距离为35D．|AF2|：|BF2|＝11：3三．填空题（共4小题）13．已知双曲线E：x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A为E右支上一点（不与顶点重合），射线AB是∠F1AF2的外角平分线，其与x轴的交点为点B，∠AF1F2的角平分线与直线AB交于点14．已知双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于M，N两点，若MN＝4，则△MNF2的周长为．15．已知M，N为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x16．已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PA|=3|PO四．解答题（共4小题）17．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，点(-2，-3)（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1），求k的取值范围；（3）若线段MN的垂直平分线过点K（0，4），求m的取值范围．18．已知曲线C：x2﹣y2＝2，第一象限内点P在曲线C上，F1（﹣2，0）、F2（2，0），连接PF2并延长与曲线C交于Q点，PF2→=λF2Q→(λ＞0)，以P为圆心，|PF2|为半径的圆与线段PF1交于点N，记△PF（1）若λ＝1，求点P的坐标；（2）若点P的坐标为（x0，y0），求证x0（3）求S219．如图，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞（1）求双曲线E的标准方程；（2）若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q．（i）当k=13（ii）当t＝﹣3时，求S△APQ的最小值．20．已知双曲线C：x2a2-y2b（1）若双曲线C与椭圆x24+y2=1有共同的焦点，且双曲线C过点（2）若b＝1，∠F1PF2=

2026年高考数学复习难题速递之双曲线（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案CACCAACC二．多选题（共4小题）题号9101112答案ACDACDBCDABD一．选择题（共8小题）1．过点(4，33A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解．【解答】解：当x＝4时，164-y29因此过点(4，设y=k(x-4)+33将其代入双曲线方程可得x2化简得(1令Δ=化简得(k-3故过点(4，或者由x24-当y＞0时，y=32则y'故过点(4，33)的直线方程为联立x24-y29=1因此在点(4，综上可知：过点(4，33故选：C．【点评】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．2．已知直线l：y＝k（x﹣1），“k=233或k=A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】直线与双曲线的位置关系及公共点个数．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】A【分析】联立直线l与双曲线x24-y24=1，分k【解答】解：联立x24-y24=1y=k(x-1)，消去y得（k2﹣1）当k＝±1时，有﹣2x+5＝0，解得x=此时直线l与双曲线x2当k≠±1时，令Δ＝4k4﹣4（k2﹣1）（k2+4）＝0，化简得3k2＝4，即k=综上所述：当k＝±1或k=±233故k=233或k=故选：A．【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系已经公共点个数，属于中档题．3．已知焦点在y轴上的双曲线x23m-yA．1 B．12 C．﹣4 D．1或﹣【考点】由双曲线的离心率求解方程或参数．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】C【分析】将双曲线的方程化为标准式，可得出a2，b2，由离心率得出关于m的等式，求解即可．【解答】解：由于x23m因此其标准方程为y因此a2＝m2﹣4，b2＝﹣3m，因此-3m＞0，又由于双曲线的离心率e=2，因此又因为c2＝a2+b2，因此a2＝b2，即m2﹣4＝﹣3m，即（m﹣1）（m+4）＝0，解得m＝﹣4或m＝1（舍去）．故选：C．【点评】本题考查利用双曲线的离心率求解方程或参数，属于中档题．4．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．5【考点】双曲线的焦点三角形；求双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】设|MF1|＝m，|MF2|＝n，根据双曲线的定义以及性质可得n﹣m＝2a，m≥c﹣a，再利用离心率的式子即可求解．【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点为F1，F2，则有3n＝5m，n﹣m＝2a，解得m＝3a，因为M是双曲线左支上的一点，所以m≥c﹣a＞0，即3a≥c﹣a，解得e=故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题．5．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的两个焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作直线l，交右支于A，A．7313 B．8713 C．12326 【考点】双曲线的离心率．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】结合题意与双曲线定义得到|AF1|＝5a，|AF2|＝3a，再结合余弦定理建立齐次方程求解离心率即可．【解答】解：已知双曲线C：x2a2-y2b2=1的两个焦点分别为F1，F又BF则|B即BF令|AF2|＝3t，得到|BF2|＝10t，|AB|＝13t，由双曲线定义得|AF1|＝|AF2|+2a＝3t+2a，|BF1|＝|BF2|+2a＝10t+2a，因为以AB为直径的圆过F1，所以BF1⊥AF1，故|A得到（3t+2a）2+（10t+2a）2＝（13t）2，整理得15t2﹣13at﹣2a2＝（15t+2a）（t﹣a）＝0，解得t＝a，则|AF1|＝5a，|AF2|＝3a，在△AF1F2中，由余弦定理得|A得(5a整理得73a2＝13c2，则e2故选：A．【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线离心率的求法及余弦定理，属中档题．6．已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，A．102 B．32 C．2 D【考点】双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】利用向量以及向量的模的关系，结合双曲线的定义，判断三角形ABF2为直角三角形，然后求解双曲线的离心率．【解答】解：双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞设|AF1|F2B→|-|F所以|AB则△ABF2为直角三角形，且∠B＝90°，在△BF1F2中，a2故选：A．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题．7．如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2A．173 B．375 C．102 【考点】求双曲线的离心率；双曲线的定义．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】根据题意可得|AB||F1A|=4【解答】解：连接F1A，F1B，由题意知，F1，A，C三点共线，F1，B，D三点共线，所以cos∠由AB→⋅BD所以|AB||不妨设|F1B|＝3t，|AB|＝4t，|F1A|＝5t，由双曲线的定义知，|F1A|﹣|F2A|＝2a，|F1B|﹣|F2B|＝2a，所以|F2A|＝5t﹣2a，|F2B|＝3t﹣2a，而|AB|＝4t＝|F2A|+|F2B|＝（5t﹣2a）+（3t﹣2a）＝8t﹣4a，所以a＝t，|F1A|＝5a，|F2A|＝3a，在△AF1F2中，由余弦定理得，|F即(2c)2所以e=故选：C．【点评】本题考查双曲线离心率的求法，熟练掌握双曲线的定义与几何性质，余弦定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为2的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为5cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（）A．786cm B．783cm C．2783cm 【考点】双曲线的范围．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】利用双曲线方程来求解两个点的坐标，利用离心率来消元，利用高来得到方程，即可求解．【解答】解：设双曲线方程为x2a2-y则ba=b再由题意知A（3，y1），B（5，y2），y1＞0，y2＜0，代入双曲线方程得：9a25a由高为8可得：|y平方得：27-3a2由图可得冷却塔的最小直径为2a故选：C．【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．二．多选题（共4小题）（多选）9．已知点P为双曲线C：x23-y2=1右支上一点，l1，l2为双曲线C的两条渐近线，过点P分别作PA⊥l1，PB⊥l2，垂足依次为A，B，过点P作PM∥l2交l1于点M，过点P作PN∥l1交lA．|OP|≥|AB| B．|PA|•|PB|=3C．4S△PAB＝3S△PMN D．|MN|≥1【考点】直线与双曲线的综合．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ACD【分析】分析可知O、A、P、B四点共圆，利用圆的几何性质可判断A选项；设点P（m，n），利用点到直线的距离公式可判断B选项；求出△PAB，△PMN的面积，可判断C选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项．【解答】解：对于A选项，由题意可知PA⊥OA，PB⊥OB，则O、A、P、B四点共圆，且OP为该圆的一条直径，AB为该圆的一条弦，故|OP|≥|AB|，故A正确；对于B选项，设点P（m，n），则m2﹣3n2＝3，双曲线C的渐近线方程为y=±3所以|PA|⋅对于C选项，因为双曲线C两渐近线的斜率分别为-3所以双曲线C两渐近线的夹角为π3由A选项可知，∠APBS△因为PM∥l2，则∠PMA=π3，因为PA⊥OA，则所以S△PMN=12|PM|⋅|PN|sin∠MPN对于D选项，由C选项可知，|PM|⋅由余弦定理可得|MN|2＝|PM2+|PN|2﹣2|PM|•|PN|•cos∠MPN＝|PM|2+|PN|2﹣1≥2|PM|•|PN|﹣1＝1，当且仅当|PM|＝|PN|＝1时，等号成立，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）10．已知双曲线C：x2a2-y24=1(a＞0)的右焦点为F(433，0)A．|AH|＝|FH| B．OG→C．|PF|-|【考点】直线与双曲线的综合．【专题】数形结合；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】ACD【分析】依题意求出a的值及双曲线C的渐近线方程，作出图象，求出直线FH的方程，联立方程组分别求出点H和点G的坐标，结合图象及双曲线定义依次对各选项进行判断，即可求解．【解答】解：设双曲线C的半焦距为c，则依题意有c=433，b2＝所以a=233，b＝2，所以双曲线如图所示，直线OH的方程为y=3x，倾斜角为60°，因为FH⊥OH，所以∠OFH又|OF|=4因为∠AOH＝120°，所以∠HAO＝30°＝∠OFH，所以|AH|＝|FH|，故A正确；因为FH⊥OH，则直线FH的方程为y=联立y=-33(联立y=-33(则G(32所以AH→=(3，1)所以OG→≠2因为|PF|﹣|PG|≤|GF|，当且仅当P、G、F三点共线时取等号，且|GF所以|PF|-设双曲线C的左焦点为F'，则F'由双曲线定义得|PF|-所以|≥4=4当且仅当F'、P、G三点共线时取等号，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了双曲线的性质及定义，考查了数形结合思想、方程思想及转化思想，属于中档题．（多选）11．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C交于A，B两点（点A在第一象限），且|AFA．直线l的斜率为27B．双曲线C的离心率为2 C．直线IF2的斜率为-7D．点I的横坐标为a【考点】直线与双曲线的综合；求双曲线的离心率．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BCD【分析】结合题意作出符合条件的图形，利用二倍角公式和斜率的几何意义判断A；利用余弦定理建立齐次方程求解离心率判断B；对G点位置分类讨论，结合双曲线的定义和切线长定理判断点G与F2重合，最后利用直线的垂直关系求解斜率判断C；利用内切圆的半径相等并结合两点间距离公式建立方程，得到x0=a【解答】解：如图，过点l分别作AF1，BF1，AB的垂线，设垂足分别为D，E，G，对于A，因为|AF2|＝|F1F2|，所以∠AF1F2＝∠F1AF2，则cos∠F1F2A＝cos（π﹣∠F1AF2﹣∠AF1F2）＝cos（π﹣2∠F1AF2）=-设直线l的倾斜角为α，则cosα=由同角三角函数的基本关系得sinα=所以l的斜率k=tanα=对于B，设双曲线的焦距为2c，则|AF2|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义得|AF1|﹣|AF2|＝2a，则|AF1|＝2a+2c，由余弦定理得|A结合已知可得(2a解得ca则双曲线C的离心率为2，故B正确；对于C，由切线长定理得|F1D|＝|F1E|，|AD|＝|AG|，|BE|＝|BG|，当点G在线段F2B上时，|AF1|﹣|AF2|＝|F1D|+|AD|﹣|AF2|＝|F1E|+|AG|﹣|AF2|＝|F1E|+|AF2|+|GF2|﹣|AF2|＝|F1E|+|GF2|＝2a，|BF1|﹣|BF2|＝|F1E|+|BE|﹣（|BG|+|GF2|）＝|F1E|+|BG|﹣（|BG|+|GF2|）＝|F1E|﹣|GF2|＝2a，联立两方程，可得|GF2|＝0，此时点G与F2重合，同理可得，当点G在线段AF2上时，|GF2|＝0，此时点G与F2重合，故|F1E|＝2a，点G与F2重合，即IF2⊥l，可得kIF2对于D，设△ABF1的内切圆半径为r，I（x0，y0），则r=|又由勾股定理得r=|则(x解得x0=a2c即点I的横坐标为a2，故D故选：BCD．【点评】本题考查双曲线定义以及方程的应用，考查余弦定理的应用，属于难题．（多选）12．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2A．直线AF2的斜率为35B．C的离心率为2 C．D到C上最近点的距离为35D．|AF2|：|BF2|＝11：3【考点】直线与双曲线的综合．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ABD【分析】利用F2为AD的中点，且为OM的中点，来计算点A坐标，从而可判断A；通过点A坐标代入双曲线方程求离心率，从而可判断B；通过点到直线的距离可判断C；通过联立方程组，利用坐标运算可判断D．【解答】解：对于A，设F1（﹣c，0），F2（c，0），由|A由|OF2|＝c，|D根据勾股定理得|OD如图过点A作x轴的垂线，垂足为M，由题意可得F2为AD的中点，且为OM的中点，可得|MA|=|OD所以kAF2对于B，将A(2c，即4c再将c2＝a2+b2代入得4a2+4解得b=3a，所以C的离心率为e对于C，由|OD|=35c2可知则点D到双曲线C的渐近线的距离为d=所以点D到C上最近点的距离大于352a，选项对于D，由b=3a且双曲线C的方程可转化为3x2﹣y2＝3a2，由F2（2a，0），A(4a，将l：y=352(x-2a)与C：3x2﹣y2＝3a2联立并消去y得：记B（x1，y1），则x1⋅4所以|AF2故选：ABD．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．三．填空题（共4小题）13．已知双曲线E：x29-y216=1的左、右焦点分别为F1，F2，点A为E右支上一点（不与顶点重合），射线AB是∠F1AF2的外角平分线，其与x轴的交点为点B，∠AF1F2的角平分线与直线AB交于点【考点】双曲线的弦及弦长．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】35【分析】通过双曲线定义结合角平分线定理，逐步推导比例关系得出结果．【解答】解：由双曲线E：x29-y216=1，得a＝3，c＝5，焦点F1（﹣5，0），根据双曲线定义，|AF1|﹣|AF2|＝2a＝6，因为AB是∠F1AF2的外角平分线，由角平分线定理得|F又CF1平分∠AF1F2，在△AF1B中，由角平分线定理得|AC设|AF2|＝m，则|AF1|＝m+6，故|F即|F结合|F1B|﹣|F2B|＝10（|F1F2|＝10），解得|F2B因此|AC故答案为：35【点评】本题考查双曲线定义的应用，属于中档题．14．已知双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线交双曲线左支于M，N两点，若MN＝4，则△MNF2的周长为12．【考点】双曲线的焦点三角形．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】12．【分析】利用双曲线的定义，结合焦点三角形，转化求解即可．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2＝1的左、右焦点分别是F1，F2，可得a＝1，b＝1，c=2过F1的直线交双曲线左支于M，N两点，|MN|＝4，|MF2|﹣|MF1|＝2，|NF2|﹣|NF1|＝2，|MN|＝|MF1|+|NF1|＝4，所以△MNF2的周长为|MF2|+|NF2|+|MN|＝8+4＝12．故答案为：12．【点评】本题考查双曲线的焦点三角形的应用，是中档题．15．已知M，N为双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)上关于原点对称的两点，点M与点Q关于x【考点】直线与双曲线的综合；求双曲线的离心率．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】54【分析】设M（x1，y1），P（x2，y2），求得N（﹣x1，﹣y1），Q（x1，﹣y1），而以NP为直径的圆恰好经过点M可得PM⊥MN，据此求得直线MP的斜率，进一步得kPM•kPN的值，再利用点差法求得kPM【解答】解：设M（x1，y1）P（x2，y2），则N（﹣x1，﹣y1），Q（x1，﹣y1），由QE→=916MQ因为以NP为直径的圆恰好经过点M，所以PM⊥MN，所以kMP又由x12a则(y即kPM⋅k所以e=故答案为：54【点评】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，是中档题．16．已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PA|=3|PO【考点】求双曲线的离心率；双曲线的几何特征．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】2．【分析】应用点到直线的距离得|PF|＝b，结合a，b，c的关系得|PO|＝a，在△PAO中应用余弦定理得∠POA=2【解答】解：由O为坐标原点，双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0可得：A（﹣a，0），F（c，0），双曲线的渐近线为y=如图：设点P在y=bax上，则所以|PA|=3a，则所以∠POF=π3，故故答案为：2．【点评】本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．四．解答题（共4小题）17．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，点(-2，-3)（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过（0，1），求k的取值范围；（3）若线段MN的垂直平分线过点K（0，4），求m的取值范围．【考点】直线与双曲线的综合；根据定义求双曲线的标准方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】（1）x2（2）(-（3）（﹣∞，﹣1）．【分析】（1）根据离心率、点在双曲线上和双曲线a，b，c之间关系可构造方程组求得结果；（2）将直线与双曲线方程联立，利用判别式、韦达定理来确定直线与双曲线右支交于不同两点，由此构造不等式组求得结果；（3）利用韦达定理可表示出线段MN垂直平分线所在直线方程，代入点K（0，4）可得k，m之间关系，利用Δ＞0，x1+x2＞0，x1x2＞0可求得结果．【解答】解：（1）由题可得2a2-3b2=1ca=2所以双曲线C的方程为：x2（2）由题可得l：y＝kx+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组y=kx+1x2-y23=1，化简得：（3﹣k2）因为l与双曲线右支交于不同的两点M，N，则3-k2即k的取值范围为(-（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN中点G（x3，y3），联立y=kx+mx2-y23=1，化简得：（3﹣k2）x2则3﹣k2≠0，Δ＝12（3﹣k2+m2）＞0，所以x1+x则x3=x因为l与双曲线右支交于M，N两点，则k≠0，所以线段MN垂直平分线所在直线斜率为-1方程为y-3m3-k2=-所以4-3m3-k2=m由Δ＝12（3﹣k2+m2）＞0得：m2＞k2﹣3＝﹣m，解得：m＜﹣1或m＞0，又k2＝3﹣m＞0，则m＜3，因为x1+x所以m＜0，综上，m＜﹣1，即m的取值范围为（﹣∞，﹣1）．【点评】本题考查了根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围，根据韦达定理求参数，根据双曲线过的点求标准方程，根据离心率求双曲线的标准方程，属于难题．18．已知曲线C：x2﹣y2＝2，第一象限内点P在曲线C上，F1（﹣2，0）、F2（2，0），连接PF2并延长与曲线C交于Q点，PF2→=λF2Q→(λ＞0)，以P为圆心，|PF2|为半径的圆与线段PF1交于点N，记△PF（1）若λ＝1，求点P的坐标；（2）若点P的坐标为（x0，y0），求证x0（3）求S2【考点】直线与双曲线的综合．【专题】应用题；整体思想；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）P(2（2）证明见解析；（3）1+25．【分析】（1）结合题意列式，化简即可求解；（2）结合题意，利用两点间的距离公式及双曲线的定义即可证明；（3）设点Q（x2，y2），由PF2→=λF2Q→，可得x1+λx2=2λ+2y1+λy【解答】解：（1）设l：x＝my+2，P（x1，y1），Q（x2，y2）与x2﹣y2＝2，联立可得（m2﹣1）y2+4my+2＝0，Δ＝8＞0，y1+y因为PF2→=F2Q→，所以y1＝﹣y2解得m＝0，y2=-2，y（2）证明：|P|P则|PF1（3）由（1）得y1+y因为PF2→=λF2Q解得m=-1-y1因为S2由（2）知|P又|PQ所以S2当且仅当λ=5时等号成立，故【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于难题．19．如图，双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)（1）求双曲线E的标准方程；（2）若双曲线E上存在关于直线l对称的不同两点B，C，直线BC与直线l及y轴的交点分别为P，Q．（i）当k=13（ii）当t＝﹣3时，求S△APQ的最小值．【考点】直线与双曲线的综合；双曲线的几何特征．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．【答案】见试题解答内容【分析】（1）由虚轴及离心率可得a，b，即可得双曲线方程；（2）令P（x0，y0），设直线BC为：y=-1kx+m（i）代入k=13，可得x0=1235m，（ii）由t＝﹣3，结合x0=-4kmk2-4，y【解答】解：（1）由题知b=1ca双曲线E的标准方程为x2（2）令P（x0，y0），设直线BC为：y=-1联立得（k2﹣4）x2+8mkx﹣4m2k2﹣4k2＝0，当Δ＝16k2（m2k2+k2﹣4）＞0时，设B（x1，y1），C（x2，y2），则由韦达定理，及题意可得：x0=x（i）当k=13时，x由13=k又因为Δ＞0，即k2所以t=（ii）由题知Q（0，m），A（﹣3，0），因为k=所以m=又x0+3=y则PA=PQ=mkk2-则PQ=则S△当k＝±1取得，此时m2综上，S△APQ的最小值为3625【点评】本题考查双曲线方程的应用，属于难题．20．已知双曲线C：x2a2-y2b（1）若双曲线C与椭圆x24+y2=1有共同的焦点，且双曲线C过点（2）若b＝1，∠F1PF2=【考点】双曲线的焦点三角形；根据abc及其关系式求双曲线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）x22-y2【分析】（1）求解双曲线的半焦距，结合双曲线经过的点，求解双曲线方程即可．（2）设|PF1|＝m，|PF2|＝n，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得mn＝4b2，再由三角形面积公式即可求解．【解答】解：（1）双曲线C与椭圆x24+y2=1有共同的焦点，可得c=3，双曲线C可得4a2-1b2=1，a2+b2＝3，解得双曲线的标准方程为：x2（2）设|PF1|＝m，|PF2|＝n，由双曲线的定义可得m﹣n＝2a，在△F1PF2中，由余弦定理，得4c2＝m2+n2﹣2mncos60°＝（m﹣n）2+mn＝4a2+mn，可得mn＝4b2，则△F1PF2的面积S=1【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点三角形的面积的求法，是中档题．

考点卡片1．双曲线的定义【知识点的认识】双曲线（Hyperbola）是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，也可以定义为到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹．双曲线是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平面的交截线．双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点（focus），定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．标准方程①x2a2-y2b2=1②y2a2-x2b2=1性质这里的性质以x2a2-y2b①焦点为（±c，0），其中c2＝a2+b2；②准线方程为：x＝±a2c；③离心率e=ca＞1；④渐近线：y＝±bax；⑤焦半径公式：左焦半径：r＝|ex+a|，右焦半径：r＝【解题方法点拨】例1：双曲线x24解：由x24-y216=0可得y＝±2x，即双曲线x故答案为：y＝±2x．这个小题主要考察了对渐近线的理解，如果实在记不住，可以把那个等号后面的1看成是0，然后因式分解得到的两个式子就是它的渐近线．例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y＝0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，设双曲线方程为x24-y2＝λ（λ∵双曲线过点P（4，3），∴424-32＝λ，即λ∴所求双曲线方程为x24-y2即：y25一般来说，这是解答题的第一问，常常是根据一些性质求出函数的表达式来，关键是找到a、b、c三者中的两者，最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴，知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了．【命题方向】这里面的两个例题是最基本的，必须要掌握，由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现，难度一般也是相当大的，在这里可以有所取舍，对于基础一般的同学来说，尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的，对于还剩下的部分，尽量多写．2．根据定义求双曲线的标准方程【知识点的认识】双曲线是平面上到两个定点（焦点）的距离差的绝对值为常数的点的轨迹．双曲线的标准方程分为两种形式：﹣对称轴为x轴（开口方向在x轴）：x﹣对称轴为y轴（开口方向在y轴）：y【解题方法点拨】1．确定焦点和常数：由焦点距离和常数求解．2．代入标准方程：选择正确的方程形式代入．【命题方向】﹣给定焦点和常数，求双曲线的标准方程．﹣根据定义推导双曲线方程．3．根据abc及其关系式求双曲线的标准方程【知识点的认识】a和b是双曲线的参数，它们满足关系c2＝a2+b2（其中c是焦距的一半）．【解题方法点拨】1．计算c：利用c2＝a2+b2计算．2．代入标准方程：根据a，b和c计算标准方程．【命题方向】﹣给定a和b，求解双曲线的标准方程．﹣根据a和b计算相关参数并代入方程．4．双曲线的几何特征【知识点的认识】双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2-y2b2=1y2a2-x2b2=1图形性质焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）焦距|F1F2|＝2c|F1F2|＝2c范围|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R对称关于x轴，y轴和原点对称顶点（﹣a，0）．（a，0）（0，﹣a）（0，a）轴实轴长2a，虚轴长2b离心率e=ca（e＞准线x＝±ay＝±a渐近线xa±yxb±y5．双曲线的范围【知识点的认识】双曲线的范围指的是双曲线上点的几何范围．对于标准方程x2a2【解题方法点拨】1．分析方程：考虑x和y