【《变势能函数参数激励压电俘能器及其动力学方程分析概述》3400字】

变势能函数参数激励压电俘能器及其动力学方程分析概述目录TOC\o"1-3"\h\u26880变势能函数参数激励压电俘能器及其动力学方程分析概述 1279211.1引言 1300821.2变势能函数压电俘能器及动力学模型的建立 1125271.2.1变势能函数压电俘能器的物理结构 121331.2.2梁的大尺度变形的非线性特性的分析 234081.2.3系统中磁偶极子的分析模型 492921.2.4变势能函数的参数激励压电俘能器的动力学方程 4223311.2.5俘能器动力学方程的数值求解方法 81.1引言本章首先介绍本文提出的具有变势能函数参数激励压电俘能器的物理结构；分析压电梁的几何非线性特性，基于欧拉-伯努利梁理论与压电本构方程，利用拓展哈密顿原理，不仅建立变势能函数压电俘能器的机电耦合动力学方程，还建立了与之对应的非变势能函数结构的动力学方程，以便于后续的研究；针对简谐激励与随机激励，建立两种不同激励下系统动力学方程的数值求解方法。1.2变势能函数压电俘能器及动力学模型的建立1.2.1变势能函数压电俘能器的物理结构图2-1变势能函数俘能结构计算模型示意图本文所提出的变势能函数俘能结构示意图如图2-1所示。该俘能器拥有一根长度为L的竖直梁。该梁的末端质量m1为一块永磁铁，并且末端为自由端；距离梁顶部L1处，贴有长为Lp的压电片，故该梁也被称为压电梁。在压电片上下表面接有电极，外部电路等效为外界负载。位于基座底部的永磁铁称为外部磁铁，外部磁铁通过弹簧与基座相连。本文研究中忽略弹簧质量，并将磁铁-弹簧的连接体简称为质量m2。初始时，两磁铁相同极性相对放置，并在同一竖直线上，初始磁铁中心间距为d0。在图2-1所示系统中，竖直梁的振动方向沿图中y轴方向，与外部激励的x轴方向垂直，则梁为参数激励；在本文中假设质量块-弹簧不发生左右偏转，其振动方向沿x轴方向，与外部激励方向相同，则为直接激励。外部磁铁与基座间用刚度为K的弹簧连接。若K为有限值，则在系统振动过程中，不仅仅竖直梁的势能函数值要发生变化，而且势能函数曲线的形状也将发生变化；而当外部磁铁固结于基座时，将不具有这一特性。为方便起见，本文中称前者为变势能函数结构，后者为非变势能函数结构。非变势能函数结构在外激励作用下，仅有梁发生相对于基座的运动，因此为单自由度系统；而变势能函数结构中，不仅有梁发生相对于基座的运动，质量m2也会发生相对于基座的运动，故系统为二自由度动力系统。需要特别说明的是，本文中变势能并非仅指势能函数值在振动过程中变化，而是表示势能的函数曲线发生了改变。1.2.2梁的大尺度变形的非线性特性的分析由于变势能函数结构会增大梁的位移，且双稳态系统作阱间运动时梁振动幅度较大，产生较大挠度，因此梁的大尺度变形带来的非线性影响不可忽略。取梁上的一段微元，变形前后的变化关系，如图2-2所示。图中，A，B分别为产生挠度前后的微元段，dx、ds为产生挠度前后微元段的长度，u(x,t)与w(x,t)分别为沿x轴与y轴的变形，图2-2梁上微元变形前后几何关系由图可得，其几何三角关系：(2-1)竖直梁的轴向应变为：(2-2)基于欧拉-伯努利梁理论[74]，梁足够纤细且不可伸长，因此轴向应变等于0，即(2-3)将上式利用泰勒级数展开，可得：(2-4)其中，与表示对x求偏导。微元转动角度为：(2-5)梁的曲率与转角可以表示为：(2-6)将式（2-4）代入，仅保留w(x,t)可得(2-7)根据式(2-1)~(2-7)，可以得出基于欧拉-伯努利梁假设条件下，梁产生较大挠度时，应变与位移之间的几何非线性关系为：(2-8)1.2.3系统中磁偶极子的分析模型在计算系统磁势能时，可将永磁铁视为偶极子，其计算表达式为[75]：(2-9)其中，、表示永磁铁的磁矩矢量，为真空磁导率，表示永磁铁A到永磁铁B的几何中心之间的向量，它们之间的关系与、可以表达为，，(2-10)其中，、表示永磁铁的磁化强度，、为永磁铁的体积。将式(2-10)代入到(2-9)可得系统的磁势能为：(2-11)其中，，，为永磁铁的宽度，为磁铁偏转角度，。1.2.4变势能函数的参数激励压电俘能器的动力学方程系统在外部激励xb(t)的作用下，竖直梁将产生横向位移w(x,t)与轴向位移u(x,t)，质量m2将相对于基座产生沿x轴的位移s(t)。利用拓展哈密顿原理可推导出系统的动力学方程。拓展哈密顿原理的表达式为[65]：(2-12)其中，，表示的是拉格朗日函数，T为系统的总动能，U为总势能，为非保守力所做虚功的变分。系统的动能包括质量m1、m2的动能、，以及梁的动能。首先，质量m1位于梁长L处，其位移有轴向位移与横向位移，可以分别用uL(t)、wL(t)表示，动能表达式为：(2-13)质量m2的位移s(t)代表的是磁铁-弹簧这一自由度的运动，s(t)为沿x轴的位移，动能表达式为：(2-14)梁的动能的计算表达式为：(2-15)其中，m为单位质量，其表达式为：(2-16)式中下标s，p分别表示竖直压电梁的弹性基底层与压电层，H[x]是阶跃函数，代表密度。因此系统的总动能可以表示为：(2-17)系统的势能包括弹簧的弹性势能与竖直压电梁的势能U1，质量m1、m2与梁的重力势能UG，磁铁间的磁势能Um。压电梁的势能U1中包括电势能和压电势能。在计算竖直压电梁势能时，需要利用压电材料的本构方程。压电材料的线性本构方程为：(2-18)其中，Ep表示竖直梁压电层的杨氏模量，d31表示压电常数，表示恒定应力下的介电常数，Ex表示x方向的电场，Dx为电位移，为压电梁受到的轴向力。恒定应力与恒定应变下介电常数的关系满足：(2-19)电场与电压满足：(2-20)梁与弹簧的弹性势能U1可以表示为：(2-21)其中，Vs、Vp分别表示弹性基底层与压电层的体积，Ts、Tp表示基底层与压电层所受轴向应力。将式(2-8)、(2-18)、(2-19)、(2-20)代入式(2-21)，可以得到势能U1的表达式为：(2-22)其中，为机电耦合系数，EI为抗弯刚度，Cp为等效电容。各项的详细计算式分别为：(2-23)其中，E2、Ep分别表示压电梁基底和压电片的杨氏模量，ha、hb、hc分别表示从中性轴到基底层底部的距离，从中性轴到压电层底部的距离，中性轴到压电层上表面的距离，d31表示压电常数，表示恒定应变下的介电常数。本文中竖直压电梁仅单侧贴有压电片，属于单晶俘能器，其中心轴的表达式可见参考文献[76]。由于梁竖直放置，系统的重力势能表达式为：(2-24)其中，uL(t)表示梁长L处的轴向位移，d0为磁铁间的初始间距。非保守力所做虚功包括机械阻尼与电荷输出，其变分为(2-25)其中，c1，c2分别表示梁和弹簧的粘性阻尼，Q表示流经负载R的总电荷，且。为了得到常系数微分方程，使用Rayleigh-Ritz法[77]可以将连续体的弹性梁的横向位移表示为(2-26)其中，表示梁的第i阶模态对应的梁振型函数，表示的是系统的第i个广义模态坐标，若只考虑一阶模态，则梁的横向位移为(2-27)选择符合本文物理结构条件的振型函数(2-28)综合上述各式，将其代入到拉格朗日方程与拓展哈密顿表达式(2-9)中，可以得到变势能函数压电俘能器的动力学方程(2-29)其中，k1为竖直压电梁的等效质量；、为竖直压电梁的等效粘性阻尼与滑动阻尼；k3为竖直压电梁的惯性非线性项系数；k2、k4分别表示其派生系统的等效线性刚度与几何非线性带来的非线性刚度；k5为竖直梁的参数激励项；k6、k7为等效机电耦合系数。各项参数的计算表达式如下：为了本文后续章节中说明本文所提出的二自由度变势能函数参数激励压电俘能器的性能特点，将与非变势能函数压电俘能器的性能进行比较。若将图2-1连接m2和基座的弹簧去掉，便是一个非变势能函数压电俘能器。对应地在式(2-29)中，去掉含质量m2位移s(t)的耦合项，可得到非变势能函数结构的动力学方程(2-30)1.2.5俘能器动力学方程的数值求解方法本文将研究简谐激励与随机激励两种不同的外激励下，变势能函数参数激励压电俘能器的性能。针对简谐激励和随机激励采用不同的求解方法。(1)外激励为简谐激励的求解方法当外激励为简谐激励时，采用四阶龙格库塔法对系统动力学方程进行数值求解。式(2-29)中，其中A为激励幅值，为激励频率。为便于进行数值分析，首先需要将方程无量纲化，然后写为状态空间形式。引入无量纲变换，，，，，将上述无量纲变量代入到式(2-29)中，可将系统的动力学方程写为无量纲形式(2-31)其中，为无量纲激励频率，，为有量纲的外界激励频率，为有量纲的原系统的派生系统的固有频率。式(2-31)中各项系数的表达式为，，，，，，，，，，，，，，，，，令，可以将系统的无量纲方程改写为状态空间形式(2-32)有了如式(2-32)的系统状态空间形式，可利用MATLAB中的四阶龙格库塔法对简谐激励下的系统进行数值分析。(2)外激励为随机激励的求解方法当外激励为