专题07复数（讲义江苏专用）数学学业水平考试合格考总复习（解析版）

1/2专题07复数目录目录学考要求速览必备知识梳理高频考点精讲考点一：复数的扩充与复数的概念考点二：复数的四则运算实战能力训练1、在问题情境中了解数系的扩充过程,通过方程的解认识复数.2、理解复数的代数表示,掌握两个复数相等的充要条件及应用.3、了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.4、理解共轭复数的概念,并会求共轭复数.5、掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题.6、结合实数的加、减运算法则,熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.7、理解复数加法、减法运算的几何意义,能够利用“数形结合”的思想解题.8、掌握复数代数形式的乘、除运算法则,能够进行复数的乘、除运算.9、掌握复数代数形式的四则运算及虚数单位i的幂值的周期性并能进行有关计算.1、数系的扩充和复数的概念:1．复数:集合C={a+bi∣a,b∈R2．复数的表示:通常用字母z表示,即z=其中a,b分别叫做复数z的实部、虚部.(求复数z3．复数相等的充要条件:⊙a+bi=c②a+bi=0③a+bi>c4．复数z=a+bi的分类:当b=0时,z是实数;当b≠5．复数的几何意义:用直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示虚数.z=a6．复数z=a+bi的模(或绝对值):向量OZ的模r叫做z=a2、复数代数形式的四则运算1．复数的四则运算法则(规定):(掌握复数运算与口算的规律)①a+bi②a+bi③a+bi④a+bi2．加减法的几何意义:向量加、减法的平行四边形法则.OZ=a+c,b+②复平面上的两点间的距离公式:d=③当z−z0=r,表示复数z对应点的轨迹是以z④当z−z1=z3．当两个复数的实部相同,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.复数z的共轭复数记作z.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z=a+它们在复平面所对应的点关于x轴对称.显然,z=z考点精讲讲练考点一：复数的扩充与复数的概念例题1（2024高二上·江苏·学业考试）在复平面内，复数z=1−2i对应的点位于（

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】由复数几何意义可得答案.【详解】z=1−2i在复平面对应的点为1故选：D例题2．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）复数z=1−i在复平面上对应的点位于（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据题意，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】根据复数的几何意义，可得复数z=1−i在复平面内对应的点Z(1,−1)故选：D.例题3．（2023高三·江苏·学业考试）已知z=3−i，则z=（A．3 B．4 C．10 D．10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为z=3−i，所以z故选：C.1．在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数z4i对应的点Z1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】设出复数z的代数形式，利用复数的除法运算求出z4【详解】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设z=a+bi则z4i=所以点Z1故选：A2．已知复数z=(3i−1)(1−i)A．z的虚部为4 B．复数z在复平面内对应的点位于第三象限C．z的共轭复数z=4−2i 【答案】D【分析】利用i的周期性先将复数z化简为z=−4+2i【详解】因为i2=−1，i4=1，i5故z的虚部为2，A错误；z在复平面内对应的点为(−4,2)，在第二象限，B错误；z的共轭复数为z=−4−2i，C错误；故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.3．复数3+4i的模为（

A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】根据复数模的定义计算．【详解】3+4故选：C.考点二：复数的四则运算例题1（2024高二上·江苏·学业考试）棣莫弗公式(cosθ+isinθ)n=cosA．−12−C．32−1【答案】D【分析】根据棣莫弗公式化简求解.【详解】由棣莫弗公式，ω5故选：D.例题2．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）已知复数z=2+i（i是虚数单位），则z为（

A．5 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】根据复数模长公式求出答案.【详解】z=故选：A例题3．（23-24高三上·江苏无锡·期中）已知复数z=2−i，则z(z+A．－2 B．－1 C．6 D．2【答案】D【分析】利用复数乘法法则计算出z(z【详解】z(z故选：D．1．复数1+11+iA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解.【详解】1+11+故选:D．2．已知复数z1=2+3i，z2=1+A．3+2i B．−1+2i C．−1+4i【答案】D【分析】根据复数加法运算法则求解.【详解】由z1=2+3i则z1故选：D3．设z=11+i+i，则zA．12 B．22 C．3【答案】B【分析】对复数进行运算化简得z=1【详解】∵z=1故选：B.【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题.训练1、已知i为虚数单位，1+aii=5+i，则实数A．−1 B．1 C．−5 D．5【答案】C【分析】化简方程可得i−a=5+i，由此可求【详解】因为1+aii=5+可得i−a=5+i，所以故选：C.2、已知复数z=2+i（i为虚数单位），则z的实部为（

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根据复数z=a+bia,b∈R【详解】因为复数z=a+bia,b∈R所以复数z=2+i故选：A.3、计算1+ii的值是（A．1+i B．−1+i C．1−i【答案】B【分析】直接根据复数的乘法运算法则计算即可．【详解】1+i故选：B4、已知i为虚数单位，则复数z=1+i在复平面内对应的点位于（

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】复数z=1+i在复平面内对应的点为1,1故选：A.5、已知i为虚数单位，设复数z1=2+i，z2=1−3A．1+4i B．1−2i C．2+4i【答案】A【分析】根据复数的减法法则计算即可.【详解】由z1=2+i则z1故选：A.6、若iz=2+i，则zA．−15+C．15+2【答案】D【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据共轭复数的定义求解.【详解】由iz=2+i故z=1故选：D7、已知i为虚数单位，则复数z=−2−6i在复平面内对应的点位于（

A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由复数的几何意义求解．【详解】复数z=−2−6i在复平面内对应的点为−2,−6故选：C8、i为虚数单位，计算21−i等于（A．1+i B．−1+i C．−1−i【答案】A【分析】利用复数的除法法则运算即可.【详解】21−故选：A.9、i为虚数单位，若z−3=i2z+1，则z=A．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【分析】根据复数的除法运算及复数的模求解.【详解】因为z−3=i所以z−3=2zi+i所以z=故选：A10、复数(1+i)2A．2−2i B．2+2i C．−2i【答案】D【分析】根据复数乘法计算.【详解】(1+i故选：D11、若复数z=12−i（i为虚数单位），则复数zA．25 B．25i C．1【答案】C【分析】利用复数的四则运算，结合复数的定义即可得解.【详解】因为z=1所以复数z的虚部为15故选：C.12、已知复数z=i(1−i)（i为虚数单位），则A．12 B．22 C．2【答案】C【分析】计算出z=1+i【详解】z=i(1−i故选：C13、已知复数z=1+i2+i3A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，再利用复数的几何意义求解.【详解】解：因为复数z=1+i所以z在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D14、已知复数z满