2025年青岛数学二模试卷及答案

2025年青岛数学二模试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分一、选择题（总共10题，每题2分）1.若函数f(x)=x^3-ax+1在x=1处取得极值，则实数a的值为（）A.3B.-3C.2D.-22.已知集合A={x|x^2-3x+2>0},B={x|ax=1},若A∩B=∅，则实数a的取值范围是（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.{0}D.R3.若复数z满足|z-2|+|z+2|=6，则z在复平面内对应的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线4.已知向量a=(1,k),b=(3,-2)，若a⊥b，则|a+b|的值为（）A.√13B.√17C.2√5D.55.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(3,+∞)D.(0,1)∪(1,+∞)6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC的值为（）A.1/2B.1/3C.1/4D.17.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5,a_6=11，则S_9的值为（）A.45B.75C.105D.1358.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，且周期为π，则φ的可能取值为（）A.kπB.kπ+π/2C.kπ+π/4D.kπ-π/2（k∈Z）9.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，则点A1到平面BCC1B1的距离为（）A.1/√2B.1/√3C.√2/2D.√3/310.已知样本数据x1,x2,...,xn的均值μ=5，方差s^2=4，则样本数据2x1+1,2x2+1,...,2xn+1的均值为（）A.10B.9C.11D.8二、判断题（总共10题，每题2分）11.若函数f(x)在区间I上单调递增，则f(x)在该区间上一定存在反函数。12.若复数z1,z2满足|z1|=|z2|，则z1=z2。13.在等比数列{a_n}中，若a_1>0，则数列{a_n}一定单调递增。14.若向量a,b,c满足(a×b)·c=0，则a,b,c共面。15.函数f(x)=x^3-3x在(-∞,+∞)上存在两个极值点。16.在△ABC中，若a^2>b^2+c^2，则角A为钝角。17.若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n^2+n，则{a_n}为等差数列。18.已知直线l1:ax+by+c=0与l2:mx+ny+p=0平行，则a/m=b/n。19.若函数f(x)在x=x0处取得极值，则f'(x0)=0。20.在空间直角坐标系中，过点A(x0,y0,z0)且平行于向量a=(a1,a2,a3)的直线方程为x=x0+a1t,y=y0+a2t,z=z0+a3t。三、填空题（总共10题，每题2分）21.若函数f(x)=x^2+bx+1在x=1处取得极小值，则b=______。22.已知集合A={x|x^2-5x+6≥0},B={x|ax-1<0}，若A∩B=(2,3)，则a=______。23.若复数z=1+i满足|z-2|=|z+2|，则argz=______（用弧度表示）。24.已知向量a=(2,1),b=(-1,k)，若a⊥b，则|a-b|=______。25.函数f(x)=log_1/2(x^2-4x+3)在(1,+∞)上单调递减，则实数a的取值范围是______。26.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a^2+b^2-c^2=ab，则cosC=______。27.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_3=5,a_6=11，则S_9=______。28.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像关于y轴对称，且周期为π，则φ=______（用kπ表示，k∈Z）。29.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，则点A1到平面BCC1B1的距离为______。30.已知样本数据x1,x2,...,xn的均值μ=5，方差s^2=4，则样本数据2x1+1,2x2+1,...,2xn+1的方差为______。四、简答题（总共4题，每题5分）31.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)在[-2,3]上的最大值和最小值。32.已知向量a=(1,2),b=(3,-4)，求向量a与b的夹角余弦值。33.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5=25,S_10=70，求该数列的通项公式。34.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=1，求三棱柱的体积。五、讨论题（总共4题，每题5分）35.讨论函数f(x)=x^3-ax+1的单调性与极值情况，并确定a的取值范围使得f(x)在(-∞,+∞)上单调递增。36.已知复数z1=2+3i,z2=1-i，讨论z1+z2,z1-z2,z1×z2在复平面内的位置关系。37.讨论等差数列{a_n}的前n项和S_n的最小值问题，并举例说明当公差d为负数时，如何求S_n的最小值。38.讨论空间直线l1:x-y+z=1与l2:2x+y-z=2的位置关系，并求两直线间的距离。参考答案一、选择题1.A2.C3.B4.D5.C6.A7.B8.D9.A10.B解析：1.f'(x)=3x^2-a，由题意f'(1)=0，解得a=3。2.A=(-∞,1)∪(2,+∞)，B={x|x≠0}，若A∩B=∅，则a=0。3.由复数模的性质，轨迹为以(-2,0),(2,0)为焦点的椭圆。4.a⊥b⇒a·b=0⇒1×3+k×(-2)=0⇒k=3/2，|a+b|=√(1^2+(3/2)^2+(-2)^2)=5。5.函数定义域为(1,+∞)，x^2-2x+3=(x-1)^2+2在(1,+∞)上单调递增，需a>1。6.a^2+b^2-c^2=ab⇒2ab-c^2=ab⇒c^2=ab⇒cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2。7.由等差数列性质，a_4=(a_3+a_6)/2=8，S_9=9a_5=9×8=72，但a_5=(a_3+a_6)/2=8，S_9=9×8/2=45。8.函数关于y轴对称⇒sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ)⇒φ=kπ+π/2。9.点A1到平面BCC1B1的距离为点A1到BC的距离，即√2/2。10.新样本均值为2×5+1=11。二、判断题11.错12.错13.错14.对15.错16.对17.对18.对19.错20.对解析：11.函数单调递增不一定有反函数，如f(x)=x^3在R上单调递增但有反函数。14.(a×b)·c=0⇒a×b垂直于c⇒a,b,c共面。三、填空题21.-622.-1/223.π/424.√1025.(2,+∞)26.1/227.4528.kπ+π/229.√2/230.16解析：21.f'(x)=2x-6，f'(1)=-4≠0，但需f'(x)在x=1处变号，解得b=-6。四、简答题31.最大值5，最小值-832.cosθ=-5/√2633.a_n=3n-834.V=√2/2解析：31.f'(-2)=-10,f'(-1)=0,f'(1)=-4,f'(3)=0，f(-2)=-8,f(-1)=0,f(1)=-4,f(3)=5，最小值-8，最大值5。五、讨论题3