江苏省无锡市江阴市三校联考2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

2025-2026128540分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确 (A.{0,1, C. D. A．

D． 直线l1,l2互相平行的一个充分条件 l1,l2都平行于同一个平 C．l1,l2都垂直于同一条直 D．l1,l2都垂直于同一个平设A(x1，y1)，B(x2，y2)为平面上两点，定义d(A，B)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为A，B的“直角距离．若d(A，B)＝2，则线段AB长度的最小值为 ​

​

A. B. C. D.某化工厂对产生的废气进行过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间(单位：h)需要花费的时间为()(1hlog0.90.5≈6.579) 古希腊数学家阿波罗尼奥斯(262～190年)的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗

1PC：(x﹣2)2+y2＝1 已知fx的导函数为fx，当x0时，fxxlnxfx0，则下列结论一定正确的是 f1 B.f2 D.当x0时，fx3618在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，动点E在棱AB上，则( 已知圆Cx2)2y21Pxy0P作圆CPA，PB，切点分别是和B，下列说法正确的为 圆C上恰有一个点到直线l

存在唯一P点，使得APB D．直线AB恒过定点(3,1 A．f(x)x

7

在区间[m，n](m＜n)2026n﹣m30373515 如图，平面向量e1e2a 请用基底e1，e2表示a ．lf(x)＝ex﹣1g(x)＝lnx+1则直线l的方程可以

有两个零点，则实数a的取值范围 15．(13分)已知椭 若焦距为42P的坐标为(﹣3，1)C ，且△F1PF2的面积

3b16.(15分)已知函数fxx3a2x2bxa2在x1处有极值为 (1)求a,b(2)已知数列a的前n项和S，满足S=1fn2，记T1

3

求

a2

(15分)ABCD中，AB//CDDAB90，FCDEAB上，EFAD，AB3ADCD2ADEFDAEFEFDAEFDAEFCB所成的二面角为60．证明:AB平面CDF(17分)在△ABCA，B，Ca，b，c，且1sin2A1sin2B判断△ABC

AB＝1DBC的中点，当∠CAD最大时，求△ABC(17分)若有穷数列a(nN*n≥3)满足|a

||

|(i1，2，3，n2)则称数列{anMM

i

i

i M数列{an中各项互不相同．令bm|amam1|m1，2，3n1，求证：数列{an是等差数列的充分必要条件是数列{bm}是常数列；M数列{anm(mN*且m31，2，3m |akak1|m2，求m的所有取值k2025-2026128540分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目36183515 2→+4 13．y＝x（或

0，3

2e2（1）= 已知|𝐹1𝐹2|=4√2，则2𝑐𝑐=4√2，即𝑐𝑐= 1

𝑏2= 可得 =1， = 2 𝑎2−𝑏2=联立�9 1 4𝑎2+𝑏2=解得：b2＝4或b2＝﹣2（舍 5C

= 6= 所以△FPF的面积𝑆𝑆=1|𝑃𝑃𝐹||𝑃𝑃𝐹|⋅𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝜋𝜋= 8 9根据余弦定理可得：|𝐹𝐹|2=|𝑃𝑃𝐹|2|𝑃𝑃𝐹|22|𝑃𝑃𝐹||𝑃𝑃𝐹|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠1

整理得：|𝐹𝐹|2=(|𝑃𝑃𝐹|+|𝑃𝑃𝐹|)2−2|𝑃𝑃𝐹||𝑃𝑃𝐹|−2|𝑃𝑃𝐹||𝑃𝑃𝐹|𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 111

代入得：4c2＝4a2﹣6，即𝑎2𝑐𝑐2=𝑏2=即得：𝑏= 13解：(1)fx3x22a2x 2 3ab

a或b

5 6a2b 7n1a1S12 当n2时，aS n21n121=

8 na12不满足上式an2n

10nn2T

11

3

=1111113

2

3

5

2n12n

2n

2n111 1 13 4n 4n且T1也满足上式，T1 4n

1

4n

15（1）∠DAB＝90AEFD为矩形， 2又EA′∥FD′，且FD′⊂平面CD′F，EA′⊄平面CD′F，所以EA′∥平面CD′F， 4分又EA′∩EB＝E，所以平面EA′B∥平面CD′F，又A′B⊂平面EA′B，所以A′B∥平面CD′F； 6分（2）由∠DAB＝90°，EF∥ADEF⊥CDEF⊥FC，EF⊥FD′，EFD′AEFCB所成二面角的平面角为∠CFD′＝60°，结合CF∩FD′＝F，所以EF⊥平面CFD′，可得平面CFD′⊥平面EBCF，又F为CD的中点，所以△CFD′为等边△， 8分 9F（0，0，0，E（2，0，0，C（0，2，0，B（2，4，0，D′（0，1，√3 =（0，1，√3，𝐶𝐵EFD′A′的法向量为𝑚=( 𝑚⋅𝐹𝐸=2𝑥= 则�

，可得𝑚=(0，− 11𝑚⋅𝐹𝐷′=𝑦+√3𝑧=BCD′的法向量𝑛=( 𝑛⋅𝐶𝐵=2𝑥+2𝑦= 则

，解得𝑛= 13𝑛⋅𝐶𝐷′=−𝑦+√3𝑧=→则|cosθ|=|𝑚⋅𝑛|= =1， 14→ 2

2

所以sinθ=√1−𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠2𝜃𝜃= 15（1）

所以𝑐𝑜𝑠2𝐴−𝑠𝑖𝑛2𝐴=𝑐𝑜𝑠2𝐵−𝑠𝑖𝑛2𝐵 2

5A，B∈（0，π，A﹣B∈（﹣π，π，即A＝B，则△ABC为等腰三角形； 7分

4= 10=3𝐴𝐶+

=

12

2，当且仅当

≤

14

𝐴𝐷

𝐶𝐷

此

=2，所以

+

AD2+CD2＝AC2ACD为直角三角形且∠𝐴𝐶𝐷=可得△ABC为正三角形 16 17 （I） 1 2（II）bm＝|am﹣am+1|＝|d|． 4bm＝bm+1（m＝1，2，⋯，n﹣2，|am﹣am+1|＝|am+1﹣am+2|（m＝1，2，…，n﹣2所以am﹣am+1＝am+1﹣am+2或am﹣am+1＝﹣（am+1﹣am+2 6分am﹣am+1＝am+1﹣am+2． 7|ai﹣ai+1|≤2（i＝1，2m＝43，2，4，1．此时|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|＝6，符合题意；当m＝5时，数列为2，3，4，5，1．此时|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|a3﹣a4|+|a4﹣a5|＝7，符合题意 m≥6m满足题意．b＝ak﹣ak1（k＝1，⋯﹣11≤b1≤b2≤⋯≤bm﹣1，且∑𝑚𝑚−1𝑏𝑘=𝑚+1，(𝑘=1，2，⋯，𝑚− 𝑏𝑘=4，(𝑘=𝑚−1，(𝑘=1，2，⋯，𝑚−

𝑏𝑘=

1，(𝑘=1，2，⋯，𝑚−2，(𝑘=𝑚− 3，(𝑘=𝑚−𝑏𝑘=

2，(𝑘=𝑚−3，𝑚−2，𝑚−1，(𝑘=1