广东省清远市2025-2026学年高二上学期期中考试 数学试卷

直线l经过两点4234，则l的斜率为（

已知向量a2,13，b1,1x，若a与ba

（A． B． C． 圆Cx2y24与圆Cx3)2y21的位置关系为（外 B．外 C．相 D．内2ABCDEADBACE（ D．ABCDA1B1C1D1中，点MABN在线段CC1AMMBC1N2NCDB1与MN所成角的余弦值为（A．

B．

C．

D．a1”是“直线ax3y30xa2y10平行”的（充分不必要条 B．必要不充分条C．充要条 D．既不充分也不必要条已知直线lm2xm1ym10，若直线l与圆Cx1)2y24ABAB值为C． 5

5在平面直角坐标系中，点P的坐标为0,，圆C:x

y

1，点Tt0x轴上一动点.P向点Tx轴反射后与圆C有交点，则t的取值范围为（ 15,10 3

7,10 43

7,27 48

15,27 8 下列说法中，正确的有（直线3xy20在y轴上的截距为-2B．直线3xy10的倾斜角为120°C．直线mxy30(m∈R)必过定点(0，-3) D．点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7关于空间向量，以下说法正确的是（ l的方向向量为m242，平面的一个法向量为n12,1，则l

P,A,B,O，有

OA

OC，则

若空间向量ab→b0，则a与b

11若空间向量a1,0,1，b0,1,1，则a在b上的投影向量为0,, 22QBC的中点，则以下命题正确的是（三棱锥QPCDPQAADD所成角的正弦值的取值范围为02 2 PD1PQP3若方程x2y24mx2y4m2m0表示圆，则实数m的取值范围 x2y2x2y2

的最小值 (x3)2(y2)2(zxOyA2,2(x3)2(y2)2(z的二面角后，AB32，则θ的余弦值 求下列各圆的方程ABCA1B1C12，侧棱长为3，DBCABCDD的坐标ABCD的面积求VABCAB上的高所在直线方程A1ABCACDAB2．所成角的正弦值为A20B1,0，动点MMA2MB求动点M的轨迹CB作两条互相垂直的直线l与m，直线l交曲线CEF两点，直线m交曲线C于GH两点，求EGFH面积的最大值.【详解】由ky1y2，得l的斜率为426

x1

3 【详解】由于a与b垂直，所以ab213x0x1，所以a2b43,1故故a2b

424232【详解】由题意，圆Cx2y24，则圆心C0,0，半径r2 圆C2x3)2y21，则圆心C30,半径r21 【详解】CECAAEBACEBACAAEBACABAAE22cos6021cos1201．DDADCDD1xyz 1

11

则D0,0,0,B11,1,1,N0,1,3,M1,2,0,MN1,,,DB11,1,1 23

21， 1与MN所成角的余弦值为21DB1【详解】当a1，则直线分别为x3y30x3y10若直线ax3y30xa2)y10当a0时，直线分别为3y30x2y10当a01a21，即a(a2)3，解得a3或a1 当a3时，两直线重合，故不满足条件，故a1综上a1”是“直线ax3y30xa2)y10平行”的充要条件，【详解】直线lm2xm1ym10，即xy1m2xy10xy1 x令2xy10，解得y1 圆Cx1)2y24的圆心C10，半径r211因为PC 2114则圆心C到直线l的距离dPC2（PCl时取等号4r2dr2d

22（PCl时取等号所以AB的最小值为 P

xP05PT与圆C 又Tt0PTy5x55xy50 由题知圆C的圆心为C5,，半径为 PT与圆C有交点，即圆心CPT255 5255 52t 5P

轴的对称点P0,，则直线PT与圆C有交点 PT与圆C设切点为Q，令k2tan∠QPCPC

(05)(05) 5 2(52)2所以k2tan∠QPC(52)2PC的斜率为k11PQ的斜率kk1k2,k1k2341k

1k

1 12PQykx5．所以t35451510

2 2

3【详解】A.直线3xy20x0y2AB.直线3xy10的斜率k3，所以倾斜角为60oBC.直线mxy30mRx0y=−3，所以直线恒过定点03CD.点53y20的距离d321D错误.【详解】A：若直线l的方向向量为m242)，平面α的一个法向量为n12,1，易得m2n，即m//n，则有lα，A正确；

111

P,A,B,B：在

OAOB

OC中，由于 ，

四点共面，B正确C：当abb

也成立，但a与b夹角不为钝角，C ab

1b1b(0,1对于D，a在b上的投影向量为→

,)，D正确 2A，三棱锥QPCDPQCD 1 AA112122是定值，A三棱锥

3

3 则Q(2,12)P(x,y0)(0x20y2)，则QP(x2,y1BAA1002PQAA1所成的角αQPQP

2 因为0x20y2，故0x22y125，故cosα2,1 而cos6012,1，B x (x2)2(y1)2因为0x20y2，故2x2

x(x2)2x(x2)2x(x2)2(y1)2x(x2)2x(x2)2

0,211 (x

3

2x(xx(x2)21 (xx(x2)2(y1)2故0 x(x2)2(y1)2 2 x2y2)2x2)2y1)24，化简可得4x2y50xAyx2y3y0x5P(2(25)2( m

35，Dx2y24mx2y4m2m0表示圆D²E²4F16m2416m24m0m1​x2x2y2

表示的几何意义是空间内任意一点M(x,y,z)(x3)2(y2)2(x3)2(y2)2(z显然，当OM,A三点共线且M在线段OA|OM||MA|(30)2(2(30)2(20)2(1BBCl于点CAOlAO2,OB32BCOC3沿直线l:yx把平面直角坐标系折成大小为θ的二面角后，AOOCBCOC，则θOA,CB ABAOOCCB32可得|AOOCCB|218 AOOCCB2AOOC2AOCB2OCCB18即2232320223cosπθ018可得cosθ115．(1)(x8)2(y3)2(2)x2y24x2y20(85)2(3(85)2(3(x8)2y3)225（2）x2y2DxEyF01+25D5EF D 25255D5EF0E2 3646D2EF F x2y24x2y200.3（1）A1CAC1O，连接OD，OA1CDBC的中点，则OD为VA1BC的中位线，所以ODA1B．又因为ODADC1A1BADC1，A1B//ADC1．B1C1因为在正VABC中，DBCAD⊥BC，ABCA1B1C1为正三棱柱，所以CC1DBC的中点，FB1C1

BC，DFAD

3,0,0)，C0,1,0，B0,1,0，A1

A1B1

3,1,0，DA

3,0,0，DC10,1, ADC→xyz →则，令y ，，即mDA则，令y ，，即

x0,z →0,

3z可得

3 3

2 所以直线AB与平面ADC所成角的正弦值 1 BD的中点是13Dxy，因此有x31y13x5 y（2）B31C32BC斜率k211BCy21x3 1862x1862ABC

8，而|BC

从而得SABCD

8

24ABCD的面积为24依题意，直线AB的斜率 145，则VABC边AB上的高所在直线的斜率为2 y22x3，即2x5y160所以VABCAB上的高所在直线的方程为2x5y16018．(1)2（1）A1ABCACDA1DABC，ACBDABCA1DACA1DBD，因为VABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，AB2，所以AC2 ，DBDADC2，因为侧面AA1C1C为菱形，所以A1AAC22，AA2又A1DAC，所以AA2D(000)A(020)B(200)C(0,20)A1(00,6 AB2,20AA10,2,6AC0220)→AAB

n(x,y,

nAB2x2y设平 11的一个法向量

，则→ z1x

3y →(3

nAA12y6z3,1)所以点CAA1B1B的距离为d

0260263322（2）

2,2,0，DEDA1A1E00,6λ(2,20)(2λ,2λ,6DEAA1B1B所成角的正弦值为6DE6λ6λ4λ26

DE,

7，解得λ21又λ[0,1，故λ1

AE因此存在满足条件的点E，且 ，即 19．(1)x22y2x12（1）设动点M的坐标为x,y，A20B10MAx12x22

x2y24x0x22y24，所以动点M的轨迹C的方程为x22y24，（2）当直线l与x轴重合时，EF4，GH