23秋国开《应用概率统计》形考任务二（综合作业二）参考答案

《应用概率统计》综合作业二

一、填空题(每小题2分，共20分)

1.某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80,10和10件，现从中随机地抽取

1抽至I]i等品

一件，记='i=l,2,3,则X1,X2的联合分布津为

[0,其他，

(X.X.)〜

(0.0)(0,1)(1.0)(1,1)

0.10.10.80

k(V()<X<1()<Y<1

2.设二维连续型随机变量(X,y)的联合密度函数为/(X,y)=\力"-J

0,其他，

其中攵为常数，则人8.

3.设随机变量x和y相互独立，且X~N(O,22),y~N(ij2),则(X,y)的联合

密度函数为f(y)=C"lny卜QM'=N{u，o"2)|x=l”xj/y,

—x20<x<2.

4.设随机变量x和y同分布，x的密度函数为'若事件

0,其他.

3

A={x>a},B={y>〃}相互独立，且P{AU8}=：,则〃=4>1/3)

5.设相互独立的两个随机变量x和y具有同一分布律，且

X=x01

P0.50.5

Z«0.P=J1

Z=l.P<4

则随机变量Z=max(X,Y)的分布律为.

6.设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4,则X?的数

学期望E(X2)=期.4.

7.设离散型随机变量X服从参数力的泊松分布，且已知E(X-1)(X-2)=1,则参数2=

1

8.设随机变量x和y相互独立，且均服从正态分布N(O,；),则随机变量|x-y|的数学

期望E=(|X-7|)=2/2五.

9.设随机变量X1,X2,X,相互独立，其中X1服从正［0,6］区间上的均匀分布，乂2服

从正态分布N(0,22),X：服从参数2=3的泊松分布，记随机变量y=X1-2X2+3*3,

则D(y)=46.

10.设随机变量X的数学期望E(X)=〃，方差。(X)=b2,则由切贝雪夫(Chebyshev)

不等式，有刊x-qmw1/9.

二、选择题(每小题2分，共20分)

1.设两个随机变量x和y相互独立且同分布，p(x=-i)=p(y=-i)=i,

2

P(X=l)=P(y=l)=i,则下列各式成立的是(A)

19

(A)p(x=y)=l(B)P(X=Y)=l

(C)P(X+y=0)=；(D)P(X-Y<1)=^

2.设随机变量Xj(i=l,2)的分布律为：

Xj=k-101

P0.250.50.25

且满足P{X|X2=1}=1,则P{X1=x2}等于(B)

(A)0(B)-(C)-(D)1

42

3.设两个随机变量X和F相互独立，且都服从(0,1)区间上的均匀分布，则服从相应区

间或区域上的均匀分布的埴机变量是(D)

(A)X2(B)X-Y(C)X+Y(D)(X,Y)

4.设离散型随机变量(x,y)的联合分布律为

Y123

11

X=1

6918

1”

X=2-aP

J

若x和y相互独立，则。和夕的值为(A)

2|1215

(A)«=-,p=-(B)a=-,p=-(C)—(D)«=—

999912018

s.设随机变量x的y相互独立，其分布函数分别为尸X。)与4(y)，则随机变量

Z=max(X,丫)的分布函数B(z)是(C)

Z

(A)max{Fx}(),Fr(z)}(B)耳(z)+耳(2)-心(z)耳(z)

(C)Fx(z)Fr(z)(D)l[Fx(z)+F,(z)]

6.对任意两个随机变量X和V,若E(XK)=E(X)E(Y),则下列结论正确的是(B)

(A)D(XY)=D(X)D(Y)(B)D{X+Y)=D(X)+D(Y)

(c)x和y相互独立(D)x和y不相互独立

7.设随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,则参数〃，〃的值等于

(B)

(A)/?=4,p=0.6(B)//=6,p=0.4(C)/2=8»p—0.3(D)〃=24,p=0.1

8.设两个随机变量x和y的方差存在且不等于零，则。(乂+丫)=。(*)+。(丫)是乂和

丫的(C)

(A)不相关的充分条件，但不是必要条件

(B)独立的必要条件，但不是充分条件

(C)不相关的充分必要条件

(D)独立的充分必要条件

9.设随机变量(X,X)的方差O(X)=4,D(H=1,相关系数2Xy=0.6,则方差

D(3X-2Y)=(C)

(A)40(B)34(C)25.6(D)17.6

io.设随机变量x和y相互独立，且在(o,e)上服从均匀分布，则E[min(x,y)]=(c)

(A)e(B)-(C)-(D)-

234

三、(10分)设随机变量XI,X2,X3,X4相互独立，且同分布：P{Xi=0}=0.6,

P{X.=1}=0,4,/=1,2.3,4.

xx

求行列式*=12的概率分布.

A,AA

Y1X1X4Y2X2X3ZY1Y2

?1¥1=1；=?{^=1|=—=1=0.16

P{Y10}?{Y20)10.160.84

7.7一种可能7.0,1

P{Z1.-Y10,Y21?0.84X0.160.1M4

PtZ-LPAL-la2-0：-C.16XG,S1-0.1311

P{Z0.-12X0.13440.7312

Z-101

P0.13440.73120.1344

四、(10分)已知随机变量X的概率密度函数为/*)=ge+-00<x<-K0；

(1)求X的数学期望七(X)和方差O(X).

(2)求X与同的协方差，并问X与国是否不相关？

(3)问X与|X|是否相互独立？为什么？

ci)向：沆s纣

㈤力：erg但=.积分[&同为<-««..

oo)・K可1»又4M.因此：

n《内)■，♦求“,《“》♦求.・*，一|hi.u-c；

/?《*”T*：Q/<-,*)〃/T♦比4*•T，',八

・"♦『”/=■・•《你国"住;»)

■f♦002c-

*<1

../u-I*00-1*°°.〜J”T.8«

2/yT/s・J♦:Jc>2^>fit"

--aJ-eI♦：7♦：.<-N”)

-2]♦『一—"("»•

■q”・・।-oo

1O

因此匕：z-><-K>■心《z”・|K《3〉p-a；

《21IC<>n-V|>7：二£|M"J，>

Xe-l^lc/^-u.《G团。性g)

4.WK1外力区比*:

t•<>»»。.|^|>-ZiT<-V|AT|>•1•：(AT)款:(|.V|>»<>-<>>

<>；

国iHs.4日夕e环二：

|X|-0•

Atk.V^|Ar|?F4RM.

(3)ATFATK皿立.

g，J：XQ-t-Ek皿"V"V・oo；

■(|ATK«>>U<"Vc>

所ar*《|K|V”,JVC..>-J-»(|AT|<«>.

tUh;r*CAT-<«*><1

/•<|AT|•<«>-/*<AT<«.)V/»<|-V|-Co)・lV/»(|AT

V”1

由此：z*《|"|Vc・"Vc>*r»《|JV|Ve)•，》<XV

c)

—干生1立.

你上夕，柘.F%Q.Yg«Ht+MA用力0・力方为

KRKI刁攵«J千W<立.

五、（io分）设二维随机变量（x,y）的联合密度函数为

cxe~y0<x<y<+oo

/(X,y)=•i试求:

0,其他，

（1）常数c；

（2）fx（x）,fY（y）；

⑶/x|y（Xy），/小（）打）；

（4）p（x+r<1）.

解答:

（D由概率带度函数的性随Jea>，30fa.F）dldxl・悍

/*»od.rJjocxe-）4x=c2i旬/ze-V尸c=】，

即r=l

(2)由于为划断X与『的相互独立性，先要计算边缘密度f.r(.r)ljf&).

/i(x)=J(x.y)dt-'.xe-Aasp：.x〉0aisp：..r<0

类似地.行fr(F)=八{12r邳->0^p：,i<0

由于在(Xj<r<+8匕f(.r,r)*f.d.r)fr(r)

因此随机受星.F与「不是相互独立的.

(3)当rX)时,£nK.r_r)•f(x,r)fr(r)•仆{I1250皿,0其它.

当j>0Bt,frti(rIx)*f(x,y)ZKx),{fijr-jOaap:.0<j</<+«>4ap：.其它:

(4)P俅11F<2}=/>(.I,<1,F<2)P(K2)Tig/2f(fr)dxdyS〜fr(y)dy

=ficd.rj2x.re-.rtirfwl2m.rd.r=l-2e-】T2e-21-5r.

由条件密度的性所知P[X<\片2}=九。仪*工2)d.r.

而&.(W2)=八].⑶a即:,0<jr<2&即:.其它,

.•.P(I<1,»-=2)=；».r2dx=14.

六、(10分)两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；

首先开动其中的•台，当其发生故障时停用而另•台自行开动.试求两台自动记录仪无故障

工作的总时间T的概率密度函数f(t)及数学期望E(T)和方差D(T).

解答：

用H.E表示两台机器先后开动的记录仪无故障工作的时何.

则：Z-Ii+.la

由已知条件,1】与般相互独立,且上(尸1,2)的概率幅度为，

I00,J<0.

利用两个独立随机变at和的密度公式可存：

①对于任意r>0.T的概率分布；

/(r>=/U>P2(f-J)d.r=25J!UF~6jrd5(l)d『2346J!0<fx=25351

②当rC0时，显然有tf⑺=0.

于是.

f(t)=-25te-5r,?>00,r<0.

由F』KiF.2)服从参数为1畤的指数分布.

所以；£l>15,AF/-125.

因此,炉£(加加=9+£(图)=25

因为H与.也相互独工

所以；

力”Qi+心)+0］.12)=225

七、(io分)设随机变量x和y相互独立，x服从［。，1］上的均匀分布，y的密度函数为

0一'V>0

/(),)=('''试求随机变量2=乂+丫的密度函数fz(z).

0,y<0.

解：•・•*与y都服从