2025年概率论与随机过程经典试题汇编

1、设随机过程X(f)=R4+C,re(0,oo),C为常数，R服从区间上的均匀分

布。

(1)求X(f)的一维概率密度和一维分布函数；

(2)求X(f)的均值函数、有关函数和协方差函数。

2、设{WQ),-8</<OO}是参数为的维纳过程，R~N(1,4)是正态分布随机变量；

且对任意的一oov/voo,W⑺与A均独立。令X(f)=W⑺+R,求随机过程

{X(f),—8<，<8}的均值函数、有关函数和协方差函数。

3、设抵达某商场的顾客人数是一种泊松过程，平均每小时有180人，即；1=180：旦每个

顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方

差。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

‘0.30.70、

P=00.20.8

k0.700.3,

(1)求两步转移概率矩阵尸⑵及当时始分布为

P{Xo=l}=l,P{Xo=2}=P{Xo=3}=O

时，经两步转移后处在状态2的概率。

(2)求马尔可夫链的平稳分布。

5设马尔可夫链的状态空间/={1,2,34,5}，转移概率矩阵为:

'().30.4().300、

0.60.4000

p=01000

0000.30.7

<0001

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

6、设｛N(/)/20｝是参数为4的泊松过程，计算E［N(f)N(1+s)］。

7、考虑一种从底层启动上升的电梯。以N,记在i第层进入电梯的人数。假定N,互相独

立，且Nj是均值为4的泊松变量。在第i层进入的各个人互相独立地以概率pa.在第/层

离开电梯，Z%=1。令。/=在第/层离开电梯的人数。

j>>

(1)计算£(O7)

(2)的分布是什么

(3)0,•与。女的联合分布是什么

8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻，质点位于这三个点之一，则在

内，它都以概率力+。(力分别转移到其他两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛

夫微分方程，转移概率及平稳分布。

1有随机过程｛氨。，-8V/8｝和53,-8VE8｝,设03=z4sin(。什=/sin®廿。+0,

其中月，B,(0,。为实常数，。均匀分布于［0,2用，试求《从

2(15分)随机过程J3=/1CQS(&/+G),-co<r<+co,其中/I,a),(P是互相记录独立的随机变

量，E/l=2,D/l=4,。是在卜5,5］上均匀分布的随机变量，S是在卜兀，网上均匀分布的随机变

量。试分析。份的平稳性和各态历经性。

3某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9:00开门，试求：

(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；

（2）若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

4设某厂的商品的销售状态（按一种月计）可分为三个状态：滞销（用1表达）、正常

（用2表达）、畅销（用3表达）。若通过对历史资料的整顿分析，其销售状态的变化

（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为（P”•表达从销售状态，•通过一

种月后转为销售状态J的概率），一步转移开率矩阵为：

22

[P]=---

L」399

_L21

_636_

试对通过长时间后的销售状况进行分析。

5设｛X（t）,拦0｝是独迂增最过程,且X（0）=0,证明优⑴,役0｝是一种马尔科夫过程。

6设｛N⑴,t20｝是强度为义的泊松过程，｛Yk，k=l,2,…｝是一列独立同分布随机变量，且

N（0

与｛N⑴,t20｝独立，令X⑴=£丫"20,证明：若E（Y：V8）,则E[x（l）]=/UE｛YJ

k=1

7.设明天与否白雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下

雨的概率为。，而今天无雨明天有雨的概率为夕；规定有雨天气为状态0,无雨天气为状

态1。设。=。7,〃=0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

8设化（。,一8<，<中»｝是平稳过程，令〃（/）=A）cos（g/+®）,-8</<+a）,其中

5是常数，。为均匀分布在[0,2司上的随机变量，且€（。,-8</<+00｝与。互相独立，

鱼⑴和阳S）分别是上⑺,-8<t<”｝的有关函数与功率谱密度，试证：

（1）是平稳过程，且有关函数：

R〃k)=gR«)cosgr

(2)｛疝),一8<，<”｝的功率谱密度为:

S"（3）=；卜（3-例））+S.（co+g）］

9已知随机过程家。)的有关函数为:

N(T)=e”,问该随机过程火。)与否均方持续？与否均方可微?

1、设随机过程X(r)=A4+C,re(0,0)),C为常数，A服从［0,1］区间上的均匀分

布。

(1)求XQ)的一维概率密度和一维分布函数；

(2)求X(f)的均值函数、有关函数和协方差函数。

【理论基础】

(1)/(1)则/⑺为密度函数；

(2)XQ)为(6份上的均匀分布，概率密度函数/。)=屋分布函数

0,其他

0,x<。

2

二,、x-a/八c、a+h(b-a)

F(x)=----,a<x<b>E(x)=------,D(x)=-------；

b-a212

［,x>b

(3)参数为4的指数分布，概率密度函数/(1)=<［,分布函数

乙、岭-，200、1~、I

0,x<04尢'

(4)E(x)=//,D(x)=<72的正态分布，概率密度函数

/(x)=--i=e,-x<x<oo,分布函数/(不)=——■=f'e2^2Jr,-co<x<co,

冗0飞2兀J-00

若〃=0,。=1时，其为原则正态分布。

【解答】本题可参与书本习题2.1及2.2题。

(1)由于R[0,1]上的均匀分布，C为常数,故X。)亦为均匀分布。由R的取值范围可

知，X")为[C,C+〃上的均匀分布，因此其一维概率密度/.(幻=<7‘。"""。+’，一

0,其他

0,x<C

E—C

维分布函数F(x)=<土上,CWXWC+f；

t

l,x>C+r

(2)根据有关定义，均值函数mxQ)=EX(r)=:+C；

有关函数Rx(s/)=ElX(s)X(r)]=』s/+C(s+/)+C2；

3

协方差函数3x(s")=E{[X(s)—〃2x(s)HXQ)-mx(/)l}=—(当时为方差函数)

1

【注】D(X)=E(X2)-E2(X)；Bx(s,f)=Rx(sJ)-mx⑸%⑴

求概率密度的通解公式frM=f(y)Iy,MI=/(y)/lx(y)I

2、设{W()-8V，<8}是参数为。2的维纳过程，R〜N(l,4)是正态分布随机变量；且

对任意的一oov/voo,W(z)与R均独立。令XQ)=W")+R,求随机过程

{X(r),-oo<r<a)}的均值函数、有关函数和协方差函数。

【解答】此题解法同1题。

依题意，W«)~N(0,/|“)，R~N(l,4),因此XQ)=W(/)+R服从于正态分布。

故：均值函数机xQ)=EX(/)=l;

有关函数/?x"J)二aX(s)X(f)[=5；

协方差函数&GJ)=以[X⑸一%(s)][X(t)-mx(r)l}=4(当s=z时为方差函数)

3、设抵达某商场的顾客人数是一种泊松过程，平均每小时有180人，即；1=180；且每个

顾客的消费额是服从参数为s的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方

差。

【解答】此题可参见书本习题3.10题。

由题意可知，每个顾客的消费额丫是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：

I1?

£(/)=_=D(y)=_,故石(/)二则由夏合泊松过程的性质可得：一天内商场营

SSS

业额的数学期望%(8)=8x180XE(Y)；

一天内商场营业额的方差cr；(8)=8xl80xE(Y2)。

4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为：

，0.30.70、

P=00.20.8

、0.700.3,

(1)求两步转移概率矩阵P⑵及当时始分布为

P{XO=1}=1,P{Xu=2}=P{Xu=3}=0

时，经两步转移后处在状态2的概率。

(2)求马尔可夫链的平稳分布。

【解答】可参照教材例43题及4.16题

(1)两步转移概率矩阵

").3().70、"().30.70)9.()90.35().56、

p(2)=pp=00.20.800.20.8=0.560.040.4

、0.700.3,,0.700.3J©420.490.09,

当时始分布为P{X。=1}=1,=3}=0时,

P{XQ=2}=P[XO

(0.09().350.56、

(100l0.560.040.4=(0.090.35

0.420.490.09,

故经两步转移后处在状态2的概率为0.35。

(2)由于马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，因此平稳分布存在。得如下方程组

兀i=0.3万］+0町+0-7万3

71?=0.7乃［+0.2万2+0巧

笈3=。3+0.8万2+万3

41+笈2+乃3=1

解上述方程组得平稳分布为

878

^'~23^2~23^3~23

5、设马尔可夫链的状态空间/={1,2,3,4,5},转移概率矩阵为:

‘0.30.40.300、

0.60.4000

P=01000

0000.30.7

、°001

求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。

【解答】此题比较综合，可参与例4.13题和4.16题

画出状态转移图如下:

(1)由上图可知，状态分类为G={1,2,3};G2={4,5}

(2)由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下面分别求其平稳分布及各状态的平

均返回时间。

A、对G常返闭集而言，解方程组

冗1=0.37+0.6乃2+043

TT=0.4勺+0.4产2+।与

<2

%3=0-31]+042+0乃3

41+42+乃3=1

解上述方程组得平稳分布为

3725937

50

则各状态的平均返回时间分别为

-1=-15■"=-1=-90-tl=-1=-50

3372对2593巧37

B、对G2常返闭集而言，解方程组

巧=0.3万］+1江2

兀？=0.73+0叫

乃1+乃2=1

解上述方程组得平稳分布为

107

^1--^2--

则各状态的平均返同时间分别为

117117

fl=一=右，'2=—=~

兀I1047

6、设｛NQ)/20｝是参数为几的泊松过程，计算矶MONQ+s)]。

【解答】

E[N⑺N(7+s)]

=E[Na)(N(z+5)-N(/)+N(f))]

=E[NQ)(NQ+s)-NQ))]+E[NQ)2]

=矶N(川E[N(f+s)—N(f)]+E[N«)2]

=AtAs+At+(At)2

=^t(\+^t+2,s)

7、考虑一种从底层启动上升的电梯。以M记在i第层进入电梯的人数。假定M互相独

立，且Nj是均值为乙的泊松变量。在第i层进入的各个人互相独立地以概率p“.在第./层

离开电梯，Z％=1。令0/=在第/层离开电梯的人数。

j>i

(1)计算E(Oj)

(2)O,的分布是什么

(3)。,.与。8的联合分布是什么

【解答】此题与本书联络不大，据有关方面信息，本次考试此题不考。

以Ng记在第i层乘上电梯，在第7层拜别的人数，则N。是均值为4%的泊松变量,且所有

NKiNOJNi)互相独立。因此：

⑴E[0/=畛%]=24%

ii

(2)由泊松变量的性质知，0'=»“是均值为的泊松变量

⑶因。,.与。人独立，则。(0。4)=。(0,)。(04)=一二・一6〃二——"2久，4为期

z!k\i\k\

望。

8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻，质点位于这三个点之一，则在［//+〃)

内，它都以概率〃分别转移到其他两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛

夫微分方程，转移概率Pj/Q)及平稳分布。

【解答】参见教材习题5.2题

依题意，由lim生竺=%(』/)得，/=l(iwj),柯尔莫哥洛夫向前方程为

A/->0'

Pij=-2丹Q)+1"Q)+Pi*(0，

由于状态空间/={1,2,3},故

/”)+〃小(。+〃3(。=1，

因此

Pij=-2/%Q)+1-/Q)=-3Pi,(0+1,

解上述一阶线性微分方程得：

由初始条件

确定常数C,得

故其平稳分布

1、有随机过程｛勘，-8V/<oo｝和｛〃3,_8Vf<8｝,设勘=/1sin(eH助，〃3二〃sin(o

什必以其中/,B,s,。为实常数，日均匀分布于［0,2兀］,试求段从邑。

“，小—,0<6><2^

1.解：/(。)=«2%

0,其它

2*1

&，,($/)二£[4(§)77(3=JAsin®s+6)8sin(创+0+0卜一d。

o2万

=——ABJ[cos(<y(f-s)+e)-cos(c0(f+s)+20+e)]d。

47ro

=，A〃COS(G(”S)+0),-co<s.t<+oo

2、随机过程酌二decs⑷廿G),-oovrv+8,其中4是互相记录独立的随机变量,

E/仁2,D/l=4,。是在［5,5］上均匀分布的随机变量，G是在［兀，兀］上均匀分布的随机变量。

试分析4回的平稳性和各态历经性。

2、解：

〃?；(/)=E[^(r)]=E[Acos(0/+(1))]=EAE[COS(69/+6)]

=2------[d(oIcos(w+(p)d(p

20开7\F

def

=0=m.,-oo<।<+oo

R：(t,t+r)=石原%(/+r)]=目Acos(of+①)Acos(M+T)+①)]

=E|/4|"E[cos(69r+6)cos(“z+r)+①)]

8

jdco^CO^CDt+^>)cos(69(r+3+诵9

2(br

g5;

=----Idco[[cOS69r+COS(269Z+37+2夕)卜夕

40万JJ1

7s—%

8fj4sin5i2/、

=—cos0Tdco=------T

J=RA)

207s5T-

因此具有平稳性。

ITA

〈氐》—Jim——J4cos+中”,—Jim----sincoTcos中-0-〃以

-7*

故均侑具有各态历经性。

।T

(。(潦(/+=Um—!Acos(创+6)Acos(69(/+r)+6)力

UI2T

=limfcos(of+①)cos(M+汇)

up2TJ

|A|2,、

=1-^-cos^rH&⑺

故有关函数不具有各态历经性。

3、某商店顾客的到来服从强度为4人每小时的Poisson过程，已知商店9:00开门，试

求：

(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率；

(2)若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。

3、解：设顾客到来过程为{N(t),t>=0},依题意N(t)是参数为人的Poisson过程。

(1)在开门半小时中，无顾客到来的概率为:

pN—=0=e2=e-2

、12J,

（2）在开门半小时中无顾客到来可表达为・N（；）=0，，在未来半小时仍无顾客到来可

表达为<N（1）—N（；）=O，，从而所求概率为:

A11

PN⑴一N(I)=0|A--=0

(11

=PN⑴-N-二0|N--^(0)=0

IUJ(122

=PN⑴-N-=0-2

4、设某厂的商品的销售状态（按一种月计）可分为三个状态：滞销（用1表达）、正常

（用2表达）、畅销（用3表达）。若通过对历史资料的整顿分析，其销售状态的变化

（从这月到下月）与初始时刻无关，且其状态转移概率为Pu（Pu•表达从销售状态，•通过一

种月后转为销售状态，的概率），一步转移开率矩阵为：

1

-

20

1

-

3

1

-

6

试对通过长时间后的销售状况进行分析。

4、解答：由一步转移概率矩阵可知状态互通，且p„>0,从而所有状态都是遍历状态，于

是极限分布就是平稳分布，设平稳分布为兀={0,冗2,%},求解方程组：

江二TTP,冗|+兀2+兀3=1

即:

111

产+产

得:

896

兀1=一,42=—,71=—

23231*323

896

即极限分布为:71—\----,-----

232323

由计算成果可以看出：通过相称长时间后，正常销售状态的也许性最大，而畅销状态的也

许性最小。

5、试对如下列矩阵为一步转移概率矩阵的齐次吗尔可夫链的状态空间进行分解。

0.700.300

0.10.80.100

⑴P=0.400.600

000().5().5

0000.50.5

1

-

400()

1

-

22000

0

100

--0

33

10