2025年高考数学一轮复习讲义含答案解析 第1节 平面向量的概念及线性运算

第六章平面向量、复数

第一节平面向量的概念及线性运算

课标解读考向预测

1.理解平面向量的意义、儿何表示及向量相等的含义.预计2025年高考对本节内容的考

2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向行会以线性运算、共线向量定理为

量共线的含义.主，主要以选择题、填空题论形式

3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.出现，难度属中、低档.

必备知识——强基础

知识梳理

1.向量的有关概念

名称定义表示

向量在平面中，既有大小又有方向的量用a,力，c,…或磅，讹，…表示

向量a的大小，也就是表示向量。的

向量的模同或I硝

有向线段初的长度（或称模）

零向量长度为0的向量用0表示

单位向量长度等于1个单位的向量用e表示，|e|=l

方向相同或相反的非零向量（或称共

平行向量a//b

线向量）

相等向量长度相等且方向相同的向量a=b

相反向量长度相等，方向相反的向量向量。的相反向量是一a

说明：零向量的方向是不稀定的、任意的.

规定：零向量与任一向量平行.

2.向量的线性运算

向量运算法则（或几何意义）运算律

4

交换律：a+b=画也；

三角形法则

加法结合律：（＜z+/＞）+c=[02]a

a+（力+c）

平行四边形法则

减法a-b=m?la+（一5）

-a-

几何意义

|训=囚同，当2＞0时，痴的方向与a的方向画

k（ua}=\^\Uu}a\

相同1

数乘（z+//）a=|。8|；

当/k0时，历的方向与a的方向画相反;

k（a+力）=[09]Xa+i、b

当2=0时，za=|O6|o

3.向量共线定理

向量〃（今0）与力共线的充要条件是：存在唯一一个实数3使得〃=〃.

提醒：当。加时，定理中的实数人才唯一.

1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点

的向量，即必2+41+不就+...+。-4=京小特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的

向量和为零向量.

2.若/为线段A8的中点，。为平面内任意一点，则赤=；（次+份）.

3.若A,B,。是平面内不共线的三点，则可+或+无=00P为AABC的重心，邓=；（邓

+R）.

4.若次=坊&+〃氏（心〃为常数），则A,B,。三点共线的充要条件是2+4=1.

5.对于任意两个向量5都有|同一步|区|4域|W|a|+明.

诊断自测

i.概念辨析（正确的打y”，错误的打“X”）

⑴⑷与步I是否相等,与。，（的方向无关.（）

（2）若向量。与〃同向，且同>步|,则。>回）

（3）若向量然与向量乃是共线向量，则A,B,C,力四点在一条直线上.（）

（4）起点不同，但方向相同旦模相等的向量是相等向量.（）

答案（1）4（2）x（3）x（4）4

2.小题热身

（1）如图，。，E,〃分别是AA8c各边的中点，则下列结论错误的是（）

A.Ep=Cb

B.通与观洪线

C.初与仍是相反向量

D.A£=^|A^1

答案D

解析曲=）亡，故D错误.故选D.

（2）（人教B必修第二册6.2.1例3改编）设向量a,力不共线，向量%+力与a+2力共线，则实

数2=.

答案I

，P=2，

解析•・•〃+力与。+2〃共线，，存在实数"使得痴+）="（。+2力），・•・，：.<

U=2〃，1

〔〃-2。

（3）（人教A必修第二册6.2例6改编）已知“IBC。的对角线AC和BD交于点0,且况=%仍

=b,则。C=>发?=.（用a,b表示）

答案b-a—a-b

解析如图，Dt=Ah=oh-o\=b-a,Bt=0t-0k=-0X-0h=-a-b.

（4）（人教A必修第二册习题6.2TIO改编）若a,h满足闷=3,步|=5,则|。+"的最大值为

，最小值为.

答案82

解析|“十旬〈|“|+|臼=3+5=8,当且仅当“，力同向时取等号,所以|4+外由=8.又|“+力121Ml

-|ft||=|3-5|=2,当且仅当db反向时取等号，所以|a+b|min=2.

考点探究一提素养

考点一平面向量的有关概念

例1（多选）下列命题中的真命题是（）

A.若⑷=1力I，则4=力

B.若A,B,C,。是不共线的四点，则“港=比'是"四边形43C。为平行四边形”的充要条

件

C.若a=b,b=c,则a=c

D.的充要条件是|。|=|臼且。〃）

答案BC

解析A是假命题，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；B是真命题，•・•懑=

求，曲|=|力t|且辐〃龙，又4,B,C,。是不共线的四点，・•・四边形ABC。为平行四

边形；反之，若四边形A6CQ为平行四边形，则必力|=|成1,初〃皮且露，皮方向相同，

因此用&=觉；C是真命题，♦・•〃=/>,・・・mb的长度相等且方向相同，又b=c,：.b,c的长

度相等且方向相同，・•.”，c的长度相等且方向相同，故a=。；D是假命题，当〃〃〃且方向

相反时，即使|。|=|加，也不能得到a=b,故⑷=|川且。〃。不是。=方的充要条件，而是必要

不充分条件.故选BC.

【通性通法】

平面向量启关概念的四个关注点

关注点一非零向量的平行具有传递性

关注点二共线向量即为平行向量，它们均与起点无关

关注点三向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量

关注点四萧是与。同方向的单位向量

【巩固迁移】

1.（多选）下列命题正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

C.若访》都为非零向量,则使令+自=0成立的条件是。与b反向共线

D.若b//c,Ma//c

答案BC

解析零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度

为0,故B正确；因为弓与春都是单位向量，所以只有当合与日是相反向量，即。与力反向

共线时才成立，故C正确；若力=0,则不共线的“，c也有。〃0,c//0,故。错误.

考点二平面向量的线性运算（多考向探究）

考向1平面向量加、减运算的几何意义

例2设0为MBCD对角线的交点，O为平面ABCD内的任意一点，则殖+加+求+历=

（）

A.OPB.2称

C.3办D.49

答案D

解析由题意知，P为AC,BO的中点，所以在中，次+求），即8+求=

2种，在△08。中，办=:（加+劭），即加+初=2成，所以次+加+沆'+历=4办.

故选D.

【通性通法】

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三

角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来.

2.三种运算法则的要点

(1)加法的三角形法则要求“首尾连”，平行四边形法则要求“共起点”.

(2)减法的三角形法则要求“共起点，连终点，指被减”.

(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算.

【巩固迁移】

2.(2024•山东青岛二中月考)若出自=般|=电一祀|=2,则|霜+花=.

答案2小

解析因为|#|=|&|=|盛一证|=2,所以A/WC是边长为2的正三角形，所以|曲+花为

△/WC的边BC上的高的2倍，所以|成+花=2小.

考向2平面向量的线性运算

例3(2022・新高考【卷)在AA8C中，点短在边A8上，BD=2DA,记=或=%则

仍=()

A.3m—2nB.-2m+3〃

C.3〃i+2〃D.2m+3〃

答案B

解析Cb=^cX+yCh,即魂=-2/+3⑦=—2m+3〃.故选B.

【通性通法】

平面向量的线性运算的求解策略

尽可能转化到平行四边形或三角形中,

选用从同一顶点出发的向量或首尾相

接的向量

充分利用三角形中位线、相似三角形

对应边成比例等平面几何性质，把未

知向量转化为已知向量

【巩固迁移】

3.(2023•江苏南通二模)在平行四边形A8co中，硅.若m=m林十八戏,

则〃?+〃=()

—3

--

24

B.

5D.4

AC.--

63

率

案D

解析由题意可得油=彳^+前二盘+上充二磋+4群+成尸大：

154

所以〃?=,〃=不所以"+〃=予故选D.

考点三向量共线定理的应用(多考向探究)

考向1判定向量共线、三点共线

例4设两个非零向量°与力不共线.若#=a+〃，求=2a+8。，cb=3(a-b),求证：A,

B,。三点共线.

证明•・•息=。+力，衣=勿+昉，Cb=3(a-b),J瓦)=瑟+劭=2。+昉+3(。一。)=2a+

8力+3。-3力=5(a+力=5祐，工疝,就共线，又它们有公共点8,・"，B,。三点共线.

【通性通法】

共线向量定理的三个应用

证明向—对于向量若存在实数鼠便用

量共线A/>（/>#（））,则a与力共线.

工

若存在实数限使篇=尢记.则m

证明三—

点共线三点共度

工

求参数—利用共线向量定理及向量相等的条件

的值列方程（组）求参数的值

【巩固迁移】

4.已知，是A/WC所在平面内的一点，若乃=2成+励，其中7WR,则点P一定在（）

A.ZkA班?的内部B.AC边所在直线上

C.A8边所在直线上D.8c边所在直线上

答案B

解析由m=幺成+协，得动一励=7成，办=7成，则办，区为共线向量，又毋，成有

一个公共点P,所以C,P,A三点共线，即点P在AC边所在直线上.故选B.

考向2利用向量共线定理求参数

例5若0,力是两个不共线的向量，已知质=”一2力，南=2a+kb,虱2=3af若M,N,

。三点共线，则2=（）

B

A.

3

C-D

2

答案B

解析由题意知，感=而一丽=4一伙+1）儿因为M,MQ三点共线，所以存在实数九

使得加=2感，即。-3=，。一伙+1»],解得2=1,k=l.

【通性通法】

一般通过构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程

（组）即可求得相关参数的值.

【巩固迁移】

5.如图，在△?1/3c中，不力=欣1，石是5。上一点，若屈磅+紧，则实数7的值为（）

A.3B.4

C.5D.6

答案B

解析由■力=2成得汽士匕力，因为硅=卷霜所以戏磅方，因

A1O1O*TA

为E,B,D三点共线，所以9+注=1，解得4=4.故选B.

10H-X

课时作业

A级，:痴阳同素

一、单项选择题

1.若。，b为非零向量,则啮焉'是“。，b共线”的（）

A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条伫

答案B

解析流日分别表示与。，》同方向的单位向量，合=看，则有。，。共线，而。，。共线，

则济自是相等向量或相反向量，所以端=点是“力共线”的充分不必要条件.故选B.

2.设。=（牯+劭）+（反:+万I）,力是一个非零向量，则下列结论不正确的是（）

A.a//bB.a~\~b=u

C.a+b=bD.\a^h\=\a\+\b\

答案B

解析由题意得，。=（初+仍）+（史+醇）=祀+CA=o,且力是一个非零向量，所以。〃力

成立，所以A正确；因为。+力=力，所以B不正确，C正确；因为|0+句=|例，同+|例=|臼，

所以|〃+例=|0+也|,所以D正确.故选B.

3.已知命=。+5〃，渡'=一3。+6〃，Cb=4a-hf则()

A.4,B,。三点共线

B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线

D.A,C,。三点共线

答案A

解析由题意得筋=麻+夕)=。+56=初，又sb,屈有公共点B,所以A,B,。三点共

线.故选A.

4.(2024•安徽铜陵三模)在平行四边形ABC。中，M是C。边上的中点，则2加=()

A.At~2AbB.祀+2B

C.2祀一霜D.2送+部

答案C

解析因为M是平行四边形A8CO的CO边上的中点，所以加=一：勘，所以瓶=祀+用/

=祀一;修，所以2磁=2祀一品.故选C.

5.已知向量。和力不共线，向量港=。+〃力，选=54+34Cb=-3a-\-3b,若A,B,D

三点共线，则机=()

A.3B.2

C.ID.-2

答案A

解析因为A,B,。三点共线，所以存在实数九使得筋=9，Bb=Bt+cb=2a+6b,

[2=x，

所以2.+6)=痴+〃?劝，所以〈解得〃?=3.故选A.

[6=w2»

6.矩形A8C。的对角线相交于点O,E为A0的中点，若屏=况+〃/力(L〃为实数)，则

/+"?=()

A.B.T

o4

C.1D.布

答案A

解析Dk=Ak-Ab=^Ab—Ab=^(Ab-\-Ab)—Ab=^Ah—^Ab,•*•^=4,4=一+工足+1

125

==-做选A

+■

16168-

7.正方形A3CO中，K在。。上且有建=2力，AK与对角线3。交于八则#=()

A.^AS+TAZ)B.

3

-

44D.：知+初

答案C

解析如图，•・•在正方形ABCO中，E在CQ上且有途=2粉，4E与对角线8。交于尸，・•・

DE=^AB,豆DE〃AB、：，4DEFs丛BAF,可得%=/可得A”=1AE,.・・#=滋=*通

+万&)=孤彷+小布)=56+宗中.故选C.

8.(2023•滁州模拟)已知P为△ABC所在平面内一点，霜+防+网:=0,|霜|=|或|=|两=2,

则ZVIBC的面积为()

A.小B.2小

C.3小D.44

答案B

解析设8。的中点为£>,AC的中点为M,连接77),MD,BM,如图所示，则有油+证=

2用.由牯+协+无=0,得协=一2前，又。为8c的中点，M为AC的中点，所以协=一

2成，则电=而,则P,。，M三点共线且。为PM的中点，又。为8c的中点，所以四

边形。尸BM为平行四边形.又|戏|=|闻|=|同］=2,所以|的=|济|=2,则|祀1=4,且|两

=|芯=2,所以为等边三角形，NB4C=60。，则小.故选B.

二、多项选择题

9.下列式子中，结果为零向量的是（）

A.AS+^t+cA

B.息+林+防+成

C.况+防+劭+劭

D.A^-Ab+Bb-Cb

答案AD

解析利用向量运算，易知A,D中的式子结果为零向量.故选AD.

10.点P是"BC所在平面内一点，且满足|成一元|一|闻+无一2丽=0,则“BC不可能

是（）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

答案AD

解析因为点P是△ABC所在平面内一点，且|成一曲一|防十冠一2司|=0,所以|彷|一|（防

一成）+（无一或）|=0,即|仍|=|在+油，所以油一油=|祀+硒，等式两边平方弁化简

得所以/_LA1/ZMC=90。，则△"（?一定是直角三角形，也有可能是等腰直

角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形.故选AD.

11.（2023•安徽合肥期末）在△ABC中，D,E,尸分别是边BC,CA,的中点，点、G为白ABC

的重心，则下列结论中正确的是（）

A.Ak-Bt=cX

B.而=g诵+痔

C.#+初+泾=0

D.G\-FGk-AGt=O

答案BCD

解析如图，对于A,Ak-Bt=Ah+ch=2Ek^cX,故A错误；对于B,点G为△ABC的

重心，则花=?而=争;（屈+祀）=上磅+祀），故B正确；对于C,#+应>+段=3脑+

^t+cA）=O,故C正确；对于D,GA=-2Gb=-2x1（Gh+Gt）,故©A+励+比=0,故

D正确.故选BCD.

三、填空题

12.设向量m）不平行，向量加+》与。+26平行，则实数2=.

答案J

解析•・•向量。，）不平行，・・・。+2屏0,又向量碗+b与。+2。平行，则存在唯一的实数”,

M="’1

使九i+》=〃（a+2/>）成立，即痴+6=〃a+2〃〃，贝耳解得入=〃=5.

1=2〃，z

13.已知。，E,尸分别为AABC的边8C,CA,AB的中点，且8匕=°,CA=b,给出下列命

题：①动=5—6：②砥=a+gb；③#=_；a+；b：④力+展+办=0.其中正确的命题是

答案②③④

解析钝=〃，/=力,牯=5&+；祀=曰（公1+油）+/衣?=；S&+G1=—%—/>,故①错误；

BA=Bd+TCA=a4-T/>,故②正确；0尸=；（（7月+。为）=：（—4+力）=-5+3力，故③正确；Ab

+就+#=—5一；〃+a+3+/—；。=0,故④正确.

14.（2024・丽江模拟）在AABC中，点。在线段AC上，且满足|屐）|=；|花，点Q为线段8。

上任意一点，若实数x,y满足破祀，则：+/勺最小值为.

答案4+2小

解析由题意知，点。满足无力=；祀，故地=不然+）祀=工勘+3）勘），由Q,B,。三点

共线，可得x+3y=l,心＞0,泞0,则|+!=（；+力（工+3y）=4+*+.24+2小，当且仅当斗

xy}/Ayx

=*,即片穹匚，尸三亚时等号成立.所以的最小值为4+2小.

V4IJ人V

B级，

15.如图，在平行四边形4BCO中，然=2然，/=可），点G为CE与8”的交点，则命=

O_I

A.§初+§祀

C.^^+我送D.亮油+,祀

答案A

解析由霜=2屋，#=电，知E,尸分别为48,4。的中点.如图，设AC与8尸的交点

4PAFAF1、1

为P，易得△AP/S/XCQB所以"=3=而=*所以祀.因为E是AB的中点，所

以助=4磅.由P,G,8三点共线知，存在mWR,满足花=〃?#+（1—/〃）辐=；/源方一（1一

"。油.由C,G,E三点共线知，存在〃WR,满足比=/!用&+（1—〃）祀=%油+（1—〃）祀，

所以T机衣?+（1—⑼再&=）〃/力+（1—〃）祀.又因为公，再&为不共线的非零向量，所以

16.（多选）（2024・武汉模拟）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这

样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心

和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设AABC中，点。，"，G分别是

具外心、垂心、重心，8c边的中点为。，则下列结论中正确的是（