2025版三维设计 一轮 高中总复习物理 第02章 相互作用 第11课时 动态平衡和平衡中的临界极值问题 重难突破课

第11课时动态平衡和平衡中的临界极值问题［重难突破课］

着眼“四翼”•探考点口题型规律方法

题型一动态平衡问题

方法一解析法

如果物体受到多个力的作用，可进行正交分解，利用解析法，建立平衡方程，找函数关系，根据自变量的变化确

定因变量的变化，还可由数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。

【典例1］如图，•昆虫悬挂在水平树枝下，其足的股节与基节间的夹角为0,且六条足都处于相同的拉力下。

若昆虫稍微伸直足，则足的股节部分受到的拉力（）

A.增大B.减小

C.不变D.先减小后增大

答案：B

解析：设昆虫的质量为加，每条股节部分受到的拉力均为T,则由力的平衡条件可得6Tsin8=mg,解得丁=篇,

而当昆虫稍微伸直足时，角8变大，因此可知足的股节部分受到的拉力7将减小，故选B。

方法二图解法

物体受三个力作用而处于平衡状态，一个力恒定，另一个力的方向恒定时可用此法。由三角形中边长的变化知力

的大小的变化，还可判断出极值。一股按照以下流程解题。

受力化“动”为“静:画不同状态“静”中求“动;确定力

J分析I1下的平衡图I1的变化

【典例2】如图所示，半圆形框架竖直放置在粗糙的水平地面上，光滑的小球P在水平外力F的作用下处于静止

状态，P与圆心。的连线与水平面的夹角为。，将力?在竖直面内沿顺时针方向缓慢地转过90。，框架与小球始终

保持静止状态。在此过程中下列说法正确的是（）

A.地面对框架的摩擦力始终为零

B.框架对小球的支持力先减小后增大

C.拉力F的最小值为加geos3

D.框架对地面的压力先增大后减小

答案：C

解析：以小球为研究对象，受力分析如图所示，根据几何关系可知，当/顺时针转动至竖直向上之前，支持力逐

渐减小，尸先减小后增大，当尸的方向沿圆的切线方向向_1_时，*最小，此时为厂=〃?gc»s〃，故B错误，C正确；

以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力尸的作用；由图可知，

户在顺时针方向转动的过程中，尸沿水平方向的分力逐渐减小，所以地面对框架的摩擦力始终在减小，故A错误；

以框架与小球组成的整体为研究对象，整体受到重力、地面的支持力、地面的摩擦力以及力厂的作用，由图可知，

尸在顺时针方向转动的过程中，/沿竖直方向的分力逐渐增大，所以地面对框架的支持力始终在减小，框架对地面

的压力始终在减小，故D错误。

方法三相似三角形法

物体受三个力平衡，一个力恒定，另外两个力的方向同时变化，当所作“力的矢量三角形”与空间的某个“几何

三角形”总相似时用此法。

【典例3]如图所示,竖直墙壁O处用光滑钱链较接一轻质杆的一端.杆的另一端固定小球（豆以看成质点）.

轻绳的一端悬于尸点，另一端与小球相连。已知轻质杆长度为R,轻绳的长度为心且R<L<2R,4、B是墙上两

点，且。4=0B=M现将轻绳的上端点P沿墙壁缓慢下移至A点，此过程中轻绳对小球的拉力尸及轻质杆对小球

的支持力&的大小变化情况为（）

1

A.H和B均增大

B.Q保持不变，后先增大后减小

C.R和&均减小

D.R先减小后增大，B保持不变

答案：A

解析：小球受重力、轻绳的拉力和轻杆的支持力，由于平衡，三个力可以构成矢量三角形，如图所示。根据平衡

条件，该力的矢量三角形与几何三角形POC相似，则有白=?=去解得Q=3G,F2=£G,当。点下移时，P0

POLRPOP0

减小，L、R不变，故H增大，死增天，故选A。

B-J

题型二平衡中的临界极值问题

1.临界问题：处于平衡状态的物体，当某物理量变化时会引起其他L个物理量的变化，从而使物体所处的状态“恰

好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：①由静

止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力；②绳子恰好绷紧，拉力Fr=O;③刚好离开接触面，支持力瓜=0。

2.极值问题：在力的变化过程中出现的最大值和最小值问题。

3.解答平衡中的临界极值问题的三种方法

根据平衡条件，作出力（I勺矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确

图解法

定最大值和最小值

通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系（画出函数图像），用数学方法求极值

函数法

（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）

正确进行受力分析和变化过程分析•，找到平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中寻找，不

极限法

能在一个状态上研究临界问题，要把某个物理品推向极大或极小

【典例4】如图所示，学校门口水立地面上有一质量为m的石墩，石墩与水平地面间的动摩擦因数为〃，工作人

员用轻绳按图示方式匀速移动石墩时，两平行轻绳与水平面间的夹角均为仇则下列说法正确的是（）

A.轻绳的合拉力大小为今

B.轻绳的合拉力大小为“如0

cos6+〃sin6

C.减小夹角仇轻绳的合拉力一定减小

D.轻绳的合拉力最小时，地面对石墩的摩擦力也最小

答案：B

解析：石墩受力如图，设轻绳的合拉力大小为尸，根据平衡条件，则尺。s9=R,Fsine+FN=〃lg,且Ff="R,

联立上式可知F=:用选项A错误，B正确；整理得式=,皿，其中lan夕=工为定值，根据三角

cosJ+〃sinOy/l+n2sin（8+6）n

函数特点，减小。，产并不一定减小，选项C错误；根据上述讨论，当〃+/=1时，尸最小，而摩擦力R=Fcos，=

二乃气，可知增大夹角以摩擦力一直减小，当°趋近于90。时，摩擦力最小，故轻绳的合力最小时，

co丁s6+〃力sin8l+/tane

地面对石墩的摩擦力不是最小，选项D错误。

□对点训练

I.【图解法】

如图所示，一个重力为5N的硅码，用细线悬拄在O点，现在用力厂拉祛码，使细线偏离竖直方向30c处丁静止状

态，此时所用拉力产的最小值为（）

A.5.0NB.2.5N

C.8.65ND.4.3N

解析：B以跌码为研究对象，分析受力情况,其受重力G、细线的拉力FT和力凡由图看出，当尸与细线垂直时

产最小，由数学知识得产的最小值为F=Gsin3（T=2.5N,故选项B正确。

2.【极限法】

小朋友在玩积木时.，将两个相同的方形积木放在粗糙的水平地面上。将球形积木放在两方形积木之间，截面图如

图所示，接触点分别为A、瓦他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发

生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R,两方形积

木与地面之间的动摩擦因数均为0.5,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发

生滑动，两方形积木之间的最远距离为（）

42R

A.B.R

2

C.V2/?D.依R

解析：C

以整体为研究对象进行分析，设一个方形积木的质量为根，地面对其的支持力为N,根据平衡条件可得2N=4"吆，

则N=2〃?g,当两方形积木的距离最远时，设。4和08之间的夹角为2仇此时方形积木与地面间的摩擦力达到最

大，对球形积木受力分析，根据平衡条件可得2Fcos0=2mgi对其中一个方形积木受力分析，根据平衡条件可得

产sin9="N,联立解得tan〃=l,则。=45。，根据几何关系可得AB之间的距离为x=&R,故C正确，A、B、D错

误。

3.【函数法】

如图所示，质量为M的木楔倾角为。，在水平面上保持静止，当将一质量为〃?的木块放在木楔斜面上时，它正好

匀速下滑。如果用与木楔斜面成a角的力尸拉着木块，木块能匀速上升，已知木楔在整个过程中始终静止。

（1）当a为多大时，尸有最小值，求此时a的大小及产的最小值；

（2）当a=0时，木楔对水平面的摩擦力是多大？

答案：（I）。〃协in2〃（2），，协in4〃

解析：（1）木块在木楔斜面上匀速下滑时，

有mgsine="〃?gcos/

解得〃=tan/

木块在尸作用下沿斜面向上匀速运动.有

Feosa=mgsin<9+A,

Fsina+FN=〃?gcos〃，

又R=〃产N,

解得尸_2mgsine_2mgsin6cos®_mgsin26

cosa+psinacosacos0+sinasin0cos（0—a）’

则当a=e时,尸有最小值,为尸min=mgsin2应

（2）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于尸的水平分力，即

F（'=Feos（a+。），

当a=et即产取最小值mgsin20时，

Ff'=Fmincos29=，〃gsin29cos2O=，〃gsin48。

L聚焦“素养”•提能力口-----------------------巧学妙解应用----------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

基础练

题型一动态平衡问题

1.如图所示，一只蜗牛沿着弧形菜叶从右向左缓慢爬行，下列说法正确的是（）

A.菜叶对蜗牛的弹力大小一定不变

B.菜叶对蜗牛的摩擦力大小先变小后变大

C.蜗牛受到的合力先变小后变大

D.菜叶对蜗牛的作用力大小不断变化

解析：B蜗牛受重力、支持力、摩擦力，设坡角为a,根据平衡条件可得产N=〃?gcosa,R=〃?gsina,由于坡角a

先变小后变大，故支持力尸N先增大后减小，静摩擦力先减小后增大，故A错误，B正确；蜗牛缓慢爬行，则受到

的合力始终为零，选项C错误；菜A对蜗牛的作用力是静摩擦力和支持力的合力，始终与重力平衡，一直不变，

故D错误。

2.（多选）2022年8月19日重庆发生森林火灾，灭火直升飞机沿水平方向匀速往返火场和取水区上空，其中贮水

桶受到与运动方向相反、大小保持不变的水平风力凡已知贮水桶（包含水）的重力为G,贮水桶受到绳子的拉力

为7,绳子与竖直方向的夹角为仇如果贮水桶总保持与直升飞机相对静止，下列说法正确的是（）

0

A.拉力7的大小可能等于水平风力F的大小

B.F=Gtan0

C.T与G的合力与尸相同

D.返回取水区的过程中，夹角。比灭火前大

解析：BD对贮水桶受力分析，如图，可知拉力7的大小7=七，〃=Glan仇所以拉力丁的大小大于水平风力”

sintz

的大小，故A错误，B正确；贮水桶深持与直升飞机相对静止，一起匀速运动，所以受平衡力，7"与G的合力与尸

大小相等，方向相反，故C错误；返回取水区的过程中，贮水桶的重力减小，水平风力不变，由lan9=l可知夹

G

角。比灭火前大，故D正确。

3.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为〃?的小球套在圆环上，一根细线的

下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力尸

和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况是（）

A/不变，入增大B.尸不变，心减小

C.尸减小,C不变D.F增大,尸N减小

解析：C小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力示意图如图所示，由图

可知△。/WS/XGEA,即号5=?,当A点上移时，半径不变，A5长度减小，故厂减小，尺不变，故C正确。

RABR

B

4.（多选）如图所示，静止在水平地面上的台秤上有一铁架台，小球用轻绳固定在铁架台的横杆上，现用始终与竖

直方向成45。、斜向上的拉力尸将小球由最低点缓慢拉至轻绳水平。已知在拉动过程中铁架台与台秤始终静止，下

列说法正确的是（）

A.拉力尸一直增大

B.轻绳的拉力先增大后减小

C.台秤的示数先减小后增大

D.台秤圻受地面的摩擦力一直增大

解析：AD对小球受力分析如图甲所示，由三角形定则和平衡条件可知，小球在上升的过程中，拉力厂一直增

大，轻绳的拉力先减小后增大，A正确，B错误；对铁架台和小球组成的系统受力分析如图乙所示，由平衡条件可

知，产增大时，铁架台受台秤的支持力逐渐减小，摩擦力逐渐增大，由牛顿第三定律可知，台秤的示数逐渐减小,

台秤所受地面的摩擦力一直增大，C错误，D正确。

乙

题型二平衡中的临界极值问题

5.某位同学用筷子将质量分布均匀的小球夹起悬停在空中，如图所示，已知球心0与两根筷子在同一竖直面内，小

球质量为0.2kg,筷子与竖直方向之间的夹角均为37。，筷子与小球衣面间的动摩擦因数为0.875（最大静摩擦力等

于滑动摩擦力），取重力加速度g=10m*,sin370=0.6>cos370=0.8o则每根筷子对小球的压力至少为（）

A.5NB.7.5N

C.I0ND.I2.5N

解析：C筷子对小球的压力最小，且小球悬停在空中，此时小球衣下滑的趋势，摩擦力为最大静摩擦力，沿筷子

向上，小球受力平衡。在竖直方向上有年056—2胭皿〃=/咫，片"/7,解得N==10N,A、B、D错

2(〃cosO-sind)

误，c正确。

6.如图所示，重力都为G的两个小球A和8用三段轻绳连接后悬挂在O点上，。、B间的轻绳长度是2/,A、8间

的轻绳长度是/。将一个拉力小作用到小球8上，使三段轻绳都伸直，同时0、A间和A、8间的两段轻绳分别处于

竖直和水平方向上，则拉力厂的最小臂为（）

A.-GB.—G

解析：A对小球4受力分析可知，因0、A间轻绳竖直，则人、B问轻绳上的拉力为0。对小球月受力分析如图所

示,则可知当厂与O、B间轻绳垂亩时尸最小，Fmi„=Gsin0,其中sin则E»in=；G,故A正确.

7.如图所示，用方向、大小均可变化的力厂抵住靠墙的质量为〃，的物块，墙与物块之间的动摩擦因数为〃=£最

大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为如若要使物块不滑下，F的最小值为（）

解析：B根据平衡条件可知，所施加的力尸的方向斜向上时有最小值，设力”的方向与水平方向之间的夹角为

a,则有Aina+/=〃?/,/=〃向cosa,整理得〃=-―———=,——-'nq———,由数学知识可知尸的最小值为，@

sina+/zcosa2sm（a+（p）5°

故B正确，A、C、D错误。

能力练

8.（多选）如图所示，质量为机=5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数〃=日，g取10m/s2,

«5

当物体做匀速直线运动时.卜・列说法王确的是（)

A.牵引力k的最小值为25N

B.牵引力广的最小值为与

C.牵引力尸为最小值时与水平面的夹角为45°

D.牵引力”为最小值时与水平面的夹角为30°

解析：AD物体受重力G、支持力M摩擦力/和拉力尸的共同作用，将拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图

所示。由共点力的平衡条件可知，在水平方向上有尸cos0—"N=0,在竖直方向上有尸sin9+N—G=0,联立解得

F=c°s黑si田设tano="，则cos8=卷，所以有尸=皿比⑺嬴，当8s（0—。）=1,即夕一8=°时，F

取到最小值&L&=25N,tan所以解得3=30。＜9=30°,故A、DHL确。

9.（多选）如图所示，粗糙水平面上放着一横截面为;圆的柱状物体4,固定竖直挡板与A物体之间放着一横截面

为圆的光滑柱体B。系统平衡时，A、8两物体的接触点恰为：圆弧的中点，已知8物体的质量为〃7,重力加速度为

4

身，下列说法正确的是（）

A.竖直挡板与8物体间的弹力大小为〃吆

B.A、8两物体之间的弹力大小为争叫

C若将A稍右移并固定，竖直挡板与B间的弹力将增大

D.若将A稍右移并固定，A、8之间的弹力将减小

解析：AC将;圆弧面看成是倾角不同的斜面组合而成，对物体8受力分析如图所示，由平衡条件可得Mcos〃=

mg,M=Msin仇解得M=缁，M=〃?gtan仇当A、8两物体的接触点恰为:圆弧的中点时，夕=45。，此时可得

N尸mg,N?=立mg,故A正确，B错误；若将A稍右移并固定，则。角增大，可知M、M均增大，故C正确，D

错误。

10.如图所示，质最为1kg的小球A与质最未知的滑环3用绕过光滑定滑轮的不可伸长的轻绳连接，连接滑环8的

绳与杆垂直并在同一竖直平面内。滑环8套在与竖直方向成夕=53。的粗细均匀的固定杆上，滑环和杆间的动摩擦

因数〃=0.5,初始口寸滑环恰好不下滑，现对小球A施加个水平力R使小球A在水平力尸的作用下汨着圆弧

轨迹缓慢上移，设滑环与杆间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力（疝［53。=0.8）,下列说法正确的是（）

A.绳子拉力保持不变

B.滑环8的质量〃?=0.5kg

C.固定杆给滑环B的弹力方向垂直于杆向上

D.滑环B受到的摩擦力逐渐变小

解析：B对小球A施加一个水平力F,使小球A在水平力户的作用下沿着1/4圆弧轨迹缓慢上移，在圆周上任一

位置时，根据平衡条件可得，绳的拉力为了=昼，外力尸为尸=〃?'gtana,小球A沿着14圆弧轨迹缓慢上移，a

增大，可知拉力7和外力产均增大，故A错误；初始时，绳的拉力在A点为Ti=m，g,初始时滑环恰好不下滑，

对B由平衡条件得/〃gcos53o=〃N,7i=N+mgsin53。，解得m=0.5kg,故B正确；由于绳的拉力增大，开始时力

=N+/嘿sin。，由于拉力2增大，则N垂直于杆向下且增大，故C错误；由于N增大，所以8保持静止，则尸

mgcos队可知摩擦力大小不变，故D错误。

11.如图所示，一可视为质点的小球用两根不可伸长的轻质细线和OB连接后挂在天花板和墙上，AOM水平，

OB倾斜，ON竖直，A、8、0、M、N各点在同一竖直平面内。现对小球施加一大小恒定、方向由OM逐渐变化至

ON方向的力R则此过程中，两细线上的拉力大小变化情况为（）

A