2025版高考数学二轮复习专题五 概率与统计 第1讲 计数原理与概率解析版

I专题突破

专题五概率与统计

第1讲计数原理与概率（新高考专用）

【真题自测】...................................................................2

【考点突破】...................................................................8

【考点一】排列与组合问题........................................................8

【考点二】二项式定理...........................................................12

【考点三】概率................................................................16

【专题精练】..................................................................21

考情分析:

1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结合，以选择题、填空题为主:.

2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇考查.

3.概率重点考查古典概型、条件概率、全概率公式的基本应用.

真题自测

一、单选题

1.（2023・全国•高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从

这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（）

A.120B.60C.30D.20

2.（2023•全国•高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有

1和相同的选法共有（）

A.30种B.60种C.120种D.240种

3.（2023•全国•高考真题）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作

文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）

521I

A.-B.-C.-D.-

6323

4.（2023•全国•高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2

名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（）

1112

A.-B•-C.-D.一

6323

5.（2022•全国•高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和

丁相邻，则不同排列方式共有（）

A.12种B.24种C.36种D.48种

二、填空题

6.（2024・全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,

每次取1个球.记机为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平均值，则相与〃之差

的绝对值不大于:的概率为.

/1

7.（2024•全国•高考真题）-+x\的展开式中，各项系数中的最大值为.

8.（2024•全国•高考真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，

则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是.

11213140

12223342

13223343

15243444

9.（2023・全国•高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修

2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

10.（2022•全国•高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，贝J这4个点在同一个平面的概率为.

11.（2022•全国•高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率

为•

12.（2022•全国•高考真题）的展开式中Yy6的系数为（用数字作答）.

参考答案:

题号12345

答案BCADB

1.B

【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.

【详解】不妨记五名志愿者为。，仇

假设，连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有

种方法，

同理：连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，

所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有5x12=60种.

故选:B.

2.C

【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.

【详解】首先确定相同得读物，共有C；种情况，

然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有A；种，

根据分步乘法公式则共有C〉A；=120种,

故选：c.

3.A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

123456

甲

1(U)(L2)(1,3)(1.4)(2(1,6)

2(2.1)(2⑵(2.3)(2.4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3⑵(3,3)(3.4)(3,5)(3,6)

4(4.1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5.4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6.4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6个,

3()5

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率

366

故选：A

4.D

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C；二6件,

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

42

所以这2名学生来自不同年级的概率为:=彳.

63

故选：D.

5.B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解

【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有3!种排列方

式；为使甲不在两端，必须旦只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；

注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!x2x2=24种不同的排列方式，

故选：B

6.L

15

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为第三个球的号码为。，则

a+b-3<2c<a+b+3,就。的不同取值分类讨论后可求随机W牛的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为d。，第三个球的号码为。，则竺誓一竽

故12c,—(a+W3,故—3K2c—(a+〃)工3,

^j.a+b-3<2c<a+b+3,

若c=l,则。+尽5,则(。⑼为：(2,3),(3,2),故有2种，

若c=2,则IMa+6V7,则(。,4为:(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3)，故有10种，

当c=3,^\3<a+b<9,则(。例为:

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种,

当c=4,则54a+b«ll,同理有16种,

当c=5,则7<。+〃<13,同理有10种，

当c=6,则9Wa+〃W15,同理有2种，

共用与〃的差的绝对值不超过3时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为言=5.

7

故答案为：—

1J

7.5

C；o

【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有进而求出，即可求

♦

解.

【详解】由题展开式通项公式为0|=C；o-V,0<r<10kr€Z,

13J

IO-r(iy-r

IW

设展开式中第r+1项系数最大，贝〃

10-rnV

AC]jJ

、29

/,2—

42933

QO，HP—<r<—,又rwZ,故r=8,

/3344

r<—

4

所以展开式中系数最大的项是笫9项，且该项系数为C：°（；J=5.

故答案为：5.

8.24112

【分析】由题意可知第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选；利用列举法写出所有的可能结果,

即可求解.

【详解】由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，

则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，

第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，

所以共有4x3x2x1=24种选法；

每种选法可标记为（。力,。，4），分别表示第一、二、三、四列的数字，

则所有的可能结果为：

(11,22,33.44),(11,22,34,43),(11,22,33.44X(11,22,34,42),(11,24,33,43),(11,24,33,42),

(12,21,33,44).(12,21.34.43).(12.22,31,44),(12.22,34,40).(12,24,31,43),(12,24,33,40),

(13,21,33,44),(13,21,34,42),(13,22,31,441(13,22,34,40),(13,24,31,42),(13,24,33,40),

(15,21,33,43),(15⑵,33,42),(15,2231,43),(15,2233,40),(15,2231,42),(15,22,33,40),

所以选中的方格中，05,21,33,43)的4个数之和最大,为15+21+33+43=112.

故答案为:24；112

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定第一、二、三、四列分别有4、3、2、1个方格可选，利用列

举法写出所有的可能结果.

9.64

【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.

【详解】(1)当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有C：C：=16种；

(2)当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

10.—.

35

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有加=6+6=12个,

故所求概率P='=2=9

n7035

故答案为：白.

11.--/0.3

10

【分析】根据占典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1),(甲，乙，2),(甲，乙，3),(甲，1,2),(甲，1,3),(甲，2,3),(乙，1,2),(乙，1,

3),(乙，2,3),(1,2,3),共10种选法;

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率夕=得.

故答案为:本3

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

3

甲、乙都入选的方法数为C；-3,所以甲、乙都入选的概率〃=而

3

故答案为：—

12.-28

【分析】(l-9Ja+s)*可化为(X+y)S-[(X+)，)8,结合二项式展开式的通项公式求解.

【详解】因为-］卜+y)8=(x+y)Y(x+柏

所以心g)8的展开式中含办的项为*T-日,

1--(x+y)‘的展开式中f.y6的系数为-28

X/

故答案为：-28

考点突破

【考点一】排列与组合问题

核心梳理：

解决排列、组合问题的一般过程：

(1)认真审题，弄清是要做什么事情；

(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；

(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元索.

・、单选题

1.(23-24高三上•河南焦作,期末)小明将1,4,0,3,2,2这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的

银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为()

A.48B.32C.24D.16

2.(23・24高二上•河南•期末)2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲、乙、

丙、丁、戊五名同学排成一排合影留念，其中甲、乙均不能站左端，且甲、丙必须相邻，则不同的站法共有()

A.18种B.24种C.30种D.36种

二、多选题

3.（2024•山西晋中•模拟预测）某中学的3名男生和2名女生参加数学竞赛，比赛结束后，这5名同学排成

一排合影留念，则下列说法正确的是（）

A.若要求2名女生相邻，则这5名同学共有48种不同的排法

B.若要求女生与男生相间排列，则这5名同学共有24种排法

C.若要求2名女生互不相邻，则这5名同学共有72种排法

D.若要求男生甲不在排头也不在排尾，则这5名同学共有72种排法

4.（23-24高三下•江苏镇江•开学考试）正方体A4GA-48c。的8个顶点中的4个不共面顶点可以确定一

个四面体，所有这些四面体构成集合V,则（）

A.丫中元素的个数为58

B.V中每个四面体的体积值构成集合S,则S中的元素个数为2

C.V中每个四面体的外接球构成集合。，则。中只有1个元素

D.V中不存在四个表面都是直角三角形的四面体

三、填空题

5.（2024•河北沧州•一模）有5位大学生要分配到A伐C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每

个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同

分配方案有种.（用数字作答）

6.（2024•江苏南通•模拟预测）把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙

安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法有种.

参考答案:

题号1234

答案CCACDABC

1.C

【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解.

【详解】1与4相邻，共有A；=2种排法，

两个2之间插入1个数，

共有A；=2种排法，再把组合好的数全排列，共有A；=6种排法,

则总共有2x2x6=24种密码.

故迄C

2.C

【分析】分类当丙站在左端时及丙不站在左端时的情况计算即可得.

【详解】由题意可知，当内站在左端时，有A；=6种站法；

当丙不站在左端时，有C；A；A；=24种站法.

由分类加法计数原理可得，一共有6+24=30种不同的站法.

故选：C.

3.ACD

【分析】利用捆绑法解决选项A,利用插空法解决选项BC,利用特殊元素优先法解决选项D.

【详解】选项A,将2名女生捆绑在一起，再与3名男生进行全排列，

则有A；A；=48（种）,故A正确;

选项B,要求女生与男生相间排列，采用插空法，

先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的2个空中，

则有A；A；=12（种），故B错误;

选项C,先将3名男生进行全排列，再将2名女生插到3名男生所形成的4个空中，

则有A；A；=72（种）,故C正确;

选项D,将5名同学排成一排，相当于将他们放到排成一排的5个空位中.

先将男生甲排在中间的3个空位中，再将剩下4名同学进行全排列，

则有A；A：=72（种），故D正确.

故选：ACD.

4.ABC

【分析】由8个顶点中选取4个不共面顶点，确定V中元素的个数判断选项A；由每个四面体的结构特征,

计算体积值判断选项B：由每个匹面体的外接球特征判断选项C：寻找四个表面都是直角三角形的四面体判

断选项D.

【详解】正方体ABGR-/WCO的8个顶点中任取4个，共有c；=7（）种情况，

其中四点共面的有六个表面和六个对角面共12种情况，不构成四面体，

所以丫中元素的个数为58,A选项正确；

四面体的体积有以下两种情况;

第一种情况如卜图所加，四而体的四点在相对面且异面的对角线上，如四面体〃-&AC,

若正方体棱长为。，则四面体体积为，-4x；x；〃.a.4=；a3,

第二种情况如下图所示，四面体的四点中有三个点在一个侧面上，另一个点在相对侧面上,如四面体

若正方体棱长为明则四面体体积为=

326

所以丫中每个四面体的体积值构成集合S,则S中的元素个数为2,B选项正确;

每个四面体的外接球都是原正方体的外接球，。中只有1个元素，C选项正确：

如下图，四面体B「ABD的每个面都是直角三角形，D选项错误.

故选:ABC

5.50

【分析】根据特殊元素进行分类计数，具体分类下是不相同元素分配问题，先分堆再配送,注意平均分堆

的要除以顺序.

【详解】根据特殊元素"甲同学’’分类讨论,

当A单位只有甲时，其余四人分配到&C,不同分配方案有C：C；A；+C；C；=14种；

当A单位不只有甲时，其余四人分配到ARC,不同分配方案有C争A；=36种；

合计有50种不同分配方案，

故答案为：50.

6.36

【分析】根据分步计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求出.

【详解】根据题意，设5人为甲乙丙丁戊，

①，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有A；=2种情况，

②，将这个整体与丁戊全排列，有A；=6种安排方法，

③，排好后，有4个空位，由于甲乙安排在不相邻的两天，则只能从3个空中任选1个，安排甲，有A；=3

种安排方法,

不同的安排方案共彳『2x6x3=36即；

故答案为：36.

规律方法：

排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；（3）特殊元素优先安排；（4）相邻问题捆绑处理；

（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题除法处理：（7）“小集团”排列问题先整体后局部；（8）正难则反，等价

转化.

【考点二】二项式定理

核心梳理：

1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路：

（1）利用通项公式将为+1项写出并化简.

（2）令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出&.

（3）代回通项公式即得所求.

2.对于两个因式的积的特定项问题，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类讨论求解.

一、单选题

1.（2024•浙江•二模）Q'oggB一场江］展开式的常数项为（）

2.（2024•全国•模拟预测）（/+3<+2丫的展开式中/的系数为（）

A.6B.8C.27D.33

二、多选题

3.（2024♦山西临汾•三模）在（；-五）的展开式中（）

A.所有奇数项的二项式系数的和为128

B.二项式系数最大的项为第5项

C.有理项共有两项

D.所有项的系数的和为3*

4.（2024•广西来宾•一模）（x--\的展开式中，下列结论正确的是（）

1X）

A.二项式系数最大项为第五项B.各项系数和为0

C.含/项的系数为4D.所有项二项式系数和为16

三、填空题

/\

5.（23-24高三上•山东滨州•期末）2+-"-2），）6的展开式中上与2的系数为________.（用数字作答）

\y）

6.（2024•云南楚雄•一模）102、）除以1000的余数是.

参考答案:

题号1234

答案ADABBD

1.A

【分析】写出二项展开式的通项公式，令x的指数为0,得出常数项的项数，即可得常数项.

【详解】展开式的通项公式为，产晨•，地83）61[-叵2]=晨・（1%3广•产

令12-3r=0,解得r=4,

所以常数项为4=靖（1。趺3）2.卜弧巨=15x±=-|.

故选：A.

2.D

【分析】解法一：将原展开式可以看作（l+x）3与（2+x）3展开式冬项的乘积，然后根据二项式定理展开式的

通项，分别求出两个二项式展开式中含的项，即可得出答案：解法二：化为

(/+3"2丫=[[2+3x)+0,然后反复根据二项式定理展开式求解即可得出答案.

【详解】解法一：

因为(X2+3X+2/=(1+X)3(2+X)3,即原展开式可以看作两个二项式展开式各项的乘积.

展开式的通项为2=51"/=€7-广加=0』,2,3,

则，展开式中含x的项为]=C；f=3x,含』的项为"=C"I2=3/,含/的项为7；=C；.X3=X3；

(2+x)3展开式的通项为加=C；2口•父=2~C；.父,〃=0J2,3,

则，展开式中含1的项为4二2七/工=121,含/的项为(=2c,X2=6X2,含F的项为4=6♦/=/

综上所述，(Y+3x+2)3的展开式中/的项为3不丁+3/02+P12x=33/,系数为33.

解法二：

因为(/+3工+2)'=[(丁+3x)+2，，展开式的通项为小=仁«2+3_¥广.2£4=()123.

要使展开式中含产,则%可取。或1.

当上=0时，.2。=(9+s,'，展开式的通项为加=《(x2广’•(3x)’=3'C；-尸,/=0』,2,3,

显然/=2时，展开式含该项为7；=3y•/=27/；

当1=1时,C；(X2+3X)2-2'=6(X2+3X)\展开式的通项为7；.产6C；(/广.(3x)$=6x3，C；ri,s=0,l,2,

显然s=0时，展开式含该项为工二6犬.

综上所述，卜2+31+2丫的展开式中丁的项为27f+6x4=33f，系数为33.

故选：D.

3.AB

【分析】先求出二项式系数和，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即可确定A：二项式系数的

最大项，即为中间项，可确定B；整理出通项公式公=啸『(-时=(-1)"七十，再对及赋值,

即可确定C；令x=l,可求出所有项的系数的和，从而确定D.

28

【详解】对于A,二项式系数和为，则所有奇数项的二项式系数的和为々=128,故A1E确；

2

对于B,二项式系数最大为C3则二项式系数最大的项为第5项，故B正确；

z0、8-&4

对FC,%=C；：(-叼=(-1广2y/T(O"W8,keN),小为有理项，攵可取的值为0,3,6,所

以有理项共有三项，故C错误；

对于D,令x=l,则所有项系数和为(1-亚]=1,故D错误.

故选：AB.

4.BD

【分析】利用二项式系数的性质判断AD；利用赋值法判断B；利用二项式定理得到(x-gj的展开通项，

从而求得含/项的系数判断C.

【详解】对于A,因为丫展开式一共五项，所以二项式系数最大项为第三项，故A错误；

IX)

对于B,令x=l时，1=0,所以各系数的和为0,故B正确；

对于C,因为卜—：)的展开通项公式为乙产=C；(T)“j(r=oj2,3,4),

令4-2「=4,得r=0,故含/项的系数为C：・(—1)0=1,故C错误；

对于D,所有项的二项式的系数和为2"=16,故D正确.

故选：BD.

5.-40

【分析】由二项式定理得到(x-2y)6的通项公式，结合2+j,得到工,7；,得到犬丁的系数.

【详解】(X-2)，)6的通项公式为却=晨产，(-2»=晨(-2)‘产丫，

令r=2得，(=C：(-2)7y2=60f)，2,6O.r4/-2=120x4/>

33

令r=3得，T4=Cl(-2)'x/=-I60X/,此时一160/)/=-]60凸，2,

故/丁的系数为120—160=TO

故答案为：40

6.24

【分析】利用二项式定理得到102")=(100+2-fOOJ…+品29*100+(2：眨°,故求出余数.

【详解】1021。=(100+2)°=lO(y°+Co2xlOO9+C；o22xlOO1<+…+C)29X100+C；；22

,OM2S9

=[100+C；OX2X100+C2OX2X10O4----4-2X|(XX)]4-I024

IO92K，)

=[1OO+C；OX2X1OO+C|OX2X1OO+...4-2X1OOO+1OOO14-24,

回10#除以1000的余数是24.

故答案为：24

规律方法：

二项式(〃+%)”的通项公式A+I=CM"-〃伏=0,1,2,…，，?)，它表示的是二项式的展开式的第A+1项，而不

是第&项；其中C$是二项式展开式的第〃+1项的二项式系数，而二项式的展开式的第A+1项的系数是字

母赛前的常数，要区分二项式系数与系数.

【考点三】概率

核心梳理：

1.古典概型的概率公式

事件A包含的样本点数

P(A)=

试脸的样本点总数.

2.条件概率公式

设A,8为两个随机事件，且P(A)>0,

则醍⑷=畿,

3.全概率公式

设AI,4,…，人〃是一组两两互斥的事件，4IUA2U-UA,=<2,且P(A,)>0,i=l,2,•••,”，则对任意的

事件BJQ,有P(B)=2P(A,)P(砒).

1=1

一、单选题

1.(2024・河南•模拟预测)袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母2个标有字母从甲先

从袋中随机摸一个球，摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲、乙两人摸到标有字母〃的球

的概率分别为/不〃2,则()

A.P|=〃2B.2〃1=3〃2

C.PI=3〃2D.2p,=p2

2.(2024•山西•二模)一个盒子里装有5个小球,其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取

球(不放回)，记事件人表示“笫k次取出的球是黑球“，K二12…,5,则下面不正确的是()

33

A.P（A,）=-B.P（A4）=正

9i

c.P（4+A）=而D.P（4IA）=Q

1UJ

二、多选题

3.121-22高三上•江苏南通•阶段练习）己知33分别为随机事件48的对立事件,尸⑷>0,尸（8）>0,

则（）

A.P（B|A）+P（B|A）=1B.P（砌4）+P（国A）=P（A）

C.若A,B独立，则尸（A|8）=P（A）D.若4,8互斥，则P（A|8）=P（8|A）

4.（23-24高三下•江苏泰州•阶段练习）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全

相同.把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复〃次操作后，甲口袋中恰

有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件A”，B“,C„,则（）

A.。⑻=|B.P（GIA）=1c.P（BG）qD.P（A+，Y

yZ/o1oI

三、填空题

5.（2024・江苏扬州•模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%,第2,3台加

工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的

25%,30%,45%.任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为.

6.（2024•湖南衡阳•二模）已知有A8两个盒子，其中A盒装有3个黑球和3个白球，8盒装有3个黑球和

2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从3盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并

将取出的2个球全部放入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方

法重复操作两次后，8盒中恰有7个球的概率是.

参考答案:

题号1234

答案A1)ACDABD

1.A

【分析】利用古典概型的概率及全概率公式求出后可得正确的选项.

【详解】设A为“甲摸到标有字母。的球〃，8为"乙摸到标有字母〃的球〃，则P1=P（A）=1,

———23323

而p,=P（B）=P（BA）+P（BA）=P（B\A）P（A）+P（8|A）P（A）=-x-+-x-=-,

45455

故Pi=%.

故选：A.

2.D

【分析】根据给定条件，借助排列、组合应用问题，利用古典概率、条件概率公式逐项计算即得.

【详解】依次一个一个地往外取球（不放回）的试验，基本事件总数是A；,它们等可能，

CA43

对干A,A3表示第3次取出黑球，尸（4）=卞=三，A正确;

对于B,A4表示第1次、第2次取出的球都是黑球，尸（44）=续1

B正确;

Aq1U

C1A43A2A°4

对于c,p（A）=p（A）=*二±,P（A4AJ二卡=6，

9

所以P（4+A）=P（A）+P（A）-尸（4A）=正,c正确;

3

对于D,p（A）=学L"所以尸（&14）=笑¥=当=:，D错误.

A55〃（4）£2

5

故选：D

3.ACD

【分析】根据条件概率、独立事件、互斥事件的基本概念，以及对应的概率计算公式可以得到答案.

【详解】因为「（例人）+2（加可=笔泮为=瑞

A正确，B错误;

/、P（AB\/、

由独立事件定义，若A,8独立，则P（A8）=夕（4）P（8）,0（加8）=尢f=P（4）,c正确;

若A，8互斥，则P（A8）=0,P（A|8）=华黑=。，P（8|A）=g^=0,D正确.

故选：ACD

4.ABD

【分析】对于A项，重复一次操作，甲袋中有1红的情况有两种，运用互斥事件的概率加法公式计算即得；

对于B项，运用条件概率公式，分别算出尸（人）和P（AG）代入公式计算即得；对于C项，运用独立事件的

概率乘法公式计算即得；对于D项，运用相容事件的并的概率公式计算即得.

【详解】因在操作前,甲袋中：1红2白，乙袋中：1红2白.

11225

对于A项，重复1次操作，甲口袋中有1红的概率+故A项正确；

8

对于B项，P（GIA）=^2,P（A）=9：=|,0（AG）=3m,=2,故&GI4）哼=/，

33V243tLI

9

故B项正确；

（1I22、,21A10

对于C项，因事件用与G相互独立，则P（4G）=P（A）P（C2）,=-X-+-X-x-X-=-,故C项错

355）5）o1

误；

对于D项，P（A+星）=P（A）+P（员）-P（A人）

<1122^|51222121212255

故D项正确.

(3333J93333333333381

故选：ADD.

【点睛】关键点点睛：对所求事件所包含的情况的判断，求若干事件的并的概率，需要判断互斥还是相容，

对于条件概率题，要么用样本空间中基本事件数计算，要么用概率公式P（4|4）小黑计算，对于积事件

r（D）

的概率应先判断两事件的独立性，再用公式求.

【分析】结合全概率公式与条件概率公式计算即可得.

【详解】设4表示“取到的零件是第i台车床加工（i=l,2,3）〃，"表示“取到的零件是次品〃,

则P(8)=尸(A)尸(M4)+P(A)P(即4)+尸奴)尸(即&)

=0.25x0.06+0.30x0.05+0.45x0.05=0.0525,

P(&/S)=P(&)P(M=0.30x0.05=0.015,

P(AB)_0.015_2

故P(&⑹2

P(B)-0.0525-7

故答案为::2

77

6.

300

【分析】确定出两次取球后8盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙获胜，再分别计算出第•次取黑球、

第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率，相加即可求得结果.

【详解】若两次取球后，8盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜：

若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为二1x：2==1,

255

第一次取球后A盒中有2个黑球和3个白球，8盒装有4个黑球和2个白球，

第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为］X,+3乂。=2：

〉65615

此时8盒中恰有7个球的概率为入三二三：

51575

133

若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为

第一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，8盒装有3个黑球和3个白球，

第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为:3x=3+2=3=1

56562

313

此时8盒中恰有7个球的概率为京乂5=经

QQ77

所以8盒中恰有7个球的概率为获+高=诉.

/D2U3UU

77

故答案为：-

【点睛】关键点点睛：本题的突破口在于先分清楚两次取球后，K盒中恰有7个球必须满足两次取球均为乙

获胜；再分别讨论并计算出第一次取黑球、第二次取白球和第一次取白球、第二次取黑球的概率即可求得

结果.

规律方法：

求概率的方法与技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.

(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.

专题精练

・、单选题

1.(2023•福建•模拟预测)中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际

形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A,B,。等3个受灾点执行救援任务，

若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去8,。两

个数点中的一个，则不同的安排方法数是()

A.72B.84C.88D.100

2.(2023•广东•模拟预测)如图,在两行三列的网格中放入标有数字123,4,5,6的六张卡片,每格只放一张

卡片，贝『'只有中间一列两个数字之和为5〃的不同的排法有（）

A.96种B.64种C.32利।D.16种

3.（2023•辽宁沈阳•一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之

一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（）

A.24种B.48种C.72种D.96种

4.（2024・甘肃陇南•一模）己知3名男同学、2名女同学和1名老师站成一排，女同学不相邻，老师不站两

端，则不同的排法共有（）

A.336种B.284种C.264种D.186种

5.（2023•广东深圳♦一模）安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排

1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）

1336

A.-B.—C.—D.—

5102525

6.（2023•山东德州三模）若（