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文档简介
地铁线路设计规划模型
一、摘要
二、问题重述
某都市中心城区（如图1所示）规划修建地铁，规定从该中心城区任意一点出发,
到近来日勺地铁站日勺直线距离不超过800米，试通过建立模型处理下列问题：（1）
至少要建多少个地铁站？（2）按至少数量的地铁站分布，设计出最佳日勺地铁线
路（规定不一样日勺地铁线路换乘能互相抵达）。
图1:某都市中心城区日勺简化图，其中AGCB为梯形，DEFG为矩形，坐标A（0.5,
4.8）,B（0,2）,BC=7.5,AG=3.5,DE=2.8,EF=7.3。图中每
单位长度表达实际距离3km。
三、名词和符号阐明
四、模型假设
五、问题分析
本题中规划的中心城区是一种不规则的图形，因此地铁分布时不能简朴的
按规律建立。我们设想的是先建造一种拥有最佳有效面积的地铁站点。首先，我
们运用微分日勺思想，以地铁站为圆心，800m为半径画圆再在圆内画内接多边形,
但愿最终能将两个圆内内接多边形重叠之后重叠口勺面积尽量少。之后，我们又从
化学原子排列规律中得到了另一种模型，从中我们再比较选出最佳的）模型。之后,
我们运用CAD按比例画出题目的图与地铁站点阵进行比较，为了获取地铁拈间
的距离，我们用C语言编了一种程序计算出每个地铁站的距离矩阵，最终再运用
Matlab画出地铁站点图的最小生成树，从中得出最佳路线。
思绪一：我们抛开这个都市的图形，以地铁站为圆心,800m为半径画
圆，如图5-lo
图5-1
然后，为了使所有两个地铁站能无缝地接在一起，我们把这个图尽量多地划
提成内接多边形。如图（b）~（e）o
图5-2图5-3图5-4图5-5
这里，我们又出现一种新的问题，要使内接多动形能接在一起，内接多功形
的角度必须能整除360,n边形内角和为，每个内角为。满足整除360,只有n=3,4,
60
目前，我们先假设
n=3（图5-3）,则每个点有效面积；
n=4（图5-4）,则这个点有效面积；
n=6（图5-5）,则这个点有效面积。
因此可得，取n=6时，有效面积最大，即将地铁站当作内接六边形时，两个地铁
站之间衔接起来有效面积最大。
思绪二:
考虑到每个地铁站建成后都会覆盖附近面积为H'、J区域。但由思绪一可知，，因
此思绪二H勺基本想法就是容许有合适重叠，并得到重叠时H勺状态，然后算出重
叠状态下对于每个站点与其他站点交盖的I面积，通过比较多种重叠状态下的,
选得最小的，就是我们要得到的最优设计。
1.详细实现：
2.考虑四个圆时圆心构成矩形的状况
图5-6图5-7图5-8
可以看到，中间的A区域没有被覆盖，此时有两种处理方案，方案一是在A区域
日勺中心在建一种站，覆盖掉空白的部分，如图5-7；方案二是直接使四个圆重叠,
覆盖空白部分,如图5-8。
很轻易发现，对于上面两种状况，每一种圆与其他圆共同交盖的面积都是，即
阴影所示区域。
2.考虑四个圆的圆心构成菱形的状况:
盖口勺六边形数目过于繁琐，我们考虑了一种优化措施。先让都市图的某一条边覆
盖日勺正六边形数目至少，再考虑其他边覆盖日勺数目至少日勺状况，再通过平移等措
施尽量减少七个边覆盖日勺正六边形的数目，以此迫近最优解。数六边形数目的时
候为防止人工数数出错，我们采用将范围内口勺六边形载入选区并由电脑技术n勺
措施保证了数据H勺真实性和精确性。
如下图6-1至图6-10列出了我们枚举的八种特殊状况。
|决冬阳G3)
颜色
图层
S3?
线出比例
打印样式
相府
坐标
坐标
坐标
图6-1矩形短边横排233
图6-2矩形短边斜排左对齐226
材质
生标
位
击X
坐标
关
位
丫
坐标
蚤
位Z
例
X比
E
”■).
视图(V)送项◎
图6-3矩形长边斜排左对齐226
|快参照(227)
图泛
名提
赢比例
打E联式
统
超摄接
相质
X坐
Y坐
Z坐
-I-十Nmea-
妆图(V)
限aa
图6-4矩形长边斜排右对齐227
图6-5矩形长边横排左对齐226
图6-6矩形长边横排右对齐231
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图6-7梯形长边横排233
|块«?厮C23O)
颜色
HE
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打印株式
赅曳
超槌接
位
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比
X例
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幻
初8<v）出质
图6-8梯形长边斜排230
由以上八张截图可发现，图6・2,图6・3,图6・5的六边形数目均为226,因此可以
得出最小覆盖正六边形的数目为226个的结论，即至少要建226个地铁站才能完
全铺满这个都市。通过多方比较，我们选用了最易于生成最小树的图6・5作为我
们第二问的地铁线路设计目的。
问题二：按至少数量的地铁站分布，设计出最佳的地铁线路（规定不一样的地铁
线路换乘能互相抵达）
我们在AutoCAD中将图6-5状况下的226个正六边形替代为800半径的圆并按一定论次序
编号（图6-9）,并且运用AutoCAD的查询一列表显示功能将226个圆的圆心坐标所有输出
（输出内容见附件8.1）,通过Word、Excel等一系列Office软件对数据的编辑操作，得到了
226个点日勺有序坐标的txt格式文献（数据见附件8.2）。用VisualC++编程软件将txt文献中
的所有数据依次导入并编程（C++文献见附件8.3）计算每一种点到其他225个点的距离导
出至新的txt文献（数据量过大不适合在附件中展现）。用Matlab软件将距离值所有导入，并
运用Primf最小生成树算法求出生成口勺最小树成果（成果与Primf代码见附件8.4）。最终在
AutoCAD中绘出最小树（图6-10）,并归纳了31条地铁线路（不拐弯的一条直线视为一条
线路）共62组坐标点（见表6-1）,aVisualC++中求出地铁线路总长度为311769m（编程
代码见附件8.5）。
图6-9226个地铁站按次序编号
图6-10最小生成树地铁线路图
表6-131条地铁线的坐标值
地铁站连接的地铁
圆心X坐标圆心y坐标圆心X坐标圆心V坐标
编号站编号
1400692.820374009006.6642
1400692.82032252920017320.5081
1400692.8203816000
24002078.46092212800018013.3284
34003464.10162222800019398.969
44004849.74224976009006.6642
54006235.38293552009006.6642
64007621.02352128009006.6642
8160002242920015934.8674
152800692.82032240000
22400002263040015242.0471
295200692.82033664000
36640002172800012470.7658
437600692.82035088000
508800017227621.0235
5710000692.820365112000
6511200017126235.3829
7412400692.820383136000
8313600017024849.7422
9314800692.8203103160000
10316000016923464.1016
11517200692.8203127184000
12718400016822078.4609
1532080001672692.8203
63100009006.6642641000010392.3048
641000010392.3048215268001.7893
1131600013856.40651141600015242.0471
1141600015242.04712162680021477.43
180218706.148718121.7893
18121.78932082560022170.2503
七、模型的评价与推广
八、附录
附录8.1:AutoCAD输出的226个圆的圆心坐标及其他
命令:」ist找到226个
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=188e
圆心点，X=30400.0000Y=15242.0471Z=0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1880
圆心点，X=28000.0000Y=19398.96900.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=187f
圆心点，X=28000.0000¥=18013.32840.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=187e
圆心点，X=28000.0000Y=16627.68780.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=187d
圆心由，X=28000.0000Y=15242.0471Z=0.0000
半径300.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=187c
圆心点，X=28000.0000Y=13856.40650.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=187b
圆心点，X=28000.0000Y=12470.76580.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层:0
空间：模型空间
句柄=1871
圆心点，X=25600.0000Y=22170.25030.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积619.2983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1870
圆心点，X=25600.0000Y=20784.6C970.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=186f
圆心点，X=25600.0000Y=19398.96900.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄-186e
圆心点，X=25600.0000Y=18013.32840.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：o
空间：模型空间
句桐=186d
圆心点，X=25600.0000¥=16627.68780.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=186c
圆心点，X=25600.0000Y=15242.04710.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=186b
圆心点，X=25600.0000Y=13856.4C650.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=186a
圆心点，X=25600.0000Y=12470.76580.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1869
圆心点，X=25600.0000¥=11085.12520.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=185f
圆心点，X=23200.0000Y=20784.6C970.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=185e
圆心点，X=23200.0000Y=19398.9690Z=0.0000
半径300.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=185d
圆心点，X=23200.0000Y=18013.32840.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=185c
圆心点，X=23200.0000Y=16627.68780.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层:0
空间：模型空间
句柄=185b
圆心点，X=23200.0000Y=15242.04710.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积619.2983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=185a
圆心点，X=23200.0000Y=13856.4C650.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1859
圆心点，X=23200.0000Y=12470.76580.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄-18S8
圆心点，X=23200.0000Y=11085.12520.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：o
空间：模型空间
句桐=1857
圆心点，X=23200.0000Y=9699.4845Z=0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句桐=184c
圆心点，X=20800.0000Y=18013.3284Z0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=184b
圆心点，X=20800.0000Y=16627.6878Z0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=184a
圆心点，X=20800.0000Y=15242.04710.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1849
圆心点，X=20800.0000Y=13856.4C650.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1848
圆心点，X=20800.0000Y=12470.76580.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1847
圆心由，X=20800.0000Y=11085.1252Z=0.0000
半径300.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1846
圆心点，X=20800.0000Y=9699.48450.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1845
圆心点，X=20800.0000Y=8313.84390.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层:0
空间：模型空间
句柄=1844
圆心点，X=20800.0000Y=6928.20320.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积619.2983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1843
圆心点，X=20800.0000Y=5542.56260.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句板=1842
圆心点，X=20800.0000Y=4156.92190.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄-1841
圆心点，X=20800.0000Y=2771.28130.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：o
空间：模型空间
句柄=1840
圆心点，X=20800.0000Y=1385.64C6Z=0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=183f
圆心点，X=20800.0000Y=0.0000Z=0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=183a
圆心点，X=18400.0000Y=16627.6878Z=0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1839
圆心点，X=18400.0000Y=15242.04710.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1838
圆心点，X=18400.0000Y=13856.4C650.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1837
圆心点，X=18400.0000Y=12470.76580.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1836
圆心力、,X=18400.0000Y=11085.1252Z=0.0000
半径300.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1835
圆心点，X=18400.0000Y=9699.48450.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1834
圆心点，X=18400.0000Y=8313.84390.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层:0
空间：模型空间
句柄=1833
圆心点，X=18400.0000Y=6928.20320.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积619.2983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄=1832
圆心点，X=18400.0000Y=5542.56260.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句板=1831
圆心点，X=18400.0000Y=4156.92190.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
句柄-1830
圆心点，X=18400.0000Y=2771.28130.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：o
空间：模型空间
句桐=182f
圆心点，X=18400.0000Y=1385.64C6Z=0.0000
半径800.0000
周长5026.5482
面积6192983
圆图层：0
空间：模型空间
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空间：模型空间
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