2025（新苏教版）数学六年级下册全册单元教材分析

苏教版小学数学六年级下册教材分析

【第一单元扇形统计图】

本单元在统计表以及条形统计图、折线统计图的基础上编排。

扇形统计图不仅表示各个部分数量的多少，而且侧重于用同一个圆里的大大小小

的扇形，表示各个部分数量与总数量之间的关系，表示各个部分数量分别占总数量的

百分之几。

教学扇形统计图，要使学生认识它的特点。了解它的用处，能够看懂统计图所呈

现的数据信息，能够利用统计图给出的百分数解决实际问题。体会条形图、折线图、

扇形图的不同，体会根据数据内容合理选择统计图的必要性。

小学数学不要求制作扇形统计图。因为制作扇形统计图需要扇形的知识，要计算

扇形的圆心角，而小学数学只简单认识扇形，不教学画扇形，所以小学生不具备制作

扇形统计图的知识与能力。况且，人们己经很少手工制作扇形统计图了，利用计算机

画出扇形统计图，既方便又准确，而且十分美观。全单元编排两道例题，具体安排如

下表：

例1初步认识扇形统计图，了解扇形统计图的特点，能看懂并利用图中的百分数

例2比较三种统计图，了解条形图、折线图、扇形图各自的特点；能根据要呈现

的数据内容，选择适宜的统计图

（一）直接呈现扇形统计图，鼓励学生仔细看图，了解图中的数据信息，并利用

统计图里的百分数进行有关的计算，解决简单的问题

例1初步教学扇形统计图。在给出“我国陆地总面积大约960平方千米”的同

时，呈现一幅“我国陆地各种地形分布情况统计图”，这是一幅扇形统计图，里面有

平原、丘陵、盆地、山地、高原等地形各占陆地总面积的白分比。教材采用直接呈现

的方式，引出扇形统计图，是由于两点原因：•是不教学制作扇形图，没有必要呈现

扇形图的形成过程。二是学生能够看懂扇形图里的信息，不需要给予其他帮助。在呈

现扇形统计图以后，教学分两步进行。

第一步，学生独立看图，交流”从扇形统计图中了解到什么"。大多数学生会一

一说出图中的五个百分数，并且根据五个百分数的大小关系以及扇形统计图里五个扇

形的大小，看出山地面积最大，丘陵面积最小。接着体会每一个百分数的意义，明白

我国陆地总面积是单位“1”的数量，整个圆表示我国陆地的总面积。然后感到扇形统

计图不是呈现五种地形的面积各有多少，而是分别表示每种地形的面积占总面积的百

分之几。学生看到、想到并说出上述内容，就初步认识了扇形统计图。

第二步，根据已知的我国陆地总面积和每一种地形面积占总面积的百分比，用计

算器算出每一种地形的面积，填在教科书的表格里。这是解决求一个数的百分之几是

多少的问题，把新旧知识很自然地融合起来了。学生通过这些计算，能体会到扇形统

计图不直接给出各个部分数量是多少，但可以通过计算求出各个部分的数量。这就进

-•步体验了扇形统计图的特点。于是，有意义接受教材所说的“扇形统计图可以清楚

地表示出各部分数量与总数量之间的关系”。

配合例1的“练一练”给出两幅扇形图，其中一幅表示中国人口占世界人口的

19.6%,另一幅表示中国耕地面积占世界耕地面积的9.9%。教材问学生“（从图中）

能知道什么？想到什么？”前一个问题要分别说出扇形图给出的两个百分数的含义，

属于知识范围的问题。后一-个问题要感受我国以世界耕地的9.9%,供世界19.6%的

人口吃饭，这是非常了不起的事情，是对世界以及全人类的贡献，属于思想性的问

题。如果有可能，还可以思考其他国家的总人口占世界人口的百分之几，其他国家的

耕地总面积占世界耕地的百分之几，通过1T9.6%和卜9.9%求出两个百分数。把世

界人口作为单位“1”、世界耕地作为单位“1”，体会整个扇形图所蕴含的各种信

息，有利于学生深入体验扇形统计图的特点。

（二）用不同形式的统计图表示不同的数据，体会各种统计图的特点，初步学

习选择合适的统计图表示数据信息

例2同时给出一幅扇形图、一幅折线图和一幅条形图，分别表示六年级一班同学

阅读课外书的一组数据，包括阅读科普类、漫画类、童话类、小说类和其他类书各占

阅读课外书总数的百分比；7~12月各个月阅读课外书的本数；每星期阅读课外书时间

在2小时以下、2~4小时、4飞小时、6〜8小时、8小时以上的人数。分两个层次提出

讨论的问题。

第一个层次是以下三个具体的问题。

“三幅统计图分别表示什么？”这个问题要回答每一幅统计图的内容，说出每一

幅统计图里的数据信息。通过这个问题，让学生看到三组数据采用了三种不同的统计

图，扇形图表示各个部分数量分别占总数量的百分比，折线图和条形图都表示一组数

据的各个具体数量。这就J'解到各种统计图在表达数据时的特点，初步体会到三种统

计图的联系和区别。

“从哪幅统计图能看出六年级一班同学比较喜欢哪一种课外书？从哪幅统计图能

看出去年下半年各月借书本数的变化情况？从哪幅统计图能看出阅读课外书的时间多

少？”这组问题分别指向三幅统计图里的内容，引导学生深入了解各幅统计图里的数

据信息，再次体验扇形统计图表达的是“各部分占整体的份额”，折线统计图表达的

是“一组数量的变化情况”，条形统计图表达的是“一组数量各有多少”。这样，学

生就能再次感悟统计图的使用是有选择的，应根据数据的内容特点，合理选用相应的

统计图。

“你还能从统计图中获得哪些信息？”这个问题比较开放，要鼓励学生说出在三

幅统计图里看到的、想到的信息，培养利用已有数据进行深入思考的意识，即理解与

解释数据，分析与评价数据，应用数据提出问题与解决问题的习惯和能力。

第二个层次是一个概括性的问题。

“怎样根据需要选挎统计图？”这个问题在初步了解各种统计图的特点的基础上

提出。学生在上述三个具体问题的讨论中，已经知道患形图利于表示各个部分数量占

总数量的百分之几，能很直观地告诉人们，哪部分数量占总数量的百分比最岛，哪部

分数量占总数量的百分比最少。根据扇形图里各个扇形的大小，能很方便地按大小顺

序排列各个部分数量。己经知道折线图利于表示一组数据的变化状态，能很直观地告

诉人们，数据在增加还是减少。根据折线图的折线，能对数据的变化作出描述、分析

和判断（预测）。己经知道条形图利于表示一组数量各是多少，能很直观地告诉人

们，哪一个数量最多、哪i个数量最少，根据条形图的直条，能估计数量之间的相差

关系或倍数关系。教材希望学生在这些认识的基础上，体会使用统计图是“有选择”

的，应根据数据的内容特点，以及需要表达的数据信息，选择适当的统计图。三个小

卡通的交流，代表学生分别说出了什么情况适合使用扇形图，什么情况适合使用折线

图，什么情况适合使用条形图。

配合例2的“练一练”采用三种统计图表示李大伯家的收入情况。条形图表示

“粮食”“养殖”“水果”“其他”四项收入各多少万元：扇形图表示“粮食”“养

殖”“水果”“其他”等四项收入各占总收入的百分匕折线图表示2002~2012年收

入的变化情况。提出四个问题，要求在学生回答问题以后，反思“分别观察了哪幅统

计图？”进一步体验各种统计图表达数据的特点。如果有可能，教学还可以作如下的

延伸：一是比较条形图和扇形图，它们都表示“粮食”“养殖”“水果”“其他”四

项收入的情况，但表示的方式不同，数据不同，从图中获取的信息既有一致的方面，

也有显著的区别。二是体验条形图里的数据，适合用折线图表示吗？从条形图里的四

个数据只表示“各多少”，不存在“变化”状态和趋势，得出不适合使用折线图的结

论。三是折线图里的数据可以用条形图表示吗？从折线图里有六个年份的收入数量，

体会也能采用条形图表示。但条形图不能像折线图这样清炮地表示出年收入的增加态

势。

三、精心编排练习题，突出统计活动能力的培养

统计教学的主要任务是培养数据意识和开展统计活动的能力，体会数据里面蕴含

着信息，逐步养成用数据描述、刻画客观事物和现象的思想。统计活动则包括数据的

采集、整理、呈现、分析和利用的全部过程。数据意识与活动能力的培养，应落实于

统计教材的每一道例题和每一道习题之中。数据意识和活动能力的初步形成，远远高

于各道例题、练习题的具体内容和方法。

外阅读习惯；最后拓宽研究课题，重新设计调查方案.开展新的统计活动。这道题可

以作为一个长作业，在课内或课外完成。

本单元最后安排的“动手做”，是以“反应速度”为内容的游戏活动，是用统计

思想方法解决问题的数据活动。编排这次动手做的目的，是要让学生积极、主动地参

与一次数据活动，获得对数据的新体验。教材有以下三点安排。

图文结合，讲述了游戏方法一一把长20厘米左右的直尺竖直按在墙上，“0”刻

度在下，食指按在“0”刻度处；突然松开食指，让直尺下落，然后迅速用食指按生下

落的直尺：食指按住刻度儿，表示直尺下落了几厘米，随时记录这个数据。教材一方

面设计了有兴趣的游戏，另一方面引导学生把注意力集中到数据上面。

组建小组，建议人数和次数一一4人一组进行活动，每人轮流做6次，根据记录的

数据，在方格纸上制作统计表或统计图。这样，小组内就可以比一比，看谁的反应速

度最快，而且有较充分的数据来表明各人反应速度的快慢。把这些数据用统计图表呈

现出来，能方便比较，容易看出小组内各人的反应速度。

提出课题，设计实验方案一一为比较男、女生的反应速度，讨论活动方案。如，

小组内的人数与性别如何安排？数据记录在怎样的表格里？每人做6次，用哪个数据

来比较？如果每组的男、女生都不是1人，男生用什么数据与女生比？这一段应该是

整个动手做的重点，讨论越充分，方案越成熟，游戏越顺利，对数据活动的体验就越

*富。

【第二单元圆柱和圆铢】

本单元在学生认识了圆，掌握了长方体和正方体的形状特征以及表面积与体积计

算方法的基础上编排，是小学数学最后教学的形体知识。

与长方体、正方体一样，圆柱和圆锥也是基本的几何形体，在日常生活和生产劳

动中经常能够看到这些形状的物体。教学圆柱和圆锥，能够扩大学生认识几何形体的

范围，丰富对形体的认识，有利于解决更多的实际问题。教学圆柱和圆锥，也能够丰

富学生认识几何形体的活动经验，深入理解体积的意义和常用的体积单位，有利于完

善认知结构，发展空间观念。教学圆柱和圆锥，还能够给学生提供探索表面积和体积

计算公式的机会，有利于转化能力和推理能力的进一步提高。全单元编排五道例题，

具体安排见下表：

例1圆柱、圆锥的形状特点

例2圆柱的侧面积

例3圆柱的表面积

例4圆柱的体积

例5圆锥的体积

从表格里可以看到，全单元的教学内容大致由三部分组成:认识圆柱和圆锥，了解

它们的形状特点；理解圆柱的侧面积与表面积的含义，计算圆柱侧面积和表面积的方

法；理解圆柱和圆锥体积的意义，计算圆柱和圆锥体积的公式。由于圆锥的表面展开

图是一个扇形和一个圆的组合，相对比较复杂，所以小学数学不教学扇形的面积，即

本单元不涉及圆锥的侧面积和表面积。

从表格里还能看到，教学圆柱和圆锥的内容编排，与教学长方体和正方体差不

多。这就使本单元的教学，可以充分利用以前教学长方体和正方体的方法与经验，提

高效率，让学生在各个方面都得到较好的锻炼。

（一）仔细观察、动手操作、充分交流，了解圆柱和圆锥的形状特点，建立相应

的形体概念

教材编排一道例题，先后教学圆柱和圆锥的形状特点。这样安排出于两个原因：

一是学习圆柱和圆锥的起点不同，二是认识圆柱和圆锥的难度不同。学生在第一学段

已经直观认识了圆柱，通过滚一滚、堆一堆、摸一摸等活动，对圆柱的形状有了一些

粗浅的感受。这是他们继续认识圆柱的起点，而学习圆锥就没有这样的台阶。相对于

认识圆柱来说，了解圆锥会稍难些。首先，圆柱有两个圆形底面，圆锥是一个底面、

一个顶点，感受圆柱侧面是曲面比较容易，感受圆锥测面是曲面稍难些。其次，圆柱

的高是它两个底面之间的距离，比较容易表示和测量。圆锥的高是它顶点到底面的距

离，表示或测量都要难些。可见，把认识圆柱和圆锥的教学适当分开，先圆柱、后圆

锥，是比较好的编排。像这样先“易”后“难”，先“熟”后“生”，有利于教学突

出重点。把圆柱的认识与圆锥的认识编排在一道例题里教学，也体现了它们既是不同

的几何体，也有内在联系。它们的联系，一是“都有圆形底面”，二是“圆锥体积是

等底等高圆柱的三分之一”。

教学圆柱，从识别圆柱形物体开始。因为日常生活中有许多圆柱形状的物体，学

生已有识别的能力。通过识别，不仅引出了学习内容，而且能体会学习圆柱的现实意

义。例题的图片里，有些物体是圆柱形的，有些物体是圆锥形的。圆柱形的物体中，

有的横放、有的竖摆；有的很高、有的很矮。这就为教学圆柱提供了丰富的感性材

料。

教学圆柱的形状特点，要引导学生观察、操作、交流，教师适时给出必要的注

解。因为圆柱的形状需要学生充分感知，有关圆柱特点的数学术语和规范表述不是他

们发现创造，而是意义接受的。三个小卡通的交流，代表学生通过观察、操作，获得

的有关圆柱的感性认识，也是圆柱的最主要特点。学生通常对圆柱“上下两个面是完

全相同的两个圆”“有一个曲面”这两点比较关注，对圆柱”上下一样粗”容易疏

忽，教学要注意这一点。在学生交流圆柱特征的过程中，教师可以相机指出圆柱上、

下两个面叫作圆柱的“底面”，围成圆柱的曲面叫作“侧面”；及时呈现圆柱的几何

图形，在图形上标出底面和侧面。这是帮助学生建立圆柱概念的重要步骤。教师还应

该告诉学生，圆柱两个底面之间的距离叫作高，并在圆柱的几何图形.上标出高，直观

表达高的数学含义。同时，也让学生想想测量圆柱高的方法。

以往，有些课堂上强调圆柱有“无数”条高。这出于可以在圆柱的侧面上或圆柱

的内部，可以任意选择位置表示出圆柱的高。其实圆柱的“高”是i个数学概念，指

的是圆柱两个底面之间的距离。人们可以在适当的位置上表示圆柱的高，在方便的位

置上测量圆柱的高。教学应该突出的是关于圆柱高的概念，关于圆柱图形上表示高的

方法，以及测量圆柱形物体的高的方法。没有必要在“几条”上纠缠不清，特别不能

造成概念的含糊。

教学圆锥，从圆锥形状的物体引入。由于学生首次接触圆锥，教材指着沙堆、屋

顶等图片，告诉他们“这些物体的形状都是圆锥体，简称圆锥”。认识圆锥的学习方

式与认识圆柱相似，也是一边观察、操作、交流，一边接受教师的讲解。要引导学生

把认识圆柱的学习活动经验迁移到认识圆锥上来，在观察圆锥形物体的基础上抽象出

圆锥的几何图形；在交流圆锥特征的过程中认识圆锥的顶点、底面和侧面。圆锥的高

是教学难点。因为圆锥的高是圆锥内部一条线段的长。教材图文结合，指出从圆锥的

顶点到底面的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出从顶点到底面圆心

的线段，郡助学生理解圆锥高的含义。教学圆锥的高.除了准确而精练的讲解，还要

给学生体会和内化的机会。可以让他们指着圆锥形实物或圆锥的几何图形，说说什么

是圆锥的高，并且想办法量出圆锥形物体的高。

例1的“练一练”提供了九个物体的图片，要求找出其中圆柱形状的物体和圆锥

形状的物体。教学这道题，不仅要让学生辨别哪些物体是、哪些物体不是，还要引导

他们说出理由。尤其对上口小、下底大的杯子，两个底面虽然相同但两底之间粗细不

同的鼓等等，指出它们不是圆柱或者不是圆锥的原因,以加强对圆柱和圆锥形状特点

的体验。

练习二第1、2、3题配合例1的教学。练习设计十分重视空间观念的培养，有很

强的操作性。尤其是第2题，要求从前面、右面、上面观察圆柱和圆锥，通过立体图

形与平面图形、曲面与平面的相应转化，加强对圆柱和圆锥特征的体验。特别是从正

面和侧面观察圆柱或观察圆锥，看到的图形相同；从上面观察圆锥，看到一个圆以及

它中心的一个点。能使头脑里的圆柱、圆锥表象更加清晰。第3题要求利用教科书附

页里的图形做一个圆柱和一个圆锥，体会圆柱的侧面是长方形卷成的，圆锥的侧面是

扇形卷成的，经历平面变成曲面的过程。同时，做出一个圆锥只要一个圆，做出一个

圆柱需要两个同样大小的圆，再次体会了圆柱和圆锥的特征。测量做出的圆柱和圆锥

的底面半径与高，可以再次巩固高的概念，也能为接下来教学表面积和体积作些准

备。

（二）展开圆柱的侧面与表面，探索侧面积与表面积的计算方法

圆柱是两个同样大小的圆和一个曲面围成的立体，它的表面积是侧面积与两个底

面积的总和。圆柱的侧面展开是什么形状？侧面积怎样计算？这些都是新知识。为

此，教材先安排例2教学圆柱的侧面积，再在例3里教学圆柱的表面积。

例2要求计算圆柱形罐头侧面的商标纸的面积。学生在这个问题情境里会产生把

商标纸剪开后看看、算算的想法，这正是教材期望的学习活动。例题的教学分三步安

排：第一步由“白菜”卡通指导学生“沿着接缝把商标纸剪开，展开后看看是什么形

状”，让他们通过这些操作，发现商标纸展开后是长方形，从而理解圆柱的侧面展开

图是一个长方形。教学这一步，要组织学生讨论“为什么沿着接缝剪？”弄明白沿着

其他地方剪也能把商标纸展开，但得到的不一定是长方形，计算长方形的面积比计算

其他图形的面积方便。还要组织学生讨论“商标纸的接缝相当于圆柱的H么？”弄明

白沿着接缝剪相当于沿着圆柱的一条高剪，而这样做才能使侧面展开成一个长方形。

第二步研究长方形的长与宽在圆柱上各是什么。因为计算长方形面积需要知道它的长

与宽，而在圆柱上只知道底面直径和高，必须沟通长方形的长、宽和圆柱的直径、高

之间的联系，为计算侧面积创造条件。教学这一步应该让学生明臼研究什么、为什么

研究，带着积极的心向去寻找联系。还要让学生面对长方形围成圆柱的侧面、圆柱侧

面展开成长方形的现象，理解长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。由

此得出圆柱的侧面积等于底面周长乘高。第三步列式计算商标纸的面积，即计算圆柱

的侧面积。这一步要求学生独立完成。教师要指导他们分步计算，先算出圆柱的底面

周长（侧面展开的长方形的长），再计算圆柱的侧面积。分步列式计算能减少错误，

比列综合算式方便。还要支持学生使用计算器，没有必要把大量的时间和精力放在繁

琐的乘法笔算上。教材还指出“（商标纸的面积）也可以这样计算：11九义15二165

r”，省略165X3.14的笔算，用165元作为最后的得数。这与中学数学是接轨的，会

受到教师和学生的欢迎。

例4教学圆柱的表面积，关键在于建立表面积的概念。只要理解“求表面积”就

是求什么，算法自然就产生了。而旦长方体与正方体表面积的概念和算法，对教学圆

柱表面积有支持作用。例题按如下的思路编写，大致分两步教学。第一步要求在方格

纸上画出一个圆柱的表面展开图。这个圆柱的几何图形上标出了底面直径2厘米、高2

厘米，要求学生看着圆柱图形和标注的底面直径与高，思考圆柱的侧面沿着高展开，

得到的长方形长和宽各是多少厘米，两个底面分别是多大的圆，并在方格纸上画出一

个长方形和两个圆，即这个圆柱的表面展开图。画出的图形能直观展示表面积的含

义：圆柱侧面积与两个底面积的和，是圆柱的表面积。这既是表面积的概念，也是计

算表面积的方法。和长方体、正方体的表面积计算一样，圆柱的表面积计算也不给出

公式，让学生在理解表面积意义的基础上推理算法，以避免记忆公式的负担。第二步

计算例题呈现的圆柱的表面积。由于计算圆柱侧面积的方法已在例2教学，计算两个

底面圆的面积是旧知识，学生应该能独立计算圆柱的表面积。教师仍然要提醒他们列

分步算式解答，通常先算出侧面积，再算出一个底面的面积，然后算侧面积与两个底

面积的和。学生如果用表示侧面积，用2元表示两个底面圆的面积，用6冗表示表

面积，应该加以肯定。

计算圆柱的侧面积或表面积，一般都已知圆柱的高，还要已知底面的直径（或者

半径、周长）。接着例3编排的“练一练”给出的底面条件有直径、有半径、也有周

长等各种情况，要帮助学生激活有关圆的知识和经验，并正确应用到计算圆柱的侧面

积和表面积上面。

练习二第4〜12题，应用圆柱侧面积和表面积知识解决实际问题。习题编排分三个

层次：第4、5两题的练习重点是把实际问题抽象成数学问题，求制作队鼓的铝皮面积

是计算圆柱的侧面积，求制作队鼓的羊皮面积是计算两个底面积的和，求做一个油桶

需要的铁皮是计算圆柱的表面积。第6题有整理知识和思路的作用。通过填表帮助学

生进一步区分圆柱的侧面积、底面积、表面积三个不同的概念和不同的算法；整理侧

面积、底面积与表面积之间的联系，使计算圆柱表面积的思路更加清楚。第6〜12题

要求灵活应用圆柱侧面积与表面积的知识解决问题，有时只需要计算侧面积，有时要

计算侧面积与一个底面积的和，有时是计算表面积。正确解答这些问题，需要仔细读

题，准确理解题意，还要有相应的生活常识和经验。如通风管是没有底面的圆柱形

筒，计算通风管所用的材料，是求圆柱侧面积的问题.无盖的水桶可以看成只有一个

底面的圆柱形，计算制作这样的水桶要用多少材料，是求圆柱侧面积和•个底面积的

和。

（三）通过猜想一一验证，探索圆柱和圆锥的体积计算公式

学生已经掌握了长方体和正方体的体积公式，而且知道它们的体积都可以用“底

面积X高”来计算。事实上，不仅是长方体与正方体，求各种直柱体的体积都可以用

“底面积X高”来计算，圆柱的体积也是这样。

例4教学圆柱的体积。教材先呈现了长方体、正方体和圆柱这三个立体图形，涂

色突出它们的底面，指出这三个几何体的底面积相等.高也相等。要求先猜想圆柱体

积与等底（面积）等高的长方体、正方体体积是不是相等，再通过把圆柱“等积变

形”证实猜想，推导出圆柱的体积计算公式。猜想与验证是人们解决问题经常采用的

策略。教材鼓励学生猜想并验证，调动他们的积极性，使圆柱体积的教学不是被动接

受，而是有意义的探索。

例题通过两个问题帮助学生形成猜想：第（1）个问题是图示的长方体和正方体体

积相等吗？为什么？引导学生回忆长方体和正方体的体积都可以用“底面积X高”的

方法计算，从长方体与正方体的底面积相等、高也相等，判断它们的体积相等。充分

体会长方体或正方体的体积与它们的底面积和高有关.把计算直柱体体积的心向调整

到“底面积X高”上面。第（2）个问题是猜想图示的圆柱体积会不会和长方体、正方

体的体积相等。从等底1面积）等高的长方体与正方体体积相等，类比推理等底（面

积）等高的圆柱与长方体体积也会相等，猜想圆柱的体积也可以用“底面积X高”来

计算。这就为探索圆柱的体积公式找到了方向。

猜想必须验证，这是科学精神、严谨态度的表现，类比推理的结论可能正确，也

可能错误，要经过验证才能确认或者否认。为了证实圆柱体积可以用“底面积X高”

计算，教材设计了三步活动：首先是形成验证思路，把圆柱转化成等底（面积）等

高，体积不变的长方体，并展示转化过程。转化思路的形成，借鉴了把圆转化成长方

形计算面积的经验。转化的要领是保持圆柱与长方体等底（面积）、等高、等（体）

积。学生可以看教材里的插图，明白怎样把圆柱切割与改拼。如果能亲自操作学具，

实践圆柱的等（体）积变形，就更好了。然后是渗透极限思想。把圆柱的底面平均分

成16份，切开后拼成的只是一个近似于长方体的物体。如果圆柱的底面平均分的吩数

越多，切开后拼成的物体越接近长方体。圆柱底面被平均分的份数足够多，就能转化

成等底（面积）、等高、等（体）积的长方体。最后是推导圆柱的体积计算公式。由

于圆柱与转化成的长方体体积相等，所以求圆柱的体积只要计算长方体的体积；由于

长方体体积可以用底面积乘高计算，而长方体的底面积与圆柱底面积相等，长方体的

高与圆柱的高相等，“底面积X高”计算的既是长方体的体积，也是圆柱的体积。山

此得出圆柱的体积计算公式：圆柱的体积=底面积X高。

必须注意的是，在得出圆柱体积计算公式以后，教材安排“回顾圆柱体积公式的

探索过程”，要求学生交流体会。“转化”是探索圆柱体积公式的策略，在寻求圆柱

体积计算方法的过程中，“转化成长方体”是关键。教学应通过回顾，突出转化策略

在这里的应用，联系实阮加强策略意识。另外，用“底面积X高”涵盖长方体、正方

体和圆柱的体积计算，有利于优化认知结构，这也应是回顾与反思的一个重要内容。

得出圆柱的体积公式以后，利用公式计算圆柱的体积就让学生独立进行了。“试

一试”和“练一练”分别已知圆柱的底面半径和高、底面直径和高、底面周长和高，

求圆柱的体积。与前面计算圆柱的表面积相似，计算体积也可以分步列式，先算出圆

柱的底面积，再计算体积。尤其是已知圆柱底面直径或周长时，分步计算体积能够减

少错误。

练习三配合例4的教学，设计了三个层次的习题，第1、2两题是一个层次，主要

帮助学生消化基础知识。计算圆柱体积的基本方法是底面积乘高，如果已知圆柱的底

面积，可以直接与高相乘；如果没有已知底面积，应该先算出底面积。第4〜9题是一

个层次，主要帮助学生应用体积知识解决实际问题。要注意的是，如果计算圆柱形物

体的体积，应该在物体外面测量有关的长度；如果计算圆柱形物体的容积，应该从物

体的里面测量需要的数据。其中第7题，把一张长5厘米、宽4厘米的长方形纸分别

绕其长或宽旋转，能形成两个不同的圆柱。先估计这两个圆柱的体积，指出哪一个

大，再计算它们的体积，验证前面的估计。教学这道题，要让学生体验“长方形绕其

长（宽）旋转，能形成长方体”的现象。如有必要，可以动手操作，实践一下。要识

别形成的圆柱的底面半径和高，把已知的长方形的长、宽转化成圆柱的有关数据。形

成的两个圆柱，一个的底面小一些、高一些，另一个的底面大一些、矮一些。估计哪

一个的体积比较大，其实是猜一猜哪个的体积大。猜对和猜错，都要通过计算体积来

验证。第10〜16题是一个层次，主要帮助学生综合应用圆柱表面积和体积的知识。要

整理表面积和体积的概念与算法，在求异的时候也要关注求同。求同往往能形成比较

_L位的认识，求异有助于区分下位的知识。以往的教学比较重视比“异”，疏忽比

“同”，这里说说求同。如长方体和圆柱的表面积都是它所有面的面积总和，计算表

面积要把各个面的面积相加；长方体和圆柱的体积都是它所占空间的大小，计算体积

都可用底面积乘高。再如计算长方体、圆柱的表面积或体积，都需要知道高和有关底

面的条件。底面周长乘高得到侧面积，底面积乘高得到体积……要辨别所解决的实际

问题与物体的表面积有关还是与体积有关，应用相应的知识去解答。要灵活应用体积

公式，在求物体的体积时，可以按公式列出算式；在三知物体的体积，求它的高（或

底面积）时，可以按公式列出方程。

练习三的后面是“匈手做”，要求测量土豆的体积。土豆的形状不规则，求它的

体积没有现成的计算公式。教材设计了利用圆柱形容器测量土豆体积的方法：先准备

材料一一圆柱形容器1个，土豆1个；讲解测量方法一一在容器里放适量的水，把土

豆浸没在水中，测量并记录相关的数据，算出土豆的体积。并且提供一张表格，提示

应该记录容器的底面积、放入土豆前的水面高度、放入土豆后的水面高度以及算出的

土豆体积。然后是测量与计算，一边操作一边思考应注意什么。如，容器底面积不能

直接量得，只能测量底面的半径、直径或周长。测量半径需要确定圆心，测量周长还

要计算直径，一般测量直径，既容易量，也便于算。又如，测量底面直径、水面高度

都要在容器里面进行，利用容器里面的数据，算出的才是水的体积、土豆的体积。教

学应在适当时候组织学生反思这次测量活动，体会其中的“转化”策略：把形状不规

则的土豆体积，转化成形状规则的圆柱体积，通过计算圆柱体积，得到土豆的体积。

例5教学圆锥的体积，教学思路也是先猜想再验证。教材首先出示底面积相等，

高也相等的圆柱和圆锥各一个，涂色表示它们的底面相等，用两条平行的虚线表示高

相等。要求学生估计这个圆锥的体积会是圆柱的几分之几，引导他们利用圆柱的体积

求圆锥的体积。这里的估计是形成一个猜想，如果等底（面积）等高的圆柱和圆锥的

体积之间存在确定的倍数关系，就可以利用圆柱的体积计算圆锥的体积。学生不一定

估计圆锥的体积是圆柱的三分之一。不过，这并不要紧，后面的实验会得出这个关

系。只要形成圆锥体积与等底（面积）等高圆柱体积有关的心向，就能支持后面的操

作验证。

例题把验证活动分成三步进行。第一步选择实验器具：等底等高的圆柱形和圆锥

形容器各一个。图示的方法里，把圆锥形容器放到圆柱形容器的上面，容易比出底面

积是否相等。把圆柱形容器和圆锥形容器靠近着放在同一桌面，，容易比出高是否相

等。第二步倒沙实验：在圆锥形容器里装满沙子，倒入圆柱形容器。从“3次正好倒

满”这个事实，证实圆柱形容器的容积是等底等高圆锥形容器的3倍，也就是圆锥形

容器的容积是等底等高圆柱形容器的"3。第三步推导圆锥的体积计算公式：如果不考

虑容器壁的厚度，圆锥容器里装满的沙子的体积可以看作圆锥的体积，圆柱容器生装

满的沙子的体积可以看作圆柱的体积。从实验的结果先得出等底等高圆锥和圆柱的体

积关系：圆锥的体积=圆柱的体积X1/3；再把圆柱的体积计算方法代入关系式，得出

圆锥体积计算公式：底面积X高X1/3。

教材很重视引导学生体验数学思想和积累数学活动经验，在得出圆锥体积公式以

后，要求他们回顾圆锥体积公式的探索过程。要让学生说说自己的体会。整理学生的

交流，应该突出两点：一是“转化”策略，圆锥体积可以转化成圆柱体积来计算，新

知识可以转化成旧知识来认识。二是实现转化可以通过猜想、验证来落实，猜想圆锥

体积与圆柱体积有关，并验证这种关系确实存在，就实现了圆锥体积到圆柱体积的转

化。

“练一练”加强对等底等高圆锥与圆柱的体积关系的把握。第1题先是已知圆柱

体积求等底等高的圆锥体积，再是已知圆锥体积求等底等高的圆柱体积，让学生充分

利用圆锥体积是等底等高圆柱体积的1/3,圆柱体积是圆锥的3倍这两个结论，加强对

这种关系的理解和把握。在此基础上完成第2题，学生求圆锥体积就不会忘记“X

1/3”了。

练习四第5题要求把等底等高的圆柱体积和圆锥体积相互转化，从已知的圆柱体

积得出相应的圆锥体积，从已知的圆锥体积得出相应的圆柱体积，继续加强对等底等

高圆柱和圆锥体积关系的理解。第6题根据图示的各个立体图形的底面直径与高，寻

找与圆锥体积相等的圆柱，其中的推理稍有难度。可以从圆锥体积是等底等高圆柱体

积的1/3,推理出体积相等的圆柱与圆锥，如果底面积相等，圆锥的高是圆柱的3倍圆

柱的高是圆锥的1/3；如果高相等，圆锥的底面积是圆柱的3倍圆柱的底面积是圆锥的

l/3o还要注意到，大圆的直径是小圆的3倍小圆直径是大圆的1/3,大圆的面积则是

小圆的9倍小圆的面积是大圆的1/91>

过去的教学告诉我们，这一单元的计算比较繁琐，学生经常会算错。对此提出三

点建议：一是营造良好的计算环境。每次作业的题量不宜过多，给学生的时间要充

分，心理压力小些能减少计算错误。二是较复杂的计算可以使用计算器。通常情况

是，三位数乘一位数、三位数乘两位数可以采用笔算，位数更多的乘法应该用计算器

算。没有必要让学生进行繁琐的四则运算，消耗时间和精力。三是指导简便运算。在

半径的长度数是5、15、25,高的长度数是2、4、8时，往往可以利用乘法运算律使计

算简便些。要善于发现、及时利用可以简便计算的机会。四是鼓励用含有五的式子作

为计算的最后结果。

（四）单元整理与练习里，加强“探索与实践”栏目的设计编排

本单元的整理与练习仍然按“回顾与整理”“练习与应用”“探索与实践”“评

价与反思”四个栏目编写。这里着重说说“探索与实践”栏目的习题。

第12题探索一个规律。有两个圆柱形容器，它们的高相等，底面半径的比是1：

2,问它们的体积比是几比几。这道题有培养推理能力的作用。学生中可能有两个水平

的推理：一种水平的推理比较具体，可以假设两个容器的高都是10厘米，一个容器的

底面半径1厘米，另一个容器的底面半径2厘米，就能算出这两个容器的体积分别是

10n立方厘米和40n立方厘米，由此得到它们的体积比是1：4。另一种水平的推理较

抽象，由于•两个容器的高相等，所以它们的体积比决定于它们底面积的比。两个容器

的底面半径的比为1:2,底面积的比应该是1：4,由此得到体积比是1：4。这道题在

教学正比例和反比例以后，还可以如下推理：圆柱体积/底面积:高（一定），圆柱体

积和底面积成正比例。底面半径乘2（除以2）,底面面积乘4（除以4）,体积也乘4

（除以4）。所以两个容器的体积比是1：4。要根据学生的年龄特征来选择如何推

理。对大多数学生而言，采用前一水平的推理比较适当，后一水平的推理，只会有少

数学生适应。

第1/3题是实践操作题。要求任选一个圆柱形饮料罐，计算它的容积。计算圆柱

容器的容积，需要哪些长度？如何测量这些长度？都有学生拿主张。算出的容积应该

比饮料罐商标纸上标出的“净含量”稍大一些，否则饮料罐里装的饮料不会达到净含

量。

第14题是制作实验题。要求选一张长方形纸，用它卷成两个大小不同的圆柱。其

中一个圆柱的底面周长是长方形纸的长，高是长方形纸的宽；另一个圆柱的底面周长

是长方形纸的宽，高是长方形纸的长。要回答的问题是“怎样卷，圆柱的体积比较

大？”解决这个问题可以假设长方形纸长10厘米、宽6厘米，一种卷法形成的圆柱体

积大约15.36JT（底面周长10厘米，半径1.6厘米，底面积2.56JT平方厘米）；另一

种卷法形成的圆柱体积大约10"（底面周长6厘米，半径1厘米，底面积n平方厘

米），怎样卷体积大就很清楚了。这道题能发展空间观念。学生识别长方形的长、宽

和圆柱的底面周长、高之间的对应关系，需要动手操作，用一张长方形纸卷一卷、看

一看。

【第三单元解决问题的策略】

从三年级上册起，每一册教科书里都教学一种策略，依次是分析量关系的“从条

件向问题推理”和“从问题向条件推理”，帮助理解题意的“列表整理”和“画图整

理”，还有“枚举”“转化”“假设与替换”等策略，本单元没有安排新的策略，只

是应用前面教学的策略，解决稍复杂的问题。目的是让学生进一步体会策略在解决新

颖问题、复杂问题时的作用，体会解决同一个问题的方法多样、策略灵活,体会各种

策略之间的相互配合、相互补充。全单元编排两道例题，具体安排见下表：

例1把陌生的问题转化成熟悉的问题，体会转化可以多样

例2通过假设和调整解决问题，体会假设与调整可以多样

心理学研究人们是怎样解决数学问题的，发现经常是“模式识别一一问题转化一

一模型还原”的过程。解题者在感知数学问题、理解题意时，经常会想“这是什么问

题？”通过辨别问题的类型，力求与自己头脑里储存的范例、模型发生某种联系，从

而利用已有的知识经验，很快找到解决问题的途径与方法。这就是所谓的“模式识

别”。有很多时候，解题者遇到的问题与头脑里储存的范例、模型很不一致，难以检

索到可以直接用来解题的思路与方法。面对陌生的、新颖的问题，需要把它适当转

化，使转化后的问题便于检索、能够解答。这就是所谓的“问题转化”，是十分重要

的解决问题策略。数学问题最终要利用检索到的数学模型来解决，转化后的问题的答

案是不是适合原来的问题，需要将解题的结果放到原诃题的情境中进行检验，作出确

认或否定。像这样把转化获得的数学模型还原到原来的问题情境中，就是所谓的“模

型还原”。

回顾前面的解决问题教学，学生在学习基本思路”条件向问题推理”“问题向条

件推理”时，解答过许多两步计算的实际问题：在学习列表整理、画图整理时，也解

答过一些两、三步计算的实际问题；在学习分数和百分数时，解答过大量的分数或百

分数实际问题。应该说，在他们的认知结构里储存了段多的问题范例，以及这些问题

的解法模型。他们在学习转化策略、假设策略时，初步体会了转化、假设的思想与方

法，还进行过一些转化或假设的活动。现在，可以通过“模式识别”顺利解决认识的

问题，可以通过“问题转化”解决不熟悉的问题，可以通过“模型还原”解题并检验

结果，他们解决问题的资源已经相当丰富。本单元让学生利用已有资源继续解决实际

问题，进一步提升思维水平，提高解决问题的能力。

教学解决问题的策略，一般有两大类内容：一类是传递新知识、新思想、新方

法，通过新的内容提高解决问题的能力。另一类是应用已有的解决问题的知识经验、

思想方法，加强对策略的体验和方法的领悟，从深刻性、灵活性、综合性上提高解决

问题的能力。本单元的编排，体现了后一类的策略教学。

（一）分析某个分数的意义，联系不同的知识，作出不同的推理，给出不同的解

法，体会策略和方法的多样性

例1已知美术组一共有35人，男生人数是女生的2/3,求美术组的男、女生各有

多少人。这是一个稍复杂的分数问题，大多数学生应该具有解决问题的经验和能力。

教材引导学牛.“根据题意分析数量关系，想一想可以怎样解答”。题目里只有两

个已知数量，分析数量关系的切入口应该是“男生人数是女生的2/3”。根据2/3这个

分数的意义，可以画线段图，看出男生人数是美术组总人数的2/5。原来的问题就转化

成美术组一共有35人，男生人数是总人数的2/5,女生人数是总人数的3/5,男生有

多少人？女生有多少人？这是简单的求一个数的几分之几是多少的问题。根据分数2/3

的意义，可以推理出“男生人数和女生人数的比是2：3”。原来问题就转化成美术组

一共有3/5人，男生与女生人数的比是2：3,男生、女生各有多少人？这是按比例分

配问题。学生很可能还有别的想法，如，根据分数2/3的意义，想到“女生人数看作3

份，男生人数是2份”，于是产生解题思路：先算出1份是几人，再算2份、3份各是

多少人。再如，把作为单位“1”的女生人数设为x,那么男生人数就是2/3x,利用美

术组一共35人，能够列方程解题……

“选择一种方法列式解答”是经过“问题转化”以后的“模式识别”。利用已有

的模型解决转化后的问题，也就是解答原来的问题。学生采用任何•种解法都可以，

但不是要求他们“一题多解”。

“检验”十分重要，应把得数放到原来的问题情境里检验是否正确。即看一看得

到的男、女生人数是不是一共35人，男生人数是不是相当于女生的2/3。如果得数能

够同时满足这两个条件，就是原来问题的答案。否则，就不是原来问题的答案。

教学解决问题的策略，目光不能局限在列式解答以及求出得数上面，要重视策略

的选择和使用。从大处讲，多数学生使用转化策略，把一个陌生的、较难的问题转化

成熟悉的、会解答的问题，他们选择了相I可的解决问题策略。从细处讲，根据“男生

人数是女生的2/3”展开的推理不尽相同：喜欢形象思维的学生可以画线段图，善于抽

象思维的学生可以多一些理性思考。学生之间，由于联系了不同的知识，对分数2/3

就有不同的理解与解释，解题的思路和方法也随之不同。他们在应用转化策略时各有

自己的主张。这就体现了转化策略在应用中既是广泛的，又是灵活的。教材要求学生

说说“你选择了什么策略，是怎样想的”，希望他们在交流中获得这些体验。所以，

组织学生交流，不能停留在怎样解答、算式怎样、结果对不对的上面，而要挖掘深层

次的思考，说出为什么转化、怎样转化、联系了什么知识、应用了什么方法……通过

相互理解利相互评价，体会方法的多样性。

还应该看到，解答例1时的转化，决定于对分数意义的理解与解释。如果概念准

确，概念系统完善，从分数意义出发的推理就严密、流畅，转化也就顺利、有效。反

之，如果分数概念模糊，分数和其他数学概念没有建立实质性联系，要想通过推理实

现问题的转化将是很难的。为此，练习五第1题安排了分数与比的转化练习，要求学

生根据示意图里的数量关系，写出分数，并转化成比。或者写出比，再转化成分数。

这道题可以看作沟通数学概念之间联系，组建概念系统的练习，有助于问题的转化。

教材提倡学生利用图形直观帮助联想，第2题根据已知的比或百分数，把线段图补充

完整，要求借助线段图，把稍复杂的问题转化成简单的问题，探索原来问题的解法。

在线段图上可以联想到的数学信息越多，思维就越开放，问题转化的思路会越开阔，

解决问题的资源也就越充分。

（二）解决同一个问题，提出几个不同的假设，采用几种不同的形式，体会策

略和方法的多样性

例2的问题情境是42人正好坐满10只船，求大船和小船各有几只。这个问题的

题意并不复杂，学生能够理解。但是，解法不容易想到，一般的分析数量关系的方法

派不上用场。教材问学生“解决这个问题，你准备用什么策略”，不要求说出解题思

路和算法，而是鼓励他们从一经学过的列表、画图、枚举、假设和转化策略里自主选

择解题方法。正像“辣椒”卡通的画图、“萝卜”卡通的列举、“番茄”卡通的假设

那样，每个学生都要有自己的选择，班集体里就会呈现策略多样化。

无论用哪种策略解决问题，大船和小船一共10只是不能改变的。“辣椒”卡通画

了10只大船，每只船上的5个圆表示坐5人，这些船上一共可以坐50人，比实际多

了8人。于是，从一只船上去掉2人，把这只大船换成小船；又从另一只船上去掉2

人，也用小船替换大船……像这样替换4次，6只大船和4只小船一共乘42人，得到

了问题的答案。“萝卜”卡通的想法是，租船方案可能是1只小船和9只大船、2只小

船和8只大船……哪一种方案刚好坐42人，就是问题的答案。于是把各种租船可能，

有次序地列举在一张表格里，分别计算每一种方案坐的人数，与42人比对，逐渐找到

问题的答案。“番茄”卡通假设大船利小船都是5只，算出这些船一共可以坐40人，

而40人比全班人数少2人，于是想办法调整大、小船的只数。只要学生有主动解决问

题的积极性，班级里一定会有更多的解题形式、更多的假设与验证。

提出的假设（或猜想）必须检验，看10只船上是不是正好坐42人。提出的第一

个假设往往不是问题的答案，船上的总人数不是比42人多，就是比42人少，需要调

整大、小船的只数。教材把替换留给学生进行，一方面培养检验假设的意识，另一方

面体会替换的方向与方法。如果10只船上的总人数比42人多，表明大船多了、小船

少了，要用小船替换大船；如果10只船上的总人数比42人少，表明大船少了、小船

多了，要用大船替换小船。替换时，可以一只一只地调整，用1只小船替换1只大

船，或者用1只大船替换1只小船，并且及时检验，逐步逼近正确的结果。也可以一

下子用2只或几只小船（大船）替换2只或几只大船（小船），加快调整的速度。如

果假设的大、小船上乘坐的人数接近42人，可以一只一只地调整；如果假设的船上人

数与42人相差较大，可以每儿只一调。

解答例2采用的策略具有多样性、灵活性和综合性。多样性表现为解决同一个问

题，有人画图、有人列表，有人枚举、有人猜想……都能形成思路；灵活性表现为可

以有不同的假设起点，就像假设10只大船、假设1只小船和9只大船、假设5只小船

和5只大船……还可以提出其他的假设，都能通过适当的调整得到正确的结果。综合

性表现为解题以假设策略为主，还需要其他策略的配合。把假设策略用画图形式表

现，便于直观地进行调整；把假设策略用列表形式表现，能看清检验与调整的过程，

更便于寻找正确答案。

例2没有列式计算，主要是两个原因：一是解决句题未必都要列式计算，画图和

列表也是解题的方法和形式。教学应该鼓励解题形式多样，发展学生的个性和创造

性。二是解答这道题的算式比较难列，算式蕴含的算理比较复杂。如果列式计算，不

仅增加了教学的困难，还会削弱替换活动，伤害学生的学习积极性。

【探索规律面积的变化】

学生在《比例》这个单元里，初步知道图形放大或缩小时，形状没有改变，所有

边的长度都按相同的比变化。事实上，图形放大，它的面积变大了：图形缩小，它的

面积变小了。本次探索规律，专题研究图形放大后，它的面积是怎样变化的。通过图

形放大，它面积变化的倍数和边长变化的倍数不同，进一步加强图形放大的概念。也

为计算放大后图形的面积，找到一种方便的算法。

教材分四段编写：提出问题一一探索实践一一总结规律一一回顾反思。

（-）提出问题这一段，重点引导学生弄清要研究什么

教材先呈现一个小长方形和按比例放大后的大长方形，通过测量得到小长方形的

长3厘米、宽1厘米，大长方形的长9厘米、宽3厘米。分别写出大长方形与小长方

形长的比和宽的比，得出小长方形是按3：1的比放大的。接着要求估计大长方形和小

长方形面积的比是几比几，并分别算出两个长方形的面积，验证估计是否正确。学生

观察大、小两个长方形，能够看出大长方形有9个小长方形那么大，估计它们的面积

比是9：1。如果利用两个长方形的长和宽，算出它们的面积，也能得到大、小长方形

的面积比是9：1。于是发现一个现象：长方形按3：1的比放大，放大后长方形每条边

的长度是原来长方形的3倍，面积却是原来长方形的9倍。简单些说，长方形按比例

放大，边长变化的比和面积变化的比不同。由此联想“其他平面图形放大，面积的比

乂会怎样呢？”这就形成了新的研究课题。这一段教材组织学生联系熟悉的知识，开

展熟悉的活动，从中发现和提出新的数学问题，接受和理解新的学习任务，以积极的

心态参与探索规律的活匆。

（二）探索实践这一段，研究不同的平面图形按不同的比放大，放大后的面积

是原来图形的几倍

像这样的举例研究是小学生能够进行的。如果研究的实例有较大的覆盖面，得出

的结论会有较强的说服力。为此，教材呈现了正方形按3：1放大、三角形按2：1放

大、圆按4：1放大的过程，选择了三种不同的图形、三个不同的比，具有一定的，弋表

性。让学生测量各个图形放大后与放大前有关对应边的长度，说出图形是按几比几放

大的；算出各个图形放大后的面积和放大前的面积，得出放大后与放大前图形面积的

比；把量出的长度，算出的面积、得出的比都填入教材的表格里，发现每个图形放大

后与放大前的长度比不等于面积比，但却是有联系的两种比。

只要测量与计算不发生意外，能够得到正方形放大后与放大前的边长比3：1,面

积比9：1；三角形放大后与放大前底（高）的长度比2：1,面积比4：1；圆放大后与

放大前半径的长度比4：1,面积比16：1。这些实例证实了平面图形按比例放大，放

大后与放大前的面积比和对应边的长度比是不一样的。这一段教材组织学生看图形、

量长度、算面积、写出比，给了他们很大的活动空间,有利于他们用丰富的现实材料

感受图形放大前、后面积的变化情况。

（三）在总结规律这一段，要做三件事情：说说自己发现的规律，用含有字母

的比表达面积的变化规律，放大平行四边形验证规律

表达图形面积的变化规律，需要对各种图形按不同的比放大，面积也随着变化的

现象进行概括，把共同的特征用一种简便的形式表示出来。寻找面积变化的共同点，

应比较每个图形放大后与放大前边长和面积的变化，看到正方形的边长按3：1变化、

面积按9：1变化，三角形的底（高）按2：1变化、面积按4：1变化，圆的半径必

4：1变化、面积按16：1变化。不难发现，面积变化的倍数是边长变化倍数的平方。

这就是图形放大，面积随之变化规律。表达规律有多种形式，可以像“萝卜”卡通那

样，列举“长度比是2：1,面积比是4：1；长度比是3：1,面积比是9：1；长度比

是4：1,面积比是16：1……”可以像“辣椒”卡通那样，用比较概括的语言讲述规

律“（长度比和面积比）两个比的后项都是1,面积比的前项是长度比前项的平方。”

如果用含有字母的比n：l（n是大于1的自然数，下同）表示图形的放大，那么放大

后与放大前图形的面积比是n2：1。这也是一种表示形式。教材鼓励学生先用自己的话

说说规律，加深对规律的认识，再用含有字母的比表示规律，提升数学化程度，发展

符号意识。

从正方形、三角形、圆放大的实际例子中发现面积的变化规律，进行的是归纳推

理。教材要求学生用平行四边形验证面积变化的规律,丰富对规律的感知，充实对规

律的信心。可以引导他们在方格纸上任意画一个平行四边形，并把它按比例放大；分

别测量放大后与放大前平行四边形的底和高，算出放大后与放大前平行四边形的面

积；分别组成放大后与放大前的长度比和面枳比，观察面积比与长度比之间是不是存

在上面概括的规律。这些活动在前面已多次进行，学生有能力独立完成。想办法验证

发现的规律，是探索规律过程中的重要一步，是科学精神、严谨态度的具体表现，应

该得到重视和落实。

（四）回顾探索规律的过程与方法，积累数学活动经验

可以组织学生说说发现了什么规律，是怎样发现的：列举了哪些例子，想想还能

举出其他例子吗；长方体、正方体是否能按比例放大，体积比和长度比之间是否也有

规律等等，只要帮助他们打开话题，应该有许多话要说。

【第四单元比例】

本单元的教学内容是：图形的放大与缩小，比例的意义与性质。两个内容分别属

于两个知识领域，前者是图形与几何的内容，后者是数与代数的内容。在一个单元里

同时教学两个领域的知识，这样的教材很少遇到。本单元把图形的放大与缩小、比例

的意义与性质结合起来教学，是因为这两个内容能够互相利用、互相支持。图形放大

或缩小的过程中，大小变了，但形状与结构都保持不变，比例能够准确地揭示图形放

大或缩小的本质特征，帮助学生建立图形放大与缩小的正确概念。比例是表示两个比

相等的式子，这个相当拍象的数学概念和图形的放大或缩小联系起来，就有了具体的

含义，图形的放大、缩小有助于学生形成比例的概念，全单元编排七道例题，具体安

排见下表：

例1、例2图形放大与缩小的含义在方格纸上把图形放大或缩小

例3比例的意义

例4比例的性质

例5解比例

例6、例7比例尺的意义比例尺的实际应用

从表格里可以看到，图形放大与缩小、比例的意义，这两个知识的教学靠得很

近，能充分发挥它们互相利用、互相支持的作用。把二匕例的性质和解比例结合起来教

学，能及时应用比例的基本性质，并且解决有关的实际问题。把比例尺及其应用编排

在本单元教学，是因为它和图形的放大与缩小有联系，和比例也有联系。如果把一片

地面看作一个图形，那么从地面到它的平面图相当于图形的缩小，从平面图到它对应

的地面相当于图形的放大。

比例的意义和性质一直是小学数学的重要内容，已经积累了许多教学经验。图形

的放大与缩小是本世纪进入小学数学的内容，它的教学方法需要教材和教师共同创

新。

（-）选择有利于形成正确概念的实例，教学图形放大与缩小

数学里图形放大与缩小的含义，和生活中的放大、缩小不是完全相同的。生活中

往往把图形由小变大视作放大，由大变小视作缩小。数学里的图形放大与缩小，它的

每一条边都按相同的比变化，即所有边的长度都放大到原来的几倍或者缩小到原来的

几分之一。所以，教学图形的放大与缩小，必须选择数学含义鲜明的素材，使学生形

成正确的、图形放大与缩小的概念。

例1教学图形放大、缩小的含义，呈现在电脑上放大长方形图片的现象。给出的

第一幅照片是放大前的长方形（长8厘米、宽5厘米），第二幅照片是放大后的长方

形（长16厘米、宽10厘米）。先利用给出的数据，分别研究长方形放大后与放大前

长的关系、宽的关系，从“倍”的角度和“比”的角度，描述图形的变化。然后联系

长方形放大的事实，揭示图形放大的含义。教材依次济了三句话：第一句是“长方形

的每条边放大到原来的2倍”，这是对长放大到原来的2倍，宽也放大到原来2倍的

概括。第二句是“放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2：1”，用比描述图

形放大时边的长度变化。这里把放大前、后两个长方形的长称为对应边，宽也称为对

应边，必须把放大后图形的边的长度作为比的前项，原来图形的边的长度作为比的后

项。第三句是“把原来的长方形按2：1放大”，让学生体会由于放大后与放大前两个

长方形对应边的长度关系是2：1,因而把这样的图形放大说成2：1,示范了规范表达

图形放大的语言。从教材讲述长方形放大的数学含义，可以看到概念的关键是图形变

化后与变化前对应边的长度比。所以，安排学生研究两张照片的“长有什么关系”

“宽有什么关系”时，要提示他们说出第二张照片的长和宽分别是第一张照片的儿

倍，写出笫二张照片和第一张照片长的比、宽的比。不要鼓励学生把笫一张照片的长

度和第二张照片比，以免对新概念产生干扰。

关于图形缩小的概念，在初步认识图形放大的基础上，引导学生进行迁移，主动

体会图形缩小的含义。通过回答“豆荚”卡通的问题“如果要把原来的图形按1：2缩

小，长和宽应该是原来的几分之几？各是多少厘米？”，理解图形按1：2缩小，缩小

后长方形的长是原来长方形长的1/2,缩小后长方形的宽也是原来长方形宽的1/2;初

步形成图形缩小的概念。

例题先教学图形放大的含义，再教学图形缩小的含义。课堂上还要把图形的放大

与缩小综合起来，帮助学生形成完整的图形变化的认识。可以让他们比一比，图形按

2：1放大和图形按1:2缩小的含义，理解图形放大与图形缩小在概念上的不同。可以

让他们比一比，表示图形放大的2：1和表示图形缩小的1：2,理解两个比的前项都是

变化后图形的长度，后项都是变化前图形的长度。比的前项大于后项，表示图形放

大；比的前项小于后项，表示图形缩小。

图形放大或缩小，必须是每一条边的长度都按相同的比变化。练习六第1题为加

强图形放大、缩小的概念而设计。方格纸上的图形①长6格、宽2格，图形②长3

格、宽2格，图形②的长和图形①的长的比是1：2,宽的比是1：1,两个比不相同，

图形②不是图形①缩小后的图形。图形③长3格、宽1格，图形③的长和图形①的长

的比是1：2,宽的比也是1：2,图形③是图形①缩小后的图形。同样的原因，图形④

不是图形①缩小后的图形。图形⑤的长9格、宽3格，图形⑤的长和图形①的长的比

是3：2,宽的比也是3：2,图形⑤是图形①放大后的图形。

（二）画出一个图形放大或缩小后的图形，进一步体会图形放