2025高考数学专项讲义第04讲导数与函数的极值、最值(学生版+解析)

第04讲导数与函数的极值、最值

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第10题,6分求已知函数的极值点利用导数求函数的单调区间

利用导数研究具体函数单调性

函数对称性的应用

2024年新II卷，第11题,6分极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

判断零点所在的区间

求在曲线上一点处的切线方程

2024年新H卷，第16题,15分根据极值求参数

利用导数研究含参函数单调性

2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析函数的性质、奇偶性的定义与判断

基本（均值）不等式的应用、求平面轨迹

2023年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（不含参）

方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长

2023年新II卷，第11题,5分根据极值求参数根据二次函数零点的分布求参数的范闹

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年新R卷，第22题,12分根据极值点求参数利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

锥体体积的有关计算球的体积的有关计算

2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值（不含参）

多面体与球体内切外接问题

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

2022年新1卷,第10题,5分求已知函数的极值点

利用导数研究函数的零点

2022年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（含参）利用导数研究方程的根

2021年新I卷，第15题,5分由导数求函的最值（不含参）无

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分

【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值

3体会导数与极大(，.、)值、最大(小)值的关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的

极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习

知识讲解

1.函数的极值与导数

⑴函数的极小值与极小值点

若函数/(用在点x处的函数值/S)比它在点工二。附近其他点的函数值都小，=0,

而且在点工二。附近的左侧右侧/''(x)>0,则点。叫做函数的极小值点，/⑷叫做函

数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数.ZU)在点x=b处的函数值次6)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f(b)=0,

而且在点x=b附近的左侧/V)>0,右侧/'(X)<0,则点b叫做函数的极大值点，/S)叫做函

数的极大值.

(3)极值与导数的关系

/⑴是极值点n/'(x)=0

外幻=0»/&)是极值点，即：/'(x)=0是/'(外为极值点的必要非充分条件

2.函数的最值与导数

(1)函数人工)在口，可上有最值的条件

如果在区间口，句上函数y=/«的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

值.

(2)求y=/(x)在［明切上的最大(小)值的步骤

①求函数y=/(x)在(%b)内的极值；

②将函数y=/U)的各极值与端点处的函数值火。)，人份比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值.

考点一、求函数的极值或极值点

典例乳领

1.(2024・全国•高考真题)已知函数f(x)=(l-ov)ln(l+x)-x.

⑴当〃=-2时，求/(力的极值；

(2)当工之0时，〃x)20,求。的取值范围.

2.(2023•北京•高考真题)设函数/(x)=x-通。*，曲线片/(工)在点QJ⑴)处的切线方程为y=-x+i.

⑴求〃,方的值；

(2)设函数g(x)=/'(%),求股x)的单调区间;

⑶求/(X)的极值点个数.

3.(2021・天津•高考真题)已知〃>0,函数f(x)=or-M.

(I)求曲线V=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程:

(II)证明/G)存在唯一的极值点

(III)若存在〃，使得“外<〃+人对任意xcR成立，求实数人的取值范围.

1.(2024•湖南长沙•三模)已知函数/(力=工+1”洲+’.武(0<0).

a

⑴求函数/(X)的极值;

⑵若集合有且只有一个元素，求。的值.

2.(2024浙江温州•三模〉设函数/(》)=川!3-2/的导函数为g(x).

6

⑴求函数g(x)的单调区间和极值；

(2)证明：函数/")存在唯一的极大值点而，且

(参考数据：In2才0.6931)

3.(2024・陕西商洛•模拟预测)已知函数/(x)=xh"x-lnx+l的导函数为/'(x).

⑴证明：函数/(》)有且只有一个极值点；

(2)若矿⑴-3-〃ac，恒成立，求实数〃?的取值范围.

C3

考点二、根据函数极值或极值点求参数值或范■U

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)已知函数/(x)=e'-ax-/.

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)若/(X)有极小值，且极小值小于0,求。的取值范围.

2.(2023・全国•高考真题)(1)证明：当0<x<l时，x-x2<sinx<x;

(2)已知函数/(x)=cosat-ln(l-x2),若x=0是/(x)的极大值点，求a的取值范围.

3.(2023•全国•高考真题)己知函数/(x)=(：+a)ln(l+x).

⑴当a=-1时，求曲线y=/(x)在点(1J⑴)处的切线方程；

⑵是否存在a，b,使得曲线y=/(g)关于直线x=b对称，若存在，求a,6的值，若不存在，说明理由.

⑶若/(X)在(0,+句存在极值，求。的取值范围.

4.(2021•全国•高考真题)设函数/(x)=ln(a-x),已知x=0是函数j二干八工)的极值点.

(1)求4：

(2)设函数g(x)=x\(?.证明：g(x)vl.

xf(x)

1.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数。(x)=2/+3/—⑵+加(〃?eR)的一个极值为-2.

⑴求实数用的值；

(2)若函数在区间呜上的最大值为18,求实数々与，〃的值.

2.(2024・重庆•模拟预测)已知/(x)=e、aln(17)

⑴若/(-V)在X=0处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)若〃x)存在极值点，求〃的取值范围.

3.(2023•湖南郴州•一模)已知函数/(x)=21nx+；&-(2a+l)x.

⑴若曲线y=/(x)在(1J⑴)处切线与x轴平行，求。；

(2)若/(》)在x=2处取得极大值，求a的取值范围.

2t

4.(2024•山东泰安・模拟预测)已知函数/(xhf,g(x)=—+Zlnx.

fx

⑴求函数g(x)单调区间；

⑵若函数”")=/(x)-g(x)在(0,2)有两个极值点，求实数，的取值范围.

考点三、利用导数求函数最值

典例引领

1.（2024•安徽•三模）己知函数/⑺=2（x-l）e'-a/.

⑴求曲线y=/（x）在x=0处的切线方程；

（2）若〃=e2,求函数/（X）在［1,3］上的最值.

2.（2024・广东东莞•模拟预测）已知函数=a）x-alnx（qeR）.

⑴求函数/（X）的单调区间；

（2）当。＞0时，求函数/（X）在区间［1,同上的最大值.

1.（2024•山东泰安三模）已知函数/（x）=x。一笥

⑴i寸论/'⑴的最值：

（2）若。=1,且/（x）W竺二，求上的取值范围.

X

2.（2024•山西晋中•模拟预测）已知函数/（x）=lnx+sinx+si咔.

⑴求函数〃力在区间［Le］上的最小值;

⑵判断函数〃x）的零点个数，并证明.

3.（2021・北京•高考真题）已知函数/（x）==2.

尸+a

（1）若”0,求曲线J=/（x）在点（1,/⑴）处的切线方程：

（2）若/（X）在尸-1处取得极值，求/（X）的单调区间，以及其最大值与最小值.

考点四、由函数最值求参数值或范

典例引领

1.（2022•全国•高考真题）已知函数/（x）=e、-ox,和g"）="-hx有相同的最小值.

⑴求。；

（2）证明：存在直线歹二心其与两条曲线卜二/（幻和卜=8&）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交

点的横坐标成等差数列.

2.（2024・海南•模拟预测）已知函数/（力=》2-Hnx+l,〃eR.

⑴当4=1时，求曲线y=/W在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)当。>0时，若函数/(X)有最小值2,求。的值.

3(2024・四川•模拟预测)已知函数/("=北-2atm>0).

⑴若函数/W在x=l处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为求。的值；

⑵若函数/W的最小值为-e,求4的值.

1.(2024•湖北武汉•模拟预测)己知函数/(x)=&%x>0).

⑴求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数/(x)有最大值9求实数。的值.

2.(2024•陕西西安•一模)已知函数/(x)=e'-%3->20r.

⑴若/(x)在［0,xo)上单调递增，求。的取值范围；

(2)若。=/(%)的最小值为1,求

3.(2024高三下•全国•专题练习)已知函数/(x)=；(ln"-a4.

⑴若/")在(。,+8)上单调递减，求实数。的取值范围；

(2)若/(x)的最小值为6,求实数。的值.

4.(2024,全国•模拟预测)已知函数/(力哈和函数g(x)=臂有相同的最大值.

⑴求a的值：

⑵设集合力={x|/(x)=b},8={x|g(x)=〃}(人为常数).证明：存在实数A使得集合力U8中有且仅有3

个元素.

考点五、选填小题中极值的应用与求解

典例同领

1.(2022•全国•高考真题)函数/(x)=cosx+(x+l)sinx+l在区间［0,2可的最小值、最大值分别为()

兀兀3兀兀兀兀〜3兀兀c

A.—,-B.------,-C.—,—F2D.-------,—F2

22222222

2.(2021•全国•高考真题)设。工0,若。为函数的极大值点，则()

A.a<bB.a>bC.ab<a~D.ab>a2

3.(2024・全国•高考真题)(多选)设函数/(外=2%3_3#+1,则()

A.当时，/(x)有三个零点

B.当。<0时，x=0是的极大值点

C.存在a,b,使得x=b为曲线y=/(x)的对称轴

D.存在〃，使得点(1J⑴)为曲线y=/(x)的对称中心

4.(2022•全国•高考真题)已知》=再和不二/分别是函数/(x)=21—ex2(。>0且awl)的极小值点和极

大值点.若则。的取值范围是.

1.(2021•全国•高考真题)函数/(x)=|2x-l|-21nx的最小值为.

Az»

2.(2023•全国•高考真题)(多选)若函数/("=41g+-+=(400)既有极大值也有极小值，则().

X-X

A.bc>0B.ah>0C.b2+Sac>0D.ac<0

3.(2024•全国•高考真题)(多选)设函数/(外=(X-1)2(X-4),则()

A.x=3是/(x)的极小值点B.当0cx<1时，/(x)</(x2)

C.当l<x<2时，-4</(2x-l)<0D.当一l<x<0时，/(2-x)>/(A)

4.(2022•全国•高考真题)(多选)已知函数/(x)=f-x+1,则()

A./*)有两个极值点B./(x)有三个零点

C.点(0,1)是曲线的对称中心D.直线y=2x是曲线y=/'(x)的切线

代.好题冲关•

一、单选题

L(2024•河北承德•二模)设。为实数，若函数/(》)=；/一。/+3在工=1处取得极小值，则。=()

A.1B.yC.0D.-1

2.(2024・重庆•模拟预测)若函数x+alnx有极值，则实数。的取值范围是()

二、多选题

3.(2024・辽宁•模拟预测)已知函数/(')=-三，则下列说法正确的是()

C

A./(x)的极值点为fl,-，

\e)

B./(x)的极值点为1

C.直线y=是曲线歹=/(x)的一条切线

ee

D./(x)有两个零点

三、填空题

4.(2024•安徽•二模)已知函数/(x)=(x-l)sinx+(x+l)cosx,当x目0,可时/("的最大值与最小值的和

为•

四、解答题

5.(2024・陕西铜川•模拟预测)已知函数/(x)=ln(2x+l)-4"+(〃-2)X(〃€R).

⑴当a=0时，求/")的最大值；

⑵若g(x)=/(x)+3ae'对定义域内任意实数》都有g(x)K0,求。的取值范围.

6.(2024•山东潍坊•二模)已知函数/(x)=(x-l)e、-哀+"曲线尸/⑴在点(以⑴)处的切线方程为

y=(e-2)x+3-e.

⑴求实数。，6的值；

(2)求/(x)的单调区间和极值.

7.(23-24高二下•广东佛山•阶段练习)已知函数/(%)=(/—2x+4)e\“wR.

⑴若4=1,求函数/J)在xe[0,3]上的最大值和最小值；

(2)讨论函数/*)的单调性.

8.(2024•河南•三模)已知函数〃x)="Tnx,且/(x)在x=l处的切线方程是x-y+b=0.

⑴求实数。，b的值；

⑵求函数〃x)的单调区间和极值.

9.(2022高三上•河南•专题练习)已知函数/(x)=xe、-加/

⑴求曲线y=/(x)在(0J(0))处的切线方程：

(2)若函数g(x)=/(x)-d在x=0处取到极小值，求实数w的取值范围.

10.(2024•重庆・模拟预测)已知函数/("=/一5x+alnx在x=2时取得极值.

(1)求实数。；

(\\

(2)若XG-,4,求/(X)的单调区间和极值.

一、单选题

1.(2024•福建泉州•一模)已知王为，是函数/(x)=(x-l)3-x两个极值点，则()

A.苟+当=一2B.x,+x2=1C./(X,)+/(X2)=-2D./(^)+/(x2)=2

2.(2024・广东深圳•模拟预测)已知函数/(x)="s3：co.)+x在(0㈤上恰有两个极值点,则实数。的取

值范围是()

二、多选题

3.(2024・全国•模拟预测)设函数/(x)=x，-3hu,记/(x)的极小值点为々，极大值点为巧,则()

X

A.xA+x2=3B.x］<x2

C./(x)在(s,xj上单调递减D./(xj+/(x2)=-31n2

4.(2024・重庆•三模)若函数/(6二。1取-2/+云既有极小值又有极大值，则()

A.ab<0B.a<0C.b2+\6a>0D.\a-b\<4

三、填空题

S.(2024•新疆喀什•三模)已知函数/(力=喈和8(》)=4五一》)(6>0)有相同的最大值.则的

最小值为.

四、解答题

6.(2024•广东茂名•二模)己知函数/(x)=e'sinx-ov.

⑴若曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程为x+y=0,求实数”的值；

⑵若〃=|，求函数〃力在区间［呜］上的最大值.

7.(2024•河南开封•三模)已知函数/(力=/-31nx,广(x)为/卜)的导函数.

⑴求曲线V=/'(')在点(1J⑴)处的切线方程；

9

⑵求函数8")=/(力-/''(')-:的单调区间和极值.

8.(2024•陕西西安•模拟预测)已知函数/(x)=oxTnx-a,若/(x)的最小值为0,

⑴求。的值；

(2)若g(x)=M(x),证明:g(x)存在唯一的极大值点.％,且g(xo)<:.

9.(2024・福建泉州•一模)设函数/(x)=QX-"lnx.

⑴讨论的单调性；

(2)当。>0时，若g(x)=M\x)—的值域为。内)，证明：2—〃=ln2—Ino.

10.(2024•青海西宁•模拟预测)已知函数/(工)=/+。工1世-工

⑴当”=1时，求“X)的零点；

⑵若/")恰有两个极值点，求。的取值范围.

1.(2023•全国•高考真题)(多选)已知函数/(x)的定义域为R,/(xy)=)，2/(x)+//(y),则().

A./(0)=0B./(1)=0

C./(x)是偶函数D.x=0为/(X)的极小值点

2.(2022•全国•高考真题)已知函数/G)=G-L-(a+l)lnx.

x

⑴当。=0时，求/*)的最大值；

⑵若八外恰有一个零点，求。的取值范围.

3.(2020・北京•高考真题)已知函数〃幻=12-真.

(I)求曲线y=/(x)的斜率等于-2的切线方程；

(II)设曲线>=/(人)在点0JS)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为面。,求s”)的最小值.

4.(2019•全国•高考真题)已知函数/(x)=(x-l)lnx-x-l.证明:

(1)/3)存在唯一的极值点；

(2)〃x)=0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.

5.(2019•江苏•高考真题)设函数/(x)=(x-4)(x-b)(x-c),a/,cwR,/⑴为/(x)的导函数.

(1)若a=b=c,/(4)=8,求a的值；

(2)若mb,b=c,且/(x)和"x)的零点均在集合｛-3,1,3｝中，求/(x)的极小值；

(3)若a=0,0<&.l,c=1,且/(x)的极大值为"，求证:近；

6.(2018•全国•高考真题)已知函数/(x)=2sinx+sin2x,则/(x)的最小值是.

7.(2018・全国•高考真题)已知函数/⑺:0+工+^^加卜不卜入.

(1)若a=0,证明：当T<x<。时，/(X)<0；当x>0时，/(工)>0；

(2)若x=0是/(工)的极大值点，求。.

8.(2018•北京•高考真题)设函数〃%)=卬2―(34+1)工+3°+2-.

(I)若曲线N=/(x)在点(2,/(2))处的切线斜率为0,求〃；

(II)若/。)在x=l处取得极小值，求a的取值范围.

9.12018•江苏•高考真题)若函数〃到=2/—加+在(0,+oo)内有且只有一个零点，则f(x)在［-1/

上的最大值与最小值的和为.

10.(2017•山东•高考真题)已知函数/(x)=/+2cosx,g(A-)=ev(cosx-sinx+2r-2),其中e=2.71828…

是日然对数的底数.

(I)求曲线歹=/("在点(乃J3))处的切线方程；

(II)令Mx)=g(x2(x)("R),讨论力(力的单调性并判断有无极值,有极值时求出极

第04讲导数与函数的极值、最值

（5类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新1卷，第10题,6分求已知函数的极值点利用导数求函数的单调区间

利用导数研究具体函数单调性

函数对称性的应用

2024年新D卷,第11题,6分极值与最值的综合应用

利用导数研究函数的零点

判断零点所在的区间

求在曲线上一点处的切线方程

2024年新H卷，第16题,15分根据极值求参数

利用导数研究含参函数单调性

2023年新I卷，第11题,5分函数极值点的辨析函数的性质、奇偶性的定义与判断

基本（均值）不等式的应用、求平面轨迹

2023年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（不含参）

方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长

2023年新U卷，第11题,5分根据极值求参数根据二次函数零点的分布求参数的范围

利用导数求函数的单调区间（不含参）

2023年新H卷，第22题,12分根据极值点求参数利用导数研究不等式恒成立问题

利用导数研究函数的零点

锥体体积的有关计算球的体积的有关计算

2022年新I卷，第8题,5分由导数求函数的最值（不含参）

多面体与球体内切外接问题

求在曲线上一点处的切线方程（斜率）

2022年新1卷，第10题,5分求已知函数的极值点

利用导数研究函数的零点

2022年新I卷，第22题,12分由导数求函数的最值（含参）利用导数研究方程的根

2021年新1卷，第15题,5分由导数求函的最值（不含参）无

2.命题规律及备考策略

［命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-13-15分

【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件

2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值

3体会导数与极大（个）值、最大（小）值的关系

【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的

极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合及习

知识讲解

3.函数的极值与导数

⑴函数的极小值与极小值点

若函数/U）在点x=a处的函数值八。）比它在点x二。附近其他点的函数值都小，/'（〃）=0,

而且在点x附近的左侧外幻＜0,右侧/'（外＞0,则点。叫做函数的极小值点，加）叫做函

数的极小值.

（2）函数的极大值与极大值点

若函数/（X）在点x=b处的函数值/S）比它在点x=h附近其他点的函数值都大，/（b）=0,

而且在点x=b附近的左侧外幻＞0,右侧在（x）vO,则点力叫做函数的极大值点，/S）叫做函

数的极大值.

（3）极值与导数的关系

/（工）是极值点n/'（x）=O

r（x）=04/（x）是极值点，即：/'（幻=0是/（x）为极值点的必要非充分条件

4.函数的最值与导数

（1）函数/（划在口，切上有最值的条件

如果在区间［%0上函数＞=儿丫）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小

值.

（2）求＞=（丫）在口，句上的最大（小）值的步骤

①求函数在（％份内的极值；

②将函数y=/U）的各极值与端点处的函数值｛。），./S）比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值.

考点一、求函数的极值或极值点

典例引领

1.(2024•全国•高考真题)已知函数/(工)=(1-ax)ln(l+x)-x.

⑴当q=-2时，求/(%)的极值；

⑵当工20时,〃x)20,求〃的取值范围.

【答案】(1)极小值为0,无极大值.

⑵"4—

【分析】(1)求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.

(2)求出函数的二阶导数，就a二、-“20分类讨论后可得参数的取值范围.

22

【详解】(1)当〃=-2时，/(x)=(l+2x)ln(l+x)-x,

故r(x)=21n(l+x)+^^-l=21nQ+x)---+1,

\+x1+x

因为y=2皿(1+外,)，=-丁!一+1在(-1,+8)上为增函数，

故fa)在上为增函数，而/'(o)=o,

故当一1<%<0时，f\x)<0,当x>0时，/'(x)>0,

故/(x)在x=0处取极小值且极小值为/(0)=0,无极大值.

(2)//(x)=-aln(l+x)+aX-1=-aln(1+@,x>(.

设s(x)=-aln(l+x)—(：+"/>0,

」(4+1)=，(x+l)+"l=6+2a.

人“()x+1(1+x)2(1+x)2(l+@2，

当g时，s,(x)>0,故s(x)在(0,+8)上为增函数，

故心)>s(O)=O,即r(x)>0,

所以/(x)在［0,+8)上为增函数,故/(x)”(0)=0.

当-，va<0时，当0cx1时,5f(x)<0,

2a

故s(x)在伍-生堂)上为减函数，故在(0,-网里］上s(x)<s(0),

即在（0,—个B上/'（x）＜o即/（X）为减函数，

故在（0,-等■，上/（x）＜/（0）=0,不合题意，舍.

当“20,此时s'（x）＜0在（0,+8）上恒成立，

同理可得在（0,+。）上/（力＜/（。）=0恒成立，不合题意，舍；

综上，

2

【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导

数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.

2.（2023・北京•高考真题）设函数/（x）=x-x%a*,曲线y=在点（1J⑴）处的切线方程为y=-x+i.

⑴求的值：

（2）设函数g（x）=/a）,求g（函的单调区间:

⑶求/（X）的极值点个数.

【答案】⑴。=-l,b=l

⑵答案见解析

（3）3个

【分析】（1）先对/（x）求导，利用导数的几何意义得到/⑴=（），/'⑴=-1,从而得到关于d〃的方程组,

解之即可；

（2）由（1）得g（x）的解析式，从而求得式（x）,利用数轴穿根法求得g'（x）＜0与g'（x）＞0的解,由此求

得g（x）的单调区间：

（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间（-吗0）,（。川），（再也）与伉，内）上/'（X）

的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得/（X）的极值点个数.

【详解】（1）因为/（x）=x—x3c"E＞eR,所以广（力二1一（3/+⑪3卜"+"

因为在QJ⑴）处的切线方程为J=r+1，

所以/⑴=-1+1=0,广⑴=一1,

l-l3xea+z>=0a=-\

则l-(3+af=-l'解得'

b=\

所以。二-1,〃=1.

(2)由(1)得屋%)=/«)=1-(3/--)葭*6R),

贝lJg'(x)=-x(x2-6x+6)c-3,

令/一6工+6=0,解得x=3±\/J，不妨设其=3—百，占=3+百，则0＜X＜x），

易知e-*+i＞0恒成立，

所以令g'（x）＜0，解得。＜工＜玉或刀＞/；令g'（x）＞0,解得x＜0或$＜》＜占；

所以g（x）在（0/3（巧,+＜»）上单调递减,在（-8,（））,（苍,%2）上单调递增，

即g（x）的单调递减区间为（0,3-间和（3+百,+8）,单调递增区间为（-8,0）和（3-石,3+6）.

（3）由（1）得/（x）=x-x%3（xeR）,r（x）=i-（3x2-x3）e'x+，,

由（2）知/'（X）在（0,芍），（%k）上单调递减，在（-8,0）,（5,G）上单调递增，

当了＜0时，/f（-i）=i-4e2＜o,r（o）=i〉o,gpr（-i）.r（（））＜（）

所以/（x）在（-8,0）上存在唯一零点,不妨设为小,则

此时，当x＜》3时，/（力＜0,则/（X）单调递减；当天＜工＜0时，/幻）＞0,则/（X）单调递增；

所以/（x）在（-%0）上有一个极小值点；

当xw（0内）时，/'（X）在（0小）上单调递减，

则:（为）=/'（3—行）＜/'⑴=1一2＜0,故/'（0）/'&）＜。，

所以/'（X）在（0，M）上存在唯一零点，不妨设为（，则0＜七＜内，

此时,当0。＜七时，"（、）＞0,则/（x）单调递增;当〈内时，外力＜0,则/（x）单调递减；

所以/W在（0,xJ上有一个极大值点：

当工€（外,七）时，/'（X）在（司,占）上单调递增，

则/（%）=/'（3+仃）＞/'（3）=1＞0,故/'（为）/'（&）＜。,

所以/'（'）在（司,々）上存在唯一零点，不妨设为天，则

此时，当内时，/'（可＜0,则/（x）单调递减；当/＜工＜9时，r（x）＜0,则/（x）单调递增；

所以/（X）在（％七）上有一个极小值点；

当1＞占=3+＞/1＞3时，3x2-x3=x2（3-x）＜0,

所以/'（x）=1-（3/一丁,-川＞0,则/（x）单调递增，

所以/⑺在（和田）上无极值点；

综上：/（力在（-%0）和（西,々）上各有一个极小值点，在（0/J上有一个极大值点，共有3个极值点.

【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断/'（演）与/'（公）的正负情况，充分利用/'（X）的单调性,

寻找特殊点判断即可得解.

3.（2021・天津•高考真题）已知。＞0,函数〃x）=at-xe1

（I）求曲线y=/（x）在点（o,/（o））处的切线方程：

(II)证明/(x)存在唯一的极值点

(III)若存在。，使得/。)4。十8对任意XWR成立，求实数力的取值范围.

【答案】(I)y=("l)X,(a>0)；(||)证明见解析；(III)卜4*0)

【分析】(I)求出/(x)在x=0处的导数，即切线斜率，求出/(0)，即可求出切线方程；

(II)令/'(x)=0,可得。=a+l)e'，则可化为证明卜=。与y=g(x)仅有一个交点，利用导数求出g(x)的

变化情况，数形结合即可求解；

(III)令人。)=，7-1)/,(、>-1),题目等价于存在xe(-l,+oo),使得〃(x)。，g[Jb>A(x)mn,利用导数

即可求出川力的最小值.

【详解】⑴/'(劝=。-(工+1片，则/'(0)="1,

又/(0)=0,则切线方程为y=(a-l)x,(a>0)；

(II)令/'(x)="(x+l)e，=0,则a=(x+l)e',

令g(x)=(x+l)el,则=(x+2)e',

当ie(Y>,-2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当xe(-2,+oo)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,

当Xf-co时，g(x)<0,g(-l)=0,当x->+8时，g(x)>0,画出g(x)大致图像如下：

歹八

g(x)=(x+l)ev

2-

y=a

I|11»

■^3-2Omix

所以当a>0时，歹=。与y=g(x)仅有一个交点，令g(川)=a,则〃?>一1,且/'(机)=a-gO〃)二O，

当工€(-co,〃?)时，a>g(x),Jjlljf\x)>0,/(x)单调递增,

当ie(m,+8)时,a<g(x),则八x)<0,/(x)单调递减，

x=,n为/(x)的极大值点，故/(x)存在唯一的极值点；

(III)由(II)知/(0皿=/(〃?)，此时。=(1+〃?只7加>一1,

n>

所以{/W-«}miLX=f(m)-a=(nr-nz-1)e，(加>一1),

令人(工)=卜2-,

若存在a,使得/a)二+力对任意xeR成立,等价于存在x€(T,+oo),使得力(x)口，即此初初2

/f(.r)=(X2+X-2)^=(x-1)(x4-2)^,x>-l,

当工e(T,l)时,h\x)<0,〃(力单调递减，当xe(l,+«>)时,h\x)>0,Mx)单调递增,

所以力('*in=蛆)=一6，故人N-e,

所以实数〃的取值范I韦I卜4侄).

【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明歹=。与y=g(x)仅有一个交点；第三问解题的关键是

转化为存在xw(-l,+8),使得为g[Jb>/z(x)min.

1.(2024.湖南长沙.三模)已知函数/(丫)=丫+ln(〃4+■!■(a<o).

a

⑴求函数/(工)的极值；

(2)若集合卜|/(》)2-1｝有且只有一个元素，求。的值.

【答案】⑴极大值是/(-1)=-l+ln(-无极小值；

ae

(2)4=——.

e

【分析】(1)利用求导，通过参数时0,可分析出/'(')为正负的区间，从而可以判断/‘(X)的极值：

(2)利用不等式有唯一解，则正好是最大值取到等号，再去分析取等号的含参方程有解的条件，所以重新

构造新的函数，通过求导来研究函数的零点和方程的解.

1*

【详解】(1)由r(x)=(i+x)「Te

因为x0,所以/(*)的定义域为(―8,0)，则1尸<0,

xa

因为时，/'(x)>0：v€(-1,0)时，/'(x)<0.

所以/(x)的单调递增区间为(-8,7);单调递减区间为(TO),

所以―-1是/(x)的极大值点，/(x)的极大值是/(-l)=T+ln(-〃)-'，无极小值.

ae

⑵由⑴可得/(力2=/(—l)=—l+ln(—。)—,，

要使得集合｛x|/(x"-l｝有且只有一个元素，则只需要-1+1"-。)-2=-1

设g(x)=-l+ln(-x)一--,则/(上，+工=^^,

exxex"ex'

(\\、

因为xe-8,-一时，g'(x)<0；xc时,g'(x)>。，

所以g(x)mm=gj,l=7,所以关于“的方程一1+仙(一。)一上二一1有解时，

Iejae

只能是。=一1，

e

所以集合｛x|/(x)2-1｝有且只有一个元素时a=-J

2.(2024•浙江温州•三模)设函数/(x)=xh・!/的导函数为g(“.

6

⑴求函数g(x)的单调区间和极值；

(2)证明：函数/(》)存在唯一的极大值点小,且

(参考数据:1112ao.6931)

【答案】⑴g(x)在(0,1)上单调递增，在。,+8)上单调递减，极大值g(l)=；，无极小值.

⑵证明见解析

【分析】(1)利用导数求函数g。)的单调区间和极值;

(2)利用导数求函数/(x)的极大值点由单调性证明/

【详解】(1)函数/(x)=xlnx-!d,定义域为((),+司，

6

g(x)=f，(x)=\nx+\-^x2,g,(x)=1-x=^-^(x>0),

g[x)>0解得0vx<l,g'(x)<0解得x>l,

所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

故极大值为g(l)=lnl+l-；=无极小值.

(2)由(1)可知，r(l)=g(1)=：>0且/'(1]=一白<0,7(e)=l^-<0,

2\CJ2e2

所以根据零点定理，肛wgl)使/(』)=0,玉2c(l，e)使广(乙)二0，

即XW(0,X1)u(X2，+8)时，/'(%)<0,/(X)为减函数；

xe(x”%2)时，八x)>0,/(x)为增函数，

所以/(X)存在唯一极大值点々，即见=x2€(l,e),

又因为/'(g=ln-+l--f-l=ln3-ln2+l-^-ln3-fln2+

=ln3-0.8⑻>0=gX°),

22\1)8I8

所以占小川，即Xo>g，得证！

3.（2024・陕西商洛•模拟预测）己知函数/a）=.Hnx-x-lnx+l的导函数为尸（x）.

⑴证明：函数/（比）有且只有一个极值点；

（2）若耳"（％）-/4）4一3—〃吠^恒成立，求实数机的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

（2）（-8,-1]

【分析】

（1）求导，结合函数单调性及零点存在定理说明/（X）的单调性即可证明；

（2）换元/=m，>0,并分离参数求函数最值即可求解.

【详解】（1）证明：由题意知/"）的定义域为（（）,+功，且/'（，二山+1-1」二山」,

XX

令9（x）=hw-L贝iJd（x）='+-=工0（x>0）,

X.\X

所以。（X）（即/'（X））在（0,+8）上单调递增，

又「⑴=-l<0/（c）=l」>0,

e

所以/'（》）在（l,e）上有唯一零点七，

当0<工</时，/'（x）<0,当X〉工时，/^（-v）>0,

所以在（0,%）上单调递减，在（%,笆）上单调递增，

所以函数/（另有且只有•个极值点片.

（2）必"（x）—/（x）4—3—e7亘成立，

HP（xlnx-1）-（xlnx-x-hiv+1）<-3-mxe'恒成立，

即lnx+x+1«-九©恒成立，即ln（xe'）+l0-阳北恒成立.

令/=xe'>0,则In/+1<-mt,所