2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)阶段滚动检测

阶段滚动检测（一）

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.（2024.西安模拟）已知集合A={M月og2（x-2）}乃二"|"2刈则（加）”=（）

A.（0,l）B.[l,2）C.（l,2）D.[l,2]

【解析】选D.A={X|X>2}JRA={x|启2},

B={x|2r-2>0}=>{x|x>l},

所以（feA）Cl氏[1,2].

2.函数产|旧+1在43处的切线的倾斜角为（）

A.-B.-C.—D.—

6336

【解析】选B.由题意可得:尸|V^+l=|%5+1,则y'=y,可得yl.t=3=V3,

所以函数），=房+1在广3处的切线的斜率为遥，倾斜角为g

3.函数产（2斗2-》111x2的图象大致为（）

【解析】选B.设於）=（2'+2-9ln/次犬）的定义域为{巾#）}次㈤=（2-x+22ln%2寸⑴,

所以於）是偶函数，图象关于y轴对称，所以D选项错误网）=0,所以C选项错误;

当Q1时府）>0,所以A选项错误.

4.（2024.新余模拟）已知函数y=loga（x-l）+2（a>0且存1）的图象恒过定点A,且A点

在直线mx-y+九=0（〃2/>0）上，则2"，+（鱼）〃的最小值是（）

A.4鱼B.2V2C.2D.—

2

【解析】选B.当x=2时Jog“(x-l)+2=2,

故函数y=log.(x-l)+2的图象恒过定点4(2,2),

由点A(2,2)在直线机。)，+片0上，则2m+/?=2,

故2,w+(V2),,=2,w+2^>2j2zn+?=2V2,

当且仅当根三W时等号成立，故2"(或)”的最小值是2V2.

flogi(x2+2a),%<1

5.(2024.泉州模拟)若函数7U尸2存在最大值,则实数a的取值

>1

范围为()

A.(-O)i]B.(0i]

C.(为D.(0i]

【解析】选B.当%>1时加)=1-3/在[1,+8)上单调递增，此时段)£[0,1),无最大值;

又因为)=/+2。在(。⑼上单调递减，在[0』)上单调递增，

故府)=logKf+2〃)在(-8刈上单调递增，在|0』)上单调递减，

2

所以当XV1时段)max=i/(0)=log式2a),

2

结合题意可得logi(26/)>l,

2

解得()<2〃《所以解〃芸,

24

即实数〃的取值范围为(0,》

6.已知过点40力)作曲线产?的切线有且仅有两条，则h的取值范围为()

A.(0i)B.(0,|)C.(0,e)D.(0,4)

In-匕

【解析】选D.设切点为(私泗)油题意得V上空，所以"警坐三」」，整理得

X2定XoXo

放—二此方程有两个不等的实根.

%0

令函数火幻=吧，则八幻二丝炉.

XX

当0<x〈e5时/(x)>0,所以次幻在(0,吟上单调递增；

当工>应时/(X)<0,所以於)在面,+8)上单调递减，且段)>0./(X)max=/®)=刍方程有

e2

两个不等的实根，故人金(0,刍).

e2

7.已知函数小尸Qx-lnx,若八x)>0在定义域上恒成立，则a的取值范围是()

A.(1,+oo)B.(l,+oo)

C.(e,十oo)D.(i+oo)

【解题指南】由危)>0得心叱在(0,+8)上恒成立，令ga)=Rx>0),求出g(x)的最

XX

大值即可求解.

【解析】选A.«x)=ar-lnx的定义域为(0,+oo),

由/W>0在定义域上恒成立，得心等在(0,+8)上恒成立，令

/、lnx八\,、1-lnx

g(x)=—(zx>o\g(zX)=='

令g'(%)=0得卡e/W(O.e)时,g'(x)>0.g(x)单调递增/£(c,+8)时,g'(x)<0.g(X)单调涕

减，所以g(x)max=g(e)q所以公士

【加练备选】

已知函数/U)=ln厂(心。)2(。£咫在区间［1,+8)上存在单调递增区间厕实数a的取

值范围是()

A.［；1,+8)B.(i1+a))

C.［l,+oo)D.(l,+oo)

【解题指南】分析可知，存在工可1,+8),使得人力>(),由参变量分离法可得a>x-^

求出函数在口,+刈上的最小值,即可得出实数a的取值范围.

【解析】选B.因为於)=lnx-(x-a)2(a£R),则/U)=；2x+2a,因为函数加)在区间

[1,+8)上存在单调递增区间很(J存在工£[1,+8),使得/(x)>0,即22+为>0,可得

白设gG)=X•白

因为函数产!严妥在[1,+8)上均为增函数，则函数g(X)在[1,+8)上为增函数，

以人

当X>\时,g(x)min/(1)=1-衿,故

8.(2024长春模拟)已知。=sin-,b=-cos-,c=ln不则()

•力JJ乙

\.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

【解析】选D.设外尸sinx-xcos(0$,则八X)=xsinx,在(0三)时/(x)>0,

所以/U)在((g)上单调递增，

所以加)次0)二0,

则后尸sin-cosi>0,

oooo

即sin衿cos/则a>b\

设g(x)=lnx+抑!]/⑴噌/〉。，

则当(0,1)时,gQ)v0,所以g(x)单调递减，

则当(1,+8)时,gQ)>(),所以g(x)单调递增,

所以g(|)=ln|+|>g(l)=l,

则In衿

设/?(.r)=r-sinx,x£((),]),贝!Jh\x)-1-cosx>0,

所以g)在(0,》上单调递增,

则A(;)=;-sini>//(0)=0,

即tsin3则In|>sin去所以C>Q,所以c>a>b.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.关于函数)=lg(B1)说法正确的是()

1-X

A.定义域为(-1』)

B.图象关于y轴对称

C.图象关于原点对称

D.在(0,1)上单调递增

【解析】选ACD.因为小)=lg(£-l)=lg(F),所以f>0=>二<0=-14<1,所以定义

1-X1-X1-XX-1

域为(-1,1),故A正确;因为/(-x)=lg(缶所以ZU)图象关于原点对称，故B错

XI人

误,C正确;又尸1-x>0在。1)上单调递减，所以y=~l>0在(0』)上单调递增，又产

1-X

lgX在(0,+8)上单调递增，所以月g(j1)在(0,1)上单调递增，故D正确.

1-X

10.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏

震级的计算公式为M=lg鬻(其中常数4是距震中100千米处接收到的0级地震

的地震波的最大振幅入皿是指我们关注的这次地震在距震中100千米处接收到

的地震波的最大振幅).地震的能量比单位:焦耳)是指当地震发生时，以地震波的

形式放出的能量已知E=l(*xl()L5M,其中“为地震震级.下列说法正确的

是()

A.若地震震级M增加1级，则最大振幅Amax增加到原来的10倍

B.若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍

C.若最大振幅人皿增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的10V1U倍

D.若最大振幅Amax增加到原来的10倍,则放出的能量E增加到原来的1000倍

【解析】选AC.因为竽=M+l=l+lg警Fg当*所以4max=l()Amax,故A

AQAQAQ

正确;

因为£=1()4・8X1()L5〃=l()4.8xl()L5(M+D=104.8xl()L5M+L5=i()L5£所以B错误；

因为M=lgU&*JM+1,所以E'=104.8xl（）L5M=］（yUxlOL5（M+l）

4。

=104-8X10L5M+L5=10L5E=10VT0E,

所以C正确,D错误.

11.（2024.南京模拟）已知函数段尸算4R,则下列说法正确的有（）

A.2是函数人幻的极小值点

B.当户0时屈数段）取得最小值

C当。《时，函数以）存在2个零点

D.若函数段）有1个零点,则〃吟或斫0

【解析】选BCD.对A,由题意八x）二咨/1咚keR,所以当x<0或x>2时JG）<0,

ee

此时府）单调递减;当082时/（幻>0,此时公）单调递增;所以2是函数於）的极大

值点，故A错误；

对B,由A知火幻极小值=7（0）=-。,且当九一+8时JO）--d且大于则当户0时，函数启）

取得最小值，故B正确；

对于C,若则令於A?*。,即6噌设〃㈤三

则/2。）=等,所以当x<0或x>2时,〃。）<0,此时银）单调递减，

ex

当0<x<2时”（x）>0,此时力（x）单调递增,

则力⑴极小值=/?（（））=（）,万⑴极大值二人⑵毛,且当工—+8,/?⑴一0,且大于（）,作出函数图象

如图所示,则直线产！与函数心）有两个交点，则当〃二时，函数於）存在2个零点,

故c正确；

；a_

eO\x

对于D,若函数公）有1个零点即方程有一个根，则转化为直线尸/与抬尸5

的图象只有一个交点，由图可知,若函数/W有1个零点厕公上或斫0,故D正确.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.（2024.宝鸡模拟）曲线儿31n（5x+2）在点（-4）处的切线方程为.

答案:尸5时1

【解析［於）=ln（5x+2）的导数为八幻二急，

D人I乙

可得曲线,/W=ln（5i+2）在点（3,0）处的切线斜率为k=5,

则切线的方程为产5（x+勺，即产5x+L

【加练备选】

已知a.b为正实数，函数小）=〃芯在P（1川））处的切线斜率为2,则耳沏最小值为

XClV

答案:2+g

【解析】由题意得/（幻=。+/,则/（1）=。+〃=2,因为。力为正实数，则

、湾d+》（〃+"）W（4+3•的斗4+28）=2+限当且仅当色哼时取到等号.

ab2ab2ab2ab

13.已知函数/U）=Z?+券（a>0）是奇函数则a+b=________.

2"Q

宏宏.2

口未‘2

【解析】由于函数的定义域满足21-存0=印Og2〃,故定义域为｛x|xHlog2a）,

根据奇函数的定义域关于原点对称可知1唯折0=所1,所以於）4+六，

乙-JL

Rx）="占斗心，

所以人-工）±/0）=b+言+〃+三=0=2/?-1=0=/?='

故。+氏|.

14.（2024.恩施模拟）已知函数段2存在直线产相与危）的图象有

4个交点，则tn=若存在实数xe2<X3<A4<X5,满足/3）可（X2）=/沁）

次¥4)子＞5),则X1+X2+X3+X4+X5的取值范围是________.

【解题指南】画出分段函数的图象，利用数形结合的思想求也再根据二次函数的

性质及-6＜汨＜-2求出］|+/2+工3+工4+工5的取值范围.

答案：4(-2,2)

【解析】作出治尸/；言艺］2,的图象如图，

因为直线与段)的图象有4个交点，所以加二4;

记人Xl)寸X2)yX3)y尤4)习(右)=上

则直线产人与公)的图象有5个交点J1VX2＜T3＜X4VX5,如图所示

由图可知,-64］＜-2,由二次函数的对称关系可得X3+X4=X2+X5=2,

所以X|+X2+X3+X4+X5=Xl+4£(-2,2),

即可+也+4+必+即的取值范围是(22).

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)已知函数,危尸「底+式的一个极值点为1.

(1)求。；

【解析】⑴因为江+大；

所以八%)=3f-2々%+1.

因为於)的一个极值点为1,所以八1)=3-2〃+1=0,所以〃=2.

因为/a)=3f-4x+1=(x-l)(3x-l),

当沁<i时/(%)<o；当W或百>1时/a)>o,

所以於)在G，1)上单调递减，在(-8,；),(1,+8)上单调递增，

所以」(幻的极小值点为1,符合题意故斫2.

⑵若过原点作直线与曲线厂式幻相切,求切线方程.

【解析】⑵设切点为(X0贝Xo)),

则Xxo)=%o-2%o+XO/(XO)=3XQ-4xo+1,

所以切线方程为y-(Xg-2%o+xo)=(3%o-4xo+1)(x-xo).

将点(0,0)代入得-(定-2舒+xo)=(3鬲-4xo+l)(-xo),

整理得焉(xo-1)=0,所以Xo=o或Xo=1.

当xo=O时，切线方程为y=x;

当须=1时，切线方程为y=0.

【解题指南】(1)求出函数的导数八。由八1)=()求出。值,再验证作答；

⑵设出切点坐标,利用导数的几何意义求出切线方程，结合已知求出切点坐标作

答.

16.(15分)(2024.合肥模拟)已知函数危尸含.1是奇函数.

(1)求实数Q的值并判断函数单调性(无需证明)；

【解析】⑴因为段)二岛-1是奇函数，所以#0)=0,解得所1；

当a=\时段)=^-1=搭，定义域为R,

又八㈤二黑二黑二加)，符合题意，所以L因为产甲+1为增函数,所以於)为减函

数.

(2)若不等式式4'+1)"卜22'+5)<()在R上恒成立,求实数t的取值范围.

【解析】（2求4'+1）钦仁20+5）<0等价于人4斗1）</>22%5）,

BP/4V+1）<A-/+2-2^5）;

因为段）为减函数，所以441>-什2・2匚5,

即4v-2-2A+6>-r；

令团=2、>0,贝（J上式化为m2-2m+6>-r,

即（加-l）2+5>”,所以/>5故实数t的取值范围为（-5,+8）.

17.（15分）设函数危尸会（原0）.

⑴求曲线产”）在点（0川））处的切线方程；

【解析】（1）能）上¥=誉/（0尸1,又的）=0,

所以所求切线方程为产无

⑵求函数府）的单调区间；

【解析】（2）/V尸*,

当时/（幻>0,"）单调递增，

X3时/（工）<0/幻单调递减；

当上0“。时『（*0於）单调递减时/（工）>0段）单调递增,

所以当Q0时，单调递增区间是（・8块,单调递减区间是弓,+00）；

KK

当k<0时，单调递减区间是（。3）,单调递增区间是弓,+8）；

KK

⑶若函数火X）在区间（-1J）内单调递增，求k的取值范围.

【解析】（3）由（2）知,当Q0时，白1,即0<Kl;

K

当ko时,芸1,即-1必<0；

K

所以k的取值范围是[-1,0）U（O,1],

【解题指南】⑴求出导函数八X）,求得八（））得切线斜率,再求出函数值4））后可得

切线方程；

⑵分类讨论确定八犬)>0和八©<0的解彳导单调区间；

⑶由⑵中单调递增区间得关于k的不等式，从而求得其范围.

18.(17分)已知函数/U)=¥-3QX+2Q21rlx,a^O.

⑴讨论於)的单调区间；

【解析】⑴於)的定义域为(0,+8)/(止

若〃>(),当工£(0,。)时了(力>0曲)单调递增;

当工£(。,2〃)时/(x)<0於)单调递减;

当X《(2d+8)时/⑴乂)段)单调递增.

若4V0,则八幻>0恒成立JU)在(0,+8)上单调递增.

综上，当。>0时的单调递增区间为(0,。),(2〃,+8),单调递减区间为(〃,2〃)；

当"0时后)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间.

⑵若心)有3个零点，求〃的取值范围.

【解析】⑵因为段)有3个零点，所以A0,

又於)的单调递增区间为(0,〃),(2a,+oo),单调递减区间为(见2〃),

所以f(a)=-^a2+2a2\na>0J(2a)=-4a2+2a2\n(2ci)<0,

解得3<。<3，

此时X1)4-34<()次6a)=2a21n6。>(),

故函数於)在区间(1M),(“2a),(2c/,6〃)上各有一个零点，

即函数段)在区间(0.。),(a24),(2区+8)上各有一个零点,满足要求

所以。的取值范围为(e鸳).

【解题指南】⑴先求出函数的定义域，从而根据函数的解析式，求出函数的导函数

分析导函数符号在不同区间上的取值，

根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系即可求出所求区间.

⑵由条件，根据函数的单调性结合零点存在性定理可求。的取值范围.

【方法技巧】

导函数中两种常用的转化方法:一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不

等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用;二是函数的零点、不等式

证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处埋.

19.(17分)(2024.许昌模拟)已知函数年)=2x+alnx(aeR),g(x)=e。(其中e为自然对

数的底数).

⑴若函数段)的图象与x轴相切，求a的值；

【解析】⑴若。=0,则函数於)=2x,不符合题意，所以存0;因为段)=2x+〃lnx(aeR),

则助)=26设切点坐标为(刈,0),

X

贝()八期)=2+g=0、解彳导xo=q,

且如今=-。+〃皿-§=0,

整理可得皿今=1,

可得-$e,解得a=-2e.

⑵设4>0,VXI,X2£［2,4］3,X2),都有I/O)如2)|v|g(笛)-g(X2)|,求实数a的取值范围.

【解析】(2)因为A0,则八x)=24>0对任意的工引2,4］恒成立,所以函数段)在［2,4］

X

上单调递增，

医为g(x)=e'-x,则^f(x)=ev-l>0对任意的x®［2,4］恒成立，

则函数四)在［2,4］上单调递增不妨设2sm2",

由|/3)/>2)|<以汨)亭。2)|可得凡T2)：/3)<g(X2)・g3),

即於2)吆(及)勺3)吆(为).

记h(x)=J(x)-g(x)=3x+a\nx-e\则/z(xi)>/z(x2),

则函数〃⑴在[2,4]上单调递减“(x)=3+巴e£0在[2,4]上恒成立，则对任意的工£

X

[2,4],

6z<rev-3x,

令〃(1)=应匚3苍其中工£[2,4],则p'(x)=(x+l)e'-3,

令qa)=a+l)e，・3,其中[2,4],

则式工)=。+2户>0对任意的xe[2,4]恒成立，

所以函数P。)在区间[2,4]上单调递增，

则pfW>pr(2)=3e2-3>0,

所以函数p(x)在[2,4]上单调递增，

贝!]^<P(X)min=P(2)=2e2-6,

又因为。>0,则实数a的取值范围是(0,2e2-6].

【方法技巧】

利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

⑴函数段)在区间D上单调递增=/口巨0在区间D上恒成立；

⑵函数/W在区间D上单调递减="%)或在区间D上恒成立；

⑶函数,/U)在区间D上不单调="1)在区间D上存在异号零点；

(4)函数./U)在区间D上存在单调递增区间使得八幻>0成立；

(5)函数/")在区间D上存在单调递减区间omxED,使得/(*)<0成立

阶段滚动检测(二)

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的.

1.（2024.郑州模拟）已知i为虚数单位，复数z满足zi・i=z+1,则忆+1|=（）

A.V2B.lC.V5D.2

【解析】选A.因为zi-i=z+l,则-z(l-i)=l+i,

erI\।1+i(1+i)2

所以z=--—-=-i,

1-1(1-1)(1+1)

故|z+l|=|l-i匕12+(J)?二或，故A正确.

2.（2023•北京模拟）在中若a=2bcosC,则△ABC一定是（）

A,正三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰三角形

【解析】选由C及余弦定理得:。=公二屏+加理=/，即

D.4Z=2/?COS2"十2a"b；

b=c.

3.（2023•襄阳模拟）设z£C,则在复平面内3<|z|<5所表示的区域的面积是（）

A.5兀B.9nC.16KD.25TC

【解析】选C.满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆

心,半径为3的圆，满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为

圆心,半径为5的圆，则在复平面内3<|z|<5所表示的区域为圆环，如图中阴影部分

区域所示：

所以，在复平面内3印区5所表示的区域的面积是兀x&-32户16兀

4.（2024•江西模拟）已知向量a=（log23,sin：）为=（log38,m）,若aJLb,则m=（）

A.-2V3B.-V3C.2V3D.3注

【解析】选C.因为a_L瓦所以eb=O,

即log23xlog38+7??sin—=0,

所以logz8-易n=O,所以m=2>j3.

【加练备选】

(2024.咸阳模拟)已知向量斫(1广1)力=(九2),若3+8)〃区则2ab=()

A.-8B.-7C.7D.8

【解析】选A.由向量a=(11)/二(九2)彳导a+b=(m+1,1)油(a+〃)//a,得(加+1)+1=0,

解得〃『-2,于是方二(・2,2),所以206=2x(22)=8.

5.(2024.西安模拟)已知向量。=(1,0)力=(4,加),若|2小|不超过3,则m的取值范围

为()

A.[-V3,V3]B.[-V5,V5]

C.[-3,3]D.[-5,5]

【解析】选B.由题意知,2a-〃=(-2,・〃?)，

所以2a-臼=>/4+芯与彳导4+/722<9,

即〃?芸5,解得-挑中史遮，

即实数小的取值范围为[-遮，通].

6.将函数产sin(2xw)的图象沿x轴向右平移三个单位后得到一个偶函数的图象.

O

则(P的取值可为()

A.--B.-C.-D.—

4424

【解析】选B.将函数y=sin(2rw)的图象沿x轴向右平移g个单位后，

O

得到产sin[2(x-»0]=sin(2Aq-9),若此时函数为偶函数的图象，则%

得乒Z,当k=-l时，片兀-詈1.

7.已知向量。=(1,3)/+斤(-1,7),则向量a在向量b方向上的投影向量为()

A.(41)B.(-l,2)

C.(-V5,2V5)D.(i-|)

【解析】选B.由题知，向量方二。+析。=(-1,7)-(1,3)=(-2,4),所以〃力=2+12=10.

又制=V?T^=2倔所以向量a在向量b方向上的投影向量为(-1,2).

8.(2024.贵州联考)如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区，是该市的标志性建筑之

一.甲秀楼上下三层，白石为栏、层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面

的高度，选取了与该楼底B在同一水平面内的两个测量基点C与。，现测得

ZBCD=23°,ZCDB=30°,CD=11.2m,在。点测得甲秀楼顶端A的仰角为72.4。厕

甲秀楼的高度约为(参考数据:tan72.4°-3.15,sin53%0.8)()

A.20mB.21mC.22mD.23m

【解析】选C.由题意可知,N3CD=23o,NCZ)8=3()。，

所以NC8D=127。,又因为CQ=11.2m,

由正弦定理缶=sin/CDB'

可得盛=瀛，解得CBMm,

又因为NAC5=72.4。,所以AB=BCtanZACB^7x3.15^22(m).

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(2023.长沙模拟)已知复数z的共期复数为N则下列说法正确的是()

A.z2=|z|2

B.z+5一定是实数

C若复数Z1,Z2满足|Z1+Z2|=|Z1・Z2|,则Zl・Z2=0

D.若复数Z的平方是纯虚数,则复数Z的实部和虚部相等或者互为相反数

【解析】选BD.当复数z=i时,z2=-l,|z|2=l,故A错；

设z=a+Z?i（〃力£R）贝历二。-历，

所以z+5=2〃£R，故B对；

设zi=ai+bii（°i/]£R）,Z2=a2+b2i（Q2,岳WR）,由|zi+z2|=|zi-Z2|可得

忆1+22『=（。1+。21+（瓦+62）2=忆1・22|2=（%・02）2+（瓦/2）2,所以⑶处沙山2二（），

而Z]Z2=（〃|+力。（。2+方）=的。26b2+（。/2+4。2万=2卬。2+（。仍2+〃l〃2）i,不一定为0,故C

错；

设z=〃+历3/RR）,则z2=d2-Z?2+2tz/?i为纯虚数.

所以仔七°，则也二2故D对.

（2ab丰0lab。0

10.（2024.潍坊模拟）已知向量。=（-1,3）/=（元2）,且3-2〃）_La,则下列选项正确的

是（）

、a,b能作为平面内所有向量的一组基底

B.m<3是。=（-1,3）与c=（肛1）夹角是锐角的充要条件

C.向量a与向量b的夹角是45°

D.向量b在向量a上的投影向量坐标是（-1,3）

【解析】选AC.因为〃=（-l,3）,b=（x,2）,

所以a-2t=（-l-2x,-l）,

贝！]（。-2力）・a=1+2x-3=0,

解得x=1，所以b=（l,2）,

可得〃力不共线，故A正确；

当平行时，

可得-1X1-3x〃『o,解得加工-玄所以B错误;

a-b_-1+65_\[2

由cos<a,b>=

同网J(_l)2+32x好谈同x遮一2

因为0。3＜。力丝180。,故向量a与向量b的夹角是45。,所以C正确：

向量b在向量a上的投影向量为普,言焉=4,|）,所以D错误.

\a\\a\VIOvlO22

11.（2024•大连模拟）在"BC中，角A,B,C的对边分别是。，仇G若acosB+bsinA=e,

22

a=2>J10ycr+b-c=absinC,则()

A.tanC=2B.>4=-

3

C./?=6V2D.LABC的面积为12/

【解析】选AC.由余弦定理可得。2+/?2-4=2。&0$C=ahs\nC解得tanC=2,故A正

确；

由6/cosB+/?sinA=c及正弦定理，可得sinAcosfi+sinBsinA=sinC=sin(A+8),化简可

得sinBsinA=cosAsinB.

因为8W（0,兀），所以sin皮＞0,

所以sinA=cosA,BPtanA=l.

因为A£（0,兀），所以AW故B错误；

4

因为tanC=2,所以cosCO且sinC=2cosC,代入sin2C+cos2C=l,

可得5cos2c=1,解得cosC=—,sinC=—.

55

因为6/=2V10,A=^sinC二等，

45

所以由正弦定理可得c=竺野二巴萼工二8,

s\nAv2

2

由a2+b2-c2=absinC,可得（2«^户+户8?=2VlUbx这，

5

化简可得户47^-24=0,解得氏6鱼或氏.2或（舍去），故C正确;

S^ABc=^hcsin4二96或乂8X4二24,故D错误.

乙乙乙

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.若复数z满足z|=l,则|z2+(l-i)z|(i为虚数单位)的最小值为.

答案:夜-1

【解析】因解z|二l,

所以Z在复平面内对应点的轨迹为以原点为圆心，以1为半径的圆，

又因为|Z|Z2|=|Z1||Z2|,

所以内(1.i)z|=|z||z+l-i|=|z+所=|Z.(-1+i)|的几何意义为圆上的点到尸(-1,1)的距离,

如图，

所以|z2+(l.i)z|=|z.(・l+i)|的最小值为+12-1=V2-1.

13.(2023・镇江模拟)在ZkABC中,AB=3AR点E是CD的中点.若存在实数尢

〃使得AE=AAB+而:，则2+k(请用数字作答).

【解析】因为七是S的中点，

所以AE=AC+CE=AC+jCD

.1.，♦1，・，♦

=AC-H-(AD-AC)=-(AD+AC),

因为A5=3AO,所以AD=iAB,

3

所以AE=：AB+：AC,所以入=a=：,即4+"=：+：=|.

6262623

14.(2024・天津模拟)在△人BC中，/加。=120。,|人目二|八。|=2,AB=2AE,AF=2AC(A>0),

EF=2俞，且|俞则z=；BF・CE的值为

答案3--

【解析】因为AB=2AE,AF=XAC(A>0),EF=2EM,

1I.1.

所以AM=i(AE+AFAB+^AAC,

42

又|AM|=',在△ABC中,/胡0120。,依3|二依。|=2、

2

所以AC.AB=|AC|.|AB|COSZBAC=2X2X(3)=_2,IAMI2=(±AB)MAC.AB+(-AC)2

即2万43=0,解得即域Q・1（舍去）,

故2的值为当

又BF=BA+AF=-AB+AAC,CE=CA+AE=-AC+-AB,

BF.CE=(-AB+2AC).(-AC+jAB)

=(1+1)AB-AC-|(AB)2-A(豆)2=(1+今(-2)-2-42=45在与，故BF-五的值为年

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2023・长春模拟）已知复数z=（/?72-l）+（/n2-m-2）i,meR.

（1）若z是纯虚数，求m的值；

【解析】⑴若z是纯虚数，

则信汇九

所以m=1厕m的值为1;

⑵若z在复平面内对应的点在直线x-y+l=0上，求m的值；

【解析】⑵若z在复平面内对应的点在直线x-y+l=0上，则m2-l-（An2-w-2）+l=0,

解得m=-2;

⑶若Z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.

【解析】(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，则0,

所以1<加<2,则m的取值范围为(1,2).

16.(15分)(2023•洛阳模拟)已知向量斫(1,2)/=(3,-2).

⑴求1。》|;

【解析】⑴由题知,〃=(1,2)力=(3,-2),

所以a-5二(-2,4),

所以|〃-』|二，4+16二2遍.

⑵已知|c|WI^,且(2a+c)_Lc,求向量a与向量c的夹角.

【解析】⑵由题知,。=(l,2),|c|=VIU,(2c+c)_Lc,

所以⑷=V5,(2a+c>c=0,

所以2a-c+c2=0,

所以2|a||c|cos<a,c>+|c|2=0,

所以2XV5XVT0XCOS<a,c>+1()=(),

所以cos<a,c>=・*

因为V〃,c>W所以向量a与向量c的夹角为耳.

17.(15分)(2024.长沙模拟)在△ABC中角ARC所对的边长分别为〃也G且满足

sinB+sinC=2sinAcosB.

⑴证明:标方="；

【解析】⑴因为sin〃+sinC=2sinAcosB,

由正弦定理可得b+c=2〃cosB,

再由余弦定理得/片2。•管

整理得a2-b2=bc.

⑵如图点。在线段A3的延长线上，且H3|=3,|B*1,当点C运动时探究ICQHCAI

是否为定值.

【解析】（2）因为NA8C,NC3O互补,

所以cosZABC+cosZCBD=0,

结合余弦定理可得

a2+c2-j?2।a2+|80|2_|c0|2_0

2ac2a\BD\'

因为c=\AB\=3,\BD\=l,

则心空+贮+丑时=0

31

整理得4a2-b2+12-3|CD|2=0,

又tz2=/?2+/?c=/72+3/7,

贝(J|COF=3屋-42+4=々/+3力」加+4=〃+4b+4=S+2)2,从而|CQ|=h+2,

3333

故|COHCA|=2为定值.

18.(17分)已知向量a=(cos(-0),sin(-0)),Z>=(cos(^-/9),sin(^-6>)).

(1)求证:aJ_A；

【解析】(1)a=(cos(-0),sin(-^)),*=(cos(^-0),sin(^-6)).

=Q=(COS0,-sin夕)力二(sinacos0)

=>ab=cosOsin夕-sin0cos0=0,

故皿.

⑵若存在不为0的实数k和"吏尸。+（5+3迫产-痴+也满足x_Ly试求此时?的

V

最小值

【解析】（2）显然⑷二|例=Jcos2。+sin2e=l,x_Ly=xj=[a+«2+3）川.（-痴+仍）=0,

故可得-々⑷2+/（5+3）|臼2+[小奴~+3）]。力=0,

即-2+f（P+3）=00广«产+3）,

所以噌=户+什3=（什；）2+?,

t24

所以当时，字取得最小值学

19.（17分）（2024.衡阳模拟）在△A8C中,CD为AB边上的高，已知AC+BC=AB+CD.

⑴若A3=2CQ,求tan|的值；

【解析】⑴设ahc分别为△ABC中角A,B,C所对的边C。％,则a+b=c+h.

在△ABC中,由余弦定理得cos°二卫七二空尤3二空山L1=匕跑_1.

2ub2ub2ab2ab

由gabsin。二3九得Q〃芍

h2+2ch,h

所r-rpi1以+COSC=FT=1i+交

因为48=2CR所以c=26,于是出*=1+白芸，

sine2c4

Qc

c2sin-cos-sine4

ITOtan-=---=-----=".

22cos2c?1+COSC5

⑵若A5=zcnfc>o,求tanC的最小值及tanC取最小值时k的值

【解析】⑵方法一：由⑴知,1咛=3.

2ctan^

如图，在“8C中过B作AB的垂线£氏且使EB=2h,

贝!JCE=CB=a,贝!]AC^CE=a^-b>AE=y/c2+4h2,

即所以0<Z；

C3

于是即白tan2；

tanI342

令函数尸三/《（（）/），

JL一4

则产合在（0,1）上单调递增，

C3

ll.j2tan—2x-?4113

所以tan。二^褥曲与'此时仁5・

故所求tanC的最小值为当,此时k的值为|.

/乙

、111

方法二:由S=-ahsinC=-c7z=-c(a+b・c),得sinA+sinB-sinC=sinAsinB,

222

即sinA+sinB-sin(A+B)=sinAsinB,

/1/但用1-C0S4.1-C0S8.

化筒传-r+-r=i，

□nAB

即tan-+tan-=t1,

r22，

因为tan->0,tan->0,

22

,人-B

所以0<tan.tan鼠的1产产三，

C1-i4B3rqpi3C,

于是tan-=--T-B；=1-tan--tan->>,BP-<tan-<1,

2tan(j+-)22442

令函数产台联(0,1),

1-X

则产j在(0,1)上单调递增，

-X

X

Q3

所LL.以.ItanC2=tan^—涓2x-/7?4止1।匕„时3k=-

l-tan2-l-(-)272

故所求tanC的最小值为今此时k的值为*

/乙

阶段滚动检测(三)

120分钟150分

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.12024.西安模拟)已知S〃是等差数列｛如｝的前n项和,且满足他=43=22,则

*=()

A.25B.35C.45D.55

【解析】选B.设数列的公差为d,则*(4-d)+4+(4+d)+(4+2d)=22,所以d=3,

所以43=〃2+4=7,35=)=543=35.

2.已知等比数列｛4〃｝的各项均为正数若log2a3+10g2a9=4,则log2«6=()

A.±lB.±2C.2D.4

【解析】选C.由题意得43>0,。6>0,。9>0,〃3所哈所以

10g243+10g2〃9=10g2m349)=bg2Q看二210g2。6=4,贝!]10g"=2.

3已知数列｛an｝满足0=15,且3%+1=3。〃列.若诙a+i<0厕正整数k=()

A.24B.23C.22D.21

【解析】选B.由3〃〃+产3%2得。〃+1-“〃=[,所以数列｛。九｝为首项。1=15,公差“二-|的

JO

等差数列，所以为=15-刎-1)=亭+?

由以必+1<0得以>0,诙+1<0.令。“=令咛=0得片三所以。23>0,。24<0,所以/c=23.

4(2024.德宏模拟)已知正项等比数列｛金｝中,〃4,3。3,。5成等差数列.若数列｛小｝中存

在两项即访使得a0为它们的等比中项厕工+&的最小值为()

mn

A.lB.3C.6D.9

【解析】选B.设正项等比数列｛劣｝公比为名由血3GM5成等差数列，

得6。3=火+。5,即6。3=。34+。3。

得小+伏6=0,由q>0,解得9=2,

若数列｛如｝中存在两项瓯斯,使得鱼0为它们的等比中项厕(企。产即S,

即2城=。可2.6gn\

得2，〃+y则〃叱3三泠/）（〃什〃山+%?4）弓（5+2仁9=3,

当且仅当巴="即〃7=1,鹿=2时等号成立，

m.n

所以"的最小值为3.

mn

5.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列,中国古代许多著名的

数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术，的

算法，展现了聪明才智.如南宋数学家杨辉在《详解九章算法•商功》一书中记载的

三角垛、方垛、刍薯垛等的求和都与高阶等差数列有关.如图是一个三角垛，最顶

层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个

数为（）

A.464B.465C.466D.495

【解析】选B.记第n层有。〃个球，则〃尸1,。2=3,〃3=6,〃4=10,

结合高阶等差数列的概念知。2-0=2,435=3M4・〃3=4,...,“厂4〃一产〃（佗2）,则第30层

的小球个数。30=（。30-。29）+（。29-。28）+...+（。2/1）+。1=30+29+28+...+2+1=465.

6.已知等比数歹!J3J的公比夕上N：前n项和为S,若G+。5=36出+〃4=24,则下列说

法正确的是（）

A.g=3

B.44=81

C数列｛IgaJ与数列｛lg（S苑+2）｝都是等差数列

D.数列｛lg（Sn-2）｝是公差为lg2的等差数列

【解析】选C.由s+Q5=36,〃3+〃4=24,9eN：

但[aiq+%q4=36

3

可1。1[2+a1q=24'

解得QI=<7=2,故A错误；

则a〃=2〃,所以〃4=16,故B错误;

则S〃=Wp=2"L2,

1-Z

则lg4〃二川g2,1g⑸+2)=(〃+1)lg2.

因为lg6zM+i-lg6f«=(/?+l)lg2-/?lg2=lg2,

所以数列｛1g册｝是以Ig2为公差的等差数列.

因为1g⑸+i+2)-lg⑸+2)=(〃+2)lg2-(〃+l)lg2=lg2,

所以数列｛炮(5九+2)｝是以lg2为公差的等差数列，故C正确；

w+w+,2九+2A

lg(SnH-2)-lg(5n-2)=lg(2M)-lg(2-4)=lg|^,

乙一*

因为lg(S3-2)-lg(S2-2)=lg|^=lg3,

乙1**

1g⑸-2)-怆8-2)=怆会=旭*怆3,所以数列｛lg(S.2)｝不是等差数列，故D错误.

7.(2023合肥模拟)已知数列5｝满足即尸合⑼弓则

Q九+1Z

9〃9+1O〃IO+11。11+…+18〃18+19。19=()

1I19

yB.-C,35D.-T

【解析】选A.因为砌因此但等二铃==同理“3=-2©=3,。54

。九+1。工+1一+T42

an±2j_11I“ri，

Qn+3-1a+2+i11_a+l_

则a+4=nn

nan+2-iQn+1-1-iQn1一“八'

a?i+3+l+1an+2

an+2+1an+i+1Qn+i

因此33="。软-2=・；M4公尸-2,44人=3,其中则

7>(4h3)〃4h3+(4%-2)。软-2+(4%-1)。必-1+4k卬=;(4k+1),贝!]

6

9〃9+lOaio+l1々11+・••+18。18+19。19=乃+乙+方-20々20

=-x(13+17+21)-60=--.

62

【加练备选】

已知数列｛“?｝满足。2=0,。2〃+1=。2〃/,。2〃+2=。2〃+1・三7（〃£产）,则数列｛〃〃｝的第2024

nn+1

项为（）

2023202510111012

A.-------o.-------C-------U.-------

2024202410121011

【解析】选C.〃2”+2=42〃+l-7=。2〃+工」金N*),

n+1nn+1

所以Z024=。2。22+高-总,

11

612022=612020,

10101011'

11

。。

2020=201810091010’

〃4=42+1—,

2

累加得C12024=42+（1-阜-U）=0+1.

'22310111012710121012

8.（2024.长治模拟）已知数列｛〃〃｝满足空产T-,若0+042+...+。1。2...许金成

3H+1Qn+Tl5

立，则n的最大值为（）

A.7B.8C.9D.10

【解题指南】通过等差数列的定义求出｛△｝的通项公式，再利用裂项相消法求出

an

…如,进而确定〃的最大值.

【解析】选B.因为空=，*，

n+1an+n

整理得比JL=1,且工=3,

an+lanal

可知｛Z｝是首项为3,公差为1的等差数列，

an

所以2二3+〃-1=〃+2,可得〃〃=吃，

ann+2

当n>2时，可得……xj-二--------二2（」—-」—），

345n+2（n+l）（n+2）vn+ln+2z,

且陪符合上式，所以。加.•斯=2（言京）,

贝〃I+〃|〃2+...+〃16/2...Cln=2(—I——+...H-----)=1----〈一,

、2334n+1n+27n+2-5

解得n<8,BPn的最大值为8.

二、选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

顼符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（2023・太原模拟）已知正项数列｛o