★专题四　以静制动依迹寻源-几何最值问题

第二部分专题探究提升能力

★专题四以静制动，依迹寻源

——几何最值问题常见类型类型1

两点间最值问题类型2

点线间最值问题类型3

点弧间最值问题归纳总结类型1

两点间最值问题一、利用两点之间线段最短求线段和最小值1.异侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小.作法：结论：两点之间线段最短.2.同侧线段和最小值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小.作法：总结：将同侧两定点转化为异侧两定点问题，同1即可解决.二、利用两点之间线段最短求线段差最大值1.同侧线段差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大.作法：2.异侧线段差最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大.作法：总结：将异侧两定点转化为同侧两定点问题，同1即可解决.

例1

[2025·滁州一模]如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F为其对角线AC上的动点，且EF＝2，则△BEF周长的最小值为(

)B思路导引：△BEF周长的最小值

同侧动线段BE＋BF的最小值

借助正方形的对称性(DE＝BE或DF＝BF)，将DE沿EF平移(或将DF沿FE平移)使动端点E，F重合

异侧线段和最小值问题.

1.一副三角板按如图所示位置放置，∠ACB＝∠EBD＝90°，∠ABC＝30°，AC＝BD＝BE＝2，F为CE的中点，将△BDE绕点B旋转的过程中，AF的最大值为(

)针对训练A

A3.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，E，F分别是CD，AD上的动点，CE＝DF，连接AE，CF，则AE＋CF的最小值为

.

17

类型2

点线间最值问题归纳总结(1)一动点＋一定直线＋一定点如图1，定点A在直线l外，P为直线l上一动点，当AP最短时，确定点P的位置.图1作法：如图2，过点A作AP⊥直线l于点P，点P即为所求.图2(2)两动点＋两定直线＋一定点①如图3，定点A在∠POQ的外侧，动点B，C分别在OP，OQ上，当AB＋BC的值最小时，确定点B，C的位置.作法：如图4，过点A作AC⊥OQ于点C，交OP于点B，点B，C即为所求.图3图4②如图5，定点A、动点B在OP上，动点C在OQ上，当AC＋BC的值最小时，确定点B，C的位置.作法：如图6，作点A关于OQ的对称点A'，过点A'作A'B⊥OP于点B，交OQ于点C，点B，C即为所求.图5

图6③如图7，点P在∠AOB的内部，在OA上求作一点C，在OB上求作一点D，使PD＋CD的值最小.作法：如图8，作点P关于OB的对称点P'，过点P'作P'C⊥OA于点C，交OB于点D，点C，D即为所求.图7

图8

例2

[2025·宿州阶段练习]如图，在△ABC中，AB＝6，∠C＝30°，∠ABC＝90°，D是边BC上一动点，以AD为腰作等腰△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接BE，则BE的最小值为(

)B思路导引：在AC上取一点M，使AM＝AB，可证△ABE≌△AMD，得到BE＝MD，可知当MD最小，即MD⊥BC时，BE最小，利用边角关系求出MD即可.

4.[2025·阜阳期末]如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的动点，连接DE，EF，P，Q分别为DE，EF的中点，连接PQ.若∠B＝120°，BC＝2，则PQ的最小值为(

)针对训练A

5.[2024·宿州三模]如图，P是线段BC上一动点，连接AP，AC⊥BC，∠BAC＝∠PAQ＝60°，AC＝2，连接CQ.当AQ＝AP时，线段CQ的最小值为(

)B6.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝12，EF垂直平分AB，P是EF上一动点，过点P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP＋PH的最小值为

.

7.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一动点(不与点B，C重合)，过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，连接EF.若AB＝10，则EF的最小值为

.

5

类型3

点弧间最值问题归纳总结(1)定点与圆弧的距离的最值图1

图2

图3说明：如图1，圆外一点P到☉O的最短距离为PA，最长距离为PB(P，A，O，B四点在同一条直线上).理由如下：如图2，由三角形三边关系可知PC＋CO＞PO，即PC＋CO＞PA＋AO，因为CO＝AO，所以可知PC＞PA始终成立，即线段PA为圆外一点P到圆的最短距离.同理，如图3，由三角形三边关系可知PC＜PO＋OC，因为CO＝BO，所以可知PC＜PO＋BO，即PC＜PB始终成立，即线段PB为圆外一点P到圆的最长距离.说明：如图4，圆内一点P到☉O的最短距离为PA，最长距离为PB(A，P，O，B四点在同一条直线上)，理由同上(如图5、图6).

图4

图5

图6(2)关于圆弧的确定方法①定点定长得圆在几何图形中，通过折叠、旋转等得到的动点的轨迹为到定点的距离等于定长的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算.②直角的对边是直径在☉O中，AB为直径，C为圆上一点，始终有AB所对的∠C＝90°.若AB是固定线段，且总有∠ACB＝90°，则点C在以AB为直径的圆上.(此类型本来属于定弦定角，但是因为比较特殊，故单独分为一类)③对角互补的四边形任意四点A，B，C，D所围成的四边形对角互补，则A，B，C，D四点共圆.④定弦定角模型定角模型是直角模型的一种变形，其依据是已知定角，根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计算.若有一固定线段AB及线段AB所对的∠C大小固定，根据圆的知识可知点C并不是唯一固定的点，点C在☉O的弧ACB上(至于是优弧还是劣弧取决于∠C的大小，小于90°，则点C在优弧上运动；大于90°，则点C在劣弧上运动)例3

[2024·合肥寿春中学二模]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E，F分别是边CD，AD上的动点，AE，BF交于点G，连接DG.(1)若E，F分别是边CD，AD上的中点，则GF＝

；

(2)若AF＝DE，则DG的最小值为

.

思路导引：(1)由△BAF≌△ADE推出∠AGF＝90°，再证明△AGF∽△ADE，利用相似三角形的性质求解即可；(2)同(1)可得∠AGB＝90°，得到点G在以AB为直径的☉O上，当D，G，O三点共线时，DG有最小值，最小值为DO－OG的长，据此求解即可.

8.[2025·合肥蜀山区期末]如图，在△ABC