7.3　图形的平移、对称、旋转与位似

第一部分知识梳理课程重构

第七章图形的变换7.3图形的平移、对称、旋转与位似A

B

C

D1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)热身小练C第2题图2.如图，线段AB是由线段CD位似放大而成，则位似中心是(

)A.点P1B.点P2C.点P3D.点P4B第3题图3.如图，将一个长方形ABCD沿着直线EF折叠，顶点B刚好落在边CD上的点B'处.若∠1＝25°，则∠EFB的度数为

.

77.5°

4.[2025·山西]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A的对应点的坐标为

.

第4题图

知识梳理考点1

图形的平移1.在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做平移.平移要素：平移方向和平移距离.2.性质(1)平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小.(2)平移后得到的图形与原来图形的对应线段①

，对应角②

，对应点的连线平行(或共线)且相等.

相等相等考点2

图形的轴对称1.把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，又叫轴对称.2.如果一个图形沿一条直线折叠，折叠前后的图形完全重合，这个图形就叫做轴对称图形.3.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.考点3

图形的中心对称中心对称把一个图形绕某点旋转180°，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称中心对称图形把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转前后的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形中心对称的性质(1)成中心对称的两个图形全等(2)对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分常见的中心对称图形线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、边数为偶数的正多边形考点4

图形的旋转1.在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形的变换叫做旋转.这个定点叫做旋转中心、旋转的角度叫做旋转角.2.旋转的三要素：旋转中心，旋转方向和③

.

旋转角3.性质(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角.

位似中心2.性质：位似图形的对应边成比例，对应角相等，周长之比等于⑤

，面积之比等于⑥

；位似图形上的任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比；对应点的连线都经过位似中心，位似图形中的对应边平行(或共线).

相似比的平方相似比跟踪训练例1

[2025·黑龙江龙东地区]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(1，－3)，C(3，－4).(1)将△ABC向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出平移后的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出△A1B1C1绕原点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；(3)在(2)的条件下，求点C1旋转到点C2的过程中所经过的路径长.(结果保留π)【参考答案】(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；点C1(4，1).(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；点C2(－1，4).

例2

[2025·芜湖二模]如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是AD上一点，且AE＝2，F是CD上一点，连接EF，将△DEF沿EF折叠，使点D的对应点G落在矩形ABCD的内部.图1(1)若点G落在BC上，求点G到AB的距离；(2)如图2，若点G落在对角线AC上，求CF的长.图2【参考答案】(1)若点G落在BC上，则点F与点C重合，∴四边形EGFD为矩形，如图.∵EG＝ED＝6，∴四边形EGFD为正方形，∴GF＝6，∴GB＝2，即点G到AB的距离为2.

折叠图形，其本质就是图形的轴对称变换，解决这类问题时，重点是灵活运用轴对称图形的性质，如折叠前后的两个图形全等，对应边和对应角相等，对应点的连线被对称轴垂直平分等.要善于利用图中的几何特征，如垂直、三角函数等建立数量关系.例3

[2025·上海]小明正在进行探究活动：分割梯形并将其拼成等腰三角形，请你帮他一起探究.图1

图2

备用图(1)如图1所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC.E为边AB的中点，D是梯形ABCD的顶点，将△ADE绕点E旋转180°，点D旋转至点F的位置，得到的△DFC是等腰三角形，其中DF＝DC，设AD＝a，求边BC的长.(用含a的代数式表示)(2)如图2所示，在梯形MQPN中，MN∥QP，且MN＜PQ，MQ＝NP.请设计一种方案，用一条或两条直线将梯形MQPN分割成若干部分，再通过图形运动拼成一个不重叠、无缝隙的等腰三角形.请写出两腰的线段，以及这两条或一条直线与梯形的交点的位置.(模仿(1)中的论述语言：E为边AB的中点，D是梯形ABCD的顶点)【参考答案】(1)过点D作DH⊥BC于点H.∵DF＝DC，∴FC＝2FH.∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DHB＝90°，∴四边形ABHD是矩形，∴BH＝AD＝a.由旋转知BF＝AD＝a，∴FH＝BH＋BF＝2a，∴FC＝2FH＝4a，∴BC＝FC－FB＝4a－a＝3a.(2)本题答案不唯一，合理即可.方案一：如图1，连接QN，MP，把△MNQ沿MP平移使点M与点P重合，得到△PGH；再把△PGH沿QG对折，得到△PGN，H与N是对应点，则△NQG是等腰三角形，其中两腰分别为NQ，NG，点N，Q分别是梯形的顶点.图1方案二：如图2，设边MQ，MN，NP的中点分别为E，G，F.连接EG，FG.将△EGM绕点E旋转180°，点G旋转至点H的位置，将△FGN绕点F旋转180°，点G旋转至点I的位置，得到的△GHI是等腰三角形，其中两腰分别为GH，GI，GH交MQ于中点E，GI交NP于中点F.图21.[2024·安徽第14题]如图，现有正方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，BC上，沿垂直于EF的直线折叠得到折痕MN，点B，C分别落在正方形所在平面内的点B'，C'处，然后还原.(1)若点N在边CD上，且∠BEF＝α，则∠C’NM＝

；(用含α的式子表示)

图形的对称(含折叠)

90°－α

命题点1真题精练(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH，点G，H分别在边CD，AD上，点D落在正方形所在平面内的点D'处，然后还原.若点D'在线段B'C'上，且四边形EFGH是正方形，AE＝4，EB＝8，MN与GH的交点为P，则PH的长为

.

【解析】(1)由折叠的性质得∠C'NM＝∠CNM，∵AB∥CD，∴∠CNM＝∠EMN.又∵MN⊥EF，∴∠EMN＋∠BEF＝90°，∴∠EMN＝90°－α，∴∠C'NM＝90°－α.

命题点2网格中图形的变换作图2.[2025·安徽第16题]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点).已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6).(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1.解：(1)如图所示，点D即为所求；点D(－2，－1).(2)如图所示，△A1B1C1即为所求.3.[2024·安徽第16题]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4).(1)以点D为旋转中心，将△