北京邮电大学2025年通信工程拔尖计划专业基础试题及答案

北京邮电大学2025年通信工程拔尖计划专业基础试题及答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.已知离散时间信号x[n]={1,2,3,4,0,0,...}，求其傅里叶变换X(e^(jω))，并简述其物理意义。2.描述一个线性时不变（LTI）系统，其输入信号为f(t)，输出信号为y(t)。若该系统的冲激响应为h(t)，请写出卷积积分表达式，并解释其含义。若已知系统函数H(jω)=1/(1+jω)，求其单位阶跃响应的表达式（无需计算具体积分）。二、1.根据采样定理，若一个连续时间信号的最高频率分量为f_mHz，为了无失真地恢复该信号，奈奎斯特采样率f_s应为何值？请解释为何不能低于该值。2.已知一个离散时间序列x[n]={...,1,-1,2,-2,1,-1,2,-2,...}，周期为N=4。求其DFTX[k]（k=0,1,2,3），并给出计算过程或关键步骤。三、1.简述理想低通滤波器的频率响应特性（幅度响应和相位响应）。若一个理想低通滤波器的截止频率为ω_c，请定性画出其单位冲激响应h(t)的波形，并说明其物理可实现性。2.比较FIR滤波器和IIR滤波器在设计、稳定性、相位特性等方面的主要区别。四、1.写出真空中均匀平面波的波动方程表达式，并说明其中各变量的物理意义。若电场强度E=E₀cos(kz-ωt)ĵ，求磁场强度H的大小和方向表达式（设介质为自由空间，μ₀,ε₀为已知常数）。2.在同轴电缆中，请简述传输线方程的推导过程，并说明其物理意义。若已知同轴电缆的内外导体半径分别为a和b，介电常数为ε，磁导率为μ，请推导其特性阻抗Z₀的表达式。五、1.什么是幅度调制（AM）？请写出标准AM信号的时域表达式，并说明其带宽与调制信号带宽的关系。AM接收机通常采用哪种解调方式？简述其基本原理。2.什么是正交幅度调制（QAM）？请简述QAM调制的优点，并比较QPSK调制与16-QAM调制在带宽效率和抗干扰能力方面的差异。六、1.在数字通信系统中，什么是香农信道编码定理？请简述其基本内容，并说明其意义。2.假设一个二进制相移键控（BPSK）系统，发送端发送'0'和'1'的概率均为1/2。接收端在加性高斯白噪声（AWGN）信道中接收信号，噪声单边功率谱密度为N₀/2。请推导BPSK系统在理想相干解调下的误码率表达式（表达式即可，无需计算）。七、1.请解释什么是数字信号的归零（RZ）码、非归零（NRZ）码和曼彻斯特（Manchester）码，并比较它们在抗干扰能力和带宽效率方面的优缺点。2.什么是自动增益控制（AGC）？请简述其在通信系统中的作用原理。试卷答案一、1.X(e^(jω))=Σ_{n=-∞}^{∞}x[n]*e^(-jωn)=1+2e^(-jω)+3e^(-2jω)+4e^(-3jω)。物理意义：它表示离散时间信号x[n]在频域中的分布，反映了信号在不同频率分量上的强度（幅度）和相位。2.卷积积分表达式：y(t)=∫_{-∞}^{∞}f(τ)*h(t-τ)dτ。含义：系统输出是输入信号与系统冲激响应的卷积，它描述了系统对任意输入的响应特性。单位阶跃响应g(t)=∫_{-∞}^{t}h(τ)dτ或通过g'(t)=h(t)积分得到，其中H(jω)=∫_{-∞}^{∞}h(t)*e^(-jωt)dt，所以g(t)=(1/2)*[1-cos(ωt)]*u(t)（此处假设t>=0，u(t)为阶跃函数）。二、1.奈奎斯特采样率f_s≥2*f_mHz。原因：根据采样定理，若采样率低于最高频率的两倍，会发生频谱混叠，导致无法从采样信号中无失真地恢复原始信号。2.X[0]=Σ_{n=0}^{3}x[n]*e^(0)=1+(-1)+2+(-2)=0。X[1]=Σ_{n=0}^{3}x[n]*e^(-j(1*2πk/4))=1+e^(-jπ/2)-1-e^(-jπ/2)=0。X[2]=Σ_{n=0}^{3}x[n]*e^(-j(2*2πk/4))=1-1+2-2=0。X[3]=Σ_{n=0}^{3}x[n]*e^(-j(3*2πk/4))=1+e^(-3jπ/2)-1-e^(-3jπ/2)=0。计算过程：利用DFT的定义式，对周期序列的每个点进行计算。三、1.频率响应H(jω)=|H(jω)|*e^(jφ(ω))。幅度响应|H(jω)|：在|ω|<ω_c时为1，在|ω|>ω_c时为0。相位响应φ(ω)：在|ω|<ω_c时为0，在|ω|>ω_c时为-ω。h(t)波形：δ(t)-(1/ω_c)*sin(ω_c*t)*u(t)。物理不可实现性：由于理想低通滤波器的冲激响应在t<0时不为零（其傅里叶变换是矩形函数，具有无限支撑），这与物理系统的因果性（响应不能早于激励）相矛盾。2.FIR滤波器：有限冲激响应，h[n]非零长度有限。设计方法灵活（如窗函数法、频率采样法），相位可严格线性（线性相位FIR）。稳定性总是保证的。IIR滤波器：无限冲激响应，h[n]无限长。设计方法多样（如巴特沃斯、切比雪夫、椭圆滤波器），可实现更陡峭的滚降，但可能存在相位失真（非线性相位）。稳定性取决于极点位置。四、1.波动方程：∇²E-(μ/ε)*(∂²E/∂t²)=0（或∇²H-(μ/ε)*(∂²H/∂t²)=0）。E：电场强度矢量；H：磁场强度矢量；μ：磁导率；ε：介电常数；t：时间；z：传播方向。H=(ε/μ)*E₀*cos(kz-ωt)*(-k̂)（或H=E₀/η*cos(kz-ωt)*(-k̂)，其中η=√(μ/ε)为波阻抗）。方向：根据右手螺旋定则，与E和k互相垂直。2.推导过程：基于电场和磁场在传输线导体表面切向分量为零的边界条件，结合法拉第定律和安培定律，推导出关于电压和电流沿线的偏微分方程：v̂(z,t)=v(z,t)*̂x,ı̂(z,t)=ı(z,t)*̂y。对t求偏导，对z求偏导，得到∂²v/∂z²=-(1/λ²)*∂²v/∂t²和∂²ı/∂z²=-(1/λ²)*∂²ı/∂t²。λ为相波长。利用关系v=Z₀*ı，代入得到传输线方程：∂²v/∂z²+(1/(v₀*Z₀))*∂v/∂t²=0和∂²ı/∂z²+(1/(v₀*Z₀))*∂ı/∂t²=0。物理意义：描述了电压和电流沿传输线传播时满足的波动关系。特性阻抗Z₀=√((R+jωL)/(G+jωC))。对于理想无损线（R=0,G=0），Z₀=√(L/C)。五、1.AM是用调制信号去改变载波信号的幅度。时域表达式：s(t)=[1+m(t)]*cos(ω_ct)，其中m(t)为调制信号幅度，|m(t)|≤1。带宽B=2*f_mHz。解调方式：包络检波器。原理：利用二极管整流和电容滤波，直接检出调制信号s(t)的包络，即恢复出m(t)。2.QAM是一种幅度和相位都调制的调制方式，每个符号点对应一个唯一的(Am,φm)对。优点：在相同的带宽内可以传输更多比特信息（提高频谱效率）。比较：QPSK比带宽效率更高（每个符号2比特），抗干扰能力相对16-QAM较强（每个符号4比特，错误比特影响更大）。16-QAM带宽效率更高（每个符号4比特），但每个比特错误概率更高，对噪声更敏感。六、1.香农信道编码定理：在有噪声的信道中传输信息，存在一个最大的传输速率C=B*log₂(1+SNR)，其中B是信道带宽，SNR是信噪比。只要传输速率R≤C，就存在一种编码方案，使得接收端在错误概率任意小（P_error→0）的前提下，能够正确恢复发送的信息。意义：给出了信道传输信息的理论极限，指导了通信系统设计和编码方案的选择。2.误码率表达式：P_error=Q(√(2*γ_b*(1-η)))，其中γ_b=E_b/N₀是每比特能量与噪声功率谱密度的比值，η=P_s/(P_s+P_n)是发送功率与总功率之比（P_s为信号功率，P_n为噪声功率），Q(x)是标准高斯Q函数Q(x)=(1/√(2π))*∫_x^∞e^(-t²/2)dt。七、1.归零码（RZ）：信号在码元持续时间内为高电平，在非码元时间内为低电平。优点：有明显的码元边界，易于定时提取。缺点：带宽效率低，功耗高。非归零码（NRZ）：信号在码元持续时间内保持高或低电平。优点：带宽效率比RZ高，功耗较低。缺点：码元边界不明显，在低频信号或长连零/连一序列中定时提取困难。曼彻斯特码：在每个码元的中间翻转电平。优点：每个码元都有电平翻转，既提供定时信息，也传输数据（