2026山西卓越联盟高三12月质量检测卷（205C）数学试题及答案

2025～2026学年高三12月质量检测卷

数学(A卷)

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答

题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数及其应用，一元函数的导数及其应用，

解三角形，三角函数，数列，向量复数，立体几何与空间向量，解析几何，概率统计。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.设集合A={x|x²—2x—15<0),B=(x|log₂x—1>0),则A∩B=

A.(—3,3)B.(3,5)C.(一3,5)D.(2,5)

2.设(2+i)x=4-yi,其中x,y是实数，则|x+yi|=

A.2B.2√2C.2√3D.4

3.某单位100名男员工的体重(单位：kg)(体重均在(55,80)内)经测量整理如下表所示.

体重(55,60)(60,65)[65,70](70,75)(75,80)

频数153532153

根据表中数据，下列结论正确的是

A.这100名男员工的体重的中位数大于65.5kg

B.这100名男员工中体重不低于70kg的员工占比超过20%

C.这100名男员工的体重的极差介于25kg至30kg之间

D.这100名男员工的体重的平均值介于62.8kg至67.8kg之间

4.已知曲线C:x²+y²=4,从C上任意一点P向y轴作垂线PP′,P′为垂足，则PP′的中点M

所在曲线的方程为

ABCD

【高三12月质量检测卷·数学(A卷)第1页(共4页)】

5.已知向量a=(一1,1),b=(cosx,sinx),f(x)=a·b,则

A.f(x)的最大值为1B.曲线y=f(x)关于直线对称

C.f(x)在上单调递增D.f(x)在(一2π,2π)上有5个零点

6.设各项为正数的等比数列(an)中，a₁=8,则9ag+a₁₃取最小值时，as等于

ABCD

7.定义在R上的奇函数f(x)满足f(2+x)=f(一x),当1≤x<2时，f(x)=√2-x,则

A.BC.√2D.1+√2

8.已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PA=PB=AB,△ABC是等腰直角三

角形，斜边BC长为2√2,E,F分别是PA,PC的中点，∠BEF=90°,则球O的体积为

ABC.2√6πD.4√2π

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.甲、乙两人玩石头、剪刀、布游戏.在一次游戏中，记事件M:甲、乙两人出的都是剪刀；事件

N:甲、乙两人出的相同；事件T:甲、乙两人至少有1人出的是布.则

A.M与T互斥B.N与T互为对立事件

C.P(MN)=P(M)D.P(M)十P(N)<P(T)

10.已知曲线C:ax²+by²=1,其中a,b是实数，且a,b至少有1个大于0,则

A.曲线C关于x轴对称

B.当ab>0时，曲线C表示椭圆

C.当ab<0时，曲线C表示双曲线

D.当ab=0时，曲线C表示两条平行直线

11.设a,b∈R,函数函数g(x)=f(x)一b,则下列说法正确

的是

A.a>0,b>0时，g(x)有2个零点B.a<-1,b>0时，g(x)有1个零点

C.g(x)有3个零点时，a>-1,b<0D.g(x)有4个零点时，a<-1.b<0

【高三12月质量检测卷·数学(A卷)第2页(共4页)】

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若样本数据1,3,a,5,6的平均数为4,则该样本的方差为

13.在△ABC中，AB=3,AC=2,其面积为4cosA,则BC=

14.设抛物线y²=2px(p>0)的焦点为F,准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.

设C(p,0),AF与BC相交于点E.若|AB|=2|CF|,且△ABE的面积为3,P是抛物线上的

一点，则|PC|的最小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分13分)

12月2日是全国交通安全日.为了增强学生交通安全意识，某中学有600名学生参加了交

通安全知识测评.根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了200名学

生，记录他们的分数，将数据分成4组：(20,40),(40,60),(60,80),[80,100],并整理得到如

下频率分布直方图.

(1)从总体的600名学生中随机抽取一人，估计其分数小于60的概率；

(2)若样本中有一半男生的分数不小于60,且样本中分数不小于60的男女生人数相等.试

估计总体中男生和女生人数的比例.

频率

组距

0.020

0.015

0.010-

0.005

o20406080100分

16.(本小题满分15分)

设数列(an)的前n项和S,=n²—kn,as=7.数列{bₙ)是等比数列，b₁=a₂,b₄(a₂+as)=1.

(1)求数列{aₙ),{bₙ)的通项公式；

(2)若T,是数列(anbn)的前n项和，求满足的最小的正整数n的值.

【高三12月质量检测卷·数学(A卷)第3页(共4页)】

17.(本小题满分15分)!

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是梯形，PD=AD=AB,

CD=2AB,AD⊥AB,AD⊥CD,点M是棱PC上一点，且BM//平面PAD.

(1)求证：BMLCD;

(2)求平面PBC与平面MBD所成二面角的正弦值.

18.(本小题满分17分)

设函数f(x)=ax+e—1,a∈R.

(1)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线经过点(2,1),求实数a的值；

(2)讨论f(x)的单调性；

(3)若存在正实数t,使得对Vx∈(0,t),都有|f(x)|>3x,求a的取值范围.

19.(本小题满分17分)

已知点P(3,√15)在双曲线上，A,B是C的左、右顶点，F是C

的右焦点，|PB|=|PF|,且|PB|是整数.

(1)求双曲线C的方程；

(2)设过点F的直线与C的右支交于M,N两点，直线MA与直线NB交于点D.

(i)证明：点D在定直线上；

(i)若直线MB与直线NA交于点H,求△DFH面积的最小值.

【高三12月质量检测卷·数学(A卷)第4页(共4页)】

2025～2026学年高三12月质量检测卷·数学(A卷)

参考答案、提示及评分细则

1.D因为A={x|x²—2x—15<0}={x|-3<x<5},B={x|log₂x—1>0}={x|x>2},所以A∩B={x|2<

x<5}.故选D.

2.B由(2+i)x=4-yi得2x=4,x=-y,所以x=2,y=-2,所以|x+yi|=2√2.故选B.

3.D若将体重从低到高排，用x;表示，则x5o<65,x₅1≥65,xso+x₅1=131时，中位数是65.5,A错误；100名

男员工中，体重不低于70kg的有18人，占比18%,B错误；极差x100—x₁<80—55=25,C错误；每组员工体

重都取最低值时，平均值为62.8,每组员工体重都取最高时，平均值低于67.8,D正确.故选D.

4.A设P(x₁,y₁),M(x,y),则x₁=2x,y₁=y,因为x²+y²=4,所以4x²+y²=4,所以.故选A.

5.C),f(x)的最大值为,f(x)的图象关于点

对称，所以AB错误；时，,f(x)在上单调递增，C正确；

f(x)在(一2π,2π)上的零点为,共4个，D错误.故选C.

6.B设公比为q(q>0),所以,当且仅,即q²=

3时取等号，此时.故选B.

7.Df(x)是奇函数，且f(2+x)=f(一x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称，且f(2+x)=f(-x)=

一f(x),f(4+x)=—f(2+x)=f(x),4是f(x)的一个周期，所以f(2)=f(0)=0,又当1≤x<2时，

f(x)=√2-x,所以,f(1)=1,,f(3)=

f(一1)=-f(1)=-1,,f(4)=f(0)=0,所以所以

8.A因为△ABC是等腰直角三角形，斜边为BC,所以AB⊥AC.因为E,F分别是PA,PC的中点，所以EF//

AC,又∠BEF=90°,所以BE⊥AC,又平面PAB中AB与BE相交，所以AC⊥平面PAB.由△ABC是等腰

直角三角形，斜边BC长为2√2知AB=AC=2,又PA=PB=AB,所以△PAB是边长为2的正三角形，其外

接圆半径为,△APC与△ABC是两个全等的直角三角形，设三棱锥P-ABC的外接球的半径为R,则

,所以,所以球O的体积.故选A.

9.ACD样本空间{(石头，石头),(石头，剪刀),(石头，布),(剪刀，石头),(剪刀，剪刀),(剪刀，布),(布，石

头),(布，剪刀),(布，布)},事件M包含的样本点为(剪刀，剪刀),事件N包含的样本点为(石头，石头),(剪

刀，剪刀),(布，布),事件T包含的样本点为(石头，布),(剪刀，布),(布，石头),(布，剪刀),(布，布),所以M

与T互斥，N与T不互为对立事件.又事件MN包含的样本点为(剪刀，剪刀),所以

,所以ACD正确，B错误.故选ACD.

10.ACD显然(x,—y)适合C的方程，A正确；当ab>0,取a=b=1,C表示圆，B错误；当ab<0时，a>0,b<

0,C是焦点在x轴上的双曲线；a<0,b>0,C是焦点在y轴上的双曲线，C正确；当ab=0时，a>0,b=0,C

是与y轴平行的两条直线；a=0,b>0,C是与x轴平行的两条直线，D正确.故选ACD.

11.ABa≥0时，由f(x)<0得x<0或0<x<a+1;由f(x)>0得x>a+1,

【高三12月质量检测卷·数学(A卷)参考答案第1页(共4页)】

x=0是f(x)的断点，f(x)在(一∞,0)与(0,a+1)上单调递减，在(a+1,+∞)上单调递增.a>0,b>0时，

y=f(x)的图象与直线y=b有2个交点，g(x)有2个零点，A正确；a≤-1时，由f(x)<0

f(x)>0得或x>0,x=0是f(x)的断点，在上单调递减，在与(0,+∞)上

单调递增.a<-1,b>0时，y=f(x)的图象与直线y=b有1个交点，g(x)

有1个零点，B正确；一1<a<0时，由f'(x)<0得或0<x<a+1;由f(x)>0得或x>

a+1,f(x)在)与(0,a+1)上单调递减，在与(a+1,+∞)上单调递增.当

,取a,b满足,)时，y=f(x)的图象与直线y=b有3

个交点，g(x)有3个零点，C错误；a≤-1时，y=f(x)的图象与直线y=b至多有2个交点，g(x)至多有2

个零点，D错误.故选AB.

12.4得a=5,所以方差

13.因为,所以,由余弦定理得到

BC²=AC+AB²—2·AC·AB·cosA,解

14.3),l:,|AB|=2|CF|=p,由对称性不妨设A(x,y)(y>0),则,x=

,又y²=2px,所以y=p.由|AB|=2|CF|得|AE|=2|EF|,所以E点纵坐标为·,由△ABE的面积为

,得p=3,所以抛物线方程为y²=6x,C点坐标为(3,0),设P(x,y),则|PC|=

√(x-3)²+y²=√(x—3)²+6x=√x²+9,当P点是抛物线的顶点时，|PC|取最小值3.

15.解：(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数小于60的频率为(0.005+0.015)×20=0.4,…………2分

所以从总体的600名学生中随机抽取一人，其分数小于60的概率估计为0.4.…………4分

(2)由题意可知，样本中分数不小于60的学生人数为(0.020+0.010)×20×200=120,………………6分

所以样本中分数不小于60的男生人数为…………………8分

因为样本中有一半男生的分数不小于60,所以样本中男生为120人，女生为200—120=80,………10分

所以样本中男生和女生人数的比例为120:80=3:2,…………………12分

所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3:2.………………13分

16.解：(1)因为S,=n²—kn,a₅=7,所以由as=S₅-S4得(25-5k)—(16—4k)=7,所以k=2,…………1分

所以Sₙ=n²—2n,ar=-1,…………………2分

n>1时，an=S—S-1=(n²—2n)—(n²—2n+1-2n+2)=2n-3,3分

又n=1时，2n—3=-1=a₁,所以{an}的通项公式为a=2n-3;………4分

设{b,}的公比为q,

因为b₁=a₂=1,b₄(a₂+as)=1,所以,………6分

所以{b,}的通项公式为

(2)由(1)知,所以{anbn}的前n项和,……9分

,…………………10分

【高三12月质量检测卷·数学(A卷)参考答案第2页(共4页)】

……………………12分

所以………………………13分

由得

令,则,所以Cn+1≤Cn,

因为,所以………………14分

所以满足的最小的n的值为11.…………………15分

17.(1)证明：过M作MN//CD,交PD于点N,在梯形ABCD中，AD⊥AB,AD⊥CD,所以AB//CD,所以AB

//MN,连接AN,则平面PAD∩平面ABMN=AN,1分

因为BM//平面PAD,BMC平面ABMN,所以AN//BM,……2分

因为PD⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PD⊥CD,……3分

因为AD⊥CD,AD∩PD=D,AD,PDC平面PAD,所以CD⊥平面

PAD,…………5分

因为ANC平面PAD,所以AN⊥CD,所以BM⊥CD6分

(2)解：如图，以D为原点，DA,DC,DP分别为x轴，y轴，z轴建立空

间直角坐标系D-xyz.

设PD=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0),……7分

由(1)知MN//AB,又AN//BM,所以四边形ABMN是平行四边形，即M,N分别是

PC,PD的中点，………………8分

.………………10分

设平面MBD的法向量为n=(a,b,c),

因为n·DB=0,n·DM=0,所以

取a=-1得n=(-1,1,-2).……………………12分

同样可求得平面PBC的一个法向量m=(1,1,2),…………………13分

设平面PBC与平面MBD所成二面角为α,

.………………14分

……………15分

18.解：(1)因为f(x)=ax+e²-1,所以f(x)=a+e,1分

f(0)=0,f(0)=a+1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(O))处的切线为y=(a+1)x,·2分

又切线过点(2,1),所以2(a+1)=1,所以.………3分

(2)f(x)的定义域为R,f'(x)=a+e,

当a≥0时，f(x)>0,f(x)在R上单调递增；………………4分

当a<0时，由f(x)=0,得x=1n(一a);由f(x)>0,得x>ln(一a);由f(x)<0,得x<ln(一a),

所以f(x)在(一∞,In(-a))上单调递减，在(ln(一a),十∞)上单调递增.……………6分

(3)当a≥0时，f(x)在R上单调递增，由f(0)=0知x∈(0,t)时，f(x)>0,7分

当a<0时，由(2)知当In(一a)≤0,即一1≤a<0时，f(x)>0对x∈(0,t)成立，………8分

所以a≥-1时，存在正实数t,使得对Vx∈(0,t),f(x)>0,从而|f(x)|>3x化为(a-3)x+e-1>0;

…………………9分

【高三12月质量检测卷·数学(A卷)参考答案第3页(共4页)】

当In(-a)>0,即a<-1时，由(2)知f(x)在(0,In(-a))上单调递减，Vx∈(0,In(一a)),f(x)<0,

|f(x)|>3x化为—ax—e+1>3x即e+(a+3)x-1<0,10分

①a≥-1时，令g(x)=(a—3)x+e-1,则g(0)=0,g'(x)=(a-3)+e,

当a≥3时，g'(x)>0,g(x)在R单调递增，存在正实数t,使得对Vx∈(0,t),g(x)>0,11分

当a<3时，由g'(x)=0得x=ln(3-a),由g'(x)>0得x>In(3-a),g'(x)<0得x<ln(3—a),所以

g(x)的单调递增区间为(In(3—a),+∞),单调递减区间为(-∞,In(3—a)),要存在正实数t,使得对

Vx∈(0,t),g(x)>0,则In(3-a)≤0,所以2≤a<3;…………………13分

②当a<-1时，令h(x)=e+(a+3)x—1,h(0)=0,h'(x)=e+a+3,要存在正实数t,使得对Vx∈(0,

t)