2026届四川省成都市成华区列五中学高三上学期12月一诊考前模拟数学试题（含答案）

2025-2026学年度(上)一诊模拟考试

高2023级数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={xlx²≥4},B={-2,-1,0,2,3},R是实数集，则(CA)∩B=()

A.{0,2}B.{-1,0}C.{-1,0,2}D.{-1}

2.若复数z满足(1-i)z=1,则在复平面内z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知{a}为等差数列，其公差为-2,且a₇是a₃与a₉的等比中项，S为{a,}的前n项和，n∈N*,则S10

的值为()

A.—110B.一90C.90D.110

4.设双曲线C:的左、右焦点分别为F₁,F₂,以F₂为圆心的圆恰好与双曲线C的两

渐近线相切，且该圆恰好经过线段OF₂的中点，则双曲线C的离心率是()

B.√3

5.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数

是()

A.30B.60C.120D.240

6.设直线y=x+2a与圆C:x²+y²-2ay-2=0相交于A,B两点，若AB|=2√3,则圆C的面积为()

A.4πB.3πC.2πD.π

7.已知函数f(x)=acos2x+√1-a²sin2x(0<a≤1)的图象关于直线对称，若方程

f(x)=m(m∈R)在上恰有两个实数根，则m的取值范围是()

B

8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f'(2-x)+f'(x)=2,f'(-1)=2,

A.2025B.2024C.1013D.1012

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件A,B发生的概率分别为,则()

A.若则事件A与B相互独立

B.若A与B相互独立，则

C.若A与B互斥，则

D.若B发生时A一定发生，则

10.设x>0函数f(x)=Inx,,则下列结论中正确的是()

A.存在x>0,使得f(x)>x-1

B.函数f(x+1)的图象与函数y=e-1的图象有且仅有一条公共的切线

C.函数g(x)图象上的点与原点距离的最小值为2√2

D.函数f(x)+g(x)的极小值点为x=1

11.如图，在平面四边形ABCD中，BD=2√3,AD=3,CD=4,∠A=∠CBD=90°,将△BCD沿BD折起，使

点C到达点C₁的位置，下面正确的是()

A.P为线段BD上的动点，则PA+PC的最小值为√13

B.异面直线BC₁与AD所成角的余弦值取值范围是

C.若平面C₁BD⊥平面ABD,M在三角形C₁AD内部，则M轨迹长度为2π

D.当三棱锥C₁-ABD的体积最大时，三棱锥C₁-ABD的外接球的表面积为16π

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a=(1,0),b=(x,-2),且a⊥(a-2b),则x=

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13.某一随机变量X的分布列如下表，且n-m=0.2,则E(3X+2)=

X0123

P0.1m0.2n

14.已知平面四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,则该平面四边形ABCD面积的最

大值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本题满分13分)己知在锐角三角形中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

(1)求角C大小；

(2)当c=1时，求ab的取值范围

16.(本题满分15分)已知动点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和P到定直线l:x=2的距离的比是常数

记点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设点F'(-1,0),若曲线C上两点M,N均在x轴上方，且FM//F'N,,求直

线FM的斜率.

17.(本题满分15分)如图，在三棱锥ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC=1,点

M,N分别是线段SB,AC上的动点，且满足SM=AN=a(0<a<√2).

(1)证明：BC⊥平面SAB;

(2)当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值.

18.(本题满分17分)今年入夏以来，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要

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是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳

辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态川内某城市一室内游泳馆，

为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在

App平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.

星期t123456

销售量y

21822423023223690

(张)

经计算可得：

(1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现

剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；

(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为·,选择B套餐的概率为,并且A套餐包含两张优惠券，

B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为P,求P;

(3)请依据下列定义，解决下列问题：

定义：如果对于任意给定的正数8,总存在正整数N₀,使得当n>N₀时，|aₙ-a|<ε(a是一个确定的实

数),则称数列{a}收敛于a.

运用：记(2)中所得概率P的值构成数列{P}(n∈N*)求P的最值，并证明数列{P收敛.

参考公式：

19.(本题满分17分)已知函数f(x)=1n(x+1)+acosx,a∈R.

(1)当a=1,求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)当a=1,求函数f(x)的零点个数；

(3)Vx≥0,f(x)≥0,求整数a的值.

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2025-2026学年度(上)一诊模拟考试

高2023级数学

第I卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

12345678

BADABACA

8.已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,且f(x-1)为奇函数，f'(2-x)+f'(x)=2,f'(-1)=2,

则

A.2025B.2024C.1013D.1012

【答案】A

【分析】根据题意和函数的对称性可得f'(x)+f'(x+4)=2,进而f'(x)=f'(x+8),则函数f(x)是以8为周

期的周期函数，分别求出f'(1),f'(3),f'(5),f'(7)的值，结合函数的周期即可求解.

【详解】由f'(2-x)+f'(x)=2,令x=1,得2f'(1)=2,所以f'(1)=1.

由f(x-1)为奇函数，得f(x-1)=-f(-x-1),

所以f(x-1)=f'(-x-1),故f'(x)=f'(-x-2)①,

又f'(2-x)+f'(x)=2②,

由①和②得f'(2-x)+f'(-x-2)=2,

即f'(4-x-2)+f'(-x-2)=2,

令t=-x-2,则f'(4+t)+f'(t)=2,

所以f(x)+f'(x+4)=2③,

令x=-1,得f'(-1)+f'(3)=2,得f'(3)=0;

令x=1,得f'(1)+f'(5)=2,得f(5)=1.

又f'(x+4)+f'(x+8)=2④,

由③-④得f'(x)-f'(x+8)=0,即f'(x)=f'(x+8),

所以函数f'(x)是以8为周期的周期函数，故f'(7)=f'(-1)=2,

所以f'(1)+f'(3)+f'(5)+f'(7)=1+0+1+2=4,

所以

故选：A

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知事件A,B发生的概率分别为,则(AB)

A.若则事件A与B相互独立

B.若A与B相互独立，则

C.若A与B互斥，则

D.若B发生时A一定发生，则

10.设x>0函数f(x)=Inx,,则下列结论中正确的是()

A.存在x>0,使得f(x)>x-1

B.函数f(x+1)的图象与函数y=e-1的图象有且仅有一条公共的切线

C.函数g(x)图象上的点与原点距离的最小值为2√2

D.函数f(x)+g(x)的极小值点为x=1

【答案】BD

【详解】对于A,设h(x)=f(x)-x+1=lnx-x+1,x>0,

令h(x)>0,即0<x<1;令h(x)<0,即x>1,

所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

所以h(x)=f(x)-x+1≤h(1)=0,

即f(x)≤x-1恒成立，故A错误；

对于B,函数y=f(x+1)=1n(x+1),则x+1=e,即x=e-1,

所以函数y=f(x+1)与y=e-1互为反函数，图象关于直线y=x对称，

且直线y=x为函数y=f(x+1)与y=e-1唯一的公切线，故B正确；

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对于C,函数图象上的点(m≠0)与原点距离为

当且仅当,即m²=√2时等号成立，

所以函数图象上的点与原点距离的最小值为√4√2+4,故C错误；

对于D,

令F'(x)>0,即x>1;令F'(x)<0,即0<x<1,

所以函数F(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增，

所以当x=1时函数F(x)取得极小值，故D正确.

故选：BD.

11.如图，在平面四边形ABCD中，BD=2√3,AD=3,CD=4,∠A=∠CBD=90°,将△BCD沿BD折起，使

点C到达点C₁的位置，下面正确的是()

A.P为线段BD上的动点，则PA+PC的最小值为√13

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B.异面直线BC₁与AD所成角的余弦值取值范围是

C.若平面C₁BD⊥平面ABD,M在三角形C₁AD内部，则M轨迹长度为2π

D.当三棱锥C₁-ABD的体积最大时，三棱锥C₁-ABD的外接球的表面积为16π

【答案】ABD

【分析】A选项在翻折前的平面四边形ABCD中，当APC共线，即AC的长就是PA+PC的最小值，结合

余弦定理求解即可；B选项，利用空间向量表示异面直线夹角的余弦值；C选项，先由等体积法可求得点B

到平面C₁BD的距离，则可得在平面C₁AD内，M的轨迹为圆，但要判断此圆是否完全在三角形C₁AD内；D

选项，分析体积最大时的几何关系，由直角三角形斜边中线性质可得出圆心半径，求出表面积.

【详解】A选项，在直角三角形ABD中，,则∠ADB=30°,

在直角三角形CBD中，,则∠CDB=30°,

对于线段BD上的任意动点P,翻折前后总有PA+PC₁=PA+PC,

对于翻折前的平面四边形ABCD,当APC共线，即AC的长就是PA+PC的最小值，

由于AD=3,CD=4,∠ADC=60°,由余弦定理可得AC=√13,故A正确；

B选项，BC₁·DA=(DC₁-DB).DA=DC·D1-DB·DA,

DB.DA=|DB|DA|cos∠ADB=9,

DC₁·DA=|pc|pA|cos∠ADC₁=12cos∠ADC₁,

对于∠ADC₁,翻折前为∠ADC=60°,由于∠ADB=∠CDB°=30°,则可完全翻折使得C₁在直线AD上，

由于需要是异面直线，故∠ADC₁∈(0,60°),DC₁·DA∈(6,12),则BC₁·DA∈(-3,3),

在三角形BCD中可求得BC=2,

故B正确；

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C选项，由平面C₁BD⊥平面ABD,交线为BD,BC₁C平面C₁BD,BC₁⊥BD可得BC₁⊥平面ABD,

则BC₁⊥AB,可得AC₁=√7,则AC₁²+AD²=CD²,即三角形C₁AD为直角三角形，

作BN⊥平面C₁BD,垂足为N,

·BN可得

则MN=√BM²-BN²=1,即在平面C₁AD内，M的轨迹是N为圆心，1为半径的圆，

对于三角形C₁AD,由等面积可得其内切圆半径

则在三角形C₁AD内部，M的轨迹不是完整的圆，故长度不是2π,C错误；

C

M

D<

N

B

A

D选项，三棱锥C₁-ABD的底面积SABD不变，BC₁长度不变，

由选项C得当平面C₁BD⊥平面ABD时，BC₁⊥平面ABD,此时体积最大，

且此时三角形C₁AD,C₁BD都是以CD为斜边的直角三角形，

则取CD中点O,可得OA=OB=OC₁=OD=2,

则三棱锥C₁-ABD的外接球半径为2,表面积为4πR²=16π,故D正确；

故选：ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.13.8

14.已知平面四边形ABCD中，AB=1,BC=2,CD=3,DA=4,则该平面四边形ABCD面积的最

大值为2√6

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【详解】连接AC,由余弦定理得，

AC²=AB²+BC²-2AB·BC·cosB=AD²+DC²-2AD·DC·cosD,

即1²+2²-2×1×2×cosB=4²+3²-2×4×3×cosD,

即6cosD-cosB=5,

又四边形ABCD的面积

则S²+5²=(sinB+6sinD)²+(6cosD-cosB)²=37+12(sinBsinD-cosBcosD)

=37-12cos(B+D),

即S²=12-12cos(B+D)≤24,即S≤2√6,

当且仅当B+D=π时，等号成立，

所以平面四边形ABCD面积的最大值为2√6.

故答案为：2√6.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.己知在锐角三角形中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

(1)求角C大小；

(2)当c=1时，求ab的取值范围

解析】(1)由已知及余弦定理，得因为C为锐角，所以C=30°.----5分

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(2)由正弦定理，

∴a=2sinA,b=2sinB=2sin(A+30°)

-7分

=√3+sin2A-√3cos2A

-9分

由得60°<A<90°.-11分

∴60°<2A-60°<120°,

∴2√3<ab≤√3+2-13分

16.已知动点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和P到定直线1:x=2的距离的比是常数,记点P的轨迹为

曲线C.

(1)求曲线C的标准方程；

(2)设点F(-1,0),若曲线C上两点M,N均在x轴上方，且FM//F'N,,求直

线FM的斜率.

【解析】

【分析】(1)根据距离公式列出方程即可求解；

(2)设kFM=kF=k,可得直线F'N的方程，呢绒联立方程组，结合对称性与弦长公式列出方程即可求

解.

【小问1详解】

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由题意，

整理化简得，

所以曲线C的标准方程为-------7分

【小问2详解】

由题意，直线FM,F'N的斜率都存在，设kFM=kF=k,

则直线F'N的方程为y=k(x+1),

分别延长NF',MF交曲线C于点N',M',

设N(x,y₁),N'(x₂,y₂),

联立,即(1+2k²)x²+4k²x+2k²-2=0,-----8分

则-9分

根据对称性，可得|FM|=|F'N|,

---------11分

则|FM|+|F′M=|NN|=√1+k²(x+x₂)²-4xx₂

-13分

即,解得k=±√3,

所以直线FM的斜率为±√3.-------15分

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17.如图，在三棱锥ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=BC=1,点M,N分别是线段

SB,AC上的动点，且满足SM=AN=a(0<a<√2).

(1)证明：BC⊥平面SAB;

(2)当线段MN的长度最小时，求直线SC与平面AMN所成角的正弦值.

【解析】

【小问1详解】

因为SA⊥平面ABC,BCc平面ABC,

所以SA⊥BC,

又AB⊥BC,SA∩AB=A,SA,ABC平面SAB

所以BC⊥平面SAB.-6分

【小问2详解】

以B为原点，以BC,BA所在直线为x,y轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则B(0,0,0),A(0,1,0),C(1,0,0),S(0,1,1),

因为SM=AN=a(0<a<√2),AC=√2,

所以

-9分

所以当时，M|N|最小，

此时--10分

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设平面AMN的一个法向量为m=(x,y,z),

则,即

取x=1,则m=(1,1,1),又SC=(1,-1,-1),---13分

设直线SC与平面AMN所成角为θ,

即直线SC与平面AMN所成角的正弦值为·-----------15分

18.今年入夏以来，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，主要是由于大陆高压和

西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下

沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川内某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的

体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在App平台上推出了

优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.

星期t123456

销售量y

21822423023223690

(张)

经计算可得：

(1)因为优惠券销售火爆，App平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现

剔除周六数据，求y关于t的经验回归方程；

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(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为,选择B套餐的概率为,并且A套餐包含两张优惠券，

B套餐包含一张优惠券，记App平台累计销售优惠券为n张的概率为P,求P₁;

(3)请依据下列定义，解决下列问题：

定义：如果对于任意给定的正数8,总存在正整数N₀,使得当n>N。时，a|ₙ-a|<ε(a是一个确定的实

数),则称数列{a}收敛于a.

运用：记(2)中所得概率P的值构成数列{P}(n∈N⁴)求P,的最值，并证明数列{P}收敛.

参考公式：

【解析】

【分析】(1)计算出新数据的相关数值，代入公式求出a,b的值，进而得到y关于t的经验回归方程；

(2)由题意可知n≥3,其中,构造等比数列，再利用等比数列的

通项公式求解；

(3)分n为偶数和奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；利用数列收敛的定义，准确推理、运

算，即可得证.

【小问1详解】

由题意，

a=y-bt=228-4.4×3=214.8,

所以y关于t的经验回归方程为=4.4t+214.8.--5分

【小问2详解】

由题意，可知

当n≥3时，,即7分

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所以当n≥2时，数列为各项都为1的常数列，

即———--9分

所以,n≥2,又

所以数列为首项为公比的等比数列，

所以————11分

【小问3详解】

由(2)知，

当n为偶数时，且P随n的增大而减小，

因此P的最大值为

当n为奇数时，且P随n的增大而增大，

因此P的最小值为

综上所述，P的最大值为·,最小值为