2025年行列式定义总结

2025年行列式定义总结行列式定义总结一、行列式的起源与背景行列式的概念最早可以追溯到17世纪，由日本数学家关孝和与德国数学家莱布尼茨分别独立提出。最初，行列式是为了解决线性方程组的求解问题而产生的。随着数学的发展，行列式在数学的各个领域，如线性代数、微积分、几何学等，以及物理学、工程学等其他学科中都有广泛的应用。二、二阶行列式的定义与计算1.定义设二阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\)，则二阶行列式\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)定义为\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)。这里\(a_{ij}\)表示矩阵\(A\)中第\(i\)行第\(j\)列的元素，\(i=1,2\)，\(j=1,2\)。2.计算示例计算二阶行列式\(\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}\)。根据二阶行列式的定义，\(\begin{vmatrix}3&2\\1&4\end{vmatrix}=3\times4-2\times1=12-2=10\)。3.二阶行列式与线性方程组的关系对于二元线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\)，当\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\neq0\)时，方程组有唯一解，且\(x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\)，\(x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\)。三、三阶行列式的定义与计算1.定义设三阶矩阵\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\)，则三阶行列式\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)定义为：\(a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}\)\(=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\)2.计算示例计算三阶行列式\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。根据定义：\[\begin{align}&\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\\=&1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\=&1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)\\=&1\times(45-48)-2\times(36-42)+3\times(32-35)\\=&1\times(-3)-2\times(-6)+3\times(-3)\\=&-3+12-9\\=&0\end{align}\]3.三阶行列式的另一种计算方法——对角线法则对于三阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)，从左上角到右下角的三条对角线上元素的乘积之和减去从右上角到左下角的三条对角线上元素的乘积之和。即\(a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)。四、\(n\)阶行列式的定义1.排列与逆序数-排列：由\(1,2,\cdots,n\)组成的一个有序数组\(p_1p_2\cdotsp_n\)称为一个\(n\)级排列。例如，\(123\)是一个3级排列，\(312\)也是一个3级排列。-逆序：在一个排列\(p_1p_2\cdotsp_n\)中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。例如，在排列\(312\)中，\(31\)和\(32\)是逆序。-逆序数：排列\(p_1p_2\cdotsp_n\)中逆序的总数称为该排列的逆序数，记为\(\tau(p_1p_2\cdotsp_n)\)。例如，\(\tau(312)=2\)。-奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。2.\(n\)阶行列式的定义设\(A=(a_{ij})\)是\(n\)阶矩阵，则\(n\)阶行列式\(\vertA\vert=\sum_{p_1p_2\cdotsp_n}(-1)^{\tau(p_1p_2\cdotsp_n)}a_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}\)，其中\(\sum_{p_1p_2\cdotsp_n}\)表示对所有\(n\)级排列\(p_1p_2\cdotsp_n\)求和。也就是说，\(n\)阶行列式是\(n!\)项的代数和，每一项都是取自不同行不同列的\(n\)个元素的乘积\(a_{1p_1}a_{2p_2}\cdotsa_{np_n}\)，其符号由排列\(p_1p_2\cdotsp_n\)的逆序数\(\tau(p_1p_2\cdotsp_n)\)决定，当\(\tau(p_1p_2\cdotsp_n)\)为偶数时取正号，为奇数时取负号。五、行列式的性质1.性质1：行列式与它的转置行列式相等设\(A\)是\(n\)阶矩阵，\(A^T\)是\(A\)的转置矩阵，则\(\vertA\vert=\vertA^T\vert\)。这表明行列式的行和列具有同等的地位，行列式的有关行的性质对于列也同样成立。2.性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号设\(A\)是\(n\)阶矩阵，交换\(A\)的第\(i\)行和第\(j\)行（\(i\neqj\)）得到矩阵\(B\)，则\(\vertB\vert=-\vertA\vert\)。推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。因为交换这两行（列）后，行列式的值不变，同时根据性质2又要变号，所以只能是\(\vertA\vert=0\)。3.性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个数\(k\)，等于用数\(k\)乘此行列式设\(A\)是\(n\)阶矩阵，将\(A\)的第\(i\)行的所有元素乘以\(k\)得到矩阵\(B\)，则\(\vertB\vert=k\vertA\vert\)。推论1：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论2：如果行列式中有一行（列）的元素全为零，则此行列式等于零。4.性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于零设\(A\)是\(n\)阶矩阵，若\(A\)的第\(i\)行和第\(j\)行（\(i\neqj\)）对应元素成比例，即\(a_{ij}=ka_{kj}\)（\(j=1,2,\cdots,n\)），则\(\vertA\vert=0\)。这是因为可以将比例系数\(k\)提到行列式外面，然后根据有两行相同行列式为零的性质得到。5.性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和设\(A\)是\(n\)阶矩阵，\(A\)的第\(i\)行元素\(a_{i1}=b_{i1}+c_{i1},a_{i2}=b_{i2}+c_{i2},\cdots,a_{in}=b_{in}+c_{in}\)，则\(\vertA\vert=\vertB\vert+\vertC\vert\)，其中矩阵\(B\)是将\(A\)的第\(i\)行元素换为\(b_{i1},b_{i2},\cdots,b_{in}\)得到的矩阵，矩阵\(C\)是将\(A\)的第\(i\)行元素换为\(c_{i1},c_{i2},\cdots,c_{in}\)得到的矩阵。6.性质6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变设\(A\)是\(n\)阶矩阵，将\(A\)的第\(j\)行的各元素乘以\(k\)加到第\(i\)行（\(i\neqj\)）对应的元素上去，得到矩阵\(B\)，则\(\vertB\vert=\vertA\vert\)。六、行列式按行（列）展开1.余子式和代数余子式设\(A=(a_{ij})\)是\(n\)阶矩阵，在\(n\)阶行列式\(\vertA\vert\)中，把元素\(a_{ij}\)所在的第\(i\)行和第\(j\)列上的所有元素都划去，留下来的\(n-1\)阶行列式叫做元素\(a_{ij}\)的余子式，记作\(M_{ij}\)；记\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)，\(A_{ij}\)叫做元素\(a_{ij}\)的代数余子式。2.行列式按行（列）展开定理\(n\)阶行列式\(\vertA\vert\)等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即\(\vertA\vert=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\)（按第\(i\)行展开），\(i=1,2,\cdots,n\)；\(\vertA\vert=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\)（按第\(j\)列展开），\(j=1,2,\cdots,n\)。推论：\(n\)阶行列式\(\vertA\vert\)的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即\(a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0\)（\(i\neqj\)）；\(a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj}=0\)（\(i\neqj\)）。3.计算示例计算四阶行列式\(\begin{vmatrix}1&0&0&2\\0&3&4&0\\0&5&6&0\\7&0&0&8\end{vmatrix}\)。按第一行展开：\(\begin{vmatrix}1&0&0&2\\0&3&4&0\\0&5&6&0\\7&0&0&8\end{vmatrix}=1\times(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}3&4&0\\5&6&0\\0&0&8\end{vmatrix}+2\times(-1)^{1+4}\begin{vmatrix}0&3&4\\0&5&6\\7&0&0\end{vmatrix}\)对于\(\begin{vmatrix}3&4&0\\5&6&0\\0&0&8\end{vmatrix}\)，按第三列展开得\(8\times(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix}=8\times(3\times6-4\times5)=8\times(-2)=-16\)。对于\(\begin{vmatrix}0&3&4\\0&5&6\\7&0&0\end{vmatrix}\)，按第一列展开得\(7\times(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}3&4\\5&6\end{vmatrix}=7\times(3\times6-4\times5)=7\times(-2)=-14\)。所以原行列式的值为\(1\times(-16)-2\times(-14)=-16+28=12\)。七、典型题型及解答1.计算行列式的值-题型1：数字型行列式的计算计算行列式\(\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\201&102&-99\end{vmatrix}\)。将第三行进行变换：\(\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\200+1&100+2&-100+1\end{vmatrix}\)根据性质5拆分为两个行列式之和：\(\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\200&100&-100\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\1&2&1\end{vmatrix}\)第一个行列式第三行有公因子100，提出公因子后第三行与第一行成比例，值为0。计算第二个行列式：\[\begin{align}&\begin{vmatrix}2&1&-1\\4&-1&1\\1&2&1\end{vmatrix}\\=&2\times\begin{vmatrix}-1&1\\2&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}4&1\\1&1\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}4&-1\\1&2\end{vmatrix}\\=&2\times(-1-2)-1\times(4-1)-1\times(8+1)\\=&2\times(-3)-1\times3-1\times9\\=&-6-3-9\\=&-18\end{align}\]-题型2：含参数的行列式的计算计算行列式\(\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\)。方法一：根据三阶行列式定义展开\[\begin{align}&\begin{vmatrix}x&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\\=&x\times\begin{vmatrix}x&1\\1&x\end{vmatrix}-1\times\begin{vmatrix}1&1\\1&x\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}1&x\\1&1\end{vmatrix}\\=&x\times(x^{2}-1)-1\times(x-1)+1\times(1-x)\\=&x^{3}-x-(x-1)+(1-x)\\=&x^{3}-3x+2\end{align}\]方法二：先将各列加到第一列\(\begin{vmatrix}x+2&1&1\\x+2&x&1\\x+2&1&x\end{vmatrix}=(x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\1&x&1\\1&1&x\end{vmatrix}\)再将第一行乘以-1加到第二行和第三行\((x+2)\begin{vmatrix}1&1&1\\0&x-1&0\\0&0&x-1\end{vmatrix}=(x+2)(x-1)^{2}=x^{3}-3x+2\)2.证明行列式等式证明\(\begin{vmatrix}a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)。将第三行加到第一行得\(\begin{vmatrix}a+b+c&a+b+c&a+b+c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}=(a+b+c)\begin{vmatrix}1&1&1\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}\)将第一列乘以-1加到第二列和第三列\((a+b+c)\begin{vmatrix}1&0&0\\a^{2}&b^{2}-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\b+c&a-b&a-c\end{vmatrix}=(a+b+c)\begin{vmatrix}b^{2}-a^{2}&c^{2}-a^{2}\\a-b&a-c\end{vmatrix}\)\(=(a+b+c)(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}-(a+b)&-(a+c)\\1&1\end{vmatrix}=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)\)3.利用行列式求解线性方程组求解线性方程组\(\begin