邵阳市七年级数学试卷七年级苏科下册期末试题(及答案)

邵阳市七年级数学试卷七年级苏科下册期末试题(及答案)一、幂的运算易错压轴解答题1．综合题

（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值；（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β的值．2．一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an，如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lognb（即lognb）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算下列各对数的值：log24=________；log216=________；log264=________．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义说明上述结论．3．请阅读材料：①一般地，n个相同的因数a相乘：记为an，如23=8，此时，指数3叫做以2为底8的对数，记为（即=3）．

②一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则指数n叫做以a为底b的对数，记为（即=n），如34=81，则指数4叫做以3为底81的对数，记为（即=4）．（1）计算下列各对数的值：log24________

；

log216=________

；

log264=________

．（2）观察（1）题中的三数4、16、64之间存在的关系式是________

，那么log24、log216、log264存在的关系式是________

（3）由（2）题的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？logaM+logaN=________

（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）请你运用幂的运算法则am•an=am+n以及上述中对数的定义证明（3）中你所归纳的结论．二、平面图形的认识（二）压轴解答题4．问题情境：如图1，已知，.求的度数.（1）经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作，根据平行线有关性质，可得________.（2）问题迁移：如图3，，点P在射线OM上运动，，.①当点P在A，B两点之间运动时，、、之间有何数量关系？请说明理由.②如果点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重合），请你直接写出、、之间的数量关系，（3）问题拓展：如图4，，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为________.5．直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，点P是平面内一动点。（1）若点P在直线CD上，如图①，∠α=50°，则∠2=________°。（2）若点P在直线AB、CD之间，如图②，试猜想∠α、∠1、∠2之间的等量关系并给出证明；（3）若点P在直线CD的下方，如图③，(2)中∠α、∠1、∠2之间的关系还成立吗？请作出判断并说明理由。6．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点．（1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系；（2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数；（3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求值．三、整式乘法与因式分解易错压轴解答题7．

（1）填空：________；

________；

________；（2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）=________（其中n为正整数，且n≥2）；（3）利用（2）猜想的结论计算：①29+28+27+…+22+2+1②210-29+28-…-23+22-2．8．著名的瑞士数学家欧拉曾指出：可以表示为四个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个整数平方之和，即

，这就是著名的欧拉恒等式，有人称这样的数为“不变心的数”．实际上，上述结论可概括为：可以表示为两个整数平方之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为两个整数平方之和．【阅读思考】在数学思想中，有种解题技巧称之为“无中生有”．例如问题：将代数式改成两个平方之差的形式．解：原式﹒（1）【动手一试】试将改成两个整数平方之和的形式．（12+52）（22+72）=________；（2）【解决问题】请你灵活运用利用上述思想来解决“不变心的数”问题：将代数式改成两个整数平方之和的形式（其中a、b、c、d均为整数），并给出详细的推导过程﹒9．如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、宽为a长为b的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．尝试解决：（1）取图①中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（a+b）（a+b），在下面虚线框中画出图形，并根据图形回答（a+b）（a+b）=________．（2）图②是由图①中的三种材料拼出的一个长方形，根据②可以得到并解释等式：________（3）若取其中的若干个（三类图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为3a2+4ab+b2．你画的图中需要B类卡片________张；（4）分解因式：3a2+4ab+b2．拓展研究：如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用m、n表示四个直角三角形的两直角边边长（b＞a），观察图案，以下关系式中正确的有________．（填写正确选项的序号）（1）ab=（2）a+b=m（3）a2+b2=（4）a2+b2=m2四、二元一次方程组易错压轴解答题10．某学校准备购买若干台A型电脑和B型打印机.如果购买1台A型电脑，2台B型打印机，一共需要花费6200元；如果购买2台A型电脑，1台B型打印机，一共需要花费7900元。（1）求每台A型电脑和每台B型打印机的价格分别是多少元?（2）如果学校购买A型电脑和B型打印机的预算费用不超过20000元，并且购买B型打印机的台数要比购买A型电脑的台数多1台，那么该学校至多能购买多少台B型打印机?11．有大小两种货车，3辆大货车与2辆小货车一次可以运货21吨，2辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨．（1）每辆大货车和每辆小货车一次各可以运货多少吨？（2）现有这两种货车共10辆，要求一次运货不低于35吨，则其中大货车至少多少辆？（用不等式解答）（3）日前有23吨货物需要运输，欲租用这两种货车运送，要求全部货物一次运完且每辆车必须装满．已知每辆大货车一次运货租金为300元，每辆小货车一次运货租金为200元，请列出所有的运输方案井求出最少租金．12．某公园的门票价格如下表所示：购票人数1～50人51～100人100人以上每人门票价20元17元14元某校初一（1）（2）两个班去游览公园，其中（1）班人数较少，不足50人，（2）班人数较多，超过50人，但是不超过100人．如果两个班都以班为单位分别购票，则一共应付1912元；如果两个班联合起来，作为个团体购票，则只需付1456元（1）列方程或方程组求出两个班各有多少学生？（2）若（1）班全员参加，（2）班有20人不参加此次活动，请你设计一种最省钱方式来帮他们买票，并说明理由．（3）你认为是否存在这样的可能：51到100人之间买票的钱数与100人以上买票的钱数相等？如果有，是多少人与多少人买票钱数相等？（直接写结果）五、一元一次不等式易错压轴解答题13．某公园的门票每张20元，一次性使用.考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该公园除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）的售票方法.年票分A，B，C三类，A类年票每张240元，持票进入该园区时，无需再购买门票；B类年票每张120元，持票者进入该园区时，需再购买门票，每次4元；C类年票每张80元，持票者进入该园区时，需再购买门票，每次6元.（1）如果只能选择一种购买年票的方式，并且计划在一年中花费160元在该公园的门票上，通过计算，找出可进入该园区次数最多的方式.（2）一年中进入该公园超过多少次时，A类年票比较合算？14．今年入夏以来，由于持续暴雨，某县遭受严重洪涝灾害，群众顿失家园。该县民政局为解决群众困难，紧急组织了一批救灾帐篷和食品准备送到灾区。已知这批物资中，帐篷和食品共640件，且帐篷比食品多160件。（1）帐篷和食品各有多少件？（2）现计划租用A、B两种货车共16辆，一次性将这批物资送到群众手中，已知A种货车可装帐蓬40件和食品10件，B种货车可装帐篷20件和食品20件，试通过计算帮助民政局设计几种运输方案？（3）在（2）条件下，A种货车每辆需付运费800元，B种货车每辆需付运费720元，民政局应选择哪种方案，才能使运输费用最少？最少费用是多少？15．某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.（1）九年级师生表演的歌唱类与舞蹈类节目数各有多少个？（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目演出的平均用时分别为5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟，若从20：00开始，22：30之前演出结束，问参与的小品类节目最多有多少个？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、幂的运算易错压轴解答题1．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，∴ay=5，∴ax+ay=5+5=10（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．【解析】【分析解析：（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，∴ay=5，∴ax+ay=5+5=10（2）解：102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．【解析】【分析】（1）逆用同底数幂的乘法法则得到ax+y=ax•ay，从而可求得ax的值，然后代入求解即可；（2）先求得102α和102β的值，然后依据同底数幂的乘法法则得到102α+2β=（10α）2•（10β）2，最后，将102α和102β的值代入求解即可.2．（1）2；4；6（2）解：∵4×16=64，∴log24+log216=log264（3）解：logaM+logaN=logaMN（4）解：设M=am，N=an，∵解析：（1）2；4；6（2）解：∵4×16=64，∴log24+log216=log264（3）解：logaM+logaN=logaMN（4）解：设M=am，N=an，∵=m，=n，=m+n，∴+=，∴+=【解析】【解答】解：（1）log24=2；log216=4；log264=6，故答案为：2；4；6；【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216=log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M=am，N=an，再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．3．（1）2；4；6（2）4×16=64；log24+log216=log264（3）loga（MN）（4）证明：设logaM=x，logaN=y，则ax=M，ay=N，∴MN=ax•ay解析：（1）2；4；6（2）4×16=64；log24+log216=log264（3）loga（MN）（4）证明：设logaM=x，logaN=y，则ax=M，ay=N，∴MN=ax•ay=ax+y，∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．【解析】【解答】（1）∵22=4，∴log24=2，∵24=16，∴log216=4，∵26=64，∴log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）证明：设logaM=x，logaN=y，则ax=M，ay=N，∴MN=ax•ay=ax+y，∴x+y=loga（MN）即logaM+logaN=loga（MN）．【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：logaM+logaN=loga（MN）；（4）首先可设logaM=b1，logaN=b2，再根据幂的运算法则：an•am=an+m以及对数的含义证明结论．二、平面图形的认识（二）压轴解答题4．（1）252°（2）解：①解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；②∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.【解析】【解答】（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，∵∠APC=108°，∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；故答案为：252°；（2）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.【分析】（1）问题情境：根据平行线的判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线的性质即可求解；（2）问题迁移：①过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；②过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解.5．（1）50（2）解：∠a=∠1+∠2，证明：过点P作PG∥AB∥CD，∴PG∥CD，∴∠2=∠3，∠1=∠4，∴∠α=∠3+∠4=∠1+∠2；（3）解：∠α=∠2-∠1，证明：过点P作PG∥CD，∵AB∥CD，∴PG∥AB，∴∠2=∠EPG，∠1=∠3，∴∠α=∠EPG-∠3=∠2-∠1【解析】【分析】（1）直接根据“两直线平行，内错角相等”写出答案；（2）过点P作PG∥AB，根据“两直线平行，内错角相等”求解；（3）过点P作PG∥CD，根据平行线的性质可得∠2=∠EPG，∠1=∠3，进而得到角的关系.6．（1）∠C＝∠1+∠2．理由：如图，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2．（2）∵∠AEN＝∠A＝30°，∴∠MEC＝30°，由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°，∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x，由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP，∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x，∴∠BDF＝90°﹣x，∴＝＝2．【解析】【分析】（1）过C作CD∥PQ，依据平行线的性质，即可得出∠C＝∠1＋∠2；（2）根据（1）中的结论可得，∠C＝∠MEC＋∠PDC＝90°，再根据对顶角相等即可得出结论；（3）设∠CEG＝∠CEM＝x，得到∠GEN＝180°−2x，再根据（1）中的结论可得∠CDP＝90°−∠CEM＝90°−x，再根据对顶角相等即可得出∠BDF＝90°−x，据此可得的值．三、整式乘法与因式分解易错压轴解答题7．（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4（2）an－bn（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋1解析：（1）a2－b2；a3－b3；a4－b4（2）an－bn（3）解：①29＋28＋27＋…＋23＋22＋2＋1＝(2－1)×(29＋28×1＋27×12＋…＋23·16＋22·17＋2·18＋19)＝210－110＝210－1＝1023.②210－29＋28－…－23＋22－2＝×[2－(－1)]×[210＋29×(－1)1＋28×(－1)2＋…＋23×(－1)7＋22×(－1)8＋2×(－1)9＋(－1)10－1]＝×[211－(－1)11]－×3×1＝682.【解析】【解答】解：（1）(a－b)(a＋b)＝a2－b2；；；（2）由（1）可得，(a－b)(an－1＋an－2b＋an－3b2＋…＋abn－2＋bn－1)＝an－bn；【分析】(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可;(2)根据(1)的规律可得结果;(3)原式变形后,利用(2)得出的规律计算即可得到结果.8．（1）(12+52)(22+72)=32+372（2）解：(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2，证明如下：

(a2+b2)(c2+d2)

=(a2c2解析：（1）（2）解：，证明如下：

【解析】【分析】（1）根据欧拉公式即可得出答案。（2）根据欧拉公式再利用完全平方公式的性质进行证明即可得出答案；由题意可设m=a2+b2，n=c2+d2，求出mn的乘积，从而发现规律．9．（1）a2+2ab+b2（2）a2+3ab+2b2（3）4（4）（1），（4）【解析】【解答】解：（1）如图：（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2．故答案为：a解析：（1）a2+2ab+b2（2）a2+3ab+2b2（3）4（4）（1），（4）【解析】【解答】解：（1）如图：（a+b）（a+b）=a2+2ab+b2．故答案为：a2+2ab+b2；（2）长方形的面积为a2+3ab+2b2，故答案为：a2+3ab+2b2．（3）∵3a2+4ab+b2=（3a+b）（a+b），∴需要B类卡片4张；故答案为：4；（4）解：根据图③得：4×ab+n2=m2，∴ab=，∵（b﹣a）2=n2，4×ab+n2=2ab+（b﹣a）2=m2，∴a2+b2=m2，∴（1），（4）正确，故答案为：（1），（4）．【分析】（1）画出图形，结合图象和面积公式得出即可；（2）根据图形的面积即可得到结论；（3）根据等式即可得出有3张，（4）根据完全平方公式判断即可．四、二元一次方程组易错压轴解答题10．（1）解：设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元，则{x+2y=62002x+y=7900，解得：{x=3200y=1500，答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元.解析：（1）解：设A型电脑每台x元，B型打印机每台y元，则，解得：，答：A型电脑每台3200元，B型打印机每台1500元.（2）解：设A型电脑购买a台，则B型打印机购买（a+1）台，则3200a+1500（a+1）≤20000，47a+15≤200，47a≤185，，∵a为正整数，∴a≤3，答：学校最多能购买4台B型打印机.【解析】【分析】(1)二元一次方程组的实际应用：①根据题意，适当的设出未知数；②找出题中能概括数量间关系的等量关系；③用未知数表示等量关系中的数量；④列出等量关系式，并求出其解，他的解要使实际问题有意义，或是符合题意.(2)

一元一次不等式解决实际问题的应用：①根据题意，适当的设出未知数；②找出题中能概括数量间关系的不等关系；③用未知数表示不等关系中的数量；④列出等量关系式，并求出其解集；⑤检验并根据实际问题的要求写出符合题意的解或解集，并写出答案.11．（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意，得：{3x+2y=212x+4y=22，解得：{x=5y=3，答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货解析：（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据题意，得：，解得：，答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货5吨、3吨。（2）解：设安排m辆大货车，则小货车需要（10-m）辆，根据题意，得：5m+3（10-m）≥35，解得：m≥2.5，所以至少需要安排3辆大货车（3）解：设租大货车a辆，小货车b辆，由题意得5a+3b=23，∵a，b为非负整数，∴或，∴共有2中运输方案，方案1：租用4辆大货车，1辆小货车；方案2：租用1辆大货车，6辆小货车.方案1的租金：300×4+200=1400元，方案2的租金：300+200×6=1500元，∵1400<1500，∴最少租金为1400元。【解析】【分析】（1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨，根据3辆大货车吨数+2辆小货车吨数=21，2辆大货车吨数+4辆小货车吨数=22，列出方程组，求出x、y的值即可.（2）设安排m辆大货车，则小货车需要（10-m）辆，根据一次运货不低于35吨，列出不等式，求出解集即可.（3）设租大货车a辆，小货车b辆，可得5a+3b=23，求出其非负整数解，即得运输方案，然后分别求出其租金比较即可.12．（1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100，则1456÷17=85（人）（元），不符合题意，∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100．设初一（1）班有x人，初一解析：（1）解：如果初一（1）（2）两个班的人数之和不大于100，则1456÷17=85（人）（元），不符合题意，∴初一（1）（2）两个班的人数之和大于100．设初一（1）班有x人，初一（2）班有y人，依题意，得：，解得：；答：初一（1）班有48人，初一（2）班有56人（2）解：48+（56﹣20）=84（人）．两个班合起来买84张门票所需钱数为：84×17=1428（元），两个班合起来买101张门票所需钱数为：101×14=1414（元），∵1414＜1428，∴两个班合起来买101张门票最省钱（3）84人和102人或98人和119人买票钱数相等【解析】【解答】（3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101），依题意，得：17m=14n，∴m为14的整数倍，n为17的整数倍，∴或．答：84人和102人或98人和119人买票钱数相等．【分析】（1）由两班人数之和为整数可得出初一（1）（2）两个班的人数之和大于100，设初一（1）班有人，初一（2）班有y人，根据总价=单价×数量，即可得出二元一次方程组，解之即可；（2）求出参加活动的人数，利用总价=单价×数量，分别求出购买84张门票及101张门票所需钱数，比较后即可得出结论；（3）设m人与n人买票钱数相等（51≤m≤100，n≥101），根据总价=单价×数量且总价相等，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n为正整数及其范围，即可求出m，n的值．五、一元一次不等式易错压轴解答题13．（1）解：不可能选A年票.若选B年票，则；若选C年票，则；所以，若计划花费160元在该公园的门票上时，则选择购买C类年票进入公园的次数最多，为13次。（2）解：设超过x次时，购买A解析：（1）解：不可能选A年票.若选B年票，则；若选C年票，则；所以，若计划