2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第十章 §105 离散型随机变量及其分布列、数字特征含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第十章§10.5

离散型随机变量及其分布列、数字特征§10.5离散型随机变

量及其分布列、数字特征

【课标要求】1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念2理解并会求离散型随

机变量的数字特征.

■落实主干知识

【知识梳理】

I.离散型随机变量

一般地，对于随机试验样衣空间Q中的每个样本点①，都有唯二的实数X(⑹与之对应，我们

称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为内，也，…，X”，称X取每一个值方的概率P(X

=M)=p”i=l,2,…，〃为X的概率分布列，简称分布列.

3.离散型随机变量分布列的性质

(l)p屋0,/'=1,2,小

(2)pi+p2+…+p〃=L

4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

•••

XX|X2X”

♦••

PPiP2Pn

(1)均值(数学期望)

称E(X、=xm…产小,为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期

/=1

望.它反映了随机变最取值的壬均

(2)方差

称/)(%)=(用一印0)2〃|+(电一印0)2〃2+...+(4一印0)2〃产£(为一印0)2〃［为随机变量1，的方

1=1

差,并称而又为随机变量X的标准差,记为。(X),它们都可以度量随机变量取值与其均值

的偏离程度.

5.均值(数学期望)与方差的性质

(l)E(aX+b)=aE(X)+b.

(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).

【常用结论】

1.E(k)=k,。(火)=0,其中&为常数.

2.E(XI+X2)=E(XI)+E(X2).

3.D(X)=E(X2)-(E(X))2.

4.若Xi，X?相互独立，则E(X|X2)=E(XI>£(X2).

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(X)

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.(V)

(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即至一公试验结果都有唯一的随机变量的值与之

对应.(V)

(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小.(J)

2.(选择性必修第三册P66Tl改编)已知X的分布列为

X-101

111

P

236

设Y=2X+3,则E(X)的值为()

7

A.TB.4C.-1D.1

答案A

解析E(X)=~Ix1+0x|+1x1=-1,

27

E(X)=E(2X+3)=2E(X)+3=—§+3=?

3.(2023・辽阳模拟)已知随机变量X满足尸(X=l)=P(X=2)=0.4,P(X=4)=0.2,则E(X)=

，D(X)=.

答案21.2

解析E(X)=(l+2)X0.4+4X0.2=2,

D(X)=(l-2)2X0.4+(2-2)2X0.4+(4-2)2X0.2=1.2.

4.(选择性必修第三册P67T3改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机

变量X，匕其分布列分别为

X0123

P0.40.30.20.1

Y01

P0.30.50.2

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是.

答案乙

解析£(X)=OX0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1,E(F)=OX0.3+1X0.5+2X0.2=09

•・・E(y)vE(X),・••乙技术较好.

■探究核心题型

题型一分布列的性质

例1(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中。为常数):

X01234

P0.10.20.40.2a

则下列计算结果正确的是()

A.。=0.1B.尸(XW2)=0.7

C.P(X23)=0.4D.P(XW1)=0.3

答案ABD

解析因为0.1+0.2+0.4+0.2+a=l,解得。=0.1,故A正确；

由分布列知P(XW2)=P(X=0)+P(X=l)+P(X=2)=0.1+0.2+0.4=0.7,故B正确；

P(X23)=P(X=3)+P(X=4)=O2+0.1=O3,故C错误;

P(XWl)=P(X=0)+P(X=l)=0.1+0.2=0.3,故D正确.

(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=〃)=加[[)(〃=1,2,3,4),其中a是常数，则

等于()

A1B4C5Dl

答案D

解析因为P(X=〃)=〃(/工)(〃=123,4),

所以介/哙+为=1,即

2I3

・・・P(X22)=P(X=2)+尸(X=3)=亍+,=亍.

题型二离散型随机变量的分布列及数字特征

命题点I求离散型随机变量的分布列及数字特征

例2(1)(2024.杭州模拟)已知甲、乙两名员工分别从家中赶往工作单位的时间互不影响，经统

计，甲、乙一个月内从家中到工作单位所用时间在各个时间段内的频率如下：

时间/分钟10〜2020〜3030〜4040〜50

甲的频率0.10.40.20.3

乙的频率00.30.60.1

某日工作单位接到一项任务，需要甲在30分钟内到达，乙在40分钟内到达，用X表示甲、

乙两人在要求时间内从家中到达单位的人数，用频率估计概率，则X的均值和方差分别是

()

A.E(X)=1.5,D(X)=0.36

B.E(X)=1.4,D(X)=0.36

C.E(X)=1.5,D(X)=0.34

D.DW=L4,D(X)=0.34

答案D

解析设事件A表示甲在规定的时间内到达，8表示乙在规定的时间内到达，

P(A)=O5,尸(8)=09,A,B相互独立，

：.P(X=())=P('A'~B)=PCA)P(~B)=(l-0.5)X(|-0.9)=0.05.

P(X=\)=PC\)

=P(A)P(8)+P(A)P(9)

=(1-0.5)X0.9+0.5X(I-0.9)=0.5,

P(X=2)=P{AB)=P(A)P(B)=0.5X0.9=0.45,

:.E(X)=0X0.05+1X0.5+2X0.45=1.4,

D(Y)=(0-l4)2X005+(1-1.4)2X0.5+(?.-14)2X045=0.34

(2)(2023・沈阳模拟)己知某离散型随机变量X的分布列如表：

X-1012

Pabc

3

37

若E(X)=G，P(X21)=万，则Q(X)等于()

A16B8Cl6D-4

答案C

解析由题意，得a+/，+c+(=l,

2

所以a+b+c=Q.①

J

13

因为£(%)=(-l)X〃+0X0+lXe+2X§=j,

所以一.②

由P(X21)=c+q=j^,得c=：,

代入①②解得a],/?=1.

所以。⑶=(-1-3&+(。-{)乂+(1—沪；+(2一鼾乂卜普

■微拓展

均值、方差的大小比较、最值（范围）问题

关于随机变量的均值与方差，近几年均以选择题的形式考查，除考查均值、方差的直接计算,

还经常从下列几个角度进行考查：（1）均值、方差及概率的大小比较；（2）均值、方差的增减性

分析；（3）均值、方差的最值；（4）解均值、方差的不等式求字母的范围.

典例（1）设随机变量X的分布列如下（其中Ovp<l）,O（X）表示X的方差，则当〃从0增大到

1时（）

X012

1

Pl-p2

222

A.D（X）增大B.D（X）减小

C.O（X）先减后增D.Q（X）先增后减

答案D

解析由分布列可得E(X)=0X三+lx1+2X^=；+p,

4J44

则OC50="4^G+〃)2+X；+P-+船+〃-2)2=_/+〃+；=_(〃_；＞+=

因为ovpvl,所以£>（X）先增后减.

（2）（多选）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为X=O,〃,2,根据以往销售经验可得

0<a<2,随机变量X的分布列为

X0a2

21

h

P26

下列结论正确的是()

A.b=\

B.若该商场俏售该商品5件，其中3件储售利润为0的概率端

C.D(X)min=1

D.当"X)min最小时，E(X)=|

答案ABC

解析由题意;+6+9=1,・•・〃=/故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售

利润为0的概率为仁乂七户吩=高故选项B正确；随机变量X的均值E(X)=Ox£+aX；

+2乂1=；(〃+1),可知方差D(X)=[o—1(a+l)2x；+[a-；(a+l)}x；+2—|(6t+l)2x1=

5X(12/-12a+30)=(x[12(a—分+27],当a=；时，£>(X)min=5，故选项C正确；当

£)(X)min=T时，E(X)=|XQ+1^=1,故选项D错误.

命题点2均值(数学期望)与方差的性质应用

例3设随机变量X的分布列为P(X=A)=#jU=125),E(X),。(用分别为随机变量

X的均值与方差，则下列结论正确的是()

A.P(O<X<3,5)=|

B.E(3X+2)=7

C.D(X)=2

D.O(3X+1)=6

答案C

解析因为随机变量X的分布列为P(X=Z)=#Y(A=125),

由分布列的性质可知，P(X=1)+P(X=2)+P(X=5)=畀叶5=1,解得a=L

P(0<Xv3.5)=P(X=l)+P(X=2)=}+；='，故A不正确；

41U

因为E(X)=1XT+2XT+5X-=2,

所以E(3X+2)=3E(X)+2=3X2+2=8,故B不正确；

由O(X)=：X(1—2)2+；X[2—2)2+\X(5—2户=2,故C正确;

4JU

因为D(X)=2,

所以O(3X+1)=9D(X)=13,故D不正确.

思维升华求离散型随机变量小的均使与方差的步㈱

(1)理解j的意义，写出c的所有可能取值.

⑵求E取每个值的概率.

(3)写出。的分布列.

(4)由均值、方差的定义求E(J,

跟踪训练2(1)(多选)已知随机变量X的分布列为

X-101

Pm3m

3

下列结论正确的有()

B.E(X)=^

A./??=7

C.E(2X-1)=|?9

D")与

答案ABD

解析由分布列的性质得;+4加=1,解得〃?=:，故A正确;

E(X)=—1x|+OX：+1X)=N，故B正确；

JuLIJ

2

E(2X-l)=2E(X)-l=-z,故C不正确；

D(X)=|xf-l

京，故D正确.

(2)学习强国新开通一项“争上游答题”栏目，其规则是比赛两局，首局胜利积3分，第二局

胜利积2分，失败均积1分，某人每局比赛胜利的概率为设他参加一次答题活动得分为。,

则O©=.

解析由题意知，E的所有可能取值为543,2,

P(k5)=；X卜七

尸e=4)=3(1-£)=看

W=3)=(1-1)XZ=4

p(口)=(T)x(T)4,

i33911

则E(a=5X-+4X-+3X-+2X-=-

砥=(5-.+(3-吩X4+(2-吩X磊=磊

题型三均值与方差中的决策问题

例4(2023・上海七宝中学模拟)随着五一黄金周的到来，各大旅游景点热闹非凡，为了解4,B

两个旅游景点游客的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得关于A旅游景点

的问卷100份，关旅游景点的问卷80份.问卷中，对景点的满意度等级划分为：非常

满意、满意、一般、不满意，对应分数分别为：4分、3分、2分、1分，数据统计如下:

非常满意满意一般不满意

A景点5030515

8景点353078

假设用频率估计概率，目游客对A,B两个旅游景点的满意度评价相互独立.

(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人，从所有(人数足够多)在B旅游

景点的游客中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给巴“非常满意”的概率；

(2)根据上述数据，你若旅游，你会选择A,8哪个旅游景点？说明理由.

解(1)设“这4人中恰有2人给出‘非常满意'的评价”为事件C,由表中数据可知，游客

在A景点给出“非常满意”评价的概率为羔

1UU乙

游客在3景点给出“非常满意”评价的概率为3言5=£7,

oU10

则P(0=(新-款+C或1-加点1V)+(l-分㈤2=晶.

(2)设一位游客对人景点的满意度评分为X,一位游客对B景点的满意度评分为匕

由数表中数据得X的分布列为

X4321

1313

P

2102020

y的分布列为

Y4321

7371

P

*16880To

1313

则七(X)=4X£+3X元+2X而+1X行=3.15,

1313

5X)=0.852X]+(-0.15)2x而+(—1.15)2乂诟+(-2.15)2乂而一1.]275,

7371

E(r)=4Xm+3Xg+2X赤+1X而=3.15,

7371

D(r)=0.852X77+(-0.15)2X^+(-1.15)2X—+(-2J5)2X-T7；=0.9025,

10ooU1U

显然E(X)=E(K),£)(X)>"y),所以选择8景点.

思维升华随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取

舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再月方差来决定.

跟踪训练3(2021・新高考全国I)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题.每

位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该

同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否,

该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得。分；8类问题中的每个

问题回答正确得80分，否则得。分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答4类问题的概率为0.6,且能正确回

答问题的概率与问答次序无关.

(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

解(1)由题意得,X的所有可能取值为0,20,100,

P(X=0)=l-0,8=0.2,

P(X=20)=0.8X(l-0.6)=032,

P(X=100)=0.8X0.6=0.48,

所以X的分布列为

X02010()

p0.20.320.48

(2)当小明先回答A类问题时，由⑴可得£(X)=OXO.2+2OXO.32+100X0.48=54.4.

当小明先回答8类问题时，记y为小明的累计得分，

则y的所有可能取值为o,8o,ioo,

P(y-0)-l-0.6-0.4,

P(r=80)=0.6X(l-0.8)=0.I2,

P(y=100)=0.6X0.8=0.48,

所以y的分布列为

Y080100

P0.40.120.48

E(y)=0X0.4+80X0.124-100X0.48=57.6.

因为57.6>54.4,即E(K)>E(X),所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答8类问题.

课时精练

ID知识过关

一、单项选择题

i.已知闲散型随机变量x的分布列为

X123

31

Pa

5To

则X的均值E(X)等于()

35

-2C-3

A.213.2D.

答案A

解析由题意得］3+〃+言1=1,解得。=毒3

3313

故E(X)=IX§+2X行+3X而=].

2.已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为:

甲产业收益分布列

收益X/亿元-102

概率0.1().30.6

乙产业收益分布列

收益17亿元012

概率0.30.4().3

则下列说法正确的是()

A.甲产业收益的期望大，风险高

B.甲产业收益的期望小，风险小

C.乙产业收益的期望大，风险小

D.乙产业收益的期望小，风险高

答案A

解析由题意可得E(X)=7X0.1+0X().3+2X().6=l.l,

£)(%)=(-1-1.1)2X0.1+(0-IJ)2X0.3+(2-I.l)2X0.6=1.29；

F(y)=0X0.3+lX0.4+2X0.3=l,

D(K)=(0-l)2X0.3+(l-l)2X0.4+(2-l)2X0.3=0.6,

故员X)>七(K),Q(X)>Q(K),

即甲产业收益的期望大，风险高.

3.(2023•南宁模拟)己知X的分布列为

X-101

111

P

236

7

且y=〃X+3,E(Y)=y则。为()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析E(X)=(—l)X；+0xg+lX^=一；,

由y=aX+3得E(y)=〃E(X)+3,

.•]=aX(—；)+3,解得a=2.

4.现有3道单选题，学生李明对其中的2道题有思路，I道题完全没有思路，有思路的题答

对的概率为去没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为:，若每题答对得5分,

不答或答错得0分，则李明这3道题得分的均值为()

A以B卫C型D组

从100420

答案B

解析记李明这3道题的得分为随机变量X,则X的所有可能取值为0510,15,

3

X-

P(X=0)=(§24-

41311

/X5\O"X-X-X-+=-

X(/1-'554i44

P(X=

i4

®2义厂后

所以E(X)=0Xa+5X(+]0乂景+15乂&

37

了

5.（2023•洛阳模拟）随机变量。的分布列为尸（4=攵）=言工，攵=1,2,3,其中c是常数，则。（纥

一3）的值为（）

A.10B.117C.38D.35

答案C

解析,・・F(4=%)=冒口，2=123,

-3+2=1

••2十6十12I'

4

解得C=y

2

-193

9

••・°©=（L绑，（2得卜圻（3_孰言,

・•・D（纥-3）=9?D®=81Q©=38.

6.（2024・桂林模拟）设0＜。＜1.随机变星X的分布列为

X0a1

11

P333

当。在（0,1）上增大时，则（）

A.凤X）不变

B.E（X）减小

C.Q（X）先增大后减小

D.D（X）先减小后增大

答案D

解析E（X）=0xg+〃X；+1

・•・当。在（0,1）上增大时,E（X）增大,

"X)=(昼＞X；+Q—燮卜杆(］一空/

==1(。+1)2+(2。-1)2+(2-6/)2]

，当。在(0,1)上增大时,D(X)先减小后增大.

二、多项选择题

7.已知随机变量X和匕其中y=12X+7,且E(V)=34,若X的分布列如表:

X1234

11

m

P4nn

则下列正确的是()

9

A.E(X)=12B.E(X)=W

C\

C.〃?=QD-n=3

答案BCD

ii2

解析根据分布列可知m+〃=।一£-75=十①

因为y=12X+7,所以&Z)=l2E(X)+7=34,

9

解得E(X)=/

IIQ

又由分布列可得E(X)=1XW+2X〃?+3X〃+4X^=W，

整理得2〃?+3〃=*②

联立①②解得"=!.

8.某校欲举办运动会，为了组建一支朝气蓬勃、训练有素的赛会志愿者队伍，运动会组织委

员会欲从4名男志愿者，3名女志愿者中随机抽取3人聘为志愿者队的队长.下列说法正确

的有()

A.设事件A：“抽取的3人中既有男志愿者，也有女志愿者”，则P(4)=与

B.设事件A：”抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件4：“抽取的3人中全是男志愿

2

者”，则尸(阴4)=F

C.用X表示抽取的3人中女志愿者的人数，则瓜％)=¥

D.用y表示抽取的3人中男志愿者的人数，则。（r）=而

答案ABD

解析所有可能的情况有C：=35（种），其中既有男志愿者，也有女志愿者的情况有

cjc+aa=3o（种），

6

确

故

-正

^A*

故尸（A尸豆/9

Ci4

"(A6)=d=4，

c!cHcic}+dM

P(A)=35'

所以尸（始尸^^看书，故B正确;

X的所有可能取值为0,1,23,

4

则P（X=0）=百=亚

pzX_n_CiCi_18

RXT）一丁一35，

C]C\12

P(X=2)=C：-35'

P(X=3)=手C?药I

4IRI?I9

所以E(X)=OX4+1X行+2X4+3X行=亍故C错误;

4中+导停9—21|2+.L-L

由C知，D(X)=^XX2X

735—49,

因为Y=3~X,

74

所以。（M=Q（X）=而，故D正确.

三、填空题

9.已知离散型随机变量J的分布列如表所示.

-202

Pab

若随机变量的均值£©=3，则。（2。+1）=.

答案11

1

解析由表中数据得石（J=-2a+0X〃+2xg=B，解得--

4

又a+Z?+g=l,所以b=；,

所以D©=(―2—今x；+(。一。X4+(2-2)2><2=V

所以。(20+1)=22"。=”.

10.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示:

降水量XX<300300WX<700700^X<900X2900

工期延误天数y02610

历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300,700.900的概率分别为03,0.7,0.9,则

工期延误天数丫的均值为.

答案3

解析由题意可知P(X<300)=0.3,

P(300^X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,

产(700WX<900)=尸(X<900)一尸(X<700)=0.9-0.7=0.2,

P(X2900)=1-P(X<900)=l-0.9=0.1.

所以随机变量y的分布列为

Y02610

P0.30.40.20.1

所以E(r)=0X0.3+2X0.4+6X0.2+10X0.1=3,所以工期延误天数丫的均值为3.

11.己知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一

直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为MCv/Xl),发球次数为X,若X的均值

E(X)>1.75,则〃的取值范羽为.

答案()<〃<!

解析由题意知。(X=I)=P，P(x=2)=p(l-p),P(X=3)=(l-p)2,

所以E(X)=/?+2p(l-p)4-3(l-p)2>1,75,

解得或P<y

又呷0,1),所以p《o,0.

12.(2024.稽阳模拟)已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒

中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X,则

X的均值为.

答案

解析若从甲盒中随机取到的为红球且概率为a

则X的可能取值为1,2,

则P(X=1)=普斗

R(X=2)=以=1,

若从甲盒中随机取到的为白球且概率为程2

则X的可能取值为0.1,2,

则P2(X=0)=**，

P2(X=1)=^$，

Pz(X=2)=寥=,,

22

综上，P(X=O)=5X/>2(X=O)=方，

3231

P(X=1)=/P(X=1)+/Pz(X=1)=污

3214

P(X=2)=,XP](X=2)+§XPz(X=2)=不，

2311423

故E(X)=0X—4-1X—+2X—=—

四、解答题

13.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的

人数，求：

(1)“所选3人中女生人数XW1”的概率；

(2)X的均值与方差.

解(1)”所选3人中女生人数XW1”的概率

P=P(x=o)+P(x=|)=会+等中H.

(2)因为从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，随机变量X表示所选3人中女生的

人数，

所以X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=§=|,

del3

P(X=1)=~CF-5,

C1C51

P(x=2)=b=5,

所以X的分布列为

X012

131

P

555

所以f(X)=Ox]+1x|+2x1=1.

i312

D(X)=(0-1)2XJ+(1-1)2乂亍+(2—l)2x5一亍

14.(2023・泰安模拟)某公司为活跃气氛、提升士气，年终拟通过抓阉兑奖的方式对所有员工

进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阎的袋中一次性随机摸出2个阉，阉

上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额.

(I)若袋中所装的4个闸中有I个所标的面值为800元，其余3个均为20()元，求：

①员工所获得的奖励金额为1000元的概率；

②员工所获得的奖励金额的分布列及均值；

(2)公司对奖励金额的预算是人均I000元,并规定袋中的4个陶只能由标有面值20()元和800

元的两种闻或标有面值400元和600元的两种闹组成.为了使员工得到的奖励金额尽可能符

合公司的预算且每位员工所获得的奖励金额相对均衡，请对袋中的4个阉的面值给出一个合

适的设计，并说明理由.

解(1)设员工所获得的奖励金额为X,

Q\I

①P(X=1000)=^^=2，

・•・员工所获得的奖励金额为1000元的概率为今

②X所有可能的取值为400,1000,

P(X=400)=M=5，

・・・X的分布列为

X4001000

11

p

22

・•・员工所获得的奖励金额的均值为E(X)=400x1+l000X：=700(元).

(2)根据公司预算，每个员工的平均奖励金额为1000元，

・•・先寻找均值为1000元的可能方窠，

对于面值由800元和200元组成的情况，

如果选择(200,200,200,800)的方案，

1000元是面值之和的最大值，

・•・均值不可能为1000元，

如果选择(800,800,800,200)的方案，

V1000元是面值之和的最小值，

・•・均值不可能为1000元，

因此可能的方案是(800,800,2()0,200),记为方案I；

同理，对于面值由600元加400元组成的情况，

排除(600,600,600,400)和(400,400,400,600)的方案,

，可能的方案是(400,400,600,600),记为方案2.

对于方案1,设员工所获得的奖励金额为Xi,X可取400,1000,1600,

Ci1

P(X)=400)=g=^,

ClCJ2

P(Xi=looo)=-^=3，

c21

P(X|=1600)=己=不

1?1

.\£(X|)=4OOX-+1oooxq+l600X-=l000,

I21

D(X))=(400-1000)2X--|-(l000-1(X)0)2X-+(l600-1(X)0)2X-=120(X)0；

对于方案2,设员工所获得的奖励金额为X2,X2可取800J()()()1200,

P(X2=800)=鲁=:，

CJCJ2

P(X2=1000)=-§^=3，

ClI

P(X2=1200)=1=3,

121

/.£(X2)=800X^4-1000X/1200X^=l000,

222

D(X2)=1X(800-1ooo)-i-|x(i000-1000)+1x(l200-1000)=^p^,

由于两种方案的奖励金额都符合预算要求，但方案2的力差比方案1小，

，应选择方案2.

能力拓展

15.(多选)(2023・武汉模拟)已知随机变量X的取值为不大于〃(〃£N")的非负整数，它的分布

列为

X0123•••n

•••

P加PlP2P3P"

定义由X生成的函数FpHHFpX，g(x)为函数段)的导函数，

E(X)为随机变量X的均值.现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有123,4四

个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X,此时由X生成的函数为力(x),贝U()

A.E(X)=g(2)B.f\(2)=~2

225

C.E(X)=g(DD.力(2)=亍

答案CD

解析因为fix)=p()+p\x-\-pvr+pvc,-\--------------------

则g(x)=f(x)=pi+2P嘘+3〃42+…+ip*r+…+即,/「，

E(X)=j)\+2P2+3.3H-----Fip(-\------F〃p”，

当x=l时，E(X)=g(l),故A错误，C正确；

连续抛掷两次骰孑，向下点数之和为X,则X的分布列为

X2345678

1234321

P

16161616161616

17343?!

力(2)=而X22+RX23+^X24+而X2§+启X26+京X27+而X28=亍，故B错误，D正确.

16.(多选)(2023•山东省实脸中学模拟)随机变量。的分布列如表，其中孙W0,下列说法正确

的是()

0012

12x

PX

33

A.x+y=1

B.E(9T5v

C.0(9有最大值

D.。(口随)，的增大而减小

答案ABC

解析由题意可知x+1+亨=1,即x+y=l,故A正确;

E(<)=0Xx+lX^4-2Xy=^L,故B正确；

阳=*司领T>+翼-歌=s)g舒+如舒+第卷」豺

+3y,

因为xy^O,x+y=1,易得Ov.y<1,

2s97

而函数心尸一号2+3),的图象开口向下，对称轴为产检

所以心)在(0,匐上单调递增，在岛I)上单调递减，

故")在尸卷97处取得最大值，

所以D(给随着)，的增大先漕大后减小，

当产幼77时取得最大值，故C正确，D错误.

§10.6二项分布、超几何分布与正态分布

【课标要求】1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲

线了解正态分布的概念，并进行简单应用.

主干知识

【知识梳理】

1.二项分布

(1)伯努利试验

只包含西仝可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行〃次所组成

的随机试验称为〃重伯努利试验.

(2)二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为〃(0<〃<1),用X表示事件

A发生的次数，则X的分布列为P(X=N=0//(1一〃)"%%=01,2,.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜B(m

办

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则上(％)=»D(X)=p(\-p).

②若X〜8(〃，p),则E(X)=w，D(X)=np(l-p).

2.超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回),

用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为p(x=k)=C*

，k=tn,m4-1,m

LN

+2,…，r,其中n,N,A1£N”,MWM，〃=max{0,N+M},r=min{〃，M].如

果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

3.正态分布

⑴定义

1(XT))

若随机变量X的概率分布密度函数为4[)=1=©2。'，x£R,其中〃£R,b>0为参数,

则称随机变量X服从正态分布，记为X〜N(u,/).

⑵正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线正上对称；

②曲线在x=u处达到峰值最岔：

③当R无限增大时，曲线无限接近x轴.

(3)3a原则

①P(/L«7WXW"+O)P0.6827；

②P(/L2(7WXW〃+20、O.9545；

③P(〃一3oWXW〃+3o)%0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X〜N",4)，则E(X)=©Q(X)=《.

【常用结论】

1.“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题

对应超几何分布，当总体容量很大时，超儿何分布可近似为二项分布来处理.

2.超几何分布有时也记为X〜HQi,M,N)，其均值用幻=丁,

方差Q(X尸哪1一日昌)

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“J”或“X”)

(1)两点分布是二项分布当〃=1时的特殊情形.(J)

(2)若X表示〃次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布.(J)

(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X

服从超几何分布.(X)

(4)当〃取定值时，正态曲爱的形状由。确定，。越小，曲线越“矮胖”.(X)

2

2.如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为昌那么播下5粒这样的种子，恰