2024-2025学年北京市通州区九年级上学期期末考试数学试题【含答案】

page22025学年北京市通州区九年级上学期期末考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题

1.在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=A.12 B.55 C.255

2.如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC=120∘，那么∠BACA.90∘ B.60∘ C.45∘

3.关于函数y=−2x2，y=13A.开口向上 B.都有最低点

C.y随x增大而增大 D.对称轴是y轴

4.如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB=（

）

A.22 B.12 C.32

5.如果二次函数y=a(x−A.(−1,3) B.(0,

6.如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠A=30∘，OD=4A.6 B.4 C.23 D.

7.为了提升全民防灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图，架在消防车上的云梯AB可伸缩，也可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为10m，若∠ABD=α，则此时云梯顶端A离地面的高度AE的长是（

）A.10tanα+2 B.10tanα

8.如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：

①点A是PO的中点；

②直线PQ，PR都是⊙O的切线；

③点P到点Q、点R的距离相等；

④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则S△PQA=A.只有①正确 B.只有②正确

C.①②③正确 D.①②③④都正确

二、填空题

9.如图，D、E是△ABC边AB、AC上的两点，且DE // BC，DE:BC=

10.已知一个扇形的半径长为6，圆心角为120∘

11.已知⊙O的直径为8cm，如果在⊙O所在平面内有一点P且OP=5cm，那么点

12.如图，在△ABC中，AB=AC，中线AD与高线BE相交于点O，写出一个与△AOE

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2−2ax(a>0)和直线y2=

14.图1为一个装有液体的圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度AB为16cm，竖直高度CD为4cm，则⊙O的半径为___________________cm．

15.已知二次函数y=ax2+bxx…−−0123y…50−−−0

关于x的一元二次方程ax

16.小明同学想利用“∠A=30∘，AB=6cm，BC=5cm”，这三个条件作△ABC．他先作出了∠三、解答题

17.计算：sin2

18.已知二次函数y=−（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴；（2）请你判断点P(（3）如果点Ax1,y1，Bx2,y22<

19.如图，在△ABC中．∠BAC=90∘，AD是△ABC的中线，如果AB=6

20.如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点A、B作AE // BD．BE // AC．AE和BE交于点E（1）求证：四边形AEBO是矩形；（2）连接EC，当∠ABD=60∘．

21.如图，在△ABC中，AB=AC．

求作：射线AE，使得AE // BC．

小靖同学的作法如下：

①以点A为圆心，AB长为半径画圆，延长BA交⊙A于点D；

②作∠ABC的角平分线交⊙A于点E；

③作射线AE．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明

证明：连接DC，∵AB=AC，∴点C在⊙A上．

∵BD是⊙A的直径，∴∠BCD=______(______)（填推理依据）

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∴DE⌢=CE⌢，

∴∠DAE=∠CAE(______)

22.在矩形ABCD中，AB=8，点G为边AD上一点，AG=6，CE⊥BG于点（1）求证△ABG（2）求证E是BG的中点．

23.某学校物理实验室有一种演示桌，收起时桌面与一支架的夹角∠CAB=20∘，打开时桌面与同一支架的夹角∠GDB=63∘（桌面FG // EC），已知支架BA=BD=40cm，求桌面上升的高度约为多少？（桌面的厚度与前后移动的距离等因素不用考虑）（参考数据：sin

24.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，F是圆上一点，D是BF⌢的中点，连结CF交OB于点G，连结BC．

（1）求证：GE=（2）若AG=6，BG=

25.如图，在△ABC中，AB=AC，O是AB的中点，到点O的距离等于12AB的所有点组成图形G，图形G与边BC交于点D，过点D作DE⊥（1）依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；（2）CA延长线交图形G于点F，如果AE=3，AF=

26.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）若二次函数y=ax2+bx+c(a>0)

27.在△ABC中，∠B=∠C=α(0∘<α<45∘)，AM⊥BC于点M，D是线段BC上的动点（不与点（1）如图1，如果点E在线段AC上，求证：ME⊥（2）如图2，如果D在线段BM上，在射线MB上存在点F满足DF=DC，连接AE,

28.在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是3．对于点P和⊙O，给出如下定义：过点C的直线与⊙O交于不同的点M，N，如果点P为线段MN的中点，我们把这样的点P叫做关于MN的“弦中点”．（1）如图1，已知点C(−2,0)；

①点P1(−2,0)，P2(−（2）如图2，若C(−6,0)，一次函数y参考答案与试题解析2024-2025学年北京市通州区九年级上学期期末考试数学试题一、选择题1.【答案】A【考点】求角的正切值【解析】此题考查了锐角三角函数，根据正切的意义进行解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90∘，如果AC=1，BC2.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC=120∘，

3.【答案】D【考点】y=ax²的图象与性质【解析】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数y=ax2(a≠0)的图象性质是解题的关键．

根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A【解答】解：A．函数y=−2x2与y=−x2的开口向下，函数y=13x2与y=3x2开口向上，故此选项不符合题意；

B．函数y=−2x2与y=−x2的开口向下，有最高点；函数y=13x2与y=3x2开口向上，有最低点，故此选项不符合题意；

C．函数y=−2x2与y=−x2，当4.【答案】B【考点】此题暂无考点【解析】根据作图可以证明△AOB是等边三角形，则∠【解答】解：连接AB，由图可知：OA=OB，AO=AB，∴OA=AB=OB，即三角形OAB为等边三角形，∴∠5.【答案】B【考点】y=a（x-h）²+k的图象和性质【解析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用二次函数的对称性解答即可；【解答】二次函数y=a(x−1)2+k的图象得对称轴是直线x=1，

∵二次函数y6.【答案】C【考点】切线的性质含30度角的直角三角形勾股定理的应用【解析】本题考查了切线的性质，含30∘的直角三角形的性质，勾股定理等知识，连接OC，由切线的性质得∠OCD=90∘，根据等腰三角形的性质得∠【解答】解：连接OC，

∵DC切⊙O于点C，

∴∠OCD=90∘，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠A=30∘，

∴∠7.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-其他问题【解析】本题考查了解直角三角形的应用，比较简单，掌握正切的定义是解题的关键．

根据∠ABD的正切可得AD=BD【解答】解：在直角三角形ABD中，tanα=ADBD，

∴AD=BD⋅tanα=10tan8.【答案】C【考点】证明某直线是圆的切线应用切线长定理求证作垂线(尺规作图)圆周角定理【解析】由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于90∘，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明△POQ≅△POR，由此可得【解答】

由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂直平分线，因此点A是PO的中点，

故①正确；

∵PO是⊙A的直径，

∴∠PQO=∠PRO=90∘，

∴PQ⊥OQ，PR⊥OR，

∴直线PQ，PR都是⊙O的切线，

故②正确；

直线PQ，PR都是⊙O的切线，根据切线长定理，可知PQ=PR，

故③正确；

∵PQ=PR，OQ=OR，PO=PO，

二、填空题9.【答案】1【考点】相似三角形的性质与判定【解析】通过证明△ADE【解答】解：∵DE // BC，

∴△ADE∽△ABC，

10.【答案】12π【考点】扇形面积的计算【解析】本题考查扇形面积公式，理解扇形面积与相应圆面积的比就是扇形圆心角占整个周角360∘【解答】解：∵一个扇形的半径长为6，圆心角为120∘，

∴这个扇形的面积为120360×π×11.【答案】外【考点】判断点与圆的位置关系【解析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据直径求出半径，即可判断出点和圆的位置关系．【解答】解：∵⊙O的直径为8cm，

∴⊙O的半径为4cm，

∵OP=5cm，

故点P在12.【答案】△ADC或△BOD或△【考点】相似三角形的性质与判定等腰三角形的判定与性质【解析】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据相似三角形进行判定即可．【解答】解：∵AB=AC，AD为中线，

∴AD⊥BC

∵BE为高线，

∴∠ADC=∠AEB=90∘

∵∠DAC=∠OAE

∴△ADC∽△AOE；

∵∠AOE=∠BOD，∠ODB=∠AEB=90∘

∴△BOD∽△AOE；

∵∠OBD+∠BOD=90∘

13.【答案】0【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质根据交点确定不等式的解集【解析】本题考查二次函数与不等式，根据两函数图象的交点确定ax>ax2−【解答】解：∵抛物线y1=ax2−2ax(a>0)和直线y2=kx(k>0)14.【答案】10【考点】勾股定理的应用利用垂径定理求值【解析】本题考查垂径定理，勾股定理．

由垂径定理得到AD=12AB=8cm，设⊙O的半径为xcm，则OA【解答】解：连接AO，

∵OC⊥AB，

∴AD=12AB=12×16=8cm，

设⊙O的半径为xcm，则OA=OC=xcm，

∴OD=OC−15.【答案】x【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质根据二次函数图象确定相应方程根的情况【解析】本题考查了二次函数的对称性及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的对称性及与一元二次方程的关系是本题解题关键．根据二次函数的对称性求解对称轴为直线x=−1+3【解答】解：根据题意得：点(−1,0)，(3,0)均在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，

∴二次函数图象的对称轴为直线x=−1+32=1，

由表格信息可得：当16.【答案】33−【考点】含30度角的直角三角形勾股定理的应用【解析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，分∠ACB【解答】解：过点B作BD⊥AC，

∵∠A=30∘，AB=6cm，

∴BD=12AB=3，

∴AD=AB2−BD2=33三、解答题17.【答案】3【考点】特殊角三角函数值的混合运算零指数幂【解析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数幂，原式分别代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，最后再进行加减运算即可．【解答】解：原式=222+318.【答案】开口方向向下，对称轴为直线：x点P(>【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质把y=ax^2+bx+c化成顶点式【解析】（1）将一般式化为顶点式，求解即可；（2）将x=3代入函数解析式，求出（3）根据二次函数的增减性，进行判断即可．【解答】（1）解：∵y=−x2+4x−（2）解：∵y=−x2+4x−7，

∴当x=（3）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，

∴当x>2时，y随x的增大而减小，

∵2<x119.【答案】cos∠【考点】求角的余弦值勾股定理的应用直角三角形斜边上的中线【解析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，求角的余弦值，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握余弦的定义是解题关键．由直角三角形斜边中线的性质得出BC=2AD=10，BD=AD=【解答】解：∵∠BAC=90∘，AD是△ABC的中线，

∴BC=2AD=10，BD=AD=DC．

在Rt△ABC中，∠BAC=20.【答案】见解析tan∠【考点】利用菱形的性质证明解直角三角形的相关计算证明四边形是矩形【解析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形AEBO是平行四边形，根据菱形的性质得到∠AOB=90（2）根据菱形的性质得到AC⊥BD，求得OB=【解答】（1）解：∵AE // BD，BE // AC，

∴四边形AEBO是平行四边形，

∵四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD交于点O，

∴∠AOB（2）∵∠AOB=90∘，∠ABD=60∘，

∴sin∠ABO=AOAB，cos∠ABO=BOAB，

∴AO=32AB=23×32=3，BO=21.【答案】图见解析90∘【考点】尺规作图——作角平分线等腰三角形的性质：三线合一半圆（直径）所对的圆周角是直角利用弧、弦、圆心角的关系求证【解析】（1）按照所给作法以及角平分线的尺规作图法补全图形即可；（2）由直径所对的圆周角是直角可得∠BCD=90∘，由相等的圆周角所对的弧相等可得DE⌢【解答】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）如下：

（2）证明：连接AE，DC，

∵AB=AC，∴点C在⊙A上．

∵BD是⊙A的直径，∴∠BCD=90∘（直径所对的圆周角是直角）（填推理依据）

∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE．∴DE⌢=CE⌢，

22.【答案】见解析见解析【考点】相似三角形的性质与判定勾股定理的应用利用矩形的性质证明【解析】（1）由平行线的性质得∠AGB=∠CBE（2）根据相似三角形的性质求出BE的长是解答本题的关键．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90∘，BC=AD，AD∥BC，

∴∠AGB=∠CBE．

（2）∵AG=6，DG=73，

∴BC=AD=6+73=253，BG=23.【答案】桌面上升的高度约为22cm【考点】解直角三角形的相关计算解直角三角形的应用-其他问题【解析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数定义是解题的关键．

做辅助线，过点B作BM⊥FG于点M，交EC于点N，由三角函数求出BN、【解答】解：过点B作BM⊥FG于点M，交EC于点N，

∵FG // EC，

∴BM⊥EC，在Rt△ANB中，∠ANB=90∘，BA=40，

∴sin∠NAB=NBAB，

∴sin20∘=NB40，

∴NB=sin24.【答案】证明见解析CD【考点】利用垂径定理求值圆周角定理全等的性质和SAS综合（SAS）勾股定理的应用【解析】（1）利用ASA证明△CEG≅△CEB（2）连结OC，求出直径AB的长，即得半径OC=OB=5，求出OG，由(1)知GE=【解答】（1）解：证明：∵D是BF⌢的中点，

∴∠FCD=∠BCD，即∠GCE=∠BCE，

∵CD⊥AB，

∴∠（2）解：如图，连结OC，

∵AG=6，BG=4，

∴AB=6+4=10，

∴OC=OB=12AB=5，

∴OG25.【答案】补全图形见解析，直线DE与图形G(⊙O)只有一个公共点，或直线DEDE【考点】证明某直线是圆的切线勾股定理的应用利用垂径定理求值【解析】（1）由题意得图形G是以点O为圆心，12AB为半径的圆；连接OD，可证直线DE与（2）过点O作OG⊥AF于点G．可得AG=12AF【解答】（1）解：补全图形；

结论：直线DE与图形G(⊙O)只有一个公共点，或直线DE与⊙O相切

证明：连接OD，

∵OB=OD，

∴∠BDO=∠B，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，∠BDO=∠C，

∴DO // CA（2）解：过点O作OG⊥AF于点G．

∴AG=12AF=2

∵DE⊥AC，DO⊥DE，

∴四边形DOGE是矩形，

∴DO=EG=5，26.【答案】此二次函数图象的对称轴是直线x−【考点】二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象和性质已知抛物线上对称的两点求对称轴【解析】（1）先求出二次函数经过点(0,c（2）先根据(1)设二次函数的解析式为y=a(x−1)【解答】（1）解：对于二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，

当x=0时，y=c（2）解：由(1)可设二次函数的解析式为y=a(x−1)2+k(a>0)，

∵这个二次函数的图象上存在两点Ax1,y1，Bx2,y2，

∴y1=ax1−12+k，y227.【答案】见解析见解析【考点】全等的性质和SAS综合（SAS）根据旋转的性质求解与三角形中位线有关的证明【解析】（1）由旋转可知：DM=DE，∠MDE=2α，进而得∠DEM=∠DME；根据∠MDE=∠（2）延长FE到点N，使EN=FE，连接CN、AN,可推出DE //【解答】（1）解：证明：∵线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．

∴DM=DE，∠MDE=2α，

∴∠DEM=∠DME，

∵∠MDE=∠DEC+∠C=2α，∠C=α，

∴