清远一中2025-2026学年度高三10月期中考试数学试卷解析

清远一中20252026学年度高三10月期中考试数学试卷一、单选题1.设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l.P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线()A.经过点O B.经过点P

C.平行于直线OP D.垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示，P为抛物线上异于O的一点，则PF＝PQ，∴QF的垂直平分线经过点P.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题设有，故选B.3.某演讲比赛8位参赛选手的最终得分分别为92，88，95，93，90，97，94，96，其中位数为(

)A.91.5 B.93 C.93.5 D.94【答案】C【解析】把数据按从小到大的顺序排列可得：88，90，92，93，94，95，96，97，中位数是93+942故选：C.4.清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食要从苏州府运送到全国各地．为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，而一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为25cm，下底也为正方形，内边长为50cm，斛内高36cm，那么一斗米的体积大约为立方厘米?（）A.10500 B.12500 C.31500 D.52500【答案】A故选：A.5.已知函数若存在实数x1，x2满足，且，则的最大值为（）A.e1 B.12 C. D.1【答案】A【解析】当时，，当时，，则，令，则，，设，，，即在上单调递增，，所以的最大值为e1.故选：A.A. B. C. D.【答案】B故选：B.7.已知函数fx=Acos2x+φ(A>0,φ<π)A.gx=sin4x B.gx=sinx【答案】A【解析】由fx是奇函数，则φ=kπ+π2，k∈当φ=π2，fx当φ=−π2，fx=Acos所以fx将fx的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，故故选：A.8.已知圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，若点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅A.−94 B.−32 C.−2【答案】A【解析】圆锥MO的底面半径为3，高为1，其中O为底面圆心，AB是底面圆的一条直径，则有OA=−OB，点P在圆锥MO的侧面上运动，则PA⋅OP最小时，PA⋅PB有最小值，OP的最小值为Rt△MOA中，OA=3，OM=1，则AM=2，O点到MA的距离则OP的最小值为32，PA⋅PB故选：A.二、多选题【答案】BCD【解析】对于，如图：故B正确；故C正确；连接并与交于点.当在线段（不含点）上时，如图：故选：BCD.【答案】AC所以曲线C关于原点O成中心对称，A正确；故选：AC.11.已知直线l:m+2x−m−2A.l过定点1,1B.圆C与y轴相切C.若l与圆C有交点，则m的最大值为0D.若l平分圆C，则m=−【答案】ABD【解析】对A，整理直线l的方程，得mx−y+2x+y−4=0，令当x=y时，直线方程与m的取值无关，又x+y=2，解得x=y=1，即l必过定点1,1，故A正确；对B，整理圆C的方程，得(x+2)2+(y−3)2=4又r=2，故得圆C与y轴相切，故B正确；对C，若l与圆C有交点，设圆心C到直线l的距离为d，可得d=5m+2(m+2)2+(m−2)对D，若l平分圆C，则l必过圆心，易知圆心为−2,3将−2,3代入直线l的方程，得−5m+2−4=0，解得m=−25故选：ABD.三、填空题【答案】2故答案为：2.13.设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为__________．【答案】10【解析】由双曲线的标准方程得a＝2,由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|,当直线l过点F1,且垂直于x轴时,|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝(|AF1|+|BF1|)min＝|AB|min＋8＝，故答案为：10.14.在三棱锥A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，点A，B，C，D在同一个球面上，则该球的表面积为________.【答案】20π【解析】根据题意得，BC⊥平面ABD，则BC⊥BD，即AD，BC，BD三条线两两垂直，所以可将三棱锥A－BCD放置于长方体内，如图所示，该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，球心为长方体体对角线的中点，即外接球的半径为长方体体对角线长的一半，此时AC为长方体的体对角线，即为外接球的直径，所以该球的表面积S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.四、解答题（1）求的通项公式；（1）现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记5首歌曲中猜对的歌曲数为，求随机变量的数学期望；（2）若从甲、乙、丙3个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；（3）若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊小组中任选一名代表，从装有3个白球和2个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球记分，摸出红球记分，以0分开始计分，恰好获得分或分则结束摸球．若该代表获得分，则该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利．若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率．【答案】解：（1）已知从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，猜对歌曲的概率为45，共猜5随机变量X表示猜对的歌曲数，则X∼B(5,4则E(X)=5×4（2）记事件A1，A2，且P(A记事件B表示该学生能猜对歌曲，已知P(B|A1)=45则P(B)=1所以，该学生能猜对的概率为143180（3）由题意，从盒子中有放回地摸球，摸出白球记1分，概率为35摸出红球记2分，概率为25记得分为n的概率为Pn，P1=当n≥3时，Pn=3又P2所以数列{Pn+1−Pn可得Pn+1所以P=3所以戊组获胜的概率为5717.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【答案】解(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，为半径的圆．设＝k，即y＝kx，则圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值．由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－.∴max＝，min＝－.(2)设y－x＝b，则y＝x＋b，当且仅当直线y＝x＋b与圆相切于第四象限时，截距b取最小值，由点到直线的