河北省石家庄市新乐市七校联合体2025-2026学年高二上学期11月期中质量检测数学试题

～学年度高二年级期中质量检测数学考生注意：本试卷分选择题和非选择题两部分满分分，考试时间分钟.答题前，考生务必用直径毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.考生作答时，请将答案答在答题卡上选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章第三章第2节.85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线在轴上的截距为（）A.3B.C.D.3【答案】C【解析】【分析】令，求得对应的即可【详解】令，得，即在轴上的截距为.故选：C.2.已知空间向量，，若，则（）A.B.C.2D.4【答案】A【解析】【分析】由向量共线定理可得.【详解】因为，所以存在实数，使得，即.即，，，所以，，所以.故选：A.第1页/共17页3.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上顶点，则（）A.的长轴长为5B.的离心率等于C.D.的周长为14【答案】C【解析】【分析】结合题意并利用椭圆的性质逐个选项求解即可.【详解】如图，作出符合题意的图形，由题意知，，，对于A，结合题意可得的长轴长为10，故A错误，对于B，结合题意可得的离心率为，故B错误，对于C，由题意得，由两点间距离公式得，故C正确，对于D，结合椭圆的定义得的周长为，故D错误.故选：C4.圆与圆的位置关系为（）A.外离B.外切C.相交D.内切【答案】A【解析】【分析】由圆心距和半径和、差的关系即可判断.【详解】由题意知，，两圆的半径分别为，，所以，故两圆外离.故选：A.第2页/共17页（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由空间向量的运算，用表示，即可得到结果.【详解】连接并延长交于，则为的中点，所以，，所以，所以，，所以.故选：B.6.已知双曲线的右焦点为的直线交于，关于轴的对称点为，若，则的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对称性求出直线的倾斜角，由点斜式可得方程.【详解】由题意知（，第3页/共17页故直线的斜率为，所以的方程为，即.故选：A.7.已知实数，满足，则取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，联立椭圆方程，利用判别式求得的范围即可.【详解】设，则，可看作是一组与椭圆有公共点的平行直线.由，得.，解得故选：B.8.已知，分别为双曲线于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】第4页/共17页【分析】应用双曲线定义结合已知条件得出，，再结合余弦定理得出边长间关系得出，即可得出离心率范围.【详解】由题意知，，关于原点对称，不妨设点为第一象限内一点，则，，又，，所以，，记，因为为锐角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故选:D.36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，若正方体的棱长为，为的中点，则（）A.与所成的角为B.C.D.与平面所成的角为【答案】AB【解析】AB第5页/共17页用模长公式计算判断C，应用线面角正弦计算判断D.【详解】以点为原点，以，，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，，，，所以，，所以与所成的角为，，.平面的一个法向量为，设与平面所成的角为，所以，所以A，B正确，C，D错误故选:AB.10.已知曲线，则下列命题错误的是（）A.若，则为椭圆B.若或，则表示双曲线C.若为椭圆，则与椭圆有相同的焦距D.若为双曲线，则与双曲线有相同的焦距【答案】ACD第6页/共17页【解析】【分析】由椭圆、双曲线标准方程的结构特点可判断AB，由焦距的概念可判断CD.【详解】因为，但，即不是椭圆，故A错误；当，即，或时，为双曲线，故B正确；当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，当时，为焦点在轴上的椭圆，其焦距为，而的焦距为，故C错误；当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，当时，表示焦点在轴上的双曲线，其焦距为，与双曲线的焦距不相同，故D错误.故选：ACD.已知点，，动点满足，记点的轨迹为曲线.点，直线，则（）A.曲线的方程为B.当最小时，C.当最大时，D.若曲线上仅有一点到直线的距离为2，则的值为【答案】ABC【解析】【分析】由动点满足的条件列得其轨迹方程，判断A；由A知动点P的轨迹为圆，结合图象可知，当直线与曲线BC上仅有一点到直线的距离为2，得圆心到直线的距离等于，由此可求得两条满足条件的直线，判断D.第7页/共17页【详解】设，由，得，化简得，曲线，故A正确；由曲线的方程，知曲线表示以为圆心，且半径为的圆.当最小或最大时，如图所示，直线分别在的位置，均与曲线相切，，故B，C正确；圆心到直线的距离，或，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.若双曲线的实轴长为4，虚轴长为，则该双曲线的离心率等于__________.【答案】##【解析】【分析】记实轴长为，虚轴长为，焦距为，由及求解即可.【详解】记实轴长为，虚轴长为，焦距为.则，，所以，，.所以该双曲线的离心率.故答案为：.13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为第8页/共17页__________．【答案】【解析】【分析】根据椭圆定义，以及的范围，转化为二次函数求值域.【详解】由题意知，，所以，设，则，由，得，故，所以当时，取得最大值9，当或时，取得最小值5，故的取值范围为．故答案为：14.已知圆，过点作的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为__________.【答案】【解析】【分析】先根据切线得出在上，再两圆作差得出直线的方程.【详解】因为切点分别为，，则，，所以，，，四点在以为直径的圆上，因为，所以在圆心为，半径为的圆上，其方程为，所以与两边分别作差，得，即直线的方程为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第9页/共17页15.回答下面两个问题（1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.【答案】（1）（2）【解析】1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解；（2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解.【小问1详解】由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距，故设所求双曲线的标准方程为，，，所以，所以，所以，故所求双曲线的标准方程为.【小问2详解】设所求双曲线的方程为，将点代入上述方程，得，所以，所以，第10页/共17页故所求双曲线的方程为.16.已知点，，.（1）求的面积；（2）求的外接圆的方程.【答案】（1）7（2）【解析】1）根据两点间距离公式求底边，再代入点到直线的距离公式求高，即可求解；（2）将三点坐标代入圆的一般方程，即可求解.【小问1详解】直线的方程为，即，点到直线的距离，，所以的面积.【小问2详解】设外接圆的方程为，由题意得解得故的外接圆的方程为.第11页/共17页17.已知三条直线，，.（1）若，，交于一点，求实数的值；（2）若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；（2）先求出，，不可以围成一个三角形，即两条直线平行或三线共点求参，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围.【小问1详解】联立与的方程，得解得即与的交点坐标为，由题意知点在上，所以，解得.【小问2详解】由（1）知，当时，，所以，当时，，所以，当不与和平行，且不过同一点时，，，三条直线可以围成三角形，所以，且，且，故的取值范围为.第12页/共17页18.如图，在三棱柱中，，，，，平面平面，为的中点.（1）证明：；（2）求点到平面的距离；（3）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】1）根据面面垂直的性质定理，转化为证明平面，即可证明线线垂直；（2）根据垂直关系，以点为原点建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，再代入点到平面的距离公式，即可求解；（3）求两个平面的法向量，再代入二面角的向量公式，即可求解.【小问1详解】证明：因为，为中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；【小问2详解】第13页/共17页因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以，1，为原点，直线、、分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则即，解得，，所以，所以点到平面的距离.【小问3详解】由（2）得，，设平面的一个法向量，则即令，解得，，所以，由（2）知平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为，则.19.已知右焦点为的椭圆过点.第14页/共17页（2）若点在上，点为圆上一点，求的最大值；（3的直线与交于，的右支交于点，为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】1）代入点，再根据右焦点可得椭圆的方程；（2）的最大值可转化为点到圆心的距离加半径，然后求的最大值即可；（3）联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式计算出，再联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式计算出，利用为定值，可得答案.【小问1详解】由题意得解得所以的方程为.【小问2详解