河北省沧衡名校联盟2025-2026学年高二上学期期中考试 数学含解析

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沧衡名校联盟2025-2026学年高二年级期中质量检测

数学试卷

本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.直线x+√3y-2025=0的倾斜角为

A.30°B.60°C.120°D.150°

2.已知点在抛物线y=ax²上，则该抛物线的准线方程为

ABC.y=-2D.x=-2

3.若关于x,y的方程：有实数解，则实数m的取值范围为

A.(一∞,1)U(4,+∞)B.(-∞,1)U[4,+∞)

C.(1,4)D.[1,4]

4.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2,AD=2,AA₁=3,∠BAD=45°,LA₁AD=∠A₁AB

=60°,则BD长度为

A.√17-4√2B.√17+4√2C.√17-2√2D.√17+2√2

【高二年级期中质量检测·数学第1页(共4页)】

5.下列四个椭圆中，椭圆的形状最接近圆的是

A.9x²+y²=36

CD

6.双曲(a>0)的左、右焦点分别是F₁、F₂,焦距为10,点M是双曲线上一点，且

MF₁|=7,则|MF₂|=

A.1B.13C.1或13D.1或15

7.已知直线l:y=kx+1和抛物线C:y²=4x,则“k=1”是“直线l与抛物线C恰有一个公共点”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.既不充分又不必要条件D.充要条件

8.已知F₁,F₂分别是双曲线的左、右焦点，过F²斜率不为0的直线与双

曲线的左、右两支分别交于M、N两点，记△MF₁F₂与△NF₁F₂的内切圆面积分别是S₁和S₂,若

S₁=4S₂,则双曲线C的离心率为

A.√2B.2CD.3

二、不定项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。

9.在平面内，已知圆0的半径为定长r,A为该平面内的一点，P是圆0上任意一点，线段AP的垂

直平分线与直线OP相交于点Q,当点P在圆0上运动时，点Q的轨迹可能为

A.圆B.抛物线C.椭圆D.双曲线一支

10.已知空间四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),

下列说法不正确的是

A.向量AB与CD共面

B.向量AB在向量CD方向上投影向量的坐标为

C.直线AB与平面BCD所成角的余弦值

D.空间四边形ABCD外接球的表面积

【高二年级期中质量检测·数学第2页(共4页)】

11.已知抛物线C:x²=4y的焦点为F,M(x₁,y1),N(x₂,y₂)为抛物线上不同的两点，下列说法正确

的是

A.抛物线C的焦点到准线的距离为2

B.若MN的中点横坐标为2,则直线MN的斜率为

C.直线MN的方程为(x₁+x2)x-4y-x₁x₂=0

D.若M、F、N三点共线，则以MN为直径的圆一定与抛物线C的准线相切

三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分。

12.对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点(√2,3),该双曲线的标准方程为

13.一条光线从点A(-2,3)射出，经直线x+y+1=0反射后，反射光线经过点B(1,2),则入射光线

所在的直线方程为

14.已知椭圆的右焦点为F,M为椭圆I上的动点，点N在以MF为直径的圆上，

若1ONI的最大值为3(0为坐标原点),则椭圆I的短轴长

四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本题满分13分)

在平面直角坐标系xOy中，动点P(x,y)满足：IPOI²+IPMI²=58,其中0为坐标原点，点M坐

标为(6,6),直线l:(2m+1)x+(m-2)y+1-3m=0,记动点P的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)证明：直线l与曲线C相交；

(3)求直线l被曲线C截得的弦长的最小值.

16.(本题满分15分)

已知过(2,0)的直线l与抛物线C:y²=2px(p>0)交于A,B两点，且OA⊥OB,其中0为坐标原点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)在抛物线C上求一点M,使得点M到直线y=x+2的距离最短，并求出最短距离.

【高二年级期中质量检测·数学第3页(共4页)】

17.(本题满分15分)

已知椭圆(a>b>0))的左顶点为A(-5,0),且椭圆经过点

(1)求椭圆T的标准方程；

(2)点P为椭圆T上任意一点，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标.

18.(本题满分17分)

如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧棱VA⊥底面ABCD,平面VAD⊥平面VCD.

(1)证明：底面ABCD为矩形；

(2)若VA=AD=2AB=2,E为VD中点，作EF⊥VC交VC于点F.

(i)证明：VC⊥平面AEF;

(ii)求平面VBD与平面AEF夹角的余弦值.

19.(本题满分17分)

已知动圆M与圆C₁:(x+4)²+y²=25和圆C₂:(x-4)²+y²=1都外切，动圆圆心M的轨迹记

为曲线I.

(1)求曲线I的方程；

(2)过点(1,0)斜率为k的直线l与曲线I恰好有一个公共点，求k的值组成的集合；

(3)设点P在直线x=1上，过P的两条直线分别交T于A,B两点和C,D两点，且直线AB的斜

率与直线CD的斜率互为相反数，证明

【高二年级期中质量检测·数学第4页(共4页)】

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数学参考答案与解析

1.【答案】D

2.【答案】C

【命题说明】改编人教A版选择性必修一第132页“思考”

3.【答案】B

4.【答案】A

【命题说明】改编人教A版选择性必修一7页例2

【解析】以{AB,AD,AA,}为基底，则AB·AD=2√2,AA·AD=AA·AB=3,

而BD,=AD,-AB=AD+AA-AB,从而|BDI=√(AD+AA-AB)²

=√AD²+AB²+AA²+2AD·AA-2AD·AB-2AB·AA,=√17-4√2,故选A.

5.【答案】D

【命题说明】改编人教A版选择性必修一112页练习5

【解析】由9x²+y²=36,所以椭圆的离心率

由得椭圆的离心率为,得椭圆的离心率为

得椭圆的离心率为;离心率越小，椭圆形状越接近圆，故选D.

6.【答案】B

【命题说明】改编人教A版选择性必修一121页练习4

【解析】由双曲线的定义知：a²+(a²+7)=25,从而a=3,c=5,所以双曲线方程

故||MF₁I-|MF₂Il=2a=6,所以|MF₂I=13或|MF₂I=1,而|MF₂I=1<c-a=2,不合题意；

所以|MF₂I=13,故选B.

7.【答案】A

8.【答案】D

【解析】设△MF₁F₂与△NF₁F₂的内切圆的圆心分别是I₁,I₂,

内切圆半径分别是r₁,r₂,过I₁,I₂分别向x轴作垂线，

垂足分别是A,B,连接I₁F₂,在△MF₁F₂中，

IMF₂I+IF₁F₂I-IMF₁1=2IAF₂I=2a+2c=2(c-xA),所以xA=-a,

故点A为双曲线的左顶点，同理可得：点B为双曲线的右顶点.

而点I₁,I₂均在∠MF₂F,的平分线上，所以△I₁F₂A与△I₂F₂B相似，

,故选D.

9.【答案】AC

【命题说明】改编人教A版选择性必修一习题3.1第6题和第127页习题3.2第5题

【解析】当点A与点O重合时，点Q的轨迹为圆；当点A与圆O内部且不与点O重合时，点Q的轨迹为椭圆；

当点A在圆O上时，点Q的轨迹为一定点(圆O);当点A与圆O外部时，点Q的轨迹为双曲线.综上选AC.

【高二年级期中质量检测——数学答案第1页(共5页)】

10.【答案】BC

【解析】空间中任何两个向量都共面，故A正确；

AB=(0,1,-1),所

从而向量AB在向量CD方向上投影向量,故B错误；

而BC=(-1,0,1),,易得平面BCD的一个法向量为m=(1,-1,1),

所以cos<AB,,故直线AB与平面BCD所成角的正弦值为,故C错误；

设空间四边形ABCD外接球的球心为O(x,y,z),则OA²=OB²=0C²=OD²

解得,所以半径为,即外接球表面积为,故D正确.

综上选BC.

11.【答案】ACD

【命题说明】改编人教A版选择性必修一第146页第16题

【解析】抛物线的焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1,故抛物线C的焦点到准线的距离为2,故A正确；

直线MN的斜率,所以当MN的中点横坐标为2,则直线MN的斜率为

,故B错误；

由得直线MN的方程为,即

化简得(x₁+x₂)x-4y-x₁x₂=0,故C正确；

分别过M、N两点作MM'⊥l、NN′⊥l,垂足分别为M',N′,设弦MN的中点为H,作HH'⊥l,垂足为H',

则故以MN为直径的圆一定与抛物线的准线相切，故

D正确.综上选ACD.

12.【答案】

【命题说明】改编人教A版选择性必修一第124页练习3和第127页习题3.2第6题

【解析】设等轴双曲线的方程为x²-y²=λ(λ≠0),将(√2,3)代入得λ=-7,

所以双曲线的标准方程为

13.【答案】5x-y+13=0

【命题说明】改编人教A版选择性必修一第68页第13题

【解析】易得B(1,2)关于直线x+y+1=0的对称点B'的坐标为(-3,-2),由题意知：入射光线所在的直线经

过A(-2,3)和B'(-3,-2),而斜率,所以入射光线所在的直线方程为5x-y+13=0.

14.【答案】4√2

【解析】设MF的中点为H,IMFI=2r,椭圆I的左焦点为F₁,连接MF₁,则1ONI的最大值为1OHI+r,

而0,H分别为F₁F和MF的中点，所以|MF₁I=21OHI,从而

,故m=8,故椭圆厂的短轴长为4√2.

【高二年级期中质量检测——数学答案第2页(共5页)】

15.【命题说明】改编人教A版选择性必修一第103页第20题

解(1)由题意知：x²+y²+(x-6)²+(y-6)²=58………(2分)

化简得x²+y²-6x-6y+7=0,所以曲线C的方程为x²+y²-6x-6y+7=0………(3分)

(2)证明：由(2m+1)x+(m-2)y+1-3m=0得(2x+y-3)m+x-2y+1=0,

由得,所以直线I过定点A(1,1)……………………(6分)

而圆C的标准方程为(x-3)²+(y-3)²=11,

所以圆C的圆心坐标为C(3,3),半径为√11,

故IACI=√(3-1)²+(3-1)²=2√2<√11,所以点A(1,1)在圆C内………………(8分)

故直线l与圆C相交，证毕…………………(9分)

(3)当直线I垂直于AC,即点A为弦中点时，直线l被圆C截得的弦长最短…………(10分)

此时弦长为2√(√11)²-1ACI²=2√3……………………13分

16.【命题说明】改编人教A版选择性必修一第146页第10题和第12题

解：(1)由题意知，直线l的斜率不为0,设直线l方程为x=ty+2,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由得y²-2pty-4p=0,y₁+y₂=2pt,y₁Y₂=-4p…………………3分

因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即x₁x₂+y₁y₂=0……………………5分

,而y₁y₂≠0,所以y₁Y₂=-4p²,所以-4p=-4p²…………………8分

故p=1,故抛物线C的方程为y²=2x……………………10分

(2)设点M的坐标为

则点M到直线x-y+2=0的距离………13分

当y。=1时，d取得最小值，此时点M的坐标为,最短距离………………15分

17.【命题说明】改编人教A版选择性必修一第114页例7

解：(1)由题意知：,解得…………3分

所以椭圆I的标准方程……………4分

(2)因为A(-5,0),,所以直线AB的斜率

故直线AB的方程为4x-5y+20=0……………………6分

设与直线AB平行的直线l的方程为4x-5y+m=0(m≠20),则当直线l与椭圆I相切且与直线AB距离比

较远时，直线l与椭圆的切点为P,此时△PAB面积最大……………7分

【高二年级期中质量检测——数学答案第3页(共5页)】

由得25x²+8mx+m²-225=0

判别式△=36(25²-m²),由△=0得m=-25(m=25舍去),故直线l方程为4x-5y-25=0………9分

所以点P横坐标为从而,所以P点坐标为………11分

此时点P到直线AB的距离………13分

而

所以△PAB面积的最大值

此时P点坐标为………………15分

18.【命题说明】改编人教A版选择性必修一第39页例10

解：(1)证明：在平面VAD内，作AH⊥VD交VD于H,因为平面VAD⊥平面VCD,

平面VAD∩平面VCD=VD,所以AH1平面VCD,而CDC平面VCD,所以CDIAH…3分

因为VA⊥底面ABCD,CDC底面ABCD,

所以CD⊥VA,而VA∩AH=A,故CD1平面VAD………5分

而ADC平面VAD,所以CD1AD,

而底面ABCD为平行四边形，故底面ABCD为矩形，证毕………6分

(2)(i)因为VA=AD,E为VD中点，所以AE⊥VD………………7分

由(1)知AE1平面VCD,VCC平面VCD,故AE⊥VC,

又因为EF⊥VC,EF∩A=E,所以VC1平面AEF……9分

(ii)由(1)知AB,AD,AV两两垂直，以A为坐标原点，如图建立空间直角坐标系Axyz,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),V(0,0,2),D(0,2,0)………11分

从而VB=(1,0,-2),VD=(0,2,-2)

设平面VBD的一个法向量为m=(x₁,y₁,z₁),

则,即,可取m=(2,1,1)…………………13分

由(i)知VC⊥平面AEF,所以VC=(1,2,-2)为平面AEF的一个法向量……………15分

故|cos<m,…………16分

故平面VBD与平面AEF夹角的余弦值……………17分

【高二年级期中质量检测——数学答案第4页(共5页)】

19.【命题说明】改编人教A版选择性必修一第145页第2题(2)

解：(1)设动圆M的半径为r,则由动圆M与圆C₁外切得：|MC₁I=5+r.....................................................1分

由动圆M与圆C₂外切得：|MC₂I=1+r..............................................................................