2026年中考数学复习难题速递之图形的相似（2025年11月）

第42页（共42页）2026年中考数学复习难题速递之图形的相似（2025年11月）一．选择题（共10小题）1．如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（）A．6米 B．5米 C．4米 D．3米2．如图，正方形ABCD的边长是3，点P是AB延长线上一点，延长BC至点Q，使CQ＝BP，连结AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连结AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OD•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，QECDA．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，EC＝6，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．下列说法正确的是（）A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等5．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，EF＝4，则DF的长为（）A．325 B．125 C．2 D6．如图，∠ACB＝∠BDC＝90°．要使△ABC∽△BCD，给出下列添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC•CD；③ACBCA．①③ B．①② C．②③ D．①②③7．如图，在△ABC中，按下列步骤作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；（2）以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；（3）分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，交BC于点P，且AM和CD交于点N，连接NO并延长至点G，使OG＝NO，连接BG．给出下列结论，①AD＝BD；②BG∥DN且BG＝DN；③AM垂直平分CD；A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④8．如图，在正方形网格中，△ABC与△DEF（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点K，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（）A．点P B．点Q C．点O D．点K9．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C．ABAD=ACAE10．如图，点E是△ABC的边AB上的一点，下面四个命题中错误的是（）A．如果∠AEC＝∠ACB，那么△ACE∽△ABC B．如果∠ACE＝∠B，那么△ACE∽△ABC C．如果ACAB=AEAC，那么△D．如果ACAE=ABBC二．填空题（共5小题）11．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，那么边BC＝．13．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为cm．14．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、BC上，F、G在边AB上，如果AG＝4，BF＝9，那么tanB＝．15．如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB边上的一个动点，连接EF，作FG⊥FE，交BC于点G，设AF＝x，BF+BG＝y．图2是点F从点A运动到点B的过程中，y关于x的函数图象．当x＝2.5时，y的值最大，最大值是a，则a的值是．三．解答题（共5小题）16．项目学习项目背景：某校数学兴趣小组的同学利用“相似三角形”的知识测量本地一条河流的宽度，该数学兴趣小组的同学在河流的两岸选择了5棵树作为标记，并开展活动，最终形成活动报告如下：项目主题河流宽度的测量与计算驱动问题如何利用相似三角形的知识计算河流的宽度活动内容利用相似三角形的性质进行“长度”的测量和计算活动过程方案说明：1．如图，P，Q，A，B，C五点代表5棵树，河流两岸PM与QN互相平行，PC与QN互相垂直．2．P，Q，C三点在一条直线上，P，A，B三点在一条直线上，QP⊥CB．数据测量：测得CB＝CQ＝60米，AQ＝35米．计算：…交流展示…根据表中的数据计算河流的宽度PQ．17．如图，在7×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点A、B、C均在格点上，用无刻度的直尺作图．（1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边；（2）在图②中的线段AC上找一个点E，使AC＝3AE．18．（1）[探究新知]如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠A=13，求tan2∠A的值；（提示，在AB上取一点D，连接CD，使得CD＝（2）[新知应用]如图（2），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝2ABC，E为CD延长线上一点，连接BE，且∠EBD＝2∠ACD，若tan∠ACD=12，求（3）[拓展延伸]在第（2）小题的条件下，若tan∠ACD=1n（n＞1），求EDDC19．教材改编题改编自人教版八上P79综合与实践【追本溯源】下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题．把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？[结论证明】（1）如图（1），将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′交AD于点E，求证：重合部分△EBD是等腰三角形．【类比迁移】（2）如图（2），将长方形纸片ABCD折叠，使B，D两点重合，点A的对应点为A′，折痕分别交AD，BC于点M，N，求证：AM＝NC．【拓展应用】（3）如图（3），将正方形纸片ABCD对折再展开，折痕为EF，将∠DAF对折再展开，折痕为AM，求CMMD20．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0）、B（0，8），点C在第一象限，点D在线段OB上，OD＝m，∠ADC＝90°，DC：DA＝1：2，CE⊥OD，垂足为E，连接AB、BC．（1）请直接写出图中与△AOD相似的三角形，直接写出线段CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当∠CBA＝∠BAO时，求m的值；（3）△ABC的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

2026年中考数学复习难题速递之图形的相似（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CDBDAABBDD一．选择题（共10小题）1．如图，小悦正在使用手电筒进行物理学实验，地面上从左到右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯光位于点G处，手电筒的光从平面镜上的点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，现测得AG＝1.2米，CD＝5米，AC＝5.4米，CF＝1.5米，已知图中点A，B，C，D在同一水平面上（物理学中入射角等于反射角，即∠ABG＝∠DBE），ED⊥AD，FC⊥AD，GA⊥AD，则ED的长为（）A．6米 B．5米 C．4米 D．3米【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；运算能力；应用意识．【答案】C【分析】根据题意可得：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC，从而可得∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°，然后证明△FBC∽△GBA，利用相似三角形的性质求出BC的长，最后证明△FBC∽△EBD，根据相似三角形的性质即可解答．【解答】解：由题意得：∠FBC＝∠GBA，：ED⊥AD，FC⊥AD，AG⊥AC，∴∠EDA＝∠FCA＝∠GAC＝90°，∴△FBC∽△GBA，∴BCAB∴BC5.4-解得BC＝3，∵∠FBC＝∠EBD，∴△FBC∽△EBD，∴CFDE∴1.5DE解得DE＝4米．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．如图，正方形ABCD的边长是3，点P是AB延长线上一点，延长BC至点Q，使CQ＝BP，连结AQ、DP交于点O，并分别与边CD、BC交于点F、E，连结AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OD•OP；③S△AOD＝S四边形OECF；④当BP＝1时，QECDA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP，故②正确；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到QE即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，∵BP＝CQ，∴AP＝BQ，在△DAP与△ABQ中，AD=∴△DAP≌△ABQ（SAS），∴∠P＝∠Q，∵∠Q+∠QAB＝90°，∴∠P+∠QAB＝90°，∴∠AOP＝90°，∴AQ⊥DP，故①正确；∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO+∠P＝∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠DAO＝∠P，∴△DAO∽△APO，∴AODO∴AO2＝OD•OP，故②正确；在△CQF与△BPE中，∠FCQ∴△CQF≌△BPE（ASA），∴CF＝BE，∴DF＝CE，在△ADF与△DCE中，AD=∴△ADF≌△DCE（SAS），∴S△ADF＝S△DCE，∴S△ADF﹣S△DFO＝S△DCE﹣S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；∵BP＝1，AB＝3，∴AP＝4，∵△PBE∽△PAD，∴BPBE∴BE=3∴QE=13∴QECE=13故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，EC＝6，则AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】B【分析】根据平行线分线段成比例，由DE∥BC得到ADBD=AE【解答】解：∵DE∥BC，∴ADBD∵AD＝2，BD＝3，EC＝6，∴23∴AE＝4．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题关键．4．下列说法正确的是（）A．任意两个矩形都相似 B．对角线互相垂直的四边形是正方形 C．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 D．甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等【考点】相似多边形的性质；平行投影；反比例函数的应用；矩形的性质；正方形的判定；轴对称图形；中心对称图形．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】分别根据相似多边形的性质，正方形的判定，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形及中心对称图形的定义，平行投影对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、任意两个矩形不一定相似，原说法错误，不符合题意；B、对角线互相平分、相等且垂直的四边形是正方形，原说法错误，不符合题意；C、反比例函数图象是轴对称图形，也是中心对称图形，原说法错误，不符合题意；D、甲、乙两人在太阳光下的水平道路上行走，同一时刻他们的身高与其影长的比相等，正确，符合题意，故选：D．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，根的判别式，反比例函数的性质，矩形的性质，轴对称图形及中心对称图形的定义，平行投影，熟知以上知识是解题的关键．5．如图，AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，EF＝4，则DF的长为（）A．325 B．125 C．2 D【考点】平行线分线段成比例．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】A【分析】根据题意可得到ABBC=DEEF，求出DE的长，再根据DF＝【解答】解：∵AD∥BE∥CF，直线a、b与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．∴ABBC∵AB＝3，BC＝5，EF＝4，∴DE=∴DF=故选：A．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，正确记忆相关知识点是解题关键．6．如图，∠ACB＝∠BDC＝90°．要使△ABC∽△BCD，给出下列添加的条件：①AB∥CD；②BC2＝AC•CD；③ACBCA．①③ B．①② C．②③ D．①②③【考点】相似三角形的判定．【专题】三角形；运算能力．【答案】A【分析】根据相似三角形判定定理：①由AB∥CD得两组角相等，③由对应边成比例且夹角（90°）相等，均能判定△ABC∽△BCD；②虽边成比例但夹角不等，无法判定，故答案为①③．【解答】解：①若AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，且∠ACB＝∠BDC＝90°，∴△ABC∽△BCD，故①符合题意；②若BC2＝AC•CD，则BCAC=CDBC且∠ACB＝∠无法判定△ABC∽△BCD，故②不符合题意；③若ACBC=BDCD且∠ACB＝∠∴△ABC∽△BCD，故③符合题意．故选：A．【点评】本题考查相似三角形的判断与性质，属于中档题．7．如图，在△ABC中，按下列步骤作图：（1）分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点O；（2）以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D；（3）分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，交BC于点P，且AM和CD交于点N，连接NO并延长至点G，使OG＝NO，连接BG．给出下列结论，①AD＝BD；②BG∥DN且BG＝DN；③AM垂直平分CD；A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】B【分析】通过分析尺规作图的步骤，利用线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质来逐一判断各个结论．【解答】解：由作图可知，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，所以AD＝AC，而不是AD＝BD，故①错误；由作图可知，分别以点B，C为圆心，大于12BC的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，EF和BC交于点所以EF垂直平分BC，即BO＝CO，EF⊥BC，因为OG＝NO，所以四边形BNGO是平行四边形，所以BG∥DN，BG＝DN，故②正确；由作图可知，分别以点D，C为圆心，大于12CD的长为半径画弧，两弧相交于点M，连接AM，交BC于点所以AM垂直平分CD，故③正确；因为AM垂直平分CD，所以AC＝AD，CP＝DP，∠APD＝∠APC＝90°，在△ADP和△ACP中，AD=所以△ADP≌△ACP（SSS），所以∠DAP＝∠CAP，因为∠B+∠BAP＝90°，∠C+∠CAP＝90°，所以∠B＝∠C，所以AB＝AC，因为△ADP≌△ACP，所以ADAC=DPCP，即综上，正确结论的序号是②③，故选：B．【点评】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，属于中档题．8．如图，在正方形网格中，△ABC与△DEF（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形．若取格点K，O，P，Q，则这两个三角形的位似中心是（）A．点P B．点Q C．点O D．点K【考点】位似变换．【专题】图形的相似；几何直观．【答案】B【分析】连接对应点，对应点所在的直线相交于一点，即为位似中心，据此进行作答即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF（其顶点都在该网格的格点上）是位似三角形，∴如图：连接BE，CF，位似中心是点Q．故选：B．【点评】本题考查了位似变换，掌握确定位似图象的位似中心的方法是解题的关键．9．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，不能判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C．ABAD=ACAE【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】D【分析】先根据∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根据相似三角形的判定方法解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；B、添加∠B＝∠ADE，可用两角法判定△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；C、添加ABAD=ACAE，可用两边及其夹角法判定△故本选项不符合题意；D、添加ABAD=BCDE，不能判定△故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．10．如图，点E是△ABC的边AB上的一点，下面四个命题中错误的是（）A．如果∠AEC＝∠ACB，那么△ACE∽△ABC B．如果∠ACE＝∠B，那么△ACE∽△ABC C．如果ACAB=AEAC，那么△D．如果ACAE=ABBC【考点】相似三角形的判定．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】D【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可．【解答】解：A．∵∠AEC＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ACE∽△ABC，故此命题正确，不符合题意；B．∵∠ACE＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACE∽△ABC，故此命题正确，不符合题意；C．∵ACAB=AEAC，∠A＝∠A，∴△D．∵ACAE=ABBC，不能证明△故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．二．填空题（共5小题）11．数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（latticepoint）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点A、B、C、D都是格点，△PQR是一个格点三角形，且点P的坐标是（4，1），若点A、B、C、D分别都和点P、Q联结，且联结后构成的格点三角形和△PQR相似，则这个点的坐标是（2，2）．【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】（2，2）．【分析】所连的三角形中有一个角与∠QPR相等，则根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”得到B点满足条件．【解答】解：∵∠QPR＝∠BQP，PRPQ=∴△BQP∽△QPR，B点坐标为（2，2）．故答案为：（2，2）．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法可解决问题的关键．也考查了坐标与图形性质．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，AD＝3，CD＝2，∠CBD＝45°，那么边BC＝101717【考点】相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【专题】图形的相似；推理能力．【答案】1017【分析】过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC于点E，F，证明△CDF∽△CAE，求得DFAE=CFCE=CDCA=25，设DF＝2a，CF＝2b，则AE＝5a，CE＝5b，根据∠CBD＝45°，求得DF＝BF【解答】解：过点A，D分别作AE⊥BC，DF⊥BC于点E，F，∴AE∥DF，∴△CDF∽△CAE，∴DFAE设DF＝2a，CF＝2b，则AE＝5a，CE＝5b，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BE＝CE＝5b，∵∠CBD＝45°，∴∠BDF＝∠FBD＝45°，∴DF＝BF，∴2a＝10b﹣2b＝8b，∴a＝4b，∴CE2+AE2＝AC2，即（5b）2+（5a）2＝52，解得b=∴BC=故答案为：1017【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是根据相似三角形的判定得出△CDF∽△CAE解答．13．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时，可以敲击出音阶“sol”．如图，若瓶高AB＝10cm，且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC约为6.18cm．【考点】黄金分割．【专题】运算能力．【答案】6.18．【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．【解答】解：由题知，ACAB因为AB＝10cm，所以AC≈6.18（cm）．故答案为：6.18．【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．14．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D、E分别在边AC、BC上，F、G在边AB上，如果AG＝4，BF＝9，那么tanB＝23【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；正方形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】23【分析】根据已知条件证明△AGD∽△EFB，根据对应边成比例列出等式，求得EF＝6，据此求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵正方形DEFG，∴DE∥AB，∠GDE＝90°，DG＝EF，∴∠A＝∠CDE，∠ADG+∠CDE＝90°，∴∠ADG＝∠B，∴△AGD∽△EFB，∴AGEF=DG解得：EF＝6（经检验，是分式方程的根，且符合题意），∴tanB=故答案为：23【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．15．如图1，在矩形ABCD中，点E是AD边的中点，点F是AB边上的一个动点，连接EF，作FG⊥FE，交BC于点G，设AF＝x，BF+BG＝y．图2是点F从点A运动到点B的过程中，y关于x的函数图象．当x＝2.5时，y的值最大，最大值是a，则a的值是12112【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的性质．【专题】函数及其图象；二次函数图象及其性质；三角形．【答案】12112【分析】根据抛物线与y轴交点得AB＝8，结合矩形的性质进一步证明△AEF∽△BFG，由AF＝x得BF＝8﹣x，设AE＝m，BG＝y﹣（8﹣x），结合AEAF=BFBG，即mx=8-【解答】解：∵抛物线与y轴交点为（0，8），AF＝x，BF+BG＝y，∴AB＝8，∵FG⊥FE，∴∠AFE+∠GFB＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠AEF＝∠GFB，∴△AEF∽△BFG∵AF＝x，∴BF＝8﹣x，设AE＝m，BG＝y﹣（8﹣x），则AEAF=BF化解得，y=∴x=-b2a则a=故答案为：12112【点评】本题主要考查二次函数的性质和矩形的性质，以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合思想的应用．三．解答题（共5小题）16．项目学习项目背景：某校数学兴趣小组的同学利用“相似三角形”的知识测量本地一条河流的宽度，该数学兴趣小组的同学在河流的两岸选择了5棵树作为标记，并开展活动，最终形成活动报告如下：项目主题河流宽度的测量与计算驱动问题如何利用相似三角形的知识计算河流的宽度活动内容利用相似三角形的性质进行“长度”的测量和计算活动过程方案说明：1．如图，P，Q，A，B，C五点代表5棵树，河流两岸PM与QN互相平行，PC与QN互相垂直．2．P，Q，C三点在一条直线上，P，A，B三点在一条直线上，QP⊥CB．数据测量：测得CB＝CQ＝60米，AQ＝35米．计算：…交流展示…根据表中的数据计算河流的宽度PQ．【考点】相似三角形的应用．【专题】图形的相似；应用意识．【答案】河流的宽度PQ为84米．【分析】通过证明△PQA∽△PCB，利用相似三角形的性质计算河流宽度PQ即可．【解答】解：∵PC⊥QN，PQ⊥CB，∴∠PQA＝∠PCB＝90°．∵∠QPA＝∠CPB，∴△PQA∽△PCB，∴PQPC设PQ＝x米，∵CB＝CQ＝60米，则PC＝（x+60）米，∵AQ＝35米，∴xx解得x＝84，经检验，x＝84是原方程的解．答：河流的宽度PQ为84米．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，根据已知条件证明三角形相似是解题的关键．17．如图，在7×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点A、B、C均在格点上，用无刻度的直尺作图．（1）在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边；（2）在图②中的线段AC上找一个点E，使AC＝3AE．【考点】作图﹣相似变换；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；推理能力．【答案】（1）与原三角形相似且有一条公共边的△BCG，如图①即为所求；（2）线段AC上使AC＝3AE的点E，如图②即为所求．【分析】（1）运用网格与勾股定理得CG=1，BG=2，BC=（2）运用网格特征，得FC∥AT，则△ATE∽△CFE，故AECE=ATCF=24=12，即2【解答】解：（1）与原三角形相似且有一条公共边的△BCG，如图①即为所求；（2）线段AC上使AC＝3AE的点E，如图②即为所求．【点评】本题考查了作图﹣相似变换，勾股定理，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．18．（1）[探究新知]如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠A=13，求tan2∠A的值；（提示，在AB上取一点D，连接CD，使得CD＝（2）[新知应用]如图（2），在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为边AB上一点，∠ACD＝2ABC，E为CD延长线上一点，连接BE，且∠EBD＝2∠ACD，若tan∠ACD=12，求（3）[拓展延伸]在第（2）小题的条件下，若tan∠ACD=1n（n＞1），求EDDC【考点】相似形综合题．【专题】三角形；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】（1）34（2）65（3）2n【分析】（1）在AB上取一点D，连接CD，使得CD＝AD，根据三角函数得到AB＝3BC，根据勾股定理得到AD=53BC，进而得到BD=43BC，根据等边对等角及三角形外角的性质得到（2）作BF⊥EC，作AN⊥EC，交BC于N，交EC于M，设DM＝x，根据锐角三角函数可求出AM＝2x，MC＝4x，证明BN＝CN，表示出FD，根据∠EBD＝2∠ACD，而∠FBD＝∠ACD，得到BD＝BE，然后表示ED＝2DF，进而求出EDCD（3）作BF⊥EC，作AN⊥EC，交BC于N，交EC于M，设DM＝x，根据锐角三角函数可求出AM＝nx，MC＝n2x，证明BN＝CN，表示出FD，根据∠EBD＝2∠ACD，而∠FBD＝∠ACD，得到BD＝BE，然后表示ED＝2DF，进而求出EDCD【解答】解：（1）在AB上取一点D，连接CD，使得CD＝AD，∵∠ABC＝90°，tan∠∴BCAB即AB＝3BC，∵CD＝AD，∴（AB﹣AD）2+BC2＝AD2，（3BC﹣AD）2+BC2＝AD2，∴5BC＝3AD，AD=BD=∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠CAD，∴∠BDC＝∠ACD+∠CAD＝2∠A，即tan2（2）作AN⊥EC交BC于N，作BF⊥EC于F，交EC于M，设DM＝x，∵∠CAM+∠MAD＝∠ACD+∠CAM＝90°，∴∠ACD＝∠MAD，∴tan∠ACD＝tan∠MAD，即：AMMC∴AM＝2x，AM2＝DM•MC，即4x2＝x•MC，∴MC＝4x，∵∠ACD＝∠ABC，∠ACD＝∠MAD，∴∠MAD＝∠ABC，∴BN＝AN，又∵∠CAN+∠NAB＝∠ACB+∠ABC，∴∠CAN＝∠ACB，∴CN＝AN，∴BN＝CN，∴N为BC中点，又∵BF⊥EC，AN⊥EC，∴BF∥AN，在Rt△BCF中，NM为中位线，∴MF＝MC，∴MF＝4x，∴FD＝3x，∵∠EBD＝2∠ACD，而∠ACD＝∠DAM，∴∠EBD＝2∠DAM，∵BF∥AM∴∠DAM＝∠FBD，∴∠EBD＝2∠FBD，∴∠EBF＝∠DBF，又∵BF⊥ED，∴∠BFE＝∠BFD＝90°，又∵BF＝BF，∴△BFE≌△BFD（ASA），∴BE＝BD，∴ED＝2DF＝6x，∴EDCD（3）作BF⊥EC于F，作AN⊥EC交BC于N，交EC于M，设DM＝x，∵∠ACD+∠CAM＝∠CAM+∠MAD＝90°，∴∠ACD＝∠MAD，∴tan∠ACD＝tan∠MAD，即：AMMC∴AM2＝DM•MC，AM＝nx，即n2x2＝x•MC，∴MC＝n2x，∵∠ACD＝∠ABC，∠ACD＝∠MAD，∴∠MAD＝∠ABC，∴BN＝AN，又∵∠CAN+∠NAB＝∠ACB+∠ABC，∴∠CAN＝∠ACB，∴CN＝AN，∴BN＝CN，∴N为BC中点，又∵AN⊥EC，BF⊥EC，∴BF∥AN，∵NM为中位线，∴MF＝MC，∴MF＝n2x，∴FD＝（n2﹣1）x，∵∠EBD＝2∠ACD，而∠ACD＝∠DAM，∴∠EBD＝2∠DAM，∵BF∥AM，∴∠DAM＝∠FBD，∴∠EBD＝2∠FBD，∴∠EBF＝∠DBF，又∵BF⊥ED，∴∠BFE＝∠BFD＝90°，又∵BF＝BF，∴△BFE≌△BFD（ASA），∴BE＝BD，∴ED＝2DF＝2（n2﹣1）x，∴EDDC【点评】本题考查了三角函数的应用，勾股定理，三角形中位线性质定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．19．教材改编题改编自人教版八上P79综合与实践【追本溯源】下面是来自课本中的习题，请你完成（1）中证明，并提炼方法完成（2）（3）题．把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？[结论证明】（1）如图（1），将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′交AD于点E，求证：重合部分△EBD是等腰三角形．【类比迁移】（2）如图（2），将长方形纸片ABCD折叠，使B，D两点重合，点A的对应点为A′，折痕分别交AD，BC于点M，N，求证：AM＝NC．【拓展应用】（3）如图（3），将正方形纸片ABCD对折再展开，折痕为EF，将∠DAF对折再展开，折痕为AM，求CMMD【考点】相似形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′交AD于点E，∴∠EBD＝∠DBC，在长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴重合部分△EBD是等腰三角形；（2）同理（1）可知∠DMN＝∠DNM，∴MD＝ND，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∵将长方形纸片ABCD折叠，使B，D两点重合，点A的对应点为A′，∴BN＝ND，∴MD＝BN，∴AM＝NC；（3）5-【分析】（1）要证△EBD是等腰三角形，则需要证△EBD中有两条边相等，由折叠的性质和长方形对边平行的性质即可证得结论；（2）由折叠可得BN＝ND，要证AM＝NC，则需要证明MD＝BN，进而结合（1）中结论即可得证；（3）结合（1）中结论，可延长AM交BC的延长线于点N，进而得到AF＝FN，△CNM∽△DAM，再结合正方形的性质、勾股定理求出CNAD，即可求出CM【解答】（1）证明：将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，BC′交AD于点E，∴∠EBD＝∠DBC，在长方形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，∴重合部分△EBD是等腰三角形；（2）证明：同理（1）可知∠DMN＝∠DNM，∴MD＝ND，∵四边形ABCD是长方形，∴AD＝BC，∵将长方形纸片ABCD折叠，使B，D两点重合，点A的对应点为A′，∴BN＝ND，∴MD＝BN，∴AM＝NC；（3）解：如图3，延长AM交BC的延长线于点N，同（1）可得∠FAN＝∠FNA，∴FA＝FN设AB＝2x，则AD＝2x，BF＝FC＝x，在直角三角形ABF中，由勾股定理得：AF=∴FN=∴CN=∵AD∥BC，∴△CNM∽△DAM，∴CMMD【点评】本题属于相似形综合题，主要考查的是等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣4，0）、B（0，8），点C在第一象限，点D在线段OB上，OD＝m，∠ADC＝90°，DC：DA＝1：2，CE⊥OD，垂足为E，连接AB、BC．（1）请直接写出图中与△AOD相似的三角形，直接写出线段CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当∠CBA＝∠BAO时，求m的值；（3）△ABC的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【考点】相似形综合题．【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】（1）△AOD∽△DEC，CE=12m，OE＝（2）m＝6；（3）△ABC的面积为定值；定值为20．【分析】（1）证明∠DAO＝∠CDO，结合∠DEC＝∠AOD＝90°，可得△AOD∽△DEC，可得AODE=ODCE=ADDC，结合DC：DA＝1：2，可得DE＝2，CE（2）如图，延长BC于M，证明AM2＝BM2，△BEC∽△BOM，可得BEBO=CEMO，可得BE＝8﹣（m﹣2）＝10﹣m，而CE=12（3）由（1）得：OE＝m﹣2，OA＝4，OM=4m10-m，可得AM=4+4m10-m=4010-【解答】解：（1）△AOD∽△DEC，CE=∵∠ADC＝∠AOD＝90°，∴∠ADO+∠DAO＝90°＝∠ADO+∠CDO，∴∠DAO＝∠CDO，∵CE⊥OD，∴∠DEC＝∠AOD＝90°，∴△AOD∽△DEC，∴AODE∵DC：DA＝1：2，∴AD＝2CD，∴AODE∵A（﹣4，0），OD＝m，∴DE＝2，CE=（2）如图，∠CBA＝∠BAO，延长BC交x轴于M，∴∠MBA＝∠MAB，∴AM＝BM，即AM2＝BM2，∵CE⊥BE，∠BOM＝90°，∴CE∥OM，∴△BEC∽△BOM，∴BEBO∵B（0，8），∴BE＝8﹣（m﹣2）＝10﹣m，∵CE=∴10-m∴OM=在直角三角形BOM中，由勾股定理得：BM∵AM∴64+16整理得：m2﹣16m+60＝0，解得：m1＝6，m2＝10（不合题意，舍去）；（3）△ABC的面积为定值；理由如下：由（1）得：DE＝2，OD＝m，OA＝4，OM=∴OE＝m﹣2，∴C的纵坐标为m﹣2，∴AM=4+∴S△ABC＝S△ABM﹣S△ACM=1=20=20＝20．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法等知识点，掌握以上基础知识是解答本题的关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．3．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-b2a，4ac-b24a），对称轴直线x=-b2a，二次函数y＝①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-b2a时，y随x的增大而减小；x＞-b2a时，y随x的增大而增大；x②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-b2a时，y随x的增大而增大；x＞-b2a时，y随x的增大而减小；x③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|-b2a|个单位，再向上或向下平移|44．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．6．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．7．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．8．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．9．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．10．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．11．作图—基本作图基本作图有：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线．12．轴对称图形（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．13．中心对称图形（1）定义把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．（2）常见的中心对称图形平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．14．黄金分割（1）黄金分割的定义：如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．黄金三角形分两种：①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：5-12；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一（3）黄金矩形：黄金矩形的宽与长之比确切值为5-15．平行线分线段成比例（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．（2）推论1：如果