2026年中考数学复习难题速递之相交线与平行线（2025年11月）

第34页（共34页）2026年中考数学复习难题速递之相交线与平行线（2025年11月）一．选择题（共10小题）1．已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（）A．36° B．34° C．26° D．24°2．如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠BFE＝65°，则∠C′FB的度数为（）A．45° B．50° C．60° D．65°3．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝22°，∠ECD＝103°，则∠A的度数为（）A．77° B．80° C．81° D．99°4．将一副三角板按照如图所示方式摆放，点D在边BC上，EF∥BC，则∠CQF＝（）A．100° B．105° C．115° D．120°5．如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（）A．34° B．56° C．22° D．36°6．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（）A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④8．如图，AB∥CD，BF，CG分别平分∠ABE，∠DCE，BF与CG的反向延长线交于点F．若∠BEC﹣∠F＝33°，则∠BEC的度数为（）A．57° B．66° C．82° D．94°9．如图，AB∥EF，∠ABP=14∠ABC，∠EFPA．58° B．60° C．62° D．64°10．如图，一束平行光线照射到正六边形ABCDEF上，若∠1＝35°，则∠2＝（）A．15° B．25° C．35° D．37°二．填空题（共5小题）11．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝．12．一把直尺和一把含45°角的直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若∠1＝28°，则∠2的度数为．13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长为．14．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，BF∥DE，且∠D＝30°，则∠E的度数为．15．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3＝152°，∠1＝35°，则∠2的大小是．三．解答题（共5小题）16．如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COF与∠EOF互余，OF平分∠AOE，∠COF＝25°．（1）∠AOC的对顶角是，∠AOC的邻补角是和；（2）求∠BOD的度数．17．如图，已知四边形CFBE，点A在BE的延长线上，点D在BF的延长线上，连接AD交CE，FC于点G，H，若∠AGE＝∠D，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠CHG．18．（1）在图①中，已知AB∥CD，FG是截线，一块∠E为60°的三角板的一条直角边靠在截线FG上，求∠AFE+∠CGE的值；（2）在图②中，已知AB∥CD，EG平分∠CGF，EF平分∠AFG，请说明EF与EG的位置关系；（3）在图③中，已知AB∥CD，EG平分∠CGF，在EG上取一点P，使得∠AFE＝∠PFG，请说明∠E与∠EPF的数量关系．19．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：（1）如图1所示，已知AB∥CD，点E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．请猜想∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并证明；猜想：；证明：（2）如图2所示，已知AB∥CD，点E为AB，CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，若∠E＝80°，求∠F的度数；【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：AB∥CD，点E的位置移到AB上方，点F在EB延长线上，且BG平分∠ABF与∠CDE的平分线DG相交于点G，请直接写出∠G与∠E之间的数量关系；【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件AB∥CD去掉，提出了以下问题：已知AB与CD不平行，如图4，点M在AB上，点N在CD上，连接MN，且MN同时平分∠BME和∠DNE，请直接写出∠AME，∠CNE，∠MEN之间的数量关系．20．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°．（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数；（2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数．

2026年中考数学复习难题速递之相交线与平行线（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCBACDCBB一．选择题（共10小题）1．已知：如图，AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，则∠3的度数是（）A．36° B．34° C．26° D．24°【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．【专题】推理填空题；推理能力．【答案】D【分析】由AB∥CD，根据三角形外角的性质和平行线的性质可得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，即可得∠3＝24°．【解答】解：由AB∥CD，∠1＝36°，∠2＝60°，得∠3+∠1＝∠ECB＝∠2＝60°，得∠3＝24°．故选：D．【点评】本题考查三角形外角的性质和平行线的性质，关键是正确计算．2．如图，把长方形ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，若∠BFE＝65°，则∠C′FB的度数为（）A．45° B．50° C．60° D．65°【考点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质推出∠DEF＝∠EFB＝65°，由折叠的性质得：∠D′EF＝∠DEF＝65°，由平行线的性质得到∠EFC′+∠D′EF＝180°，求出∠EFC′＝115°，即可得到∠C′FB＝∠EFC′﹣∠EFB＝115°﹣65°＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝65°，由折叠的性质得：∠D′EF＝∠DEF＝65°，∵ED′∥FC′，∴∠EFC′+∠D′EF＝180°，∴∠EFC′＝115°，∴∠C′FB＝∠EFC′﹣∠EFB＝115°﹣65°＝50°．故选：B．【点评】本题考查折叠的性质，平行线的性质，关键是由以上知识点求出∠EFC′＝115°．3．空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上，为增强学生体质，感受我国的传统文化，某学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠E＝22°，∠ECD＝103°，则∠A的度数为（）A．77° B．80° C．81° D．99°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】直接利用三角形外角的性质求出∠EFC＝81°，再利用平行线的性质得出∠A＝∠EFC＝81°即可；【解答】解：如图所示：延长DC交AE于点F，由条件可知∠EFC＝∠ECD﹣∠E＝103°﹣22°＝81°．∴∠A＝∠EFC＝81°，故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的关键．4．将一副三角板按照如图所示方式摆放，点D在边BC上，EF∥BC，则∠CQF＝（）A．100° B．105° C．115° D．120°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质得到∠ADB＝90°，由等腰三角形的性质∠CAD=12∠BAD＝45°，利用三角形内角和定理求得∠AQD＝【解答】解：∵EF∥BC，∠E＝90，∴∠ADB＝∠E＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠CAD=12∠BAD＝∵∠ADQ＝30°，∴∠AQD＝180°﹣∠CAD﹣∠ADQ＝105°，∴∠CQF＝∠AQD＝105°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．5．如图，AD∥BC，BH平分∠ABC，交AD于点H．若∠BAD＝112°，则∠AHB的度数为（）A．34° B．56° C．22° D．36°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】利用平行线的性质和角平分线的概念得到∠ABH，即可得到∠AHB的值．【解答】解：∵AD∥BC，∠BAD＝112°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣112°＝68°，∠AHB＝∠CBH，∵BH平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH=12∠ABC=12∴∠AHB＝∠CBH＝34°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练利用平行线的性质是解题的关键．6．如图，AB∥CD，将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF＝60°，∠MNP＝45°．下列结论：①GE∥MP；②∠EFN＝135°；③∠BEF＝75°；④∠AEG＝∠PMN．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】平行线的性质；三角形内角和定理．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的判定和性质，三角形的内角和，逐一判断，即可．【解答】解：延长FG交AB于点K，由题意得，△PMN是等腰直角三角形，△EFG中∠GEF＝60°，∠EFG＝30°，∠EGF＝90°；∴∠EGF＝∠MPN＝90°，∴GE∥MP，∴①正确；∵∠EFG＝30°，∴∠EFN＝180°﹣∠EFG＝150°；∴②错误；∵AB∥CD，∴∠BKN＝∠PNM＝45°，∴∠AEG＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴∠BEF＝180°﹣∠AEG﹣∠GEF＝75°，∴③正确；∵△PMN是等腰直角三角形，∴∠PMN＝45°，∴∠AEG＝∠PMN，∴④正确；综上所述，正确的个数为：①③④．故选：C．【点评】本题考查三角形的内角和，平行线的性质，解题的关键是延长FG交AB于点K．7．如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2＝90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC＝180°；③DE平分∠ADC；④∠F为定值，其中结论正确的有（）A．①④ B．①②④ C．①②③ D．①③④【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】D【分析】由AB⊥BC，AE⊥DE，可知∠1+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠DEC，则∠1＝∠DEC，由∠1+∠2＝90°，可得∠DEC+∠2＝90°，则∠C＝90°，∠B+∠C＝180°，可证AB∥CD，可判断①的正误；由AB∥CD，可得∠BAD+∠ADC＝180°，由∠AEB不一定等于∠BAD，则∠AEB+∠ADC不一定等于180°，可判断②的正误；由AE平分∠BAD交BC于点E，可得∠EAD=∠1=12∠BAD，由∠EAD+∠EDA＝90°，∠1+∠2＝90°，可得∠EDA＝∠2，则DE平分∠ADC，可判定③的正误；由∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，可得∠EAF=∠MAF=12∠EAM，∠EDF=∠NDF=12∠EDN，由∠1+∠2＝90°，∠1+∠EAM＝180°，∠2+∠EDN【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠1+∠AEB＝90°＝∠AEB+∠DEC，∴∠1＝∠DEC，∵∠1+∠2＝90°，∴∠DEC+∠2＝90°，∴∠C＝90°，∴∠B+∠C＝180°，∴AB∥CD，①正确，故符合要求；∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠AEB不一定等于∠BAD，∴∠AEB+∠ADC不一定等于180°，②错误，故不符合要求；∵AE平分∠BAD交BC于点E，∴∠EAD∵∠EAD+∠EDA＝90°，∠1+∠2＝90°，∴∠EDA＝∠2，∴DE平分∠ADC；③正确，故符合要求；∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，∴∠EAF=∠∵∠1+∠2＝90°，∠1+∠EAM＝180°，∠2+∠EDN＝180°，∴∠EAM+∠EDN＝270°，∴∠EAF∴∠F＝360°﹣∠EAF﹣∠EDF﹣∠AED＝135°，为定值；④正确，故符合要求；故选：D．【点评】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．8．如图，AB∥CD，BF，CG分别平分∠ABE，∠DCE，BF与CG的反向延长线交于点F．若∠BEC﹣∠F＝33°，则∠BEC的度数为（）A．57° B．66° C．82° D．94°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】C【分析】设角等于α，β；角的等量代换是解题的关键．过点F作FH∥AB，得FH∥AB∥CD，得∠ABF＝∠BFH，∠GCD＝∠CFH；根据BF，GC是∠ABE，∠ECD的角平分线，∠EBF＝∠ABF＝∠BFH＝α，∠ECG＝∠GCD＝∠CFH＝β，根据四边形内角和为360°，∠BEC﹣∠F＝33°即可求出∠E的角度．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，由题意可得：设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴在四边形BFCE中，∠BEC+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠BEC+2∠BFC＝180°，①又∵∠BEC﹣∠BFC＝33°，∴∠BFC＝∠BEC﹣33°，②∴由①②可得，∠BEC+2（∠BEC﹣33°）＝180°，解得∠BEC＝82°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，四边形内角和，角平分线，正确记忆相关知识点是解题关键．9．如图，AB∥EF，∠ABP=14∠ABC，∠EFPA．58° B．60° C．62° D．64°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】B【分析】过C作CQ∥AB，利用平行线的判定与性质进行解答即可．【解答】解：过C作CQ∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥EF∥CQ，∴∠ABC+∠BCQ＝180°，∠EFC+∠FCQ＝180°，∴∠ABC+∠BCF+∠EFC＝360°，∵∠FCD＝60°，∴∠BCF＝120°，∴∠ABC+∠EFC＝360°﹣120°＝240°，∵∠ABP=1∴∠ABP+∠PFE＝60°，∴∠P＝60°．故选：B．【点评】此题考查平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用．10．如图，一束平行光线照射到正六边形ABCDEF上，若∠1＝35°，则∠2＝（）A．15° B．25° C．35° D．37°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据正多边形内角和定理求得∠3，再利用两直线平行，同旁内角互补即可求得结论．【解答】解：如图，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠3=∵光线互相平行，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣35°﹣120°＝25°，即∠2的度数为25°，综上所述，只有选项B正确，符合题意，故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．二．填空题（共5小题）11．如图，已知AB∥CD∥EF，若∠1＝60°，∠3＝140°，则∠2＝20°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】20°．【分析】根据平行线的性质得到∠BOF＝∠1＝60°，∠COF＝180°﹣∠3＝40°，即可得到答案．【解答】解：∵AB∥EF，∴∠BOF＝∠1＝60°，∵CD∥EF，∴∠COF＝180°﹣∠3＝180°﹣140°＝40°，∴∠2＝∠BOF﹣∠COF＝60°﹣40°＝20°，故答案为：20°．【点评】此题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握．12．一把直尺和一把含45°角的直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，若∠1＝28°，则∠2的度数为62°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】62°．【分析】由题意可知，AB∥CD，∠4＝90°，可求出∠3＝62°，再根据平行线的性质即可求解．【解答】解：如图：由题意可知，AB∥CD，∠4＝90°，∵∠1＝28°，∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠4＝180°﹣28°﹣90°＝62°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠3＝62°（两直线平行，同位角相等），故答案为：62°．【点评】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．13．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N，则△AMN的周长为10．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】10．【分析】根据两直线平行内错角相等，等角对等边，角的平分线的定义，进行推理计算即可．【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，MN∥BC，∴∠CBE＝∠ABE＝∠BEM，∠ACE＝∠BCE＝∠NEC（两直线平行，内错角相等），∴BM＝ME，CN＝NE，∴△AMN的周长为AM+AN+MN＝AM+AN+ME+NE＝AM+AN+MB+NC＝AB+AC，∵AB＝4，AC＝6，∴AB+AC＝4+6＝10，即△AMN的周长为10，故答案为：10．【点评】本题考查了角的平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握角的平分线的定义，平行线的性质是解题的关键．14．如图，AB∥CD，BF平分∠ABE，BF∥DE，且∠D＝30°，则∠E的度数为150°．【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】150°．【分析】延长DE交AB的延长线于G，根据两直线平行，内错角相等可得∠D＝∠AGD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AGD＝∠ABF，然后根据角平分线的定义得∠EBF＝∠ABF，再根据平行线的性质解答．【解答】解：如图，延长DE交AB的延长线于G，∵AB∥CD，∴∠D＝∠AGD＝30°（两直线平行，内错角相等），∵BF∥DE，∴∠AGD＝∠ABF＝30°（两直线平行，同位角相等），∵BF平分∠ABE，∴∠EBF＝∠ABF＝30°，∵BF∥DE，∴∠BED＝180°﹣∠EBF＝150°．故答案为：150°．【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，关键是平行线性质的熟练掌握．15．如图是一款手推车的平面示意图，其中AB∥CD，∠3＝152°，∠1＝35°，则∠2的大小是63°．【考点】平行线的性质．【专题】推理能力．【答案】63°．【分析】先求解∠1＝∠A＝35°，∠4＝180°﹣∠3＝28°，再利用三角形的外角的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥CD，∠3＝152°，∠1＝35°，∴∠1＝∠A＝35°（两直线平行，内错角相等），∠4＝180°﹣∠3＝28°（平角定义），∴∠2＝∠A+∠4＝63°．故答案为：63°．【点评】本题考查的是平行线的性质，掌握邻补角的性质，三角形的外角的性质是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠COF与∠EOF互余，OF平分∠AOE，∠COF＝25°．（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC；（2）求∠BOD的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义；余角和补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】（1）∠BOD；∠AOD，∠BOC；（2）40°．【分析】（1）根据对顶角及邻补角的定义即可解决问题；（2）根据所给角度进行计算即可．【解答】解：（1）由题知，∠AOC的对顶角是∠BOD，∠AOC的邻补角是∠AOD和∠BOC．故答案为：∠BOD；∠AOD，∠BOC；（2）因为∠COF与∠EOF互余，∠COF＝25°，所以∠EOF＝65°．因为OF平分∠AOE，所以∠AOF＝∠EOF＝65°，所以∠AOC＝65°﹣25°＝40°，所以∠BOD＝∠AOC＝40°．【点评】本题主要考查了对顶角、邻补角、角平分线的定义及余角和补角，熟知角平分线的定义及余角和补角的定义是解题的关键．17．如图，已知四边形CFBE，点A在BE的延长线上，点D在BF的延长线上，连接AD交CE，FC于点G，H，若∠AGE＝∠D，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠CHG．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见解析．【分析】先证明GE∥BD，得出∠C＝∠CFD，进而得出∠B＝∠CFB，再证明CF∥AB，最后根据平行线的性质即可得证．【解答】证明：∵∠AGE＝∠D，∴GE∥BD（同位角相等，两直线平行），∴∠C＝∠CFD（两直线平行，内错角相等），又∠B＝∠C，∴∠B＝∠CFB，∴CF∥AB，∴∠A＝∠CHG．【点评】本题考查了平行线的判定与性质，关键是平行线判定定理及性质的熟练掌握．18．（1）在图①中，已知AB∥CD，FG是截线，一块∠E为60°的三角板的一条直角边靠在截线FG上，求∠AFE+∠CGE的值；（2）在图②中，已知AB∥CD，EG平分∠CGF，EF平分∠AFG，请说明EF与EG的位置关系；（3）在图③中，已知AB∥CD，EG平分∠CGF，在EG上取一点P，使得∠AFE＝∠PFG，请说明∠E与∠EPF的数量关系．【考点】平行线的判定与性质；三角形的外角性质；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；运算能力；推理能力．【答案】（1）60°；（2）如图②，过点E作EP∥AB，则∠FEP＝∠AFE，∵AB∥CD，∴∠AFG+∠CGF＝180°，EP∥CD，∴∠CGE＝∠GEP，∵EG平分∠CGF，EF平分∠AFG，∴∠AFE=12∠AFG，∠CGE=1∴∠FEG＝∠FEP+∠GEP＝∠AFE+∠CGE=12∠AFG+12∠CGF=12（∠AFG+∠CGF∴EF与EG的位置关系是EF⊥EG；（3）如图③，过点E作EN∥AB，则∠AFE＝∠FEN，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠CGE＝∠GEN，∵EG平分∠CGF，∴∠CGE＝∠FGE，∵∠AFE＝∠PFG，∴∠FEG＝∠FEN+∠GEN＝∠AFE+∠CGE＝∠PFG+∠FGE，∵∠EPF＝∠PFG+∠FGE，∴∠FEG＝∠EPF．【分析】（1）过点E作EH∥AB，则∠AFE＝∠FEH，再证明EH∥CD，得∠CGE＝∠GEH，即可解决问题；（2）过点E作EP∥AB，则∠FEP＝∠AFE，由平行线的性质得∠AFG+∠CGF＝180°，EP∥CD，则∠CGE＝∠GEP，再由角平分线的定义得∠AFE=12∠AFG，∠CGE=12∠CGF，然后求出∠FEG＝∠FEP+∠（3）过点E作EN∥AB，则∠AFE＝∠FEN，证明EN∥CD，得∠CGE＝∠GEN，再由角平分线的定义得∠CGE＝∠FGE，然后证明∠FEG＝∠PFG+∠FGE，即可得出结论．【解答】（1）解：如图①，过点E作EH∥AB，则∠AFE＝∠FEH，∵AB∥CD，∴EH∥CD，∴∠CGE＝∠GEH，∴∠AFE+∠CGE＝∠FEH+∠GEH＝∠FEG＝60°；（2）证明：如图②，过点E作EP∥AB，则∠FEP＝∠AFE，∵AB∥CD，∴∠AFG+∠CGF＝180°，EP∥CD，∴∠CGE＝∠GEP，∵EG平分∠CGF，EF平分∠AFG，∴∠AFE=12∠AFG，∠CGE=1∴∠FEG＝∠FEP+∠GEP＝∠AFE+∠CGE=12∠AFG+12∠CGF=12（∠AFG+∠CGF∴EF与EG的位置关系是EF⊥EG；（3）证明：如图③，过点E作EN∥AB，则∠AFE＝∠FEN，∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠CGE＝∠GEN，∵EG平分∠CGF，∴∠CGE＝∠FGE，∵∠AFE＝∠PFG，∴∠FEG＝∠FEN+∠GEN＝∠AFE+∠CGE＝∠PFG+∠FGE，∵∠EPF＝∠PFG+∠FGE，∴∠FEG＝∠EPF．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．19．【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：（1）如图1所示，已知AB∥CD，点E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．请猜想∠BED与∠B、∠D之间的数量关系，并证明；猜想：∠BED＝∠D+∠B；证明：（2）如图2所示，已知AB∥CD，点E为AB，CD之间一点，∠ABE和∠CDE的平分线相交于点F，若∠E＝80°，求∠F的度数；【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：AB∥CD，点E的位置移到AB上方，点F在EB延长线上，且BG平分∠ABF与∠CDE的平分线DG相交于点G，请直接写出∠G与∠E之间的数量关系∠BED+180°＝2∠BGD；【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件AB∥CD去掉，提出了以下问题：已知AB与CD不平行，如图4，点M在AB上，点N在CD上，连接MN，且MN同时平分∠BME和∠DNE，请直接写出∠AME，∠CNE，∠MEN之间的数量关系2∠MEN＝∠AME+∠ENC．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）∠BED＝∠D+∠B，证明见解析；（2）140°；【类比迁移】∠BED+180°＝2∠BGD；理由见解析；【变式挑战】2∠MEN＝∠AME+∠ENC．【分析】（1）过E点作EF∥AB，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；（2）如图2，作EG∥AB，FH∥AB，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；【类比迁移】如图3，过E作EM∥AB，过G作GN∥AB，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；【变式挑战】延长AB，CD，交于点P，根据角平分线的定义和四边形的内角和定理，平角的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∠BED＝∠D+∠B，证明：过E点作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∴∠BED＝∠D+∠B，故答案为：∠BED＝∠D+∠B；（2）如图2，作EG∥AB，FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥AB∥FH∥CD，∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH，∠ABE+∠BEG＝180°，∠GED+∠CDE＝180°，∴∠ABE+∠BEG+∠GED+∠CDE＝360°∵∠BED＝∠BEG+∠DEG＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∵∠ABE和∠CDE的角平分线相交于F，∴∠ABF+∠CDF＝140°，∴∠BFD＝∠BFH+∠DFH＝140°；【类比迁移】∠BED+180°＝2∠BGD；理由：如图3，过E作EM∥AB，过G作GN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥GN∥CD，∴∠MEF＝∠ABF，∠CDE＝180﹣∠DEM，由（1）知∠BGD＝∠ABG+∠CDG，∵BG平分∠ABF与∠CDE的平分线DG相交于点G，∴∠ABG=12∠ABF∴∠BGD=12(∠ABF+∠CDE)，∠BED＝∠MEF∴∠BED＝∠MEF﹣∠MED＝∠ABF﹣（180°﹣∠CDE）＝∠ABF+∠CDE﹣180°＝2∠BGD﹣180°，即∠BED+180°＝2∠BGD；故答案为：∠BED+180°＝2∠BGD；【变式挑战】2∠MEN＝∠AME+∠ENC，理由如下：如图4，延长AB，CD，交于点P，∵MN同时平分∠BME和∠DNE，∴∠EMN＝∠PMN，∠ENM＝∠MNP，∴∠E＝∠P，∵∠EMP＝180°﹣∠AEF，∠FGP＝180°﹣∠FGC，∴∠FEP+∠ENP＝360°﹣（∠AME+∠CNE），∵四边形MENP中，∠E+∠P＝360°﹣（∠EMP+∠ENP）＝360°﹣[360°﹣（∠AME+∠ENC）]＝∠AME+∠ENC，即2∠MEN＝∠AME+∠ENC．故答案为：2∠MEN＝∠AME+∠ENC．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．20．亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，∠C＝∠F＝90°，∠A＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠E＝60°．（1）将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数；（2）如图③，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MN上，使AB∥MN，三角尺DEF的顶点E在直线MN上，DF与AB相交于点P，则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图④，将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C，F重合．当点A在直线EC的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出∠ACE所有可能的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】（1）过点D作GH∥DF，则GH∥DF∥BC，进而得∠HGD＝∠D＝30°，∠BGH＝∠B＝45°，由此可得∠BGD的度数；（2）过点D作DH∥MN，则DH∥AB∥MN，进而得∠HDE＝∠DEM，∠HDP＝∠DPB，再根据∠HDE﹣∠HDP＝∠EDF＝30°可得出答案；（3）依题意由以下5种情况：①当AB∥EC时，则∠ECB＝∠B＝45°，再根据∠ACE＝∠ACB+∠ECB可得出答案；②当BC∥DE时，则∠ECB＝∠E＝60°，再根据∠ACE＝∠ACB+∠ECB可得出答案；③当AC∥DE时，则∠ACE＝∠E＝60°；④当AB∥CD时，则∠ECB＝∠B＝45°，再根据∠ACE＝∠ACB﹣∠ECB可得出答案；⑤当AB∥DE时，设BC于DE交于点T，则∠ETC＝∠B＝45°，进而得∠ECT＝180°﹣（∠ETC+∠E）＝75°，然后根据∠AEC＝∠ACB﹣∠ET可得出答案，综上所述即可得出∠ACE角度所有可能的值．【解答】解：（1）过点G作GH∥DF，如图2所示：依题意得：∠C＝90°，∠DFE＝90°，∠B＝45°，∠D＝30°，∴∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°，∴BC∥DF，由平行线性质可知∠HGD＝∠D＝30°，∠BGH＝∠B＝45°，∴∠BGD＝∠HGD+∠BGH＝30°+45°＝75°，（2）∠DEM﹣∠DPB＝30°，理由如下：过点D作DH∥MN，如图3所示，∵AB∥MN，∴DH∥AB∥MN，∴∠HDE＝∠DEM，∠HDP＝∠DPB，∵∠HDE﹣∠HDP＝∠EDF，且∠EDF＝30°，∴∠DEM﹣∠DPB＝30°；（3）∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°，理由如下：依题意有以下5种情况：①当AB∥EC时，如图4①所示：则∠ECB＝∠B＝45°，∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+45°＝135°；②当BC∥DE时，如图4②所示：则∠ECB＝∠E＝60°，∴∠ACE＝∠ACB+∠ECB＝90°+60°＝150°；③当AC∥DE时，如图4③所示：则∠ACE＝∠E＝60°；④当AB∥CD时，如图4④所示：则∠DCB＝∠B＝45°，∴∠ECB＝45°，∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°；⑤当AB∥DE时，设BC于DE交于点T，如图4⑤所示：则∠ETC＝∠B＝45°，∴∠ECT＝75°，∴∠AEC＝90°﹣75°＝15°．综上所述：∠ACE角度所有可能的值是135°或150°或60°或45°或15°．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．

考点卡片1．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．2．余角和补角（1）余角