快乐数学加油站2025年基础

快乐数学加油站2025年基础一.选择题。（共10题）

1.若集合A={x|1≤x<5}，B={x|2<x≤6}，则集合A∩B等于（）

A.{x|1≤x<2}B.{x|2<x<5}C.{x|1≤x≤6}D.{x|5≤x≤6}

2.不等式|3x-4|<5的解集为（）

A.{x|-1<x<3}B.{x|1<x<3}C.{x|-1<x<9}D.{x|1<x<9}

3.函数f(x)=x^2-4x+3的像顶点坐标为（）

A.(2,1)B.(2,-1)C.(-2,1)D.(-2,-1)

4.若直线l的斜率为2，且过点(1,3)，则直线l的方程为（）

A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x+1D.y=-2x-1

5.已知等差数列{a_n}中，a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）

A.7B.9C.11D.13

6.计算√18+√50等于（）

A.2√7B.8√2C.8√7D.2√25

7.抛掷一枚均匀的骰子，出现点数为偶数的概率为（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6

8.函数f(x)=1/x在区间(1,2)上的平均变化率为（）

A.1B.0.5C.-1D.-0.5

9.若三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形为（）

A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.钝角三角形

10.已知圆的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=9，则该圆的圆心坐标为（）

A.(1,-2)B.(-1,2)C.(2,-1)D.(-2,1)

二.填空题（共10题）

1.分解因式：x^2-9=________。

2.若函数f(x)=ax+1，且f(2)=5，则a的值为________。

3.不等式组{x|1<x≤3}∪{x|2<x<5}的解集为________。

4.点(3,4)关于y轴的对称点坐标为________。

5.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，公比q=3，则b_4的值为________。

6.计算：sin30°+cos45°=________。

7.一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面积为________。

8.若向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a·b=________。

9.方程x^2+6x+9=0的根为________。

10.已知直线l1:y=x+1与直线l2:y=-2x+3，则l1与l2的交点坐标为________。

三.判断题。（共5题）

1.0是自然数，也是整数。()

2.若a>b，则a^2>b^2。()

3.两个全等三角形的面积一定相等。()

4.函数y=|x|的像关于x轴对称。()

5.若一个角的补角是锐角，则这个角一定是钝角。()

四.计算题（共6题）。

1.计算：(-2)^3+√(49)-|-5|。

2.解方程：3(x-1)+2=x+5。

3.化简：(a+b)(a-b)-a(a-2b)。

4.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,4]上的最大值和最小值。

5.已知点A(1,2)和B(3,0)，求线段AB的长度。

6.计算不定积分：∫(x^2+2x+1)dx。

五.应用题。（共6题）。

1.某班同学参加植树活动，如果每人植3棵，则剩下15棵树；如果每人植5棵，则还差25棵树。问该班有多少同学？共要植多少棵树？

2.一列火车长150米，以72千米/小时的速度通过一座长450米的大桥，求火车完全通过大桥所需的时间。

3.甲工程队单独完成一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需要30天。如果两队合作，需要多少天才能完成这项工程？

4.某商品原价100元，先提价10%，再降价10%。问该商品现在的售价是多少元？

5.一个圆锥的底面半径为3厘米，高为4厘米，求这个圆锥的体积。

6.已知某校学生身高近似服从正态分布N(170,10^2)，随机抽取一名学生，其身高超过180厘米的概率是多少？（结果可保留两位小数）

六.思考题

1.为什么在学习一元二次方程时，要研究判别式Δ=b^2-4ac？它对于判断方程根的情况有何实际意义？

2.结合等差数列和等比数列的定义，谈谈它们在描述现实世界中的增长或衰减现象时各自的优势和适用场景。

3.在几何中，如何理解“两点确定一条直线”？这条公理在证明其他几何定理时起到了什么作用？

4.讨论函数的单调性与导数之间的关系，为什么说导数是研究函数性质的有力工具？

5.在概率论初步中，我们学习过古典概型和几何概型，请比较这两种概型的区别，并举例说明何时使用哪种模型更合适。

一.选择题。（共10题）

1.B2.A3.A4.A5.D6.C7.A8.B9.C10.A

解析：

1.A∩B包含同时属于A和B的元素，即{x|2<x<5}。

2.|3x-4|<5转化为-5<3x-4<5，解得-1<x<3。

3.函数像为抛物线，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)，即(2,1)。

4.直线方程为y-y1=k(x-x1)，代入点(1,3)和斜率k=2，得y=2x+1。

5.a_5=a_1+(5-1)d=3+4*2=11。

6.√18=3√2，√50=5√2，故原式=3√2+5√2=8√2。

7.出现偶数点数为2,4,6，共3种，概率为3/6=1/2。

8.平均变化率=(f(2)-f(1))/(2-1)=(1/2-1)/(2-1)=-1/2。

9.3^2+4^2=5^2，符合勾股定理，故为直角三角形。

10.圆心坐标为方程中x和y项的相反数，即(1,-2)。

二.填空题（共10题）

1.(x+3)(x-3)2.23.x|1<x<54.(-3,4)5.186.√2/2+√2/2=√27.20π8.109.x1=x2=-310.(2,1)

解析：

1.利用平方差公式a^2-b^2=(a+b)(a-b)。

2.代入f(2)=5，得2a+1=5，解得a=2。

3.并集为两个集合所有元素的集合，即{x|1<x<5}。

4.关于y轴对称，x坐标取相反数，y坐标不变。

5.b_4=b_1*q^3=2*3^3=54。

6.sin30°=1/2，cos45°=√2/2，故原式=√2。

7.侧面积=πrl=π*2*5=10π。

8.向量数量积a·b=α_1β_1+α_2β_2=3*1+4*2=11。

9.方程为(x+3)^2=0，故根为-3（重根）。

10.解方程组{y=x+1{y=-2x+3，得x=2,y=3。

三.判断题。（共5题）

1.√2.×3.√4.×5.√

解析：

1.自然数集包含0，整数集也包含0。

2.若a>0>b，则a^2>b^2；若a<0<b，则a^2<b^2；若a>b>0且a,b均小于1，则a^2<b^2。

3.全等三角形对应边长相等，面积必然相等。

4.y=|x|像关于y轴对称，而非x轴。

5.补角为180°-α，若其为锐角(0°<180°-α<90°)，则90°<α<180°，α为钝角。

四.计算题（共6题）。

1.-22.x=33.b^24.最大值=7，最小值=05.√106.x^3/3+x^2+x+C

解析：

1.原式=-8+7-5=-6。

2.3x-3+2=x+5，2x=6，x=3。

3.原式=a^2-b^2-2a+2b=a^2-b^2-2(a-b)=b^2。

4.对称轴x=-b/2a=-(-4)/2=2。f(1)=0，f(2)=1，f(4)=-3。故最小值为f(4)=-3，最大值为f(1)=0。

5.AB=√[(3-1)^2+(0-2)^2]=√(4+4)=√8=2√2。

6.∫(x^2+2x+1)dx=∫x^2dx+∫2xdx+∫1dx=x^3/3+x^2+x+C。

五.应用题。（共6题）

1.设有x人，则3x+15=5x-25，解得x=20。树的总数为5*20-25=75棵。

2.火车过桥总路程=150+450=600米。速度=72km/h=20m/s。时间=600/20=30秒。

3.甲效率1/20，乙效率1/30。合作效率1/20+1/30=1/12。时间=1/(1/12)=12天。

4.先涨价后降价百分比=(1+10%)*(1-10%)-1=0.19。现价=100*(1+0.19)=119元。

5.V=1/3*πr^2h=1/3*π*3^2*4=12π立方厘米。

6.σ=10，μ=170。z=(180-170)/10=1。P(X>180)=P(Z>1)≈0.1587（查标准正态分布表）。

六.思考题

1.判别式Δ用于判断一元二次方程根的性质：Δ>0时有两不等实根，Δ=0时有两相等实根，Δ<0时无实根。这决定了解方程时是求两个解、一个解还是无解，对实际问题的建模和求解至关重要。

2.等差数列适用于描述线性增长或衰减过程（如匀速变化），等比数列适用于描述指数增长或衰减过程（如复利、细菌繁殖）。等差数列公式简单直观，等比数列能反映更剧烈的变化趋势。

3.“两点确定一条直线”是几何的基础公理，它意味着在欧氏空间中，通过任意两个不同的点有且仅有一条直线。该公理是后续证明平行线性质、三角形内角和等定理的基础，确立了直线作为基本几何对象的存在性和唯一性。

4.函数单调性与导数关系：在区间内，若f'(x)>0，则f(x)单调递增；若f'(x)<0，则f(x)单调递