数学综合素养挑战卷2025年真题集锦

数学综合素养挑战卷2025年真题集锦一.选择题。（共10题）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≥2}，则A∩B等于（）

A.{x|1<x<2}B.{x|2≤x<3}C.{x|1<x≤3}D.{x|x>3}

2.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）

A.{x|x≠0}B.{x|x>1}C.{x|x<0}D.{x|x∈R}

3.在等差数列{aₙ}中，若a₃+a₇=12，则a₁+a₁₀等于（）

A.6B.12C.18D.24

4.已知点P(x,y)在直线3x+4y-12=0上，则z=x+y的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

5.若sinα=½且α在第二象限，则cosα的值为（）

A.√3/2B.-√3/2C.½D.-½

6.抛掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现正面的概率为（）

A.1/4B.1/2C.3/4D.1

7.已知圆O的半径为2，圆心O在直线y=x上，则圆O与直线x-y-1=0的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交D.包含

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，则角C等于（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

9.不等式|2x-1|<3的解集为（）

A.{x|-1<x<2}B.{x|1<x<4}C.{x|-2<x<1}D.{x|-1<x<4}

10.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为（）

A.8，-4B.8，-8C.4，-4D.4，-8

二.填空题（共10题）

1.已知直线l₁:ax+2y-1=0与直线l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值为______。

2.若f(x)=2^x，则f(log₂3)的值为______。

3.在等比数列{bₙ}中，若b₂=6，b₄=162，则b₁的值为______。

4.已知向量a=(3,m)，向量b=(-1,2)，若a·b=7，则m的值为______。

5.不等式组{x|1≤x<4}∩{x|x≥3}的解集为______。

6.扇形的圆心角为120°，半径为5，则扇形的面积为______。

7.已知三角形ABC的三边长分别为3，4，5，则该三角形的外接圆半径为______。

8.函数g(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为______。

9.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，则选出的人数恰好为2名女生的概率为______。

10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=2，则f(-1)+f(0)的值为______。

三.判断题。（共5题）

1.若函数h(x)是偶函数，则其象的对称轴一定是y轴。（）

2.在△ABC中，若a²+b²=c²，则△ABC一定是直角三角形。（）

3.抛掷一个骰子，出现点数为偶数的概率与出现点数为奇数的概率相等。（）

4.对于任意实数x，x²≥0恒成立，因此方程x²=0有无数个解。（）

5.若数列{aₙ}是递增数列，且aₙ=aₙ₊₁，则该数列一定是常数列。（）

四.计算题（共6题）。

1.解方程:2^(x+1)-8=0.

2.在△ABC中，角A=45°，角B=75°，边BC=6，求边AB的长度。

3.计算不定积分:∫(x²-2x+3)dx.

4.已知函数f(x)=x³-3x²+2，求其在x=2处的导数值f'(2).

5.在等差数列{aₙ}中，已知a₅=10，d=-2，求a₁的值。

6.化简:(1+i)²/(1-i)，其中i为虚数单位。

五.应用题。（共6题）。

1.某工厂生产一种产品，固定成本为5000元，每件产品的可变成本为60元，售价为100元。若要使利润最大，该工厂应生产多少件产品？（设生产量为x件，利润P=收入-成本）

2.甲、乙两地相距480公里，一列快车从甲地开往乙地，速度为每小时60公里；一列慢车同时从乙地开往甲地，速度为每小时40公里。两车相遇后，快车继续行驶，到达乙地后立即返回，在途中与慢车相遇。求两车第二次相遇时距离甲地的距离。

3.某班级有50名学生，其中男生35名，女生15名。现要随机选出3名学生组成一个小组，求选出的小组中恰好包含1名女生的概率。

4.一块直角三角形的铁片，两条直角边长分别为6cm和8cm，现在从这个三角形中剪下一个最大的圆，求这个圆的面积。

5.为了估计湖中鱼的数量，渔民先捕捞100条鱼，给每条鱼做上标记，然后放回湖中。一段时间后，再次捕捞100条鱼，发现其中带有标记的鱼有10条。试用抽样的原理估计湖中鱼的总数量。

6.某城市计划修建一条环形公园，设计路线如所示（略），其中AB段为直线，BC段为圆弧，圆弧的圆心为O，半径为2公里，∠BOC=120°。若AB=3公里，求整个环形公园的周长。

六.思考题

1.试述函数单调性的定义，并举例说明如何利用导数判断函数的单调区间。

2.在等差数列和等比数列中，分别举例说明它们在实际生活中的应用场景，并简述其应用价值。

3.结合具体实例，阐述向量在几何问题中的运用，例如证明平行、计算面积等。

4.分析概率论中的大数定律或小数定律在实际生活中的体现，并说明其意义。

5.探讨微积分中积分的应用，如计算面积、体积等，并举例说明定积分在解决实际问题中的作用。

6.结合具体函数，讨论函数极限与函数值的区别与联系，并说明在什么情况下函数的极限存在。

一.选择题。

1.B2.A3.B4.C5.B6.B7.B8.A9.D10.B

解析：

1.A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且x≥2}={x|2≤x<3}，故选B。

2.由x²-2x+1=(x-1)²>0，解得x≠1，故定义域为{x|x∈R且x≠1}，即{x|x≠0}，故选A。

3.由等差数列性质，a₃+a₇=2a₅=12，则a₅=6。又a₁+a₁₀=2a₅=12，故选B。

4.由直线方程3x+4y-12=0，得y=-3/4x+3。z=x+y=x-3/4x+3=-1/4x+3，当x取最大值时，z取最小值。由3x+4y-12≥0，得x≤4，此时x=4，z=1，故选A。

5.由sinα=½且α在第二象限，得cosα=-√(1-sin²α)=-√(1-(½)²)=-√3/2，故选B。

6.两枚硬币抛掷结果有(正正,正反,反正,反反)四种，两枚都出现正面为一种，故概率为1/4，故选A。

7.圆心O到直线x-y-1=0的距离d=|0-0-1|/√(1²+(-1)²)=1/√2<2=半径，故直线与圆相交，故选C。

8.由三角形内角和，角C=180°-角A-角B=180°-60°-45°=75°，故选A。

9.由|2x-1|<3，得-3<2x-1<3，解得-1<x<2，故选D。

10.f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=-8，f(-1)=1，f(1)=-1，f(2)=0。最大值为max{f(-2),f(-1),f(1),f(2)}=1，最小值为min{f(-2),f(-1),f(1),f(2)}=-8，故选B。

二.填空题。

1.-22.33.24.15.{x|3≤x<4}6.5π/37.48.π9.2/910.0

解析：

1.两直线平行，斜率相等，即a=-1/(a+1)，解得a=-2。

2.f(log₂3)=2^(log₂3)=3。

3.由等比数列性质，b₄=b₂q²，得162=6q²，解得q=3。b₁=b₂/q=6/3=2。

4.a·b=3*(-1)+m*2=7，解得m=10/2=5。

5.{x|1≤x<4}∩{x|x≥3}={x|3≤x<4}。

6.扇形面积S=1/2*α*r²=1/2*120°/360°*π*5²=25π/3。注意角度要化为弧度制。

7.由勾股定理，△ABC为直角三角形，斜边为5。外接圆半径R=斜边/2=5/2=2.5。

8.函数g(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

9.总共有C(9,3)=84种选法。选出2名女生、1名男生的选法有C(4,2)*C(5,1)=6*5=30种。概率为30/84=5/14。

10.由f(x)是奇函数，得f(-1)=-f(1)=-2。f(0)=0（奇函数象过原点）。f(-1)+f(0)=-2+0=-2。

三.判断题。

1.×2.√3.√4.×5.√

解析：

1.偶函数象关于y轴对称，但对称轴也可以是x=a（非y轴），例如f(x)=|x+a|是偶函数，对称轴为x=-a。

2.根据勾股定理逆定理，若a²+b²=c²，则△ABC是直角三角形。

3.骰子点数为偶数的有2,4,6三种，奇数的有1,3,5三种，总数为6，概率均为3/6=1/2。

4.x²=0只有唯一解x=0，不是无数个。

5.数列递增，即aₙ+₁>aₙ。若存在aₙ₊₁=aₙ，则必有aₙ+₁=aₙ=aₙ₋₁=…=a₁，即数列为常数列。

四.计算题。

1.解：2^(x+1)=8，即2^(x+1)=2³，则x+1=3，解得x=2。

2.解：由正弦定理，AB/sinB=BC/sinA，即AB/√3/2=6/sin45°，解得AB=6*√2/√3*2/√2=4√3/√3=4。

3.解：∫(x²-2x+3)dx=∫x²dx-∫2xdx+∫3dx=x³/3-x²+3x+C。

4.解：f'(x)=3x²-6x。f'(2)=3*(2)²-6*2=12-12=0。

5.解：由等差数列性质，a₅=a₁+4d。10=a₁+4*(-2)，解得a₁=10+8=18。

6.解：(1+i)²/(1-i)=(1²+2i+i²)/(1-i)=(1+2i-1)/(1-i)=2i/(1-i)。分子分母同乘以共轭复数(1+i)，得(2i*(1+i))/((1-i)*(1+i))=(2i+2i²)/(1-i²)=(2i-2)/(1+1)=(2i-2)/2=i-1。

五.应用题。

1.解：设生产x件产品，利润P=100x-(5000+60x)=40x-5000。P为关于x的一次函数，且斜率为正，故P在定义域内单调递增。当x取最大值时，P最大。x应为整数，需考虑成本和售价，确保x件产品总成本不超过总售价，即60x≤100x，即x≥0。理论上x越大P越大，但受市场容量、生产能力等实际限制。若无此限制，最大利润在x最大时取得。

2.解：设第一次相遇时间为t₁小时，则快车行驶60t₁公里，慢车行驶40t₁公里，60t₁+40t₁=480，解得t₁=480/100=4.8小时。快车到达乙地时间为t₂=480/60=8小时。从第一次相遇到第二次相遇，快车行驶了8小时，慢车行驶了t₂+t-4.8=8+t-4.8=3.2+t小时。此时两车共行驶了480公里。60*8+40*(3.2+t)=480，即480+128+40t=480，解得40t=32，t=0.8小时。第二次相遇时间为t₁+t=4.8+0.8=5.6小时。此时快车行驶距离为60*5.6=336公里，慢车行驶距离为40*5.6=224公里。距离甲地距离为480-224=256公里。

3.解：总选法为C(50,3)。选出的3人中恰好有1名女生，即从4名女生中选1名，从35名男生中选2名，选法为C(4,1)*C(35,2)=4*(35*34/2)=4*595=2380种。概率为2380/C(50,3)=2380/(50*49*46/6)=2380/(19600)=238/1960=119/980=17/140。

4.解：圆的直径等于直角三角形的斜边。由勾股定理，斜边长√(6²+8²)=√(36+64)=√100=10cm。圆的半径为5cm。圆的面积S=πr²=π*(5)²=25πcm²。

5.解：设湖中鱼的总数量为N。根据标志重捕法，有N/100=10/100，即N/100=1/10，解得N=1000。

6.解：环形公园周长=AB+圆弧弧长+BC。圆弧弧长l=αr=120°*π/180°*2=2π/3公里。BC段为圆的弦，其长为2sin(∠BOC/2)=2sin(60°/2)=2sin30°=2*(1/2)=1公里。总周长=3+2π/3+1=4+2π/3公里。

六.思考题。

1.答：函数f(x)在区间I上单调递增，是指对于任意x₁,x₂∈I，若x₁<x₂，则f(x₁)≤f(x₂)。单调递减，是指x₁<x₂则f(x₁)≥f(x₂)。利用导数判断：若在区间I上f'(x)≥0，则f(x)在该区间上单调递增；若f'(x)≤0，则f(x)在该区间上单调递减。例如f(x)=x²，在(-∞,0]上f'(x)=2x≤0，单调递减；在[0,+∞)上f'(x)=2x≥0，单调递增。

2.答：等差数列在储蓄计算中，如每月固定存入相同金额的零存整取；等比数列在增长率计算中，如复利计算、细菌繁殖问题等。例如，某产品成本每年上涨10%，第一年成本为100元，则第二年成本为110元，第三年为110*1.1=121元，形成等比数列。

3.答：向量可表示位移、速度、力等。用向量证明平行：若向量AB=向量CD，则线段AB∥CD。用向量计算面积：三角形ABC的面积S=1/2|AB×AC|。例如，设A(1,0),B(0,1),C(-1,-1)，向量AB=(-1,1),AC=(-2,-1)，AB×AC=(-1)*(-1)-1*(-2)=